（提升卷）1.1 锐角三角函数-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九下·杭州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）
A．7sin 35° B．7cos 35° C．7tan 35° D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，
∴，即，
∴BC=7cos35°.
故答案为：B.
【分析】画出示意图，根据余弦函数的定义即可得出答案.
2．（2021九上·舟山期末）在直角ΔABC中，已知∠C＝90°， ，求cosA=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
故答案为：C.
【分析】由同角的正弦值和余弦值的平方和恒等于1，得出结果。
3．（2023九下·义乌月考）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，房顶A离地面的高度为，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据轴对称的性质可得AB=AC，结合等腰三角形的性质可得BD=BC=3m，由题意可得AD=6-4=2m，然后根据三角函数的概念进行计算.
4．（2023九下·义乌开学考）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：易得，，AB=5，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠A，
∴cos∠ACB=cos∠A=.
故答案为：D.
【分析】 根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC的长，根据等边对等角得∠ACB=∠A，进而根据余弦函数的定义及等角的同名三角函数值相等即可得到cos∠ACB的值．
5．（2022九下·杭州月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（ ）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=8，tan∠ACB=y，
∴=y，BQ=CQ=4，
∴AQ=4y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQEM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=2，
∴EM=2y，
∴DM=8-2-x=6-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（2y）2+（6-x）2，
即3x-y2=9.
故答案为：C.
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据垂直平分线的性质可得BD=DE=x，根据等腰三角形的性质可得BQ=CQ=4，根据三角函数的概念可得AQ=4y，易得AQ∥EM，结合E为AC的中点可得CM=QM=2，则EM=2y，DM=6-x，然后在Rt△EDM中，由勾股定理就可得到x与y的关系式.
6．（2022九上·镇海区期中）如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于E和D，若，，则长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵是半圆的直径，
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA，根据两组角对应相等的两个三角形相似得△CBE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例可得CD=2，根据圆周角定理结合角平分线的定义推出∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD，根据等角对等边可得AD=CD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，进而根据正弦三角函数的定义及特殊角的锐角三角函数值得∠ABD=30°，进而根据余弦函数的定义，由可算出答案.
7．（2022九上·嘉兴期中）如图，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．16 B．20 C．18 D．22
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E．
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝12，
∴OD＝4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD cos60°＝ OD＝2，
∴BE＝10，
∵OE⊥BC，
∴BC＝2BE＝20．
故答案为：B．
【分析】延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，易得△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得BD＝AD＝AB＝12，进而根据余弦三角函数的定义，得DE＝OD cos60°，据此可算出DE的长，从而可得BE的长，最后根据垂径定理即可得出答案.
8．（2022九下·义乌开学考）如图，已知点A（ ，2）， B(0，1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∵A（
，2），B（0，1），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=
x+1，
令y=0，得
x+1=0，
解得x=-
，
∴D（-
，0），
∴，
∴∠ADC=30°，
∴∠ACE=∠ADC+∠BAC=30°+30°=60°，
∴CE=
，
∴OC=OE-CE=
，
∴C（
，0），
∵抛物线y=ax2+bx+1经过点A，C，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，先求出直线AB的解析式，求出点D的坐标，根据锐角三角函数的定义得出∠ADC=30°，从而得出∠ACE=60°，求出CE的长，从而得出点C的坐标，再把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，即可得出a，b的值.
9．（2022九下·义乌开学考）如图，在⊙O中，弦AB的长是 cm，弦AB的弦心距为6cm，E是⊙O优弧AEB上一点.则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．80°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OC⊥AB于点C，OA=OB，
∴AC=
AB=
，∠AOB=2∠AOC，
∵OC=6，
∴，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=
∠AOB=60°，
故答案为：A.
【分析】连接OA，OB，根据垂径定理得出AC的长，再根据等腰三角形的性质得出∠AOB=2∠AOC，利用特殊角的三角函数值得出∠AOC的度数，从而得出∠AOB的度数，再根据圆周角定理得出∠AEB=
∠AOB，即可得出答案.
