浙教版七上第1章有理数专题1.3 绝对值的化简（解析版）

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专题1.3 绝对值的化简
绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。
【知识点梳理】
1.绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|
2.绝对值的意义
①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简：
类型一、利用数轴化简绝对值
例1．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知OA＝OB，求|a+b|++|a-1|的值．
例2．若用A、B、C分别表示有理数a、b、c，0为原点如图所示．已知a＜c＜0，b>0．
（1）化简|a-c|+|b-a|-|c-a|；
（2）|-a+b|-|-c-b|+|-a+c|
【变式训练1】有理数，，在数轴上的位置如图所示，且．
（1）填空：；．（用“”或“”或“”填空）
（2）化简代数式：．
【变式训练2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）判断正负，用“>”或“<”填空： ， ， ．
（2）化简：
【变式训练3】有理数，在数轴上的对应点如图所示：
（1）填空：______0；______0；______0；（填“＜”、“＞”或“＝”）
（2）化简：
类型二、利用几何意义化简绝对值
例1.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5-（-2）|=________；
（2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x=________；
（3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【变式训练1】数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______；数轴上表示1和的两点之间的距离是_______．
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为_______；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_______．
（3）若x表示一个有理数，则的最小值________．
（4）若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和为________．
（5）若x表示一个有理数，当x为______，式子有最小值为________．
【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为　 　，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为　 　．
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当a＝　 　时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　．
课后训练
1．有理数a、b、c在数轴上位置如图，求．
2．已知实数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简：|a|-|a-b|+|c-b|+|b-c|．
3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简求的值．
4．如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“＜”将a，b，c连接起来．
（2）c－b_____0， c－a______0（填“＜”“＞”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|．
5．（问题提出）的最小值是多少？
（阅读理解）
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
（2）如图②，在1，2之间（包括在1，2上），看出到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
（问题解决）
（1）的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ．
（2）请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出为 ．
（3）的最小值为 ．
（4）的最小值为 ．
（拓展应用）
如图，已知使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出的取值范围是 ．
专题1.3 绝对值的化简
绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。
【知识点梳理】
1.绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|
2.绝对值的意义
①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简：
类型一、利用数轴化简绝对值
例1．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知OA＝OB，求|a+b|++|a-1|的值．
【答案】
【分析】由数轴可知：，由此可得，，再由OA＝OB，可得，，由此代入代数式化简即可求得答案．
【详解】解：由数轴可知：，∴，，
，∴，，．答：的值为．
例2．若用A、B、C分别表示有理数a、b、c，0为原点如图所示．已知a＜c＜0，b>0．
（1）化简|a-c|+|b-a|-|c-a|；
（2）|-a+b|-|-c-b|+|-a+c|
【答案】（1）b-a；（2）-2a+2b+2c
【分析】（1）利用数轴结合绝对值的性质，进而化简得出即可；
（2）利用数轴结合绝对值的性质，进而化简得出即可．
【详解】解：（1）∵a＜c＜0，b＞0，∴a-c＜0，b-a＞0，c-a＞0，
∴|a-c|+|b-a|-|c-a|=c-a+b-a-（c-a）=c-a+b-a-c+a=b-a；
（2）∵a＜c＜0，b＞0，∴-a+b＞0，-c-b＞0，-a+c＞0
∴|-a+b|-|-c-b|+|-a+c|=-a+b+c+b+c-a=-2a+2b+2c．
【变式训练1】有理数，，在数轴上的位置如图所示，且．
（1）填空：；．（用“”或“”或“”填空）
（2）化简代数式：．
【答案】（1）＞，＜；（2）﹣c
【分析】（1）根据数轴可得c＜a＜0＜b，由此即可求解；
（2）根据数轴可得：a﹣c＞0，a﹣b＜0，b＞0，2a＜0，由此化简即可．
【详解】（1）由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴ac＞0，
∵|a|＞|b|，a＜0＜b，∴a+b＜0，故答案为：＞，＜；
