（提升卷）1.2锐角三角函数的计算-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题4分，共32分）
1．（2020九上·寿光期中）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道．用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A．sin0.2= B．2ndFsin0.2= C．tan0.2= D．2ndFtan0.2=
2．（2020九上·张店期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在 高的天桥两端分别修建了 长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角 ，下列按键顺序正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是（ ）
A．tan 25°C．sin 27°4．（2021九上·鄞州月考）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
5．（2021九上·鄞州月考）如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sin A的取值范围是（ ）
A．0C． 6．（2020九上·金水月考）如图，梯子地面的夹角为 ，关于 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A． 的值越小，梯子越陡
B． 的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与 的函数值无关
7．（2020九上·昌平期末）在直角三角形中各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（ ）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定
8．（2020九上·醴陵期末）如果∠ 为锐角，且sin ＝0.6，那么 的取值范围是（ ）
A．0°＜ ≤30° B．30°＜ ＜45°
C．45°＜ ＜60° D．60°＜ ≤90°
二、填空题（第9、10题各6分，第11-13题各3分，第14题4分）
9．先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
10．（1）通过计算（可用计算器），比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30° 2sin15°cos15°；
②sin36° 2sin18°cos18°；
③sin45° 2sin22.5°cos22.5°；
④sin60° 2sin30°cos30°；
⑤sin80° 2sin40°cos40°．
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α 2sinαcosα．
（2）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=2α，请根据提示，利用面积方法验证结论．
11．锐角A满足cosA=，利用计算器求∠A时，依次按键 ，则计算器上显示的结果是 ．
12．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
13．（2019九上·鄞州期末）比较sin80°与tan46°的大小，其中值较大的是
．
14．若α是锐角，且sinα=1﹣3m，则m的取值范围是 ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是 .
三、解答题（共8题，共63分）
15．用计算器求下列各式的值：
（1）sin47°；
（2）sin12°30′；
（3）cos25°18′；
（4）tan44°59′59″；
（5）sin18°+cos55°﹣tan59°．
16．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.7325，sinB=0.0547；
（2）cosA=0.6054，cosB=0.1659；
（3）tanA=4.8425，tanB=0.8816．
17．已知三角函数值，可以先利用计算器求出锐角α与β，从而比较它们的大小．你能否不用计算器来比较以下的锐角α与β的大小？如果能，说说你的想法．
（1）cosα=，tanβ=；
（2）sinα=0.456 7，cosβ=0.567 8．
18．已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：
均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．
19．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
20．（1）验证下列两组数值的关系：
2sin30° cos30°与sin60°；
2sin22.5° cos22.5°与sin45°．
（2）用一句话概括上面的关系．
（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．
（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．
21．（1）用计算器计算并验证sin25°+sin46°与sin71°之间的大小关系：
（2）若α、β、α+β都是锐角，猜想sinα+sinβ与sin（α+β）的大小关系：
（3）请借助如图的图形证明上述猜想．
22．如图
（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】∵ ，
∴ 用计算器求值的顺序为 ，
故答案为：B．
【分析】用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=40m，BC=10m，
∴sin ，
∴用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键的顺序为A ．
故答案为：A．
【分析】首先在在Rt△ABC中求出sin∠A，然后根据计算器的用法即可得到结论。
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：因为sin27°tan 25°≈0.4663，
cos25°>cos 30°=，
所以sin 27°故答案为：C。
【分析】根据三角函数不能比较出两个三角函数值的就需要用计算器计算更为快捷。
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA.
故答案为：B.
【分析】根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小进行判断.
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵sinC=，令AH=4x，则AC=5x，HC==3x，
∴sin∠HAC==.
∵∠HAC<∠BAC<90°，
∴故答案为：D.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由题意令AH=4x，则AC=5x，由勾股定理可表示出HC，然后求出sin∠HAC的值，最后结合正弦函数的增减性判断即可.
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故此选项错误；
B、cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故此选项正确；
C、梯子的长度不能决定倾斜程度，故此选项错误；
D、梯子倾斜程度与∠A 的函数值有关，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据正弦三角函数的性质判断A；根据余弦三角函数的性质判断B；倾斜度跟梯子的长度无关，而跟梯子的函数值有关，即可判断C、D.
