（培优卷）1.2锐角三角函数的计算-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
2．（2022九上·莱州期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习，如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下100米，若斜坡的坡比为，用计算器求下滑的水平距离，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：如图：过点B作，垂足为C，
∵斜坡的坡比为，
∴，
在中，米，
∴米，
故答案为：C．
【分析】过点B作，垂足为C，再利用解直角三角形的的方法求出，最后利用计算器的按键顺序求解即可。
3．（2022·烟台模拟）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
按键的结果为m，
按键的结果为n，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意知，，
，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用计算器计算方法求出m、n的值，再判断即可。
4．（2022·东营模拟）如图，一座厂房屋顶人字架的跨度m，上弦，．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：过B点作BD⊥AC于D，
∵AB=BC，BD⊥AC，AC=12米，
∴AD=CD=6米，
在Rt△ADB中，∠BAC=25°，
∴，
即按键顺序正确的是．
故答案为：B．
【分析】过B点作BD⊥AC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD=CD=6米，在Rt△ADB中，由cosA=可得，据此判断即可.
5．如图，有一个山坡，如果沿山坡在水平AC方向上每前进100m铅直高度就升高60m，那么用科学计算器求坡角∠A的度数，并以“度、分、秒”为单位表示出这个度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵tanA= =0.6，
∴∠A度数的按键顺序为：
故答案为：D.
【分析】根据正切三角函数定义求出tanA的值，然后利用科学计算器，根据按键顺序求∠A的度数即可.
6．利用计算器求值时，小明将按键顺序为 的显示结果为a， 的显示结果为b，则a与b的乘积为（ ）
A．﹣16 B．16 C．﹣9 D．9
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算器知a＝（cos30°）﹣2＝（ ）﹣2＝ ，b═ ＝12，
a与b的乘积为 ×12＝16，
故答案为：B.
【分析】根据按键顺序结合特殊角的三角函数值可得a＝(cos30°)-2＝()-2＝，b=＝12，r然后利用有理数的乘法法则进行计算.
7．（2023·泉州模拟）已知“为锐角时，随着的增大而增大”，则的值更靠近（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：角和角均为锐角，且，
，
，
，，，，
的值更靠近，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性结合特殊角的三角函数值可得，据此判断.
8．（2020·杭州模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（ ）
A．y=1 B．y≥1 C．1≤y≤ D．1≤y≤
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，
当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，
当点E与A重合时，∠BEC=45°，∴tan∠BEC =1，
当点E是AD中点时，如图，设正方形边长为2，∴AE=ED=1，
∴BE=CE=，设EF=x，∴BF=-x，
∵CF2=BC2-BF2=22-（-x）2，CF2=EC2-EF2=（）2-x2，
∴22-（-x）2=（）2-x2，解得x=,∴CF=
∴tan∠BEC=，即得1≤y≤ .
故答案为：D.
【分析】点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，即是当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，分别求出此时的正切值，根据正切函数的性质即得范围.
9．（2021九上·杭州月考）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，设AS交圆于点E，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，
而∠AEB是△SEB的一个外角，所以∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区.
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°.
又因正弦函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小
所有只有cos∠ASB＞cos50°最符合题意.
故答案为：D.
【分析】设AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知∠AEB=∠C=50°，根据三角形外角的性质可得∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区，进而根据三角函数的增减性判断即可.
10．（2020九上·遵化期末）若角 都是锐角，以下结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：①∵ 随 的增大而增大，符合题意；
②∵ 随 的增大而减小，不符合题意；
③∵ 随 的增大而增大，符合题意；
④若 ，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得 ，符合题意；
综上所述，①③④符合题意
故答案为：C．
【分析】根据锐角范围内 、 、 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·咸阳月考）若三个锐角 满足 ，则 由小到大的顺序为 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sin90°=1>sin48°=α>sin45°=，cos48°=βtan45°=1，
∴β<α<γ.
故答案为：β<α<γ.
【分析】首先根据正弦函数、余弦函数、正切函数的增减性判断出sin48°与sin45°，cos48°与cos45°，tan48°与tan45°的关系，然后进行比较即可.