10．（2020九上·慈溪月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ， 则tanB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sinA=，
∴设BC=2x，AB=3x，
由勾股定理得：AC=，
∴tanB=
故答案为：D.
【分析】设BC=2x，AB=3x，由勾股定理求得AC=，代入tanB=求出即可.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·镇海区期末）已知为锐角，且，则锐角的度数是 .
【答案】40°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵
∴ ，
则
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得α-10°=30°，求解可得α的度数.
12．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，若|sinA﹣|+（cosB﹣ ）2=0，则∠C的度数是
【答案】90°
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，
∴sinA= ，cosB=，
∴∠A=60°，∠B=30°，
∴∠C的度数是90°．
故答案为：90°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出∠A和∠B的度数进而求出即可．
13．已知α是锐角且tanα=，则sinα+cosα=
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由tanα==知，如果设a=3x，则b=4x，
结合a2+b2=c2得c=5x．
所以sinα=，cosα=，
sinα+cosα= ．
故答案为．
【分析】根据tanα=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出斜边长的表达式，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinα与cosα的值，进而求解即可．
14．（2023九下·淳安期中）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC= ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=4，
∴AD==3.
∵∠BAD=∠CAD， ∠BPC=∠BAC
∴∠BPC=∠BAD，
∴tan∠BPC=tan∠BAD=.
故答案为：.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，BD=CD=4，利用勾股定理可得AD，结合∠BPC=∠BAC可得∠BPC=∠BAD，然后利用三角函数的概念进行计算.
15．（2023九下·衢江月考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图象上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据∠ABO的正切函数的定义及函数值可设OB=x，OA=3x，从而可表示出点A、B的坐标，由同角的余角相等得∠ADF=∠BAO=∠CBE，从而利用AAS判断出△ADF≌△BAO≌△CBE，得OA=FD=EB=3x，OB=FA=EC=2x，则OE=OF=2x，从而可用含x的式子表示出点C、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特点建立方程求出x2的值，进而即可求出经过点D的反比例函数的解析式 .
16．（2022九上·镇海区期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆周角是 度
【答案】45或135
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作OD⊥AB，垂足为D.
则由垂径定理知，点D是AB的中点，
AD=AB=，
∴sin∠AOD= ，
∴∠AOD=45°，∠AOB=90°，
∴∠ACB=∠AOB=45°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACB+∠AEB=180°，
∴∠AEB=135°，
故答案为：45或135.
【分析】作OD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理得AD的长，由正弦三角函数的定义及特殊角的三角函数值可得∠AOD=90°，据此可得∠AOB的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠C的度数，根据圆内接四边形的对角互补可求∠AEB的度数，从而即可得出答案.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·诸暨期末）
（1）计算：；
（2）已知二次函数顶点为，经过点，求该二次函数的一般式.
【答案】（1）解：原式
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，2），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，
∴a+2=1，
解之：a=-1
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式的乘法法则进行计算，可求出结果.
（2）根据已知抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为y=a（x-1）2+2，再将点（0，1）代入函数解析式，可求出a的值，即可得到函数解析式，然后将函数解析式转化为一般形式.
18．（2022九下·杭州月考）先化简，然后再从sin30°，1，这三个数中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值.
【答案】解：原式===a-1
∵a-1≠0，a+1≠0且a≠0
∴a≠1，a≠-1且a≠0
又sin30°=，=-2
∴a可取或-2
当a=时，原式=-1=-（当a=-2时，原式=-2-1=-3）
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得sin30°=，根据负整数指数幂的运算性质可得(-)-1=-2，然后选取一个使分式有意义的a的值代入计算即可.
19．（2023九上·嵊州期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
方案设计 方案1 方案2
裁剪方案示意图
说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据 ，，，；
任务1：探寻边角 填空： ▲ ， ▲ ；
任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比；
任务3：应用实践 若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ .