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA= ，cosA= ，
∴Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，则sinA= ，cosA= ．
故答案为：C．
【分析】由于锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，所以边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，由此即可确定选择项．
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵sin30°= =0.5，sin45°= ≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，
∴30°＜A＜45°．
故答案为：B．
【分析】由sin30°= =0.5，sin45°= ≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．
9．【答案】0.3640；0.8391；1.7321；5.6713；tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°；大
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan20°≈0.3640，
tan40°≈0.8391，
tan60°≈1.7321，
tan80°≈5.6713，
tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°，
大．
【分析】利用计算器分别算出几个角的正切值，即可比较其大小，根据几个角的正切函数即可发现：正切函数的函数值随锐角度数的增大而增大。
10．【答案】=；=；=；=；=；=
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：（1）通过计算（可用计算器），比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°=2sin15°cos15°；
②sin36°=2sin18°cos18°；
③sin45°=2sin22.5°cos22.5°；
④sin60°=2sin30°cos30°；
⑤sin80°=2sin40°cos40°．
（2）已知0°＜α＜45°，则sin2α=2sinαcosα，
证明：S△ABC=AB sin2α AC，S△ABC=×2ABsinα ACcosα，
∴sin2α=2sinαcosα．
【分析】（1）根据计算器的使用，可得2倍角三角函数；
（2）根据同一个三角形面积的不同表示，可得答案．
11．【答案】60°
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：依次按键 ，显示的是arccos 的值，即A的度数为60．
故答案为：60°．
【分析】根据题意输入计算器中即可，要求同学们能熟练应用计算器．
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
13．【答案】tan46°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵sin80°＜sin90°=1，tan46°＞tan45°=1，
∴sin80°＜tan46°，
∴ 其中值较大的是tan46°.
故答案为：tan46°.
【分析】根据sin80°＜sin90°=1，tan46°＞tan45°=1，从而可得出答案.
14．【答案】0＜m＜；sin41°、cos46°、cos37°、cos21°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：α是锐角，且sinα=1﹣3m，
则有0＜1﹣3m＜1，
解得0＜m＜ ；
∵sin41°=cos49°，
根据余弦函数随角增大而减小，
故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
∴按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．
【分析】根据锐角的正弦函数的取值范围，易得0＜1﹣3m＜1，求解；
由一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，可得sin41°=cos49°，进而由余弦函数随角增大而减小，比较角的大小，可得答案．
15．【答案】（1）解：sin47°=0.7314
（2）解：sin12°30′=0.2164
（3）解：cos25°18′=0.9003
（4）解：tan44°59′59″=1.0000
（5）解：sin18°+cos55°﹣tan59=﹣0.7817
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】本题要求同学们，熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
16．【答案】解：（1）∵sinA=0.7325，∴∠A≈47.1°，
∵sinB=0.0547，∴∠B≈3.1°；
（2）∵cosA=0.6054，
∴∠A≈52.7°，
∵cosB=0.1659，
∴∠B≈80.5°；
（3）∵tanA=4.8425，
∴∠A≈78.3°，
∵tanB=0.8816，
∴∠B≈41.4°．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）直接利用计算器借助sin﹣1求出即可；
（2）直接利用计算器借助cos﹣1求出即可；
（3）直接利用计算器借助tan﹣1求出即可．
17．【答案】解：（1）cosα=，α≈41.41°，
tanβ=，β≈51.34°，
∴α＜β；
（2）sinα=0.456 7，α≈27.17°，
cosβ=0.567 8，β≈55.40°，
∴α＜β．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】利用计算器分别进行计算即可得解．
18．【答案】解：∵各内角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取 ， ，1，
若sinA1= ，
∵sinA2≥ ，sinA3≥ ，
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1﹣sinA2）≤4（ ﹣ ）＜0，
方程①无实根，与已知矛盾，
故sinA1≠ ，
同理sinA2≠ ，sinA3≠ ，
若sinA1= ，则sinA2≥ ，sinA3≥ ，
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1﹣sinA2）=4 （ ﹣ ）＜0，方程①无实根，与已知矛盾，
∴sinA1≠ ，同理sinA2≠ ，sinA3≠ ，
综上，sinA1=1，A1=90°，
这样，其余4n﹣1个内角之和为4n×180°﹣3×90°=720° n﹣270°，这些角均不大于150°，
∴720° n﹣270°≤（4n﹣1） 150°，
故n≤1，又n为正整数，
∴n=1，即多边形为凸六边形，且A4+A5+A6=4×180°﹣3×90°=450°，
∵A4，A5，A6≤150°，
∴A4=A5=A6=150°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角；锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】首先根据30°的倍数得到各个内角的度数可能有的情况，再根据它们的锐角三角函数值结合方程根的情况进行分析．
