浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷（含解析）

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浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷
一、选择题（共36分）
1．下列函数中（x，t是自变量），是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ）
A．y=4（x-2）2 -3 B．y=-2（x-2）2+3 C．y=-2（x-2）2-3 D．y= -(x-2）2+3
7．如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
8．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．不能确定，与的值有关
10．现有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为，一边长为，则y与x之间的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于x的方程有一个根为，其中正确的结论个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）

A．B．C． D．
二、填空题（共24分）
13．已知函数是二次函数，则 ．
14．二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ．
15．请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式 ．
16．函数的图象如下图所示，则关于x的方程的解为 ．

17．一名男生投实心球，已知球行进的高度与水平距离之间的关系为，那么该男生此次投实心球的成绩是 ．
18．若函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是 ．
19．已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．

20．如果二次函数图象对称轴为直线，那么二次函数的最小值是 ．
三、解答题（共60分）
21．（6分）已知二次函数（）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 5 …

(1)画出函数图象；
(2)当x__________时，y随x的增大而减小；
(3)当时，y的取值范围为__________．
22．（6分）如图，直线过点，，且与抛物线交于点B，．

(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的解析式．
23．（8分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为，菱形的面积（单位：）随其中一条对角线的长（单位：）的变化而变化．
(1)请直接写出与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当菱形风筝面积为时，求菱形风筝的边长是多少？
24．（8分）抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点，与y轴、x轴分别交于点B和点，连接、、．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求的面积．
25．（8分）小於为响应国家创业号召，回乡经营一家龙虾餐饮店，经核算龙虾收购成本为40元/kg．设销售时间为x天，通过一个月（30天）的试营业发现，龙虾售价y（元/kg）与销售天数满足如图函数关系（其中，且x为整数），已知龙虾销售第一天的销量为44kg，以后每一天比前一天多销售4kg．

(1)直接写出售价y与销售时间x的函数关系式；
(2)求试营业第几天时，当天利润最大，最大利润是多少？
26．（12分）已知抛物线与轴交于点，顶点为．
(1)当，时，求抛物线的顶点的坐标；
(2)求抛物线与轴的另一个交点的坐标（用含，的式子表示）；
(3)若直线经过点且与抛物线交于另一点，求抛物线的解析式．
27．（12分）如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．

(1)请分别求出k，m，a，b的值；
(2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】根据二次函数的定义依次判断即可得到答案．
【详解】解：A：不是二次函数，不符合题意；
B：是二次函数，符合题意；
C：不是二次函数，不符合题意；
D：不是二次函数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟知二次函数自变量的最高次必须为二次．
2．A
【分析】根据二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：由二次函数的性质可得，二次函数的顶点坐标为，
故选：A
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，二次函数的顶点坐标为．
3．C
【分析】根据抛物线平移左加右减进行求解作答即可．
【详解】解：由题意知，抛物线向左平移1个单位的表达式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了怕抛物线的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4．A
【分析】根据二次函数的对称轴即可求得点关于抛物线的对称点，进而确定抛物线必经过的点．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴，
∴若图象经过点，
∴则该图象必经过点，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数对称轴确定点的坐标是解题的关键．
5．B
【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
6．B
【分析】设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，把点（3，1）代入得出1=a（3-2）2+3，求出a即可．
【详解】∵抛物线的顶点为（2，3），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，
∵经过点（3，1），
∴代入得：1=a（3-2）2+3，
解得：a=-2，
即y=-2（x-2）2+3，
故选B．
【点睛】本题考查了求抛物线的解析式的应用，解题的关键是注意抛物线解析式的设法．
7．D
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
8．A
【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系．
【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为，
∴正好是抛物线的顶点坐标，
∴是二次函数的最大值，
∵在对称轴左侧，随的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大．
9．B
【分析】首先利用配方法，把抛物线的一般式转化为顶点式，进而得出抛物线对称轴为直线，再根据抛物线的对称性，计算即可得出另一个交点的坐标．
【详解】解：∵
，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线与轴一个交点为，
∴另一个交点的横坐标为：，
∴另一个交点为，
故选：B．
【点睛】本题考查了把抛物线转化为顶点式、利用抛物线的对称性求函数值，解本题的关键在得出抛物线对称轴．
10．D
【分析】根据题意求出矩形的另一边长，即可求解．
【详解】解：由题意得：矩形的另一边长，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意是关键．
11．B
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，可判断，，与的大小关系；②将代入二次函数，可得；③根据题意可得，结合点的坐标为，点位于轴负半轴，即可判断该结论是否正确；④求得点的坐标为，可得，结合，可求得点的坐标，进而求得点的坐标．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴．
将代入二次函数解析式，得
．
∴点的坐标为．
∵点位于轴负半轴，
∴．
∵对称轴，
∴．
∴．
结论①正确．
②将代入二次函数，得
．
根据二次函数图象可知．
结论②错误．
③∵，，
∴．
又点的坐标为，点位于轴负半轴，
∴．
∴．
结论③错误．
④∵，点的坐标为，点位于轴负半轴，点位于轴正半轴，
∴点的坐标为．
因为二次函数的图象过点，可得
．
化简，得
．
因为对称轴，
所以，．
将代入，得
．
可得
．
所以，点的坐标为．
设点的坐标为．
根据题意可得
．
则．
所以，点的坐标为．
所以，关于的方程的两个解为，．
结论④正确．
综上所述，结论正确的为①④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
12．A
【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．
【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
，，
，
，
，，，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为．
轴，
N的横坐标为x，
（1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
，
，
，
该段图象为开口向上的抛物线；
（2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，
，
该段图象为直线；
（3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
由，可得直线的解析式为，
，，
，
，
该段图象为开口向下的抛物线；
观察四个选项可知，只有选项A满足条件，
故选A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式．
13．
【分析】根据二次函数的定义分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
14． / 3
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3，
故答案为：；3．
【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
15．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合已知条件的二次函数解析式即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二函数的图象和性质的应用，注意：当二次项系数时，抛物线的开口向下．
16．，
【分析】根据题意的值的解为函数与轴的交点，根据图像得到答案．
【详解】根据题意的值的解为函数与轴的交点．
根据图像发现函数与轴的交点，．
故程的解为，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查函数与轴的交点问题，从图像中得出有利信息是解题的关键．
17．
【分析】当球行进的高度时，球行进的水平距离即为投实心球的成绩，可得关于的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：当时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该男生此次投实心球的成绩是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意理解投实心球的成绩是时的值是解题的关键．
18．
【分析】根据二次函数与轴没有公共点，得到，代值确定关于的不等式，求解即可得到答案．
【详解】解：函数的图像与轴没有公共点，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与轴交点情况与判别式的关系，熟记二次函数与轴没有公共点时是解决问题的关键．
19．
【分析】根据图象中的数据得到当横坐标时的纵坐标范围即可．
【详解】解：由图象可知，
当时，函数值的取值范围，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
20．
【分析】根据二次函数图象对称轴为直线，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可求得函数的最小值．
【详解】解：二次函数图象对称轴为直线，
，解得，
，
当时，y取得最小值，此时．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、最值，解答本题的关键是明确题意，求出的值，利用二次函数的性质解答．
21．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知点依次描点，再连线即可；
（2）根据图象即可求解；
（3）根据图象即可求解．
【详解】（1）解：描点、连线，画出图形如图所示：

