（培优卷）1.1 锐角三角函数-2023-2024年浙教版数学九年级下册

（培优卷）1.1 锐角三角函数-2023-2024年浙教版数学九年级下册
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·枣庄模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点B作，连接．
由网格和勾股定理可求得；
∴
∴是直角三角形．
在中，．
∵，
∴．
∴．
故答案为：C．
【分析】连接AM，BM，由等腰直角三角形的性质推出BM∥DC，得到∠MBA＝∠APD，求sin∠ABM即可．
2．（2021九上·单县期中）如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（　　）
A．7km B．14km C．7km D．14km
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，
由题意得，∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠AMB，
∴∠AMB＝∠NBM＝45°，
∴BN＝MN，
∵AB＝28×0.5＝14km，
∴BN＝＝7km，
∴BM＝ NB＝7（km）．
故答案为：A．
【分析】过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，先求出∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，再结合AB＝28×0.5＝14km，利用含30°角的直角三角形的性质可得BN＝＝7km，最后求出BM＝ NB＝7（km）即可。
3．（2021九上·永年期中）下列计算错误的有（　　）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：① ， ，故左右不相等，不符合题意；
② ，符合题意；③ ，不符合题意；④ ，不符合题意．
错误的有3个，
故答案为：C
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
4．（2020九上·青山期末）下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A． ，所以A符合题意；
B． ，所以B不符合题意；
C． ，所以C不符合题意；
D． ，所以D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据特殊角的三角函数值依次进行计算判断即可．
5．（2020·海淀模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（　　）
A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．
∵sinα= ，cosα= ，OP＞PM，
∴sinα＜cosα，
同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，
如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．
∵sinα= ，cosα= ，OJ＜MJ，
∴sinα＞cosα，
同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，
故答案为：D．
【分析】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．根据正弦函数，余弦函数的定义判断 sinα，cosα 的大小，如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．判断 sinα，cosα 的大小即可。
6．（2019·邵阳模拟）已知：a为锐角，且 =1则tana的值等于（　　）
A．-1 B．2 C．3 D．2.5
【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵ =1 ，
∴5sina-3cosa=3sina+2cosa，
∴2
sina=5cosa，
∴，
∵tana=，
∴tana=
.
故答案为：D.
【分析】根据等式性质可求出2sina=5cosa，即得
.由tana=即得.
7．（2020九上·浙江期末）以下说法正确的是（　　）
A．存在锐角 ，使得sin +cos >1
B．已知∠A为Rt△ABC的一个内角，且∠A<45°，则sinAC．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B为Rt△ABC的两个内角，则sinA不一定等于cosB
D．存在锐角 ，使得sin ≥tan
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：A、因为对于任意角， sin +cos =1，不符合题意；
B、当∠A小于45°时，有 sinAC、∵sinA=cos(90°-A)=cosB，不符合题意；
D、sin -tan =sin(1-), 01, ∴sin(1-)<0,
即 sin 故答案为：B.
【分析】根据公式sin +cos =1即可判断A项错误；当∠A小于45°时，恒有 sinA8．（2019九上·长兴期末）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（　　）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
9．（2021九上·广饶期末）如图，在边长为的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接、，如图：
∵由图可知：
∴，
∴
∵小正方形的边长为
∴在中，，
∴
∴．
故答案为：B
【分析】先求出，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
10．（2021·婺城模拟）如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（　　）
A． B．75sin80° C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵E、G是AB的三等分点，
∴AE=EG=GB=，
∴AE：EG：GB=1：1：1，
∵ AC∥EF∥GH，
∴，
∴CF=FH，
过E点作ME⊥GH于M，
∵EF∥GH，
∴EM即为EF与GH之间的距离，
在Rt△EMG中，
sin∠EGM=，
∵∠EGM=∠EGH=80°，
且EF与GH之间的距离为25cm，
∴EM=25cm，
∴sin∠EGM=sin80°=，
∴EG==（cm），
∵EG=AB，
∴AB=3EG=3×=（cm），
故答案为：C.
【分析】 利用E、G是AB的三等分点，可得到AE：EG：GB=1：1：1，利用平行线分线等成比列定理可证得CF=FH，过E点作ME⊥GH于M，可推出EM即为EF与GH之间的距离；在Rt△EMG中，利用锐角三角函数的定义可证得sin∠EGM=，根据EF与GH之间的距离可得到EM的长，利用解直角三角形可求出EG的长；然后根据AB=3EG，可求出AB的长.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·歙县模拟）△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝4，，AB＝8，则　 　．
【答案】105°或15°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1，
∵AD是BC边上的高，
∴，
在中，AD＝4，AB＝8，
∴，
∴，
在中，AD＝4，
∴，
∴，
∴，
②当△ABC为钝角三角形时，如图2，
∵AD是BC边上的高，
∴，
在中，AD＝4，AB＝8，
∴，
∴，
在中，AD＝4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或
【分析】分类讨论 △ABC 是锐角三角形和钝角三角形的情况，画出相关图像，根据已知的线段长度求三角函数，根据特殊角的三角函数值得到∠BAC
12．（2021九上·东区期中）已知：0°＜α＜90°，0°＜β＜90°且sinα＝，tanβ＝，则cos（β﹣α）＝　 　．
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°且sinα＝，tanβ＝
∴α=30°，β=60°
∴
故答案为：
【分析】利用特殊角三角函数值进行解答即可.