19．【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA= ，cosA= ，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，
∴an+bn＜cn
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA= ，cosA= ，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，即可得到它们的关系．
20．【答案】解：（1）∵2sin30° cos30°=2××=，sin60°=．
2sin22.5° cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°=≈0.7，
∴2sin30° cos30°=sin60°，2sin22.5° cos22.5=sin45°；
（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；
（3）2sin15° cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°=；
故结论成立；
（4）2sinα cosα=sin2α．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中的关系可得出结论；
（3）任选一个角验证（3）的结论即可；
（4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可．
21．【答案】解：（1）sin25°+sin46°＞sin71°
sin25°+sin46°=0.423+0.719=1.142，sin71°=0.956，
∴sin25°+sin46°＞sin71°；
（2）sinα+sinβ＞sin（α+β）；
（3）证明：∵sinα+sinβ=+，sin（α+β）=，
∵OB＞OA，
∴＞，
∴+＞+=．
∵AB+BC＞AE，
∴＞，
∴sinα+sinβ＞sin（α+β）．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）根据计算器，可得有理数的运算，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据（1）的结果，可得答案；
（3）根据正弦函数，可得+，根据不等式的性质，可得＞，根据三角形三边的关系，可得AB+BC＞AE，再根据不等式的性质，可得答案．
22．【答案】（1）解：在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC= ，sin∠B2AC= ，sin∠B3AC= ，
而 ＞ ＞ ．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cos∠B1AC= ，cos∠B2AC= ，cos∠B3AC= ，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴ ＞ ＞ ．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC
（2）解：sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°
（3）=；＜；＞
（4）解：cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：（（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
1 / 1（提升卷）1.2锐角三角函数的计算-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题4分，共32分）
1．（2020九上·寿光期中）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道．用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A．sin0.2= B．2ndFsin0.2= C．tan0.2= D．2ndFtan0.2=
【答案】B
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】∵ ，
∴ 用计算器求值的顺序为 ，
故答案为：B．
【分析】用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序即可得出答案。
2．（2020九上·张店期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在 高的天桥两端分别修建了 长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角 ，下列按键顺序正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=40m，BC=10m，
∴sin ，
∴用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键的顺序为A ．
故答案为：A．
【分析】首先在在Rt△ABC中求出sin∠A，然后根据计算器的用法即可得到结论。
3．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是（ ）
A．tan 25°C．sin 27°【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：因为sin27°tan 25°≈0.4663，
cos25°>cos 30°=，
所以sin 27°故答案为：C。
【分析】根据三角函数不能比较出两个三角函数值的就需要用计算器计算更为快捷。
4．（2021九上·鄞州月考）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA.
故答案为：B.
【分析】根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小进行判断.
5．（2021九上·鄞州月考）如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sin A的取值范围是（ ）
A．0C． 【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵sinC=，令AH=4x，则AC=5x，HC==3x，
∴sin∠HAC==.
∵∠HAC<∠BAC<90°，
∴故答案为：D.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由题意令AH=4x，则AC=5x，由勾股定理可表示出HC，然后求出sin∠HAC的值，最后结合正弦函数的增减性判断即可.
6．（2020九上·金水月考）如图，梯子地面的夹角为 ，关于 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A． 的值越小，梯子越陡
B． 的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与 的函数值无关
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故此选项错误；
B、cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故此选项正确；
C、梯子的长度不能决定倾斜程度，故此选项错误；
D、梯子倾斜程度与∠A 的函数值有关，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据正弦三角函数的性质判断A；根据余弦三角函数的性质判断B；倾斜度跟梯子的长度无关，而跟梯子的函数值有关，即可判断C、D.