设二次函数的表达式为，
∵二次函数经过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为，即；
（2）观察函数图象可知：当时，y随x的增大而减小；
故答案为：；
（3）当，根据图象可知y的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的作图，以及二次函数的图象与性质，解题的关键是要能采用数形结合的思想．
22．(1)点坐标为
(2)
【分析】（1）设直线AB的解析式为，利用，可求出解析式，即可求出点C的坐标；
（2）根据，在抛物线上，即可求解．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为
把，代入得
解得：
所以直线解析式为
∵，
∴
点坐标为
（2）解：∵，在抛物线上
∴代入得
解得，
∴抛物线解析式为
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的解析式．掌握“待定系数法”是解题关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）首先表示出菱形对角线的长，再利用菱形面积求法得出答案；
（2）根据二次函数的值为600求出对角线长，结合菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：一条对角线的长为，则另一对角线长为：，
则；
（2）依题意得：，
解得：，，
即菱形风筝的对角线为、，
因为菱形对角线互相垂直平分，
所以菱形的边长为：．
当菱形风筝面积为时，菱形风筝的边长是.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意结合菱形的性质得出与之间的关系式是解题关键．
24．(1)
(2)3
【分析】（1）设顶点式，然后把C点坐标代入求出a即可．
（2）作轴于点D，先确定B点坐标，然后根据进行计算．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把点代入得，
解得，所以抛物线解析式为；
（2）当时，，则点B的坐标为，
作轴于点D，如图，

∵，，，，
∴
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质再利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．
25．(1)；
(2)销售第10天时，利润最大，最大利润为3200元．
【分析】（1）依据题意易得出销售价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）先根据题意求出每天的销售量与x的关系式，再根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润W（元）与时间x（天）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【详解】（1）解：依题意，当时，设，
则，
解得，
∴；
当时，．
∴售价y与销售时间x的函数关系式为；
（2）解：设小龙虾每天的销售量为p千克，利润为W元，
根据题意得：，
①当时，
，
∵，
∴时，；
②当时，，
∵，
∴当时，，
∵，
∴销售第10天时，利润最大，最大利润为3200元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄清题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
26．(1)抛物线的顶点的坐标是；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）由（1）知，，则．则利用根与系数的关系求得方程的两个根是，．从而求得抛物线与轴的交点；
（3）根据点和都在抛物线上知，即，求函数表达式即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，
．
把，代入上式，得．
解得．
．
抛物线的顶点的坐标是；
（2）解：由（1）知，，则．
则抛物线．
方程的两个根是，．
，
抛物线与轴的另一个公共点的坐标是；
（3）解：∵在抛物线上，由（2）知也在抛物线上，
，即，
，
①．
由得到顶点的坐标是．
把点代入直线解析式得：．
．
把代入，得．②
联立①、②并求解得：，或，．
．
，．
抛物线表达式为：．
．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．
27．(1)，，，；
(2)
(3)或或或．
【分析】（1）待定系数法求k，m，a，b的值；
（2）由求出Q点坐标，再利用将军饮马模型求线段的最小值；
（3）不确定直角三角形的直角顶点，所以分三类讨论，利用勾股定理建立方程求出P点坐标．
【详解】（1）∵直线过点和点，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线过点和点，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，，，；
（2）过点Q作轴，垂足为N，作关于y轴的对称点，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）存在点P，使是直角三角形，P点坐标为或或或．理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设P点坐标为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴P点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，将军饮马模型，直角坐标系中的直角三角形问题，渗透了数形结合和分类思想，题型常规，难度不大．