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB= ，则tanA=　 　，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积　 　．
【答案】；96
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设c=5k，a=3k．
由勾股定理得：b= = =4k．
∴tanA= = ．
∵△ABC的周长为48，
∴5k+3k+4k=48．
解得：k=4．
∴3k=3×4=12，4k=4×4=16．
∴△ABC的面积= =96．
故答案为： ；96．
【分析】设c=5k，a=3k，由勾股定理可求得b=4k，可求得tanA= ，接下来利用三角形的周长为48可求得两直角边的长，最后即可求得△ABC的面积．
14．（2020九上·抚州期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos∠BOD＝　 　．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，如图所示．
∵点C为AF的中点，点E为BF的中点，
∴ ，
∴∠BOD＝∠DCE，
在△DCE中，DC＝ ，DE＝2 ，CE＝ ，
∵DC2＝CE2＋DE2，
∴∠DEC＝90°，
∴cos∠DCE＝ ＝
∴cos∠BOD＝
故答案为 ．
【分析】设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，先利用勾股定理求出DC、DE、CE的长，再利用勾股定理逆定理证明出∠DEC＝90°，最后利用余弦的定义求解即可。
15．（2020九上·沈河期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，点E，F在边AB上，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是 时，△DEF腰长的值是　 　．
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵点D是边AC的中点，
∴AD＝ AC＝2，作DM⊥AB于M，如图1所示：
∵sinA＝ ＝ ，
即 ＝ ，
∴DM＝ ，
分三种情况：
①当DE＝DF时，
∵tan∠DFE＝ ＝ ，
∴FM＝ DM＝ × ＝ ，
∴DE＝DF＝ ＝ ＝ ；
②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，如图2所示：
由①得：DM＝ ，FM＝ ，DF＝ ；
∵EN⊥DF，∴FN＝DN＝ DF＝ ，
∵tan∠EFD＝ ＝ ，
∴EN＝ FN＝ ，
∴ED＝EF＝ ＝ ；
③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G，如图3所示：
则EG＝DG，
同①得：EM＝ ，DE＝ ，
∴EG＝ ，
∵tan∠DEF＝ ＝ ，
∴GF＝ EG＝ ，
∴EF＝ ＝ ；
综上所述，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是 时，△DEF腰长的值是 或 ；
故答案为： 或 ．
【分析】由勾股定理得出AB＝ ＝5，作DM⊥AB于M，由三角函数得出DM＝ ，分三种情况：①当DE＝DF时，②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G；由等腰三角形的性质、三角函数定义和勾股定理即可得出答案．
16．（2020·珠海模拟）如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则 ＝　 　．
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是120，小正方形面积是20，
∴大正方形的边长为2 ，小正方形的边长为2 ，
∴2 cosθ﹣2 sinθ＝2 ，
∴cosθ﹣sinθ＝ ，
∴（sinθ﹣cosθ）2＝ ，
∴sin2θ﹣2sinθ cosθ+cos2θ＝ ，
∴1﹣2sinθ cosθ＝ ，
∴sinθ cosθ＝ ．
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为2 ，小正方形的边长为2 ，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
三、综合题（共8题，共72分）
17．（2023九下·宁波月考）如图，半圆中，直径，点为弧的中点，点在弧上，连结并延长交的延长线于点，连结交于点，连结.
（1）求证：.
（2）若点为中点，求的长.
（3）①面积与面积的差是定值吗？如果是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
②若，求的长.
【答案】（1）证明：点C为弧AB的中点，
，
，
又，
（2）解：直径，，，
，，
为的中点，
，
由（1）知，
，
即，
，
，
（3）解：①面积与面积的差是定值，理由如下：
在（2）中有：，
，
，
又，
，
，
，
故面积与面积的差为定值；
②，
设，则，
由①知，
，
解得或，
，，
当时，，
当时，，
或.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等得∠ADC=∠CAB，又∠ACD=∠ECA，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DCA∽△ACE；
（2）根据垂径定理得CO⊥AB，由等腰直角三角形的性质得AC的长，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD，从而得出CE的长，由勾股定理算出OE，本题就可得解了；
（3）① △ACE面积与△AEF面积的差是定值，理由如下： 判断出△ACF∽△EAC，由相似三角形对应边成比例得 ， 进而根据 并结合AC的长度即可得出结论；②由正切函数的定义可设OF=a，则OE=6a， 由①知AE×CF=8，可的（2+6a）（2-a）=8，求解得出a的值，根据勾股定理分两种情况求出AF的长.
18．（2023九下·杭州月考）如图：
图1 图2
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝1，BD＝，求BC的长；
②试探究是否为定值．如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1 S3＝S22，求cos∠CBD的值．
【答案】（1）解：①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∴CD＝BD＝ ，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，
∴CE＝DE＝1，
∴△CED∽△CDB，
∴，即
∴BC＝ ；
② 是定值，理由如下：
∵DE∥AC，
∴ ，
同①可得，CE＝DE，
∴ ，
∴ ＝1，
∴是定值1；
（2）解：∵DE∥AC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵S1 S3＝ S22，
∴ ，
设BC＝9x，则CE＝16x，
∵CD平分∠BCF，
∴∠ECD＝∠FCD＝ ∠BCF，
∵∠BCF＝2∠CBG，
∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，
∴CE＝DE，
∵∠DCB＝∠ECD，
∴△CDB∽△CED，
∴ ，
∴CD2＝CB CE＝144x2，
∴CD＝12x，
过点D作DH⊥BC于点H，
∵BD＝CD＝12x，
∴BH＝ BC＝ x，
∴ ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义及已知得∠ACD＝∠DCB＝∠B，由等角对等边得CD＝BD＝ ，由角平分线的定义及平行线的性质得∠EDC＝∠DCB＝∠B，由等角对等边得CE＝DE＝1，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CED∽△CDB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC；
② 是定值，理由如下：由平行线分线段成比例定理得，同①可得，CE＝DE，推出，从而即可求出结论；
（2）首先证出，由题意得，设BC＝9x，则CE＝16x，证出△CDB∽△CED，得，求出CD＝12x，过点D作DH⊥BC于点H，则BH＝ BC＝ x，进而根据余弦函数的定义即可求出答案.
