巧解一元二次方程的整数解竞赛题

巧解一元二次方程的整数解竞赛题
姓名___________
一.巧用分解因式法
例1.(1998年全国初中数学竞赛题)已知方程
(其中a是非负整数)至少有一个整数根,那么a=________
解：原方程可化为
方程左边分解因式，得 (ax-2a+3)(ax-a+5)=0
∴ x=2-,或x=1-
因原方程至少有一个整数根,故 a=3,5或1
例2.当为何整数时,关于的二次方程
的两根都为整数.
解:由 得
(x-2k)(x-k)=6
因 x,k为整数,所以原方程可化为
x-2k=±2 x-2k=±3 x-2k=±6 x-2k=±1
x-k=±3 x-k=±2 x-k=±1 x-k=±6
且与同号,故得八个方程组,解得k=-1,1,-5,5.
二.巧用主元分析法
例3.(1995年海淀区初三竞赛题)已知方程
的两个根都是整数,求m的整数值.
解: 原方程可化为关于的一次方程
因x,m都是整数,所以x+2=1或-1, 即 x=-1或x=-3
代入求得相应的m=1,5
故当m=1或m=5时,方程的两根均为整数.
例4.(第三届“祖冲之杯”初中数学竞赛题)求出所有这样的正整数a,使得关于x的方程
至少有一个整数根.
解：由
得
显然 x≠-2
则
因为a为正整数，所以
于是解得-4≤x≤2且x≠-2，这样x的可能值为-4，-3，-1，0，1，2；
代入检验得a=1，3，6，10。故当a=1，3，6，10时，方程至少有一个整数根。
三.巧用根与系数关系
例5．（2005年全国初中联赛试题）已知a为正整数a=b-2005，若关于x的方程
有正整数解，则a的最小值是____________.
解：设方程的两根为
则
∵ 中有一个为正整数，则另一个也必为正整数，不妨设
由上式有
解得 的最小值是95。
例6.(2002年全国初中联赛试题)试确定一切有理数r,使得关于x的方程
有根且只有整数根.
解：若r=0，则方程化为2x-1=0，解得x=不是整数。
若r≠0，设方程的两根为
则
解得
四.巧用判别式
例7.（2004年全国初中联赛试题）已知方程
的根都是整数，求整数n的值。
解：
∵方程的根都是整数
∴ 是完全平方数
设
即 (2n+8+k)(2n+8-k)=55=1×55=5×11=(-1)×(-55)=(-5)×(-11)
且 2n+8+k＞2n+8-k,
∴ 2n+8+k=55,11,-1,-5
2n+8-k=1,5,-55,-11
解得n=10,0,-18,-8.
例8.(1996年上海初中数学竞赛试题)若关于x的方程
至少有一个整数根,且a为整数,求a的值.
解:(1) 当a=0时,原方程化为-6x-2=0,无整数解.
(2)当a≠0时,方程为一元二次方程,由题意得
是一个完全平方数.
设9-4a=k(k为正奇数,k≠3),则
于是
要使x为整数,而k为正奇数,只能k=1,此时a=2.
要使x为整数,而k为正奇数,只能k=1,5,7.
当k=5时,a=-4; 当k=7时,a=-10.
综上所述,a的值为2,-4,-10.
练习：
1.(第13届江苏省初中数学竞赛试题)求满足如下条件的所有k值,使关于x的方程
的根都是整数.
解:(1)当k=0时,方程化为x-1=0,有整数根x=1;
(2)当k≠0时,设方程的两整数根为x,x,则
,
两式相减,得
即
∴
∴
综上所述,满足要求的k值为0,-,1.
2.（1996年黄冈市初中数学竞赛题）求使关于x的方程
有整数根的所有整数a.
解:(1) 当x=-1时,方程化为-2x-8=0,有整数根x=-4
(2) 当a=≠-1时,设方程的两整数根为x,x则
故 a+1=±1,±2,即a=0,1,-2,-3
综上所述,当a=-1,0,1时,方程有整数根.
3.（1998年上海市初中数学竞赛题）设a为整数，若存在整数b和c，
使(x+a)(x-1)-25=(x+b)(x+c)，求a可能的值。
解：由已知等式，得
∵b，c对任意x都成立
∴ a-15=b+c
Bc=-15a-25
∴b，c是关于y的方程 的两个根。
于是，问题转化为关于y的一元二次方程有两个整数根时求整数a的值。
设此方程两个整数根为α，β（α≥β），则
α+β=a-15
α·β=-15a-25
消去a，得α·β+15α+15β=-250，
∴α·β+15α+15β+225=-25，
即 (α+15)(β+15)=-25=1×(-25)=5×(-5)=25×(-1)
∴ α+15=1,5,25
β+15=-25,-5,-1
∴ α+β=-54,-30,-6.
于是a=(α+β)+15=-39,-15,9.
4.(第二届《学习报》初中数学公开赛试题)设方程
有两个不同的奇数根,求整数m的值.
解:设方程的两个奇数根为α,β,不妨令α＞β,
则 α+β=-m-6
α·β=m-3
两式相加,得α·β+α+β=-9,
即α·β+α+β+1=-8
∴(α+1)(β+1)=-8
又∵α＞β
∴ α+1=1 (1) α+1=2 (2) α+1=4 (3) α+1=8 (4)
β+1=-8 β+1=-4 β+1= -2 β+1= -1
(1,)(4)的解不符合要求
(2)的解是 α=1 (3)的解是 α=3
β= -5 β= -3
∴ m-3=-5或m-3=-9
故 m=-2或m=-6
5.(1993年全国初中数学竞赛题)已知方程 (m是整数)
有两个不等正整数根,求m的值.
解:设方程的两个不等正整数根为α,β(α＜β),
则 α+β= -m
α·β= -m+1
两式相减,得α·β-α-β=1, 即 (α-1)(β-1)=2
∴ α-1=1 α-1=-2
β-1=2 β-1=-1
解得 α=2 α=-1 (不合,舍去)
β=3 β=0
故 m= -(α+β)=-5.
6. 已知方程 的两根都是整数,试求整数的值.
解:原方程可化为
∵ x和a都是整数,
∴ x= -2,-8,0,6
此时 a=16或0
但a≠0,故a=16.
7. 已知方程 有两个整数根,试求a的值.
解:设方程的两个整数根为 α,β(α≤β)
则 α+β= a+8
α·β= 8a-1
消去a ,得αβ-8α-8β= -65, 即αβ-8α-8β+64= -1
∴(α-8)(β-8)= -1
∴ α-8= -1
β-8=1
解得α=7,β=9
于是 a+8=16
故 a=8
8.已知a，b为正整数，且满足
求a，b的值。
解:∵
∴设a+b=4k,
则
∴ a,b是方程 的两个正整数根.
于是
解得 0≤k≤
又k为正整数, ∴k=1,2,3,4.
经检验知,当k=1,2,3时,△均不为完全平方数,故不符合题意,舍去
当k=4时,△=16,构造的方程 有正整数根x=6,x=10.
故a=6,b=10或a=10,b=6.