12．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长 米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，则梯子与地面所成锐角的度数为 .（用科学计算器计算，结果精确到 分）
【答案】75°31′
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为 ，
∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，
∴ ，
解得： .
故答案为：75°31′.
【分析】设梯子与地面所成锐角为α，根据三角函数的概念可得cosα==，然后利用计算器进行计算即可.
13．（2019·大同模拟）如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是CD上一点，∠FBE＝45°，则tan∠FEB的值是 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
把△BAF绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，如图，
∴∠BCG＝∠BAF＝90°，∠FBG＝∠ABC＝90°，AF＝CG，
∴点G、
C、E共线，
∵∠EBF＝45°，
∴∠GBE＝45°，BG＝BF，
在△BEF和△BGE中，
，
∴△BEF≌△BGE（SAS），
∴∠FEB＝∠GEB，
设正方形的边长为2a，CE＝x，则AF＝DF＝a，CG＝AF＝a，DF＝2a﹣x，EF＝EG＝x+a，
在Rt△DEF中，∵DF2+DE2＝EF2，
∴a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，
解得x＝ a，
在Rt△BCE中，
tan∠CEB＝ ，
∴tan∠FEB＝3．
故答案为3．
【分析】根据正方形的性质以及图形旋转的性质，可以判断△BEF≌△BGE（SAS），即而∠FEB＝∠GEB，设CE=x，边长为2a，利用勾股定理等求出x的值，再进行三角函数的计算即可。
14．（2021九上·溧阳期末）如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F.若点F是CD的中点，则tan∠BAP= .
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
又∵∠PFC=∠EFD，∠C=∠EDF=90°，
∴△EDF≌△PCF(ASA)，
∴CP=DE，PF=EF，
设CF=x，BP=y，
则CD=2CF=2x，CP=DE=BC-BP=2x-y，
∴ ，
，
∵EH垂直平分AP，
∴AE=EP，
即： ，
整理得： ，
即： ，
令 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 ，
，
∵点P在正方形ABCD的BC边上，
∴ ，
即： ，
∴取 符合题意，此时 ，
故答案为： .
【分析】首先根据点F是CD的中点，结合正方形的性质可得出△EDF≌△PCF，则设CF=x，BP=y，从而分别表示出PF和EP，再结合垂直平分这个条件建立关于x，y的等式，通过变形整体求出 的值，最后根据题意判断合理的结果即可.
15．要加工形状如图的零件，根据图示尺寸（单位：mm）计算斜角α的度数为 .（用计算器计算，精确到1″）.
【答案】22°9′12″
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：EG=CD-AB=150-124=26（cm），
则GF=83-EG=83-26=57（cm），
则在直角△AGF中，tanα= = ，由计算机可得：α=22°9′12″
故答案为：22°9′12″.
【分析】由图形可得EG=CD-AB=26cm，GF=EF-EG=57cm，根据三角函数的概念可得tanα== ，然后利用计算器就可求出α的度数.
16．请从以下两个小题中任选一个作答.
A：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ .
B：用科学计算器计算： +3tan56°≈ .（结果精确到0.01）
【答案】72；10.02
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：A、正五边形每个内角的度数＝ ＝108°，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA＝ （180°﹣∠E）＝ （180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
故答案为：72°.
B、 +3tan56°≈10.02.
故答案为：10.02.
【分析】首先根据内角和公式求出正五边形每个内角的度数，然后结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EAD＝∠EDA=36°，根据∠BAD=∠EAB-∠EAD可得∠BAD的度数；依次按键、31、+、3、×、tan、56、=可得结果.
三、解答题（共5题，共56分）
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= .
（1）若AB=10，则BC= ，AC= ，cosA= ；
（2）若BC=3x，则AB= ，AC= ，tanA= ，tanB= ，sinB= .
（3）用计算器可以求得∠A≈ ，∠B≈ （精确到1″）.
【答案】（1）6；8；
（2）5x；4x；；；
（3）36°52′12″；53°7′48″.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】（1）∵sinA= = ，
∴BC=10× =6，
∴AC= ，
∴cosA= = ；
（2）∵sinA= = ，
∴AB= =5x，
∴AC= 4x，
∴tanA= ，tanB= = ，sinB= = ；
（3）∵sinA= ，
∴∠A≈36°52′12″，
∴∠B=90°－∠A≈53°7′48″.