19．（2023九下·瑞安开学考）如图，周长为22的矩形ABCD内接于⊙O，点E，F分别在边CD，BC上，AE平分∠FAD，EG∥AD，交AF于点G，延长AF交⊙O于点M，连结BM，tanM＝.
（1）求AB，AD的长.
（2）记DE＝x，GE＝y，求y关于x的函数表达式.
（3）①连结EF，当∠GEF＝∠GFE时，求OG+OE长.
②当点D关于直线AE的对称点D′恰好落在⊙O上时，求的值.
【答案】（1）解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°.
∵∠ACB＝∠M，tanM＝ ，
∴tan∠ACB＝ .
在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB＝ ，
∴ .
设AB＝4k，则BC＝7k.
∵矩形ABCD的周长为22，
∴2×（4k+7k）＝22，
∴k＝1，
∴AB＝4，AD＝BC＝7；
（2）解：过点G作GH⊥AD于点H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°.
∵EG∥AD，
∴∠GED+∠D＝180°，
∴∠GED＝90°，
∵GH⊥AD，
∴四边形GEDH为矩形，
∴GH＝DE＝x，DH＝GE＝y，
∴AH＝AD﹣DH＝7﹣y.
∵AE平分∠FAD，
∴∠GAE＝∠DAE，
∵EG∥AD，
∴∠DAE＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠GEA，
∴GA＝GE＝y，
在Rt△AGH中，由勾股定理得：
AH2+GH2＝AG2，
∴（7﹣y）2+x2＝y2，
∴y＝
（3）解：①如图，
∵∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF.
由（2）知：GA＝GE，
∴GA＝GF，
∵AD∥GE∥BC，
∴DE＝EC＝ CD＝2，
∴GE垂直平分DC，
∴GE经过圆心O，
∴OG+OE＝GE＝y.
∵此时x＝DE＝2，
∴OG+OE＝y＝
②∵点D关于直线AE的对称点D′恰好落在⊙O上，
∴AE所在的直线经过圆心O，
∵AC为圆的直径，点E在CD上，
∴AE与AC重合，
∴点E与点C重合，
∴DE＝DC＝4，
此时x＝DE＝4，
∴GE＝y＝
∴ .
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；圆周角定理；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接AC，根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，由圆周角定理可得∠ACB＝∠M，结合三角函数的概念可设AB＝4k，则BC＝7k，结合周长的意义可得2×(4k+7k)＝22，求出k的值，进而可得AB、AD的长；
（2）过点G作GH⊥AD于点H，由矩形的性质得∠D＝90°，根据平行线的性质得∠GED=∠D＝90°，推出四边形GEDH为矩形，得到GH＝DE＝x，DH＝GE＝y，则AH＝AD-DH＝7-y，由角平分线的概念可得∠GAE＝∠DAE，根据平行线的性质可得∠DAE＝∠GEA，进而推出GA＝GE＝y，然后在Rt△AGH中，由勾股定理就可得到y与x的关系式；
（3）①根据已知条件可知∠GEF＝∠GFE，则GE＝GF，由（2）知：GA＝GE，则GA＝GF，根据平行线分线段成比例的性质可得DE＝EC＝CD＝2，由题意可得GE经过圆心O，则OG+OE＝GE＝y，此时x＝DE＝2，据此求解；
②由题意可得：AE所在的直线经过圆心O，点E与点C重合，则DE＝DC＝4，此时x＝DE＝4，求出GE的值，据此求解.
20．（2023九上·慈溪期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交拋物线于点P，过点P作于点M.
（1）求a的值及.
（2）求的最大值.
（3）设的面积为，的面积为，若，求此时m的值.
【答案】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ .
∴ .
故 ，
（2）解：由点 ， 可得，直线 的表达式为 .
由（1）知， ，
则抛物线的表达式为 .
∵ ，
∴ ， ，
∴ .
∵ ，且 ，
∴当 时， 有最大值，为3.
（3）解：∵ ， ，
∴ .
又∵ ，∴ ，
∵ 的面积为 ， 的面积为 ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
由（2）可知 ，
∴ ，
解得 ， （不符合题意，舍去）.
故此时m的值为2.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标可得OA=4，令x=0，求出y的值，可得点B的坐标，将A（4，0）代入可求出a的值，由点B的坐标可得OB的值，利用勾股定理可求出AB的值，然后根据三角函数的概念可求出cos∠BAO的值；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据a的值可得二次函数的解析式，则E（m，0），P（m，m2+m+3），N（m，m+3），表示出PN，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）证明△PNM∽△ANE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，根据三角函数的概念表示出AN，由（2）可知PN=m2+3m，据此求解.
21．（2022九上·滨江期末）如图，在锐角三角形中，，以为直径的分别交于点，连接.
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若半径为，，求四边形的面积（用含的代数式表示）.
【答案】（1）解：如图，连接.
是直径，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）证明：设.
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
.
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BE，由圆周角定理可得∠BEC=90°，则∠AEB=90°，由余角的性质可得∠ABE=90°-∠BAC=40°，由圆周角定理可得∠DOE=2∠DBE，据此求解；
（2）设∠BAC=2α，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=90°-α，则∠CBE=α，同理可得∠OBD=∠ODB=90°-α，∠BOD=2α，由圆周角定理可得∠BED=∠BOD=α，推出∠CBE=∠BED，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）由等腰三角形的性质可得AO⊥BC，根据三角函数的概念可得tan∠ABC的值，结合OB的值可得OA，根据∠C的正切函数值可得EC，由AE=AC-EC可得AE，根据平行线分线段成比例的性质可得DE，然后根据对角线垂直的四边形的面积为其对角线乘积的一半进行计算.