【答案】解：任务1：15；；比较面积，
设与相交于点I，正方形的边长为a，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
解得；
设正方形边长为b，
∴，
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，
正方形和正方形边长之比为；
任务3：
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：任务1：探寻边角，
作于H，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
故答案为：15，；
任务3：应用实践，
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，即正方形的边长为；
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n，
同理
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，即正方形的边长为；
∵，
∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】任务1：作CH⊥AB于H，则四边形ADCH是矩形，CH=AD=9dm，AH=CD=2dm，BH=AB-AH=12dm，利用勾股定理可得BC，然后根据三角函数的概念进行解答；
任务二：设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为a，则tanB=，cosB=，根据∠CFI=∠B结合三角函数的概念可求出a的值；设正方形MNPQ边长为b，则∠B=∠MNA，根据三角函数的概念可得BN、AN，然后根据BN+AN=AB=14可求出b的值，据此解答；
任务3：在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m，则BE=8dm，BK=8-m，根据∠B正切函数的概念可得m的值，据此可得正方形EKJL的边长；在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n，同理可得n的值，据此解答.
20．（2022九上·奉化期末）芳芳家有一种伸缩挂衣架（如图1），伸缩挂衣架中有3个菱形组成，每个菱形边长为10cm.伸缩挂衣架打开时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；伸缩挂衣架收拢时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）.问：伸缩挂衣架从打开到收拢共缩短了多少cm （结果精确到1cm，参考数据：，，，）.
【答案】解：连接AC、BD，交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，BO=OD，，
∵，
∴，
∴打开时：，
连接，，交于点，如图所示：
同理可得，
∴收拢时：
∴缩短了：
答：伸缩衣架从打开到收拢共缩短了25cm.
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】连接AC、BD，交于点O，如图所示：由菱形的性质可得BD⊥AC，BO=OD，∠BAO=∠DAO=30°，由锐角三角函数得sin∠BAO=，于是BD=2BO，打开时的长度=3BD；连接A1C1、B1D1，交于点O1，如图所示：同理可求解收拢时的长度，于是缩短的距离=打开时的长度-收拢时的长度.
21．（2023九下·义乌月考）如图，在Rt中，，.点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的值为 .
【答案】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形；
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）解：，
设，则，
四边形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据两组对边分别相等可证四边形是平行四边形， 结合DE⊥AC，根据菱形的判定即证结论；
（2）由，可设，则，由菱形的性质可得，，再利用勾股定理求出AB=a，根据即可求解.
22．（2022九上·余杭月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC.
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若CD＝6，∠A＝30°，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ ＝ ，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ CD＝3，
在Rt△COE中，OC＝ ＝2 ，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝ ＝4π，
答：阴影部分的面积为4π.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理以及弦、弧的关系可得＝，由圆周角定理可得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACO，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BOC＝2∠A=60°，则∠AOC＝120°，由垂径定理可得CE＝CD＝3，根据三角函数的概念求出OC，然后利用扇形的面积公式进行计算.
23．（2023九上·长兴期末）在和中，点在同一直线上，.
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如果，，.
如图2，当时，求的长；
如图3，点是延长线上一点，且，连结，如果，求的值.
【答案】（1）证明：，，
，
，
，
（2）解：如图，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
，，
，
；
如图所示，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
点是延长线上一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠CAB=∠CBE=∠EDB=90°，由同角的余角相等可得∠C=∠DBE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BFE，根据相似三角形的性质可得BF的值，然后根据AB=AD-BF-DF进行计算；
②过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BHE，根据相似三角形的性质求出BH、EH的值，证明△GAB∽△DHE，由相似三角形的性质求出DH的值，然后根据AB=AD-BH-DH求出AB的值，再根据三角函数的概念进行解答.
24．（2023九下·上城月考）如图所示，已知是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接、、，线段与直径相交于点E.
（1）若，求的值.
（2）当时，
①若，，求的度数.
②若，，求线段的长.
【答案】（1）解：∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
所以的值为；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
即的度数为；
②∵＝，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠BAC=90°，结合已知用三角形的内角和定理求出∠B的度数，然后根据锐角三角函数可求解；
（2）①由已知可得，然后由特殊角的三角函数值可得∠B=45°，由弧CD和弧AC之间的关系可得∠CAD=∠B，于是∠COD=2∠CAD可求解；
②由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，可得比例式求解.