【分析】(1)利用正弦三角函数定义求出BC长，再利用勾股定理求AC长，然后根据余弦三角函数定义求cosA即可；
(2)根据正弦三角函数定义用含x的代数式表示AB，再利用勾股定理表示出BC，最后根据三角函数定义分别计算即可；
(3)利用计算器先求出A的度数，再利用余角的性质求∠B即可.
18．
（1）验证下列两组数值的关系：
2sin30° cos30°与sin60°；
2sin22.5° cos22.5°与sin45°.
（2）用一句话概括上面的关系.
（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立.
（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式.
【答案】（1）解：∵2sin30° cos30°=2 ，sin60° .
2sin22.5° cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45° 0.7，∴2sin30° cos30°=sin60°，2sin22.5° cos22.5=sin45°；
（2）解：由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；
（3）解：2sin15° cos15°≈2×0.26×0.97 ，sin30° ；
故结论成立；
（4）解：2sinα cosα=sin2α.
【知识点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可得2sin30°cos30°=2××=，sin60°=；依次输入2、×、sin、22.5、cos、22.5、=可得2sin22.5°cos22.5°的值，根据特殊角的三角函数值可得sin45°的值；
（2）根据（1）的结果可推出： 一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；
（3）取α=15°，依次输入2、×、sin、15、cos、15、=可得2sin15°cos15°的值，根据特殊角的三角函数值可得sin30°的值，然后进行比较；
（4）将（2）的结论用含α的式子表示出来即可.
19．如图
（1）用计算器计算并验证 与 之间的大小关系；
（2）若 ， ， 都是锐角，猜想 与 之间的大小关系；
（3）请借助如下图形证明上述猜想.
【答案】（1）解：∵ ， ，
.
（2）解： .
（3）证明：由图，
可得 ， ，
∵ ，
，
，
∵ ，
，
.
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）依次按键sin、25、+sin、46、=可得sin25°+sin46°的结果，按键sin、71、=可得sin71°的结果，然后进行比较；
（2）根据（1）的结果进行猜想；
（3）画出示意图，表示出sinα+sinβ，sin(α+β)，结合不等式的性质进行证明.
20．（2019·烟台）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 ， 可绕点 开合，在 边上有一固定点 ，支柱 可绕点 转动，边 上有六个卡孔，其中离点 最近的卡孔为 ，离点 最远的卡孔为 .当支柱端点 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 的长为 ， 为 ，支柱 为 .
（1）当支柱的端点 放在卡孔 处时，求 的度数；
（2）当支柱的端点 放在卡孔 处时， ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
【答案】（1）解：如图1，作 ，垂足为点 ，
在 中，根据勾股定理， .
同理， ( ， 为同一点).
∵ ， ， ，
，
解得 .
在 中 ，
∴ ，
即 .
（2）解：如图2，作 ，垂足为点 ，
在 中， .
.
在 中， ，
∴ .( ， 为同一点)
∴ .
.
∴相邻两个卡孔的间距为 .