7．（2020九上·昌平期末）在直角三角形中各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（ ）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA= ，cosA= ，
∴Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，则sinA= ，cosA= ．
故答案为：C．
【分析】由于锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，所以边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，由此即可确定选择项．
8．（2020九上·醴陵期末）如果∠ 为锐角，且sin ＝0.6，那么 的取值范围是（ ）
A．0°＜ ≤30° B．30°＜ ＜45°
C．45°＜ ＜60° D．60°＜ ≤90°
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵sin30°= =0.5，sin45°= ≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，
∴30°＜A＜45°．
故答案为：B．
【分析】由sin30°= =0.5，sin45°= ≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．
二、填空题（第9、10题各6分，第11-13题各3分，第14题4分）
9．先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
【答案】0.3640；0.8391；1.7321；5.6713；tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°；大
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan20°≈0.3640，
tan40°≈0.8391，
tan60°≈1.7321，
tan80°≈5.6713，
tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°，
大．
【分析】利用计算器分别算出几个角的正切值，即可比较其大小，根据几个角的正切函数即可发现：正切函数的函数值随锐角度数的增大而增大。
10．（1）通过计算（可用计算器），比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30° 2sin15°cos15°；
②sin36° 2sin18°cos18°；
③sin45° 2sin22.5°cos22.5°；
④sin60° 2sin30°cos30°；
⑤sin80° 2sin40°cos40°．
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α 2sinαcosα．
（2）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=2α，请根据提示，利用面积方法验证结论．
【答案】=；=；=；=；=；=
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：（1）通过计算（可用计算器），比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°=2sin15°cos15°；
②sin36°=2sin18°cos18°；
③sin45°=2sin22.5°cos22.5°；
④sin60°=2sin30°cos30°；
⑤sin80°=2sin40°cos40°．
（2）已知0°＜α＜45°，则sin2α=2sinαcosα，
证明：S△ABC=AB sin2α AC，S△ABC=×2ABsinα ACcosα，
∴sin2α=2sinαcosα．
【分析】（1）根据计算器的使用，可得2倍角三角函数；
（2）根据同一个三角形面积的不同表示，可得答案．
11．锐角A满足cosA=，利用计算器求∠A时，依次按键 ，则计算器上显示的结果是 ．
【答案】60°
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：依次按键 ，显示的是arccos 的值，即A的度数为60．
故答案为：60°．
【分析】根据题意输入计算器中即可，要求同学们能熟练应用计算器．
12．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
13．（2019九上·鄞州期末）比较sin80°与tan46°的大小，其中值较大的是
．
【答案】tan46°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵sin80°＜sin90°=1，tan46°＞tan45°=1，
∴sin80°＜tan46°，
∴ 其中值较大的是tan46°.
故答案为：tan46°.
【分析】根据sin80°＜sin90°=1，tan46°＞tan45°=1，从而可得出答案.
14．若α是锐角，且sinα=1﹣3m，则m的取值范围是 ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是 .
【答案】0＜m＜；sin41°、cos46°、cos37°、cos21°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：α是锐角，且sinα=1﹣3m，
则有0＜1﹣3m＜1，
解得0＜m＜ ；
∵sin41°=cos49°，
根据余弦函数随角增大而减小，
故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
∴按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．
【分析】根据锐角的正弦函数的取值范围，易得0＜1﹣3m＜1，求解；
由一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，可得sin41°=cos49°，进而由余弦函数随角增大而减小，比较角的大小，可得答案．
三、解答题（共8题，共63分）
15．用计算器求下列各式的值：
（1）sin47°；
（2）sin12°30′；
（3）cos25°18′；
（4）tan44°59′59″；
（5）sin18°+cos55°﹣tan59°．
【答案】（1）解：sin47°=0.7314
（2）解：sin12°30′=0.2164
（3）解：cos25°18′=0.9003
（4）解：tan44°59′59″=1.0000
（5）解：sin18°+cos55°﹣tan59=﹣0.7817
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】本题要求同学们，熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
16．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.7325，sinB=0.0547；
（2）cosA=0.6054，cosB=0.1659；
（3）tanA=4.8425，tanB=0.8816．
【答案】解：（1）∵sinA=0.7325，∴∠A≈47.1°，
∵sinB=0.0547，∴∠B≈3.1°；
（2）∵cosA=0.6054，