22．（2021九上·鄞州月考）如图1，四边形 内接于 ， 为直径， 上存在点E，满足 ，连结 并延长交 的延长线于点F， 与 交于点G.
（1）若 ，请用含 的代数式表列 .
（2）如图2，连结 .求证； .
（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， .
①若 ，求 的周长.
②求 的最小值.
【答案】（1）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，∠BAD=90°，
∴ ，∠ABE=∠DBC
∵∠AGB=90°-∠ABE，∠BDC=90°-∠DBC
∴ ，
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①如图，连结 .
∵ 为 的直径，
∴ .
在 中， ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长为 .
②如图，过点C作 于H.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
设 ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
当 时， 的最小值为3，
∴ 的最小值为 .
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】（2）
【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°可得∠BAD=90°，根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABG=∠DBC=α，据此求解；
（2）由直径所对的圆周角等于90°得∠BCD=90°，∠BAD=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得∠BEC=∠BDC，∠ABE=∠DBC，推出∠BEC=∠AGB，结合邻补角的性质可得∠CEF=∠BGD，证明△CFE≌△BDG，据此可得结论；
（3）①连接DE，由圆周角定理可得∠A=∠BED=90°，根据三角函数的概念可得AB的值，由弧、弦的关系可得AD=CE，然后根据∠AGB的正弦函数可得AG，进而求出EF、EG，由勾股定理求出DF，据此求解；
②过点C作CH⊥BF于点H，由全等三角形的性质可得BD=CF，∠CFH=∠BDA，证明△BAD≌△CHF，得到FH=AD，由同角的余角相等可得∠HCF=∠HBC，证明△BHC∽△CHF，设GH=x，则BH=2-x，CH2=2(2-x)，在Rt△GHC中，由勾股定理可得CG2，然后利用二次函数的性质可得最小值.
23．（2021九上·宁波月考）定义：有两边之比为 的三角形叫做智慧三角形.
（1）如图1，在智慧三角形 中， 为 边上的中线，求 的值；
（2）如图2， 是⊙O的内接三角形， 为直径，过 的中点 作 交线段 于点 ，交⊙O于点 ，连结 交 于点 .
①求证： 是智慧三角形；
②设 ，若⊙O的半径为 ，求 关于 的函数表达式；
（3）如图3，在（2）的条件下，当 时，求 的余弦值.
【答案】（1）解： 是 的中线，
（2）①证明：如图，连结 ，设
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，即
是智慧三角形.
②解：如图，过点 作 交 于点 ，
，
在 中， ，
在 中，
即
（3）解：如图，过点 作 交 于点 ，
，
，
设 ，则 ，
由（2）可得， ，
，
，
，
，
，
在 中，
即 .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据中线的概念可得BD=，则 ，然后利用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出△ABD∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例即可解决问题；
（2）①连接OE，设∠ABE=α，根据圆周角定理可得∠AOE=2α，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAE=90°-α，证明△ADE∽△AEB，根据中点的概念可得AD=AB，结合相似三角形的性质可得AB=AE，据此证明；
②过点O作OH⊥AE交AE于点H，根据等腰三角形的性质可得∠EOH=∠EOA，AE=2EH，根据三角函数的概念可得EH=2x，则AE=2EH=4x，AF=4x2，然后根据OF=OA-AF就可得到y与x的关系式；
（3）过点G作GI∥AB交DE于点I，易证△FGI∽△FAD，△EIG∽△EDB，设EG=3a，则BE=5a，由（2）可得△ADE∽△AEB，由相似三角形的性质可得DE，进而得到EI、DI、IF、EF，然后根据三角函数的概念进行求解.
24．（2021九上·衢江期末）在△ABC中，∠ABC=90°，N是AB延长线上一点，点M在BC上.
（1）【基础巩固】
如图1，若AB=BC，CN⊥AM，求证：BM=BN；
（2）【变式探究】
如图2，若AB=BC，过点B作BP⊥AM于点P，连接CP并延长交AB于点Q.
求证：；
（3）【拓展提高】
如图3，设=k（k≠1），M是BC的中点，过点B作BP⊥AM于点P，连接CP并延长交AB于点Q.求tan∠BPQ的值（用含k的式子表示）.
【答案】（1）证明：∵CN⊥AM，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠BCN=∠MAB，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM=BN；
（2）证明：如图，作CH∥AB交BP的延长线于H，
∵BP⊥AM，
∴∠BPM=∠ABM=90°，
∵∠BAM+∠AMB=90°，∠CBH+∠BMP=90°，
∴∠BAM=∠CBH，
∵CH∥AB，
∴∠HCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM=∠BCH=90°，
∵AB=BC，
∴△ABM≌△BCH（ASA），
∴BM=CH，
∵CH∥BQ，
∴；
（3）解：如图，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N，
设BC=2m，则AB=2mk，
由（2）知∠CBN=∠BAM，
∵点M为BC的中点，
∴，
∴tan∠BAM =
∴tan∠CBN=，
∵CN⊥BH，BP⊥AM
∴PM∥CN，
∵点M为BC的中点，
∴P为BN中点，即PN=PB，
∴tan∠BPQ=.
【知识点】平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由题意用角边角可证△ABM≌△CBN，根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）作CH∥AB交BP的延长线于H，由同角的余角相等可得∠BAM=∠CBH，结合已知用角边角可证△ABM≌△BCH，根据全等三角形的对应边相等可得BM=CH，然后由平行线分线段成比例定理可得；
（3）作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N，由（2）知∠CBN=∠BAM，由线段中点定义可得BM=BC，然后由锐角三角函数得tan∠BAM==tan∠CBN，由平行线等分线段定理可得P为BN的中点，则PN=PB，于是tan∠BPQ=.