（2）由数轴可知：a﹣c＞0，a﹣b＜0，b＞0，2a＜0，
∴|a﹣c|﹣|a﹣b|+|b|+|2a|＝a﹣c﹣（b﹣a）+b﹣2a＝a﹣c﹣b+a+b﹣2a＝﹣c．
【变式训练2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）判断正负，用“>”或“<”填空： ， ， ．
（2）化简：
【答案】（1）＜，＜，＞；（2）2c-2b-2a
【分析】（1）根据数轴确定出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可；
（2）根据b c＜0，a＋b＜0， a＋c＞0，即可化简绝对值．
【详解】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，
（1）b c＜0，a＋b＜0， a＋c＞0；故答案为：＜，＜，＞；
（2）＝c b a-b-a+c=2c-2b-2a．
【变式训练3】有理数，在数轴上的对应点如图所示：
（1）填空：______0；______0；______0；（填“＜”、“＞”或“＝”）
（2）化简：
【答案】（1）<，<，>；（2）
【分析】（1）根据数轴得出，再求出即可；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）从数轴可知：，，故答案为：<，<，>；
（2），
．
类型二、利用几何意义化简绝对值
例1.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5-（-2）|=________；
（2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x=________；
（3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）7；（2）；（3）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；（4）有最小值，最小值为3．
【分析】（1）先去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值即可；
（2）根据题意可得x所对点为-1008和1005所对点的中点，即可判断x+1008和x-1005的符号，按照去绝对值的方法去绝对值即可得答案；
（3）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值；
（4）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论出最小值．
【详解】（1）|5-（-2）|==7，故答案为：7
（2）∵|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，
∴x所对点为-1008和1005所对点的中点，∴x+1008＞0，x-1005＜0，
∵|x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-（x-1005），解得：，答案为：
（3）当x+5=0时，x=-5，当x-2=0时，x=2，
当x＜-5时，|x+5|+|x-2|=-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5（范围内不成立，舍去）
当-5≤x＜2时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7，
∵x为整数，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1
当x≥2时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）+（x-2）=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2，
综上所述：符合条件的整数为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，
故答案为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2
（4）∵|x-3|+|x-6|表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和，
∴由（2）得3≤x≤6时|x-3|+|x-6|的值最小，
∴|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3．
【变式训练1】数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______；数轴上表示1和的两点之间的距离是_______．
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为_______；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_______．
（3）若x表示一个有理数，则的最小值________．
（4）若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和为________．
（5）若x表示一个有理数，当x为______，式子有最小值为________．
【答案】（1）4，5；（2），；（3）5；（4）或0或1或2或3；（5）3，6．
【分析】（1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；
（2）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；
（3）根据绝对值几何意义即可得出结论．（4）分情况讨论计算即可得出结论；
（5）表示数轴上某点到表示、3、4三点的距离之和，依此即可求解．
【详解】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是，
数轴上表示1和的两点之间的距离是．故答案为：4，5；
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为；
数轴上表示和的两点之间的距离表示为；故答案为：，；
（3）根据绝对值的定义有：可表示为点到1与两点距离之和，根据几何意义分析可知：
当在与1之间时，的最小值为5．故答案为：5；
（4）当时，，解得：，此时不符合，舍去；
当时，，此时或，，，；
当时，，解得：，此时不符合，舍去．
故答案为：或0或1或2或3；
（5）式子可看作是数轴上表示的点到、3、4三点的距离之和，
当为3时，有最小值，
的最小值．故答案为：3，6．
【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为　 　，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为　 　．
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当a＝　 　时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　．