1 / 1（提升卷）1.1 锐角三角函数-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九下·杭州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）
A．7sin 35° B．7cos 35° C．7tan 35° D．
2．（2021九上·舟山期末）在直角ΔABC中，已知∠C＝90°， ，求cosA=（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九下·义乌月考）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，房顶A离地面的高度为，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
4．（2023九下·义乌开学考）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·杭州月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（ ）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12
6．（2022九上·镇海区期中）如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于E和D，若，，则长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2022九上·嘉兴期中）如图，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．16 B．20 C．18 D．22
8．（2022九下·义乌开学考）如图，已知点A（ ，2）， B(0，1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2022九下·义乌开学考）如图，在⊙O中，弦AB的长是 cm，弦AB的弦心距为6cm，E是⊙O优弧AEB上一点.则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．80°
10．（2020九上·慈溪月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ， 则tanB=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·镇海区期末）已知为锐角，且，则锐角的度数是 .
12．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，若|sinA﹣|+（cosB﹣ ）2=0，则∠C的度数是
13．已知α是锐角且tanα=，则sinα+cosα=
14．（2023九下·淳安期中）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC= ．
15．（2023九下·衢江月考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 .
16．（2022九上·镇海区期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆周角是 度
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·诸暨期末）
（1）计算：；
（2）已知二次函数顶点为，经过点，求该二次函数的一般式.
18．（2022九下·杭州月考）先化简，然后再从sin30°，1，这三个数中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值.
19．（2023九上·嵊州期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
方案设计 方案1 方案2
裁剪方案示意图
说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据 ，，，；
任务1：探寻边角 填空： ▲ ， ▲ ；
任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比；
任务3：应用实践 若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ .
20．（2022九上·奉化期末）芳芳家有一种伸缩挂衣架（如图1），伸缩挂衣架中有3个菱形组成，每个菱形边长为10cm.伸缩挂衣架打开时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；伸缩挂衣架收拢时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）.问：伸缩挂衣架从打开到收拢共缩短了多少cm （结果精确到1cm，参考数据：，，，）.
21．（2023九下·义乌月考）如图，在Rt中，，.点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的值为 .
22．（2022九上·余杭月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC.
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若CD＝6，∠A＝30°，求阴影部分的面积.
23．（2023九上·长兴期末）在和中，点在同一直线上，.
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如果，，.
如图2，当时，求的长；
如图3，点是延长线上一点，且，连结，如果，求的值.
24．（2023九下·上城月考）如图所示，已知是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接、、，线段与直径相交于点E.
（1）若，求的值.
（2）当时，
①若，，求的度数.
②若，，求线段的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，
∴，即，
∴BC=7cos35°.
故答案为：B.
【分析】画出示意图，根据余弦函数的定义即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
故答案为：C.
【分析】由同角的正弦值和余弦值的平方和恒等于1，得出结果。
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据轴对称的性质可得AB=AC，结合等腰三角形的性质可得BD=BC=3m，由题意可得AD=6-4=2m，然后根据三角函数的概念进行计算.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：易得，，AB=5，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠A，
∴cos∠ACB=cos∠A=.
故答案为：D.
【分析】 根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC的长，根据等边对等角得∠ACB=∠A，进而根据余弦函数的定义及等角的同名三角函数值相等即可得到cos∠ACB的值．
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=8，tan∠ACB=y，
∴=y，BQ=CQ=4，
∴AQ=4y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQEM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=2，
∴EM=2y，
∴DM=8-2-x=6-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（2y）2+（6-x）2，
即3x-y2=9.
故答案为：C.