1 / 1（培优卷）1.1 锐角三角函数-2023-2024年浙教版数学九年级下册
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·枣庄模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021九上·单县期中）如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（　　）
A．7km B．14km C．7km D．14km
3．（2021九上·永年期中）下列计算错误的有（　　）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020九上·青山期末）下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020·海淀模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（　　）
A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
6．（2019·邵阳模拟）已知：a为锐角，且 =1则tana的值等于（　　）
A．-1 B．2 C．3 D．2.5
7．（2020九上·浙江期末）以下说法正确的是（　　）
A．存在锐角 ，使得sin +cos >1
B．已知∠A为Rt△ABC的一个内角，且∠A<45°，则sinAC．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B为Rt△ABC的两个内角，则sinA不一定等于cosB
D．存在锐角 ，使得sin ≥tan
8．（2019九上·长兴期末）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（　　）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
9．（2021九上·广饶期末）如图，在边长为的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则（　　）
A． B． C． D．2
10．（2021·婺城模拟）如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（　　）
A． B．75sin80° C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·歙县模拟）△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝4，，AB＝8，则　 　．
12．（2021九上·东区期中）已知：0°＜α＜90°，0°＜β＜90°且sinα＝，tanβ＝，则cos（β﹣α）＝　 　．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB= ，则tanA=　 　，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积　 　．
14．（2020九上·抚州期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos∠BOD＝　 　．
15．（2020九上·沈河期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，点E，F在边AB上，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是 时，△DEF腰长的值是　 　．
16．（2020·珠海模拟）如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则 ＝　 　．
三、综合题（共8题，共72分）
17．（2023九下·宁波月考）如图，半圆中，直径，点为弧的中点，点在弧上，连结并延长交的延长线于点，连结交于点，连结.
（1）求证：.
（2）若点为中点，求的长.
（3）①面积与面积的差是定值吗？如果是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
②若，求的长.
18．（2023九下·杭州月考）如图：
图1 图2
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝1，BD＝，求BC的长；
②试探究是否为定值．如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1 S3＝S22，求cos∠CBD的值．
19．（2023九下·瑞安开学考）如图，周长为22的矩形ABCD内接于⊙O，点E，F分别在边CD，BC上，AE平分∠FAD，EG∥AD，交AF于点G，延长AF交⊙O于点M，连结BM，tanM＝.
（1）求AB，AD的长.
（2）记DE＝x，GE＝y，求y关于x的函数表达式.
（3）①连结EF，当∠GEF＝∠GFE时，求OG+OE长.
②当点D关于直线AE的对称点D′恰好落在⊙O上时，求的值.
20．（2023九上·慈溪期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交拋物线于点P，过点P作于点M.
（1）求a的值及.
（2）求的最大值.
（3）设的面积为，的面积为，若，求此时m的值.
21．（2022九上·滨江期末）如图，在锐角三角形中，，以为直径的分别交于点，连接.
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若半径为，，求四边形的面积（用含的代数式表示）.
22．（2021九上·鄞州月考）如图1，四边形 内接于 ， 为直径， 上存在点E，满足 ，连结 并延长交 的延长线于点F， 与 交于点G.
（1）若 ，请用含 的代数式表列 .
（2）如图2，连结 .求证； .
（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， .
①若 ，求 的周长.
②求 的最小值.
23．（2021九上·宁波月考）定义：有两边之比为 的三角形叫做智慧三角形.
（1）如图1，在智慧三角形 中， 为 边上的中线，求 的值；
（2）如图2， 是⊙O的内接三角形， 为直径，过 的中点 作 交线段 于点 ，交⊙O于点 ，连结 交 于点 .
①求证： 是智慧三角形；
②设 ，若⊙O的半径为 ，求 关于 的函数表达式；
（3）如图3，在（2）的条件下，当 时，求 的余弦值.
24．（2021九上·衢江期末）在△ABC中，∠ABC=90°，N是AB延长线上一点，点M在BC上.
（1）【基础巩固】
如图1，若AB=BC，CN⊥AM，求证：BM=BN；
（2）【变式探究】
如图2，若AB=BC，过点B作BP⊥AM于点P，连接CP并延长交AB于点Q.
求证：；
（3）【拓展提高】
如图3，设=k（k≠1），M是BC的中点，过点B作BP⊥AM于点P，连接CP并延长交AB于点Q.求tan∠BPQ的值（用含k的式子表示）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点B作，连接．
由网格和勾股定理可求得；
∴
∴是直角三角形．
在中，．
∵，
∴．
∴．
故答案为：C．
【分析】连接AM，BM，由等腰直角三角形的性质推出BM∥DC，得到∠MBA＝∠APD，求sin∠ABM即可．
2．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，
由题意得，∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠AMB，
∴∠AMB＝∠NBM＝45°，
∴BN＝MN，
∵AB＝28×0.5＝14km，
∴BN＝＝7km，
∴BM＝ NB＝7（km）．
故答案为：A．
【分析】过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，先求出∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，再结合AB＝28×0.5＝14km，利用含30°角的直角三角形的性质可得BN＝＝7km，最后求出BM＝ NB＝7（km）即可。
3．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：① ， ，故左右不相等，不符合题意；
② ，符合题意；③ ，不符合题意；④ ，不符合题意．
错误的有3个，
故答案为：C
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A． ，所以A符合题意；
B． ，所以B不符合题意；
C． ，所以C不符合题意；
D． ，所以D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据特殊角的三角函数值依次进行计算判断即可．
5．【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．
∵sinα= ，cosα= ，OP＞PM，
∴sinα＜cosα，
同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，
如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．
∵sinα= ，cosα= ，OJ＜MJ，
∴sinα＞cosα，
同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，
故答案为：D．
【分析】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．根据正弦函数，余弦函数的定义判断 sinα，cosα 的大小，如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．判断 sinα，cosα 的大小即可。
6．【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵ =1 ，
∴5sina-3cosa=3sina+2cosa，
∴2
sina=5cosa，
∴，
∵tana=，
∴tana=
.