∴∠A≈52.7°，
∵cosB=0.1659，
∴∠B≈80.5°；
（3）∵tanA=4.8425，
∴∠A≈78.3°，
∵tanB=0.8816，
∴∠B≈41.4°．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）直接利用计算器借助sin﹣1求出即可；
（2）直接利用计算器借助cos﹣1求出即可；
（3）直接利用计算器借助tan﹣1求出即可．
17．已知三角函数值，可以先利用计算器求出锐角α与β，从而比较它们的大小．你能否不用计算器来比较以下的锐角α与β的大小？如果能，说说你的想法．
（1）cosα=，tanβ=；
（2）sinα=0.456 7，cosβ=0.567 8．
【答案】解：（1）cosα=，α≈41.41°，
tanβ=，β≈51.34°，
∴α＜β；
（2）sinα=0.456 7，α≈27.17°，
cosβ=0.567 8，β≈55.40°，
∴α＜β．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】利用计算器分别进行计算即可得解．
18．已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：
均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．
【答案】解：∵各内角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取 ， ，1，
若sinA1= ，
∵sinA2≥ ，sinA3≥ ，
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1﹣sinA2）≤4（ ﹣ ）＜0，
方程①无实根，与已知矛盾，
故sinA1≠ ，
同理sinA2≠ ，sinA3≠ ，
若sinA1= ，则sinA2≥ ，sinA3≥ ，
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1﹣sinA2）=4 （ ﹣ ）＜0，方程①无实根，与已知矛盾，
∴sinA1≠ ，同理sinA2≠ ，sinA3≠ ，
综上，sinA1=1，A1=90°，
这样，其余4n﹣1个内角之和为4n×180°﹣3×90°=720° n﹣270°，这些角均不大于150°，
∴720° n﹣270°≤（4n﹣1） 150°，
故n≤1，又n为正整数，
∴n=1，即多边形为凸六边形，且A4+A5+A6=4×180°﹣3×90°=450°，
∵A4，A5，A6≤150°，
∴A4=A5=A6=150°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角；锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】首先根据30°的倍数得到各个内角的度数可能有的情况，再根据它们的锐角三角函数值结合方程根的情况进行分析．
19．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA= ，cosA= ，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，
∴an+bn＜cn
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA= ，cosA= ，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，即可得到它们的关系．
20．（1）验证下列两组数值的关系：
2sin30° cos30°与sin60°；
2sin22.5° cos22.5°与sin45°．
（2）用一句话概括上面的关系．
（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．
（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．
【答案】解：（1）∵2sin30° cos30°=2××=，sin60°=．
2sin22.5° cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°=≈0.7，
∴2sin30° cos30°=sin60°，2sin22.5° cos22.5=sin45°；
（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；
（3）2sin15° cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°=；
故结论成立；
（4）2sinα cosα=sin2α．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中的关系可得出结论；
（3）任选一个角验证（3）的结论即可；
（4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可．
21．（1）用计算器计算并验证sin25°+sin46°与sin71°之间的大小关系：
（2）若α、β、α+β都是锐角，猜想sinα+sinβ与sin（α+β）的大小关系：
（3）请借助如图的图形证明上述猜想．
【答案】解：（1）sin25°+sin46°＞sin71°
sin25°+sin46°=0.423+0.719=1.142，sin71°=0.956，
∴sin25°+sin46°＞sin71°；
（2）sinα+sinβ＞sin（α+β）；
（3）证明：∵sinα+sinβ=+，sin（α+β）=，
∵OB＞OA，
∴＞，
∴+＞+=．
∵AB+BC＞AE，
∴＞，
∴sinα+sinβ＞sin（α+β）．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）根据计算器，可得有理数的运算，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据（1）的结果，可得答案；
（3）根据正弦函数，可得+，根据不等式的性质，可得＞，根据三角形三边的关系，可得AB+BC＞AE，再根据不等式的性质，可得答案．
22．如图
（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
【答案】（1）解：在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC= ，sin∠B2AC= ，sin∠B3AC= ，
而 ＞ ＞ ．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cos∠B1AC= ，cos∠B2AC= ，cos∠B3AC= ，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴ ＞ ＞ ．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC
（2）解：sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°
（3）=；＜；＞
（4）解：cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：（（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
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