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据垂直平分线的性质可得BD=DE=x，根据等腰三角形的性质可得BQ=CQ=4，根据三角函数的概念可得AQ=4y，易得AQ∥EM，结合E为AC的中点可得CM=QM=2，则EM=2y，DM=6-x，然后在Rt△EDM中，由勾股定理就可得到x与y的关系式.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵是半圆的直径，
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA，根据两组角对应相等的两个三角形相似得△CBE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例可得CD=2，根据圆周角定理结合角平分线的定义推出∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD，根据等角对等边可得AD=CD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，进而根据正弦三角函数的定义及特殊角的锐角三角函数值得∠ABD=30°，进而根据余弦函数的定义，由可算出答案.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E．
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝12，
∴OD＝4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD cos60°＝ OD＝2，
∴BE＝10，
∵OE⊥BC，
∴BC＝2BE＝20．
故答案为：B．
【分析】延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，易得△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得BD＝AD＝AB＝12，进而根据余弦三角函数的定义，得DE＝OD cos60°，据此可算出DE的长，从而可得BE的长，最后根据垂径定理即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∵A（
，2），B（0，1），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=
x+1，
令y=0，得
x+1=0，
解得x=-
，
∴D（-
，0），
∴，
∴∠ADC=30°，
∴∠ACE=∠ADC+∠BAC=30°+30°=60°，
∴CE=
，
∴OC=OE-CE=
，
∴C（
，0），
∵抛物线y=ax2+bx+1经过点A，C，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，先求出直线AB的解析式，求出点D的坐标，根据锐角三角函数的定义得出∠ADC=30°，从而得出∠ACE=60°，求出CE的长，从而得出点C的坐标，再把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，即可得出a，b的值.
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OC⊥AB于点C，OA=OB，
∴AC=
AB=
，∠AOB=2∠AOC，
∵OC=6，
∴，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=
∠AOB=60°，
故答案为：A.
【分析】连接OA，OB，根据垂径定理得出AC的长，再根据等腰三角形的性质得出∠AOB=2∠AOC，利用特殊角的三角函数值得出∠AOC的度数，从而得出∠AOB的度数，再根据圆周角定理得出∠AEB=
∠AOB，即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sinA=，
∴设BC=2x，AB=3x，
由勾股定理得：AC=，
∴tanB=
故答案为：D.
【分析】设BC=2x，AB=3x，由勾股定理求得AC=，代入tanB=求出即可.
11．【答案】40°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵
∴ ，
则
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得α-10°=30°，求解可得α的度数.
12．【答案】90°
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，
∴sinA= ，cosB=，
∴∠A=60°，∠B=30°，
∴∠C的度数是90°．
故答案为：90°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出∠A和∠B的度数进而求出即可．
13．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由tanα==知，如果设a=3x，则b=4x，
结合a2+b2=c2得c=5x．
所以sinα=，cosα=，
sinα+cosα= ．
故答案为．
【分析】根据tanα=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出斜边长的表达式，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinα与cosα的值，进而求解即可．
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=4，
∴AD==3.
∵∠BAD=∠CAD， ∠BPC=∠BAC
∴∠BPC=∠BAD，
∴tan∠BPC=tan∠BAD=.
故答案为：.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，BD=CD=4，利用勾股定理可得AD，结合∠BPC=∠BAC可得∠BPC=∠BAD，然后利用三角函数的概念进行计算.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图象上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据∠ABO的正切函数的定义及函数值可设OB=x，OA=3x，从而可表示出点A、B的坐标，由同角的余角相等得∠ADF=∠BAO=∠CBE，从而利用AAS判断出△ADF≌△BAO≌△CBE，得OA=FD=EB=3x，OB=FA=EC=2x，则OE=OF=2x，从而可用含x的式子表示出点C、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特点建立方程求出x2的值，进而即可求出经过点D的反比例函数的解析式 .
16．【答案】45或135
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作OD⊥AB，垂足为D.
则由垂径定理知，点D是AB的中点，
AD=AB=，
∴sin∠AOD= ，
∴∠AOD=45°，∠AOB=90°，
∴∠ACB=∠AOB=45°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACB+∠AEB=180°，
∴∠AEB=135°，
故答案为：45或135.
【分析】作OD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理得AD的长，由正弦三角函数的定义及特殊角的三角函数值可得∠AOD=90°，据此可得∠AOB的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠C的度数，根据圆内接四边形的对角互补可求∠AEB的度数，从而即可得出答案.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，2），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，
∴a+2=1，
解之：a=-1
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式的乘法法则进行计算，可求出结果.