故答案为：D.
【分析】根据等式性质可求出2sina=5cosa，即得
.由tana=即得.
7．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：A、因为对于任意角， sin +cos =1，不符合题意；
B、当∠A小于45°时，有 sinAC、∵sinA=cos(90°-A)=cosB，不符合题意；
D、sin -tan =sin(1-), 01, ∴sin(1-)<0,
即 sin 故答案为：B.
【分析】根据公式sin +cos =1即可判断A项错误；当∠A小于45°时，恒有 sinA8．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
9．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接、，如图：
∵由图可知：
∴，
∴
∵小正方形的边长为
∴在中，，
∴
∴．
故答案为：B
【分析】先求出，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵E、G是AB的三等分点，
∴AE=EG=GB=，
∴AE：EG：GB=1：1：1，
∵ AC∥EF∥GH，
∴，
∴CF=FH，
过E点作ME⊥GH于M，
∵EF∥GH，
∴EM即为EF与GH之间的距离，
在Rt△EMG中，
sin∠EGM=，
∵∠EGM=∠EGH=80°，
且EF与GH之间的距离为25cm，
∴EM=25cm，
∴sin∠EGM=sin80°=，
∴EG==（cm），
∵EG=AB，
∴AB=3EG=3×=（cm），
故答案为：C.
【分析】 利用E、G是AB的三等分点，可得到AE：EG：GB=1：1：1，利用平行线分线等成比列定理可证得CF=FH，过E点作ME⊥GH于M，可推出EM即为EF与GH之间的距离；在Rt△EMG中，利用锐角三角函数的定义可证得sin∠EGM=，根据EF与GH之间的距离可得到EM的长，利用解直角三角形可求出EG的长；然后根据AB=3EG，可求出AB的长.
11．【答案】105°或15°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1，
∵AD是BC边上的高，
∴，
在中，AD＝4，AB＝8，
∴，
∴，
在中，AD＝4，
∴，
∴，
∴，
②当△ABC为钝角三角形时，如图2，
∵AD是BC边上的高，
∴，
在中，AD＝4，AB＝8，
∴，
∴，
在中，AD＝4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或
【分析】分类讨论 △ABC 是锐角三角形和钝角三角形的情况，画出相关图像，根据已知的线段长度求三角函数，根据特殊角的三角函数值得到∠BAC
12．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°且sinα＝，tanβ＝
∴α=30°，β=60°
∴
故答案为：
【分析】利用特殊角三角函数值进行解答即可.
13．【答案】；96
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设c=5k，a=3k．
由勾股定理得：b= = =4k．
∴tanA= = ．
∵△ABC的周长为48，
∴5k+3k+4k=48．
解得：k=4．
∴3k=3×4=12，4k=4×4=16．
∴△ABC的面积= =96．
故答案为： ；96．
【分析】设c=5k，a=3k，由勾股定理可求得b=4k，可求得tanA= ，接下来利用三角形的周长为48可求得两直角边的长，最后即可求得△ABC的面积．
14．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，如图所示．
∵点C为AF的中点，点E为BF的中点，
∴ ，
∴∠BOD＝∠DCE，
在△DCE中，DC＝ ，DE＝2 ，CE＝ ，
∵DC2＝CE2＋DE2，
∴∠DEC＝90°，
∴cos∠DCE＝ ＝
∴cos∠BOD＝
故答案为 ．
【分析】设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，先利用勾股定理求出DC、DE、CE的长，再利用勾股定理逆定理证明出∠DEC＝90°，最后利用余弦的定义求解即可。
15．【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵点D是边AC的中点，
∴AD＝ AC＝2，作DM⊥AB于M，如图1所示：
∵sinA＝ ＝ ，
即 ＝ ，
∴DM＝ ，
分三种情况：
①当DE＝DF时，
∵tan∠DFE＝ ＝ ，
∴FM＝ DM＝ × ＝ ，
∴DE＝DF＝ ＝ ＝ ；
②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，如图2所示：
由①得：DM＝ ，FM＝ ，DF＝ ；
∵EN⊥DF，∴FN＝DN＝ DF＝ ，
∵tan∠EFD＝ ＝ ，
∴EN＝ FN＝ ，
∴ED＝EF＝ ＝ ；
③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G，如图3所示：
则EG＝DG，
同①得：EM＝ ，DE＝ ，
∴EG＝ ，
∵tan∠DEF＝ ＝ ，
∴GF＝ EG＝ ，
∴EF＝ ＝ ；
综上所述，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是 时，△DEF腰长的值是 或 ；
故答案为： 或 ．
【分析】由勾股定理得出AB＝ ＝5，作DM⊥AB于M，由三角函数得出DM＝ ，分三种情况：①当DE＝DF时，②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G；由等腰三角形的性质、三角函数定义和勾股定理即可得出答案．
16．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是120，小正方形面积是20，
∴大正方形的边长为2 ，小正方形的边长为2 ，
∴2 cosθ﹣2 sinθ＝2 ，
∴cosθ﹣sinθ＝ ，
∴（sinθ﹣cosθ）2＝ ，
∴sin2θ﹣2sinθ cosθ+cos2θ＝ ，
∴1﹣2sinθ cosθ＝ ，
∴sinθ cosθ＝ ．
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为2 ，小正方形的边长为2 ，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
17．【答案】（1）证明：点C为弧AB的中点，
，
，
又，
（2）解：直径，，，
，，
为的中点，
，
由（1）知，
，
即，
，
，
（3）解：①面积与面积的差是定值，理由如下：
在（2）中有：，
，
，
又，
，
，
，
故面积与面积的差为定值；
②，
设，则，
由①知，
，
解得或，
，，
当时，，
当时，，
或.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等得∠ADC=∠CAB，又∠ACD=∠ECA，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DCA∽△ACE；
（2）根据垂径定理得CO⊥AB，由等腰直角三角形的性质得AC的长，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD，从而得出CE的长，由勾股定理算出OE，本题就可得解了；
（3）① △ACE面积与△AEF面积的差是定值，理由如下： 判断出△ACF∽△EAC，由相似三角形对应边成比例得 ， 进而根据 并结合AC的长度即可得出结论；②由正切函数的定义可设OF=a，则OE=6a， 由①知AE×CF=8，可的（2+6a）（2-a）=8，求解得出a的值，根据勾股定理分两种情况求出AF的长.