【答案】（1）3，5，|x-5|，|y+1|；（2）1或-5；|a+4|+|a-2|=6；（3）1，9．
【分析】（1）观察数轴可得答案；
（2）如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么那么|a-（-2）|=3，化简绝对值即可得答案；|a+4|+|a-2|表示数a与-4的距离与a和2的距离之和，若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值等于2和-4之间的距离；
（3）|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离的和，据此找到中间点可解．
【详解】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是2-（-3）=5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m-n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为|x-5|，表示数y与-1两点之间的距离可以表示为|y+1|．
故答案为：3，5，|x-5|，|y+1|；
（2）如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么|a-（-2）|=3，
∴|a+2|=3，∴a+2=3或a+2=-3，解得a=1或a=-5；
∵|a+4|+|a-2|表示数a与-4的距离与a和2的距离之和，
若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值等于2和-4之间的距离，等于6．
即|a+4|+|a-2|=6，故答案为：1或-5；
（3）|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离的和，
∴当a=1时，该式的值最小，最小值为6+0+3=9．
∴当a=1时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是9．故答案为：1，9．
课后训练
1．有理数a、b、c在数轴上位置如图，求．
【答案】
【分析】根据数轴，判断出、、式子的符号，去绝对值，求解即可．
【详解】由题意可得：且
所以，，，
∴
2．已知实数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简：|a|-|a-b|+|c-b|+|b-c|．
【答案】2c-3b
【分析】根据三个数在数轴上的位置，可以确定这三个数的符号，从而可确定a-b、c-b、b-c的符号，因而可以去掉绝对值，最后合并同类项即可．
【详解】由题意得：a0，b-c<0，
原式=-a-b+a+c-b+c-b=2c-3b
3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简求的值．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简求值．
【详解】解：由数轴可得，a＜0＜b＜c，
∴==
【点睛】此题考查了数轴，以及绝对值，正确判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．
4．如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“＜”将a，b，c连接起来．
（2）c－b_____0， c－a______0（填“＜”“＞”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|．
【答案】（1）c＜a＜b；（2）＜，＜；（3）b-1
【分析】（1）由a，b，c在数轴上的位置可得a、b、c的大小关系；
（2）由a、b、c在数轴上的位置即可判断c﹣b，c﹣a的正负性，由此可得答案；
（3）由a，b，c在数轴上的位置即可判断a﹣1的正负性，再根据绝对值的性质化简绝对值即可．
【详解】（1）根据数轴上的点的位置可得：c＜a＜b；
（2）根据数轴上的点的位置可得：c＜b；c＜a，∴c－b＜0， c－a＜0，故答案为：＜；＜；
（3）根据数轴上的点的位置可得：a＞1，∴a－1＞0，
又∵c－b＜0， c－a＜0，∴|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1＝b﹣c﹣a+c+a﹣1＝b﹣1．
5．（问题提出）的最小值是多少？
（阅读理解）
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
（2）如图②，在1，2之间（包括在1，2上），看出到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
（问题解决）
（1）的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ．
（2）请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出为 ．
（3）的最小值为 ．
（4）的最小值为 ．
（拓展应用）
如图，已知使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出的取值范围是 ．
【答案】（1）a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和，3；（2）2，2；（3）6；（4）1021110；拓展应用 ．
【分析】（1）根据绝对值的几何意义结合数轴即可求解；
（2）由题意可得出，取中间值a=2时，求得最小值；
（3）由题意可得出，取中间值最中间数时，绝对值最小，求得最小值；
（4）由题意可得出，取中间值a= 1011时，求得最小值；
拓展应用
由已知得：，解出绝对值不等式即可在数轴上表示出a的取值范围．
【详解】（1）的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和；
当a在4和7之间时（包括4，7上），
可以看出a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3；
故答案为：a这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，最小值是3.
（2）当a取中间数2时，绝对值最小，的最小值是1+0+1=2；
如图所示：
故答案为：2，2；
（3）当a取最中间数时，绝对值最小，
的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，的最小值为：
1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010=；
拓展应用
∵a使它到-1，2的距离之和小于4，∴，
∴①当时，则有，解得：，∴；
②当 时，则有，∴，
③当时，则有，解得：，∴，
综上：，数轴上表示如下：
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