（2）根据已知抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为y=a（x-1）2+2，再将点（0，1）代入函数解析式，可求出a的值，即可得到函数解析式，然后将函数解析式转化为一般形式.
18．【答案】解：原式===a-1
∵a-1≠0，a+1≠0且a≠0
∴a≠1，a≠-1且a≠0
又sin30°=，=-2
∴a可取或-2
当a=时，原式=-1=-（当a=-2时，原式=-2-1=-3）
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得sin30°=，根据负整数指数幂的运算性质可得(-)-1=-2，然后选取一个使分式有意义的a的值代入计算即可.
19．【答案】解：任务1：15；；比较面积，
设与相交于点I，正方形的边长为a，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
解得；
设正方形边长为b，
∴，
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，
正方形和正方形边长之比为；
任务3：
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：任务1：探寻边角，
作于H，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
故答案为：15，；
任务3：应用实践，
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，即正方形的边长为；
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n，
同理
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，即正方形的边长为；
∵，
∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】任务1：作CH⊥AB于H，则四边形ADCH是矩形，CH=AD=9dm，AH=CD=2dm，BH=AB-AH=12dm，利用勾股定理可得BC，然后根据三角函数的概念进行解答；
任务二：设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为a，则tanB=，cosB=，根据∠CFI=∠B结合三角函数的概念可求出a的值；设正方形MNPQ边长为b，则∠B=∠MNA，根据三角函数的概念可得BN、AN，然后根据BN+AN=AB=14可求出b的值，据此解答；
任务3：在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m，则BE=8dm，BK=8-m，根据∠B正切函数的概念可得m的值，据此可得正方形EKJL的边长；在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n，同理可得n的值，据此解答.
20．【答案】解：连接AC、BD，交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，BO=OD，，
∵，
∴，
∴打开时：，
连接，，交于点，如图所示：
同理可得，
∴收拢时：
∴缩短了：
答：伸缩衣架从打开到收拢共缩短了25cm.
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】连接AC、BD，交于点O，如图所示：由菱形的性质可得BD⊥AC，BO=OD，∠BAO=∠DAO=30°，由锐角三角函数得sin∠BAO=，于是BD=2BO，打开时的长度=3BD；连接A1C1、B1D1，交于点O1，如图所示：同理可求解收拢时的长度，于是缩短的距离=打开时的长度-收拢时的长度.
21．【答案】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形；
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）解：，
设，则，
四边形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据两组对边分别相等可证四边形是平行四边形， 结合DE⊥AC，根据菱形的判定即证结论；
（2）由，可设，则，由菱形的性质可得，，再利用勾股定理求出AB=a，根据即可求解.
22．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ ＝ ，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ CD＝3，
在Rt△COE中，OC＝ ＝2 ，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝ ＝4π，
答：阴影部分的面积为4π.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理以及弦、弧的关系可得＝，由圆周角定理可得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACO，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BOC＝2∠A=60°，则∠AOC＝120°，由垂径定理可得CE＝CD＝3，根据三角函数的概念求出OC，然后利用扇形的面积公式进行计算.
23．【答案】（1）证明：，，
，
，
，
（2）解：如图，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
，，
，
；
如图所示，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
点是延长线上一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠CAB=∠CBE=∠EDB=90°，由同角的余角相等可得∠C=∠DBE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BFE，根据相似三角形的性质可得BF的值，然后根据AB=AD-BF-DF进行计算；
②过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BHE，根据相似三角形的性质求出BH、EH的值，证明△GAB∽△DHE，由相似三角形的性质求出DH的值，然后根据AB=AD-BH-DH求出AB的值，再根据三角函数的概念进行解答.
24．【答案】（1）解：∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
所以的值为；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
即的度数为；
②∵＝，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠BAC=90°，结合已知用三角形的内角和定理求出∠B的度数，然后根据锐角三角函数可求解；
（2）①由已知可得，然后由特殊角的三角函数值可得∠B=45°，由弧CD和弧AC之间的关系可得∠CAD=∠B，于是∠COD=2∠CAD可求解；
②由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，可得比例式求解.
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