18．【答案】（1）解：①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∴CD＝BD＝ ，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，
∴CE＝DE＝1，
∴△CED∽△CDB，
∴，即
∴BC＝ ；
② 是定值，理由如下：
∵DE∥AC，
∴ ，
同①可得，CE＝DE，
∴ ，
∴ ＝1，
∴是定值1；
（2）解：∵DE∥AC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵S1 S3＝ S22，
∴ ，
设BC＝9x，则CE＝16x，
∵CD平分∠BCF，
∴∠ECD＝∠FCD＝ ∠BCF，
∵∠BCF＝2∠CBG，
∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，
∴CE＝DE，
∵∠DCB＝∠ECD，
∴△CDB∽△CED，
∴ ，
∴CD2＝CB CE＝144x2，
∴CD＝12x，
过点D作DH⊥BC于点H，
∵BD＝CD＝12x，
∴BH＝ BC＝ x，
∴ ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义及已知得∠ACD＝∠DCB＝∠B，由等角对等边得CD＝BD＝ ，由角平分线的定义及平行线的性质得∠EDC＝∠DCB＝∠B，由等角对等边得CE＝DE＝1，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CED∽△CDB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC；
② 是定值，理由如下：由平行线分线段成比例定理得，同①可得，CE＝DE，推出，从而即可求出结论；
（2）首先证出，由题意得，设BC＝9x，则CE＝16x，证出△CDB∽△CED，得，求出CD＝12x，过点D作DH⊥BC于点H，则BH＝ BC＝ x，进而根据余弦函数的定义即可求出答案.
19．【答案】（1）解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°.
∵∠ACB＝∠M，tanM＝ ，
∴tan∠ACB＝ .
在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB＝ ，
∴ .
设AB＝4k，则BC＝7k.
∵矩形ABCD的周长为22，
∴2×（4k+7k）＝22，
∴k＝1，
∴AB＝4，AD＝BC＝7；
（2）解：过点G作GH⊥AD于点H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°.
∵EG∥AD，
∴∠GED+∠D＝180°，
∴∠GED＝90°，
∵GH⊥AD，
∴四边形GEDH为矩形，
∴GH＝DE＝x，DH＝GE＝y，
∴AH＝AD﹣DH＝7﹣y.
∵AE平分∠FAD，
∴∠GAE＝∠DAE，
∵EG∥AD，
∴∠DAE＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠GEA，
∴GA＝GE＝y，
在Rt△AGH中，由勾股定理得：
AH2+GH2＝AG2，
∴（7﹣y）2+x2＝y2，
∴y＝
（3）解：①如图，
∵∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF.
由（2）知：GA＝GE，
∴GA＝GF，
∵AD∥GE∥BC，
∴DE＝EC＝ CD＝2，
∴GE垂直平分DC，
∴GE经过圆心O，
∴OG+OE＝GE＝y.
∵此时x＝DE＝2，
∴OG+OE＝y＝
②∵点D关于直线AE的对称点D′恰好落在⊙O上，
∴AE所在的直线经过圆心O，
∵AC为圆的直径，点E在CD上，
∴AE与AC重合，
∴点E与点C重合，
∴DE＝DC＝4，
此时x＝DE＝4，
∴GE＝y＝
∴ .
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；圆周角定理；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接AC，根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，由圆周角定理可得∠ACB＝∠M，结合三角函数的概念可设AB＝4k，则BC＝7k，结合周长的意义可得2×(4k+7k)＝22，求出k的值，进而可得AB、AD的长；
（2）过点G作GH⊥AD于点H，由矩形的性质得∠D＝90°，根据平行线的性质得∠GED=∠D＝90°，推出四边形GEDH为矩形，得到GH＝DE＝x，DH＝GE＝y，则AH＝AD-DH＝7-y，由角平分线的概念可得∠GAE＝∠DAE，根据平行线的性质可得∠DAE＝∠GEA，进而推出GA＝GE＝y，然后在Rt△AGH中，由勾股定理就可得到y与x的关系式；
（3）①根据已知条件可知∠GEF＝∠GFE，则GE＝GF，由（2）知：GA＝GE，则GA＝GF，根据平行线分线段成比例的性质可得DE＝EC＝CD＝2，由题意可得GE经过圆心O，则OG+OE＝GE＝y，此时x＝DE＝2，据此求解；
②由题意可得：AE所在的直线经过圆心O，点E与点C重合，则DE＝DC＝4，此时x＝DE＝4，求出GE的值，据此求解.
20．【答案】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ .
∴ .
故 ，
（2）解：由点 ， 可得，直线 的表达式为 .
由（1）知， ，
则抛物线的表达式为 .
∵ ，
∴ ， ，
∴ .
∵ ，且 ，
∴当 时， 有最大值，为3.
（3）解：∵ ， ，
∴ .
又∵ ，∴ ，
∵ 的面积为 ， 的面积为 ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
由（2）可知 ，
∴ ，
解得 ， （不符合题意，舍去）.
故此时m的值为2.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标可得OA=4，令x=0，求出y的值，可得点B的坐标，将A（4，0）代入可求出a的值，由点B的坐标可得OB的值，利用勾股定理可求出AB的值，然后根据三角函数的概念可求出cos∠BAO的值；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据a的值可得二次函数的解析式，则E（m，0），P（m，m2+m+3），N（m，m+3），表示出PN，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）证明△PNM∽△ANE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，根据三角函数的概念表示出AN，由（2）可知PN=m2+3m，据此求解.
21．【答案】（1）解：如图，连接.
是直径，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）证明：设.
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
.
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BE，由圆周角定理可得∠BEC=90°，则∠AEB=90°，由余角的性质可得∠ABE=90°-∠BAC=40°，由圆周角定理可得∠DOE=2∠DBE，据此求解；
（2）设∠BAC=2α，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=90°-α，则∠CBE=α，同理可得∠OBD=∠ODB=90°-α，∠BOD=2α，由圆周角定理可得∠BED=∠BOD=α，推出∠CBE=∠BED，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）由等腰三角形的性质可得AO⊥BC，根据三角函数的概念可得tan∠ABC的值，结合OB的值可得OA，根据∠C的正切函数值可得EC，由AE=AC-EC可得AE，根据平行线分线段成比例的性质可得DE，然后根据对角线垂直的四边形的面积为其对角线乘积的一半进行计算.
22．【答案】（1）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，∠BAD=90°，
∴ ，∠ABE=∠DBC
∵∠AGB=90°-∠ABE，∠BDC=90°-∠DBC
∴ ，
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①如图，连结 .
∵ 为 的直径，
∴ .
在 中， ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长为 .
②如图，过点C作 于H.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
设 ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
当 时， 的最小值为3，
∴ 的最小值为 .
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】（2）
【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°可得∠BAD=90°，根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABG=∠DBC=α，据此求解；
（2）由直径所对的圆周角等于90°得∠BCD=90°，∠BAD=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得∠BEC=∠BDC，∠ABE=∠DBC，推出∠BEC=∠AGB，结合邻补角的性质可得∠CEF=∠BGD，证明△CFE≌△BDG，据此可得结论；
（3）①连接DE，由圆周角定理可得∠A=∠BED=90°，根据三角函数的概念可得AB的值，由弧、弦的关系可得AD=CE，然后根据∠AGB的正弦函数可得AG，进而求出EF、EG，由勾股定理求出DF，据此求解；
②过点C作CH⊥BF于点H，由全等三角形的性质可得BD=CF，∠CFH=∠BDA，证明△BAD≌△CHF，得到FH=AD，由同角的余角相等可得∠HCF=∠HBC，证明△BHC∽△CHF，设GH=x，则BH=2-x，CH2=2(2-x)，在Rt△GHC中，由勾股定理可得CG2，然后利用二次函数的性质可得最小值.
23．【答案】（1）解： 是 的中线，
（2）①证明：如图，连结 ，设
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，即
是智慧三角形.
②解：如图，过点 作 交 于点 ，
，
在 中， ，
在 中，
即
（3）解：如图，过点 作 交 于点 ，
，
，
设 ，则 ，
由（2）可得， ，
，
，
，
，
，
在 中，
即 .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据中线的概念可得BD=，则 ，然后利用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出△ABD∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例即可解决问题；
（2）①连接OE，设∠ABE=α，根据圆周角定理可得∠AOE=2α，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAE=90°-α，证明△ADE∽△AEB，根据中点的概念可得AD=AB，结合相似三角形的性质可得AB=AE，据此证明；
②过点O作OH⊥AE交AE于点H，根据等腰三角形的性质可得∠EOH=∠EOA，AE=2EH，根据三角函数的概念可得EH=2x，则AE=2EH=4x，AF=4x2，然后根据OF=OA-AF就可得到y与x的关系式；
（3）过点G作GI∥AB交DE于点I，易证△FGI∽△FAD，△EIG∽△EDB，设EG=3a，则BE=5a，由（2）可得△ADE∽△AEB，由相似三角形的性质可得DE，进而得到EI、DI、IF、EF，然后根据三角函数的概念进行求解.
24．【答案】（1）证明：∵CN⊥AM，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠BCN=∠MAB，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM=BN；
（2）证明：如图，作CH∥AB交BP的延长线于H，
∵BP⊥AM，
∴∠BPM=∠ABM=90°，
∵∠BAM+∠AMB=90°，∠CBH+∠BMP=90°，
∴∠BAM=∠CBH，
∵CH∥AB，
∴∠HCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM=∠BCH=90°，
∵AB=BC，
∴△ABM≌△BCH（ASA），
∴BM=CH，
∵CH∥BQ，
∴；
（3）解：如图，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N，
设BC=2m，则AB=2mk，
由（2）知∠CBN=∠BAM，
∵点M为BC的中点，
∴，
∴tan∠BAM =
∴tan∠CBN=，
∵CN⊥BH，BP⊥AM
∴PM∥CN，
∵点M为BC的中点，
∴P为BN中点，即PN=PB，
∴tan∠BPQ=.
【知识点】平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由题意用角边角可证△ABM≌△CBN，根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）作CH∥AB交BP的延长线于H，由同角的余角相等可得∠BAM=∠CBH，结合已知用角边角可证△ABM≌△BCH，根据全等三角形的对应边相等可得BM=CH，然后由平行线分线段成比例定理可得；
（3）作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N，由（2）知∠CBN=∠BAM，由线段中点定义可得BM=BC，然后由锐角三角函数得tan∠BAM==tan∠CBN，由平行线等分线段定理可得P为BN的中点，则PN=PB，于是tan∠BPQ=.
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