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 作 ，垂足为点 。在直角三角形中利用勾股定理，分析求得OD。利用三角函数，根据三角函数值求出角的度数。
（2） 作 。求MN的距离， 。 在 中 ，根据三角函数值，求得PE，OE。 在 中 ，利用勾股定理求得EQ。即而求出MN。
21．（2020·烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60岁） 女性（18～55岁）
抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（近似值） 计算器按键顺序 计算结果（近似值）
0.1 78.7
0.2 84.3
1.7 5.7
3.5 11.3
【答案】（1）176；164
（2）解：如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，
∴tan∠FAC＝ ＝ ＝5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°．
【知识点】等腰三角形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，
故答案为：176，164；
【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题；（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tan∠FAC，根据表格即可得出∠FAC，即可得出答案．
1 / 1（培优卷）1.2锐角三角函数的计算-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022九上·莱州期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习，如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下100米，若斜坡的坡比为，用计算器求下滑的水平距离，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·烟台模拟）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
按键的结果为m，
按键的结果为n，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（2022·东营模拟）如图，一座厂房屋顶人字架的跨度m，上弦，．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，有一个山坡，如果沿山坡在水平AC方向上每前进100m铅直高度就升高60m，那么用科学计算器求坡角∠A的度数，并以“度、分、秒”为单位表示出这个度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．利用计算器求值时，小明将按键顺序为 的显示结果为a， 的显示结果为b，则a与b的乘积为（ ）
A．﹣16 B．16 C．﹣9 D．9
7．（2023·泉州模拟）已知“为锐角时，随着的增大而增大”，则的值更靠近（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·杭州模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（ ）
A．y=1 B．y≥1 C．1≤y≤ D．1≤y≤
9．（2021九上·杭州月考）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020九上·遵化期末）若角 都是锐角，以下结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·咸阳月考）若三个锐角 满足 ，则 由小到大的顺序为 .
12．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长 米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，则梯子与地面所成锐角的度数为 .（用科学计算器计算，结果精确到 分）
13．（2019·大同模拟）如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是CD上一点，∠FBE＝45°，则tan∠FEB的值是 ．
14．（2021九上·溧阳期末）如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F.若点F是CD的中点，则tan∠BAP= .
15．要加工形状如图的零件，根据图示尺寸（单位：mm）计算斜角α的度数为 .（用计算器计算，精确到1″）.
16．请从以下两个小题中任选一个作答.
A：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ .
B：用科学计算器计算： +3tan56°≈ .（结果精确到0.01）
三、解答题（共5题，共56分）
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= .
（1）若AB=10，则BC= ，AC= ，cosA= ；
（2）若BC=3x，则AB= ，AC= ，tanA= ，tanB= ，sinB= .
（3）用计算器可以求得∠A≈ ，∠B≈ （精确到1″）.
18．
（1）验证下列两组数值的关系：
2sin30° cos30°与sin60°；
2sin22.5° cos22.5°与sin45°.
（2）用一句话概括上面的关系.
（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立.
（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式.
19．如图
（1）用计算器计算并验证 与 之间的大小关系；
（2）若 ， ， 都是锐角，猜想 与 之间的大小关系；
（3）请借助如下图形证明上述猜想.
20．（2019·烟台）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 ， 可绕点 开合，在 边上有一固定点 ，支柱 可绕点 转动，边 上有六个卡孔，其中离点 最近的卡孔为 ，离点 最远的卡孔为 .当支柱端点 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 的长为 ， 为 ，支柱 为 .
（1）当支柱的端点 放在卡孔 处时，求 的度数；
（2）当支柱的端点 放在卡孔 处时， ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
21．（2020·烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60岁） 女性（18～55岁）
抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（近似值） 计算器按键顺序 计算结果（近似值）
0.1 78.7
0.2 84.3
1.7 5.7
3.5 11.3
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
2．【答案】C
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：如图：过点B作，垂足为C，
∵斜坡的坡比为，
∴，
在中，米，
∴米，
故答案为：C．
【分析】过点B作，垂足为C，再利用解直角三角形的的方法求出，最后利用计算器的按键顺序求解即可。
3．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意知，，
，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用计算器计算方法求出m、n的值，再判断即可。
4．【答案】B
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：过B点作BD⊥AC于D，
∵AB=BC，BD⊥AC，AC=12米，
∴AD=CD=6米，
在Rt△ADB中，∠BAC=25°，
∴，
即按键顺序正确的是．
故答案为：B．
【分析】过B点作BD⊥AC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD=CD=6米，在Rt△ADB中，由cosA=可得，据此判断即可.
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵tanA= =0.6，
∴∠A度数的按键顺序为：
故答案为：D.
【分析】根据正切三角函数定义求出tanA的值，然后利用科学计算器，根据按键顺序求∠A的度数即可.
6．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算器知a＝（cos30°）﹣2＝（ ）﹣2＝ ，b═ ＝12，
a与b的乘积为 ×12＝16，
故答案为：B.
【分析】根据按键顺序结合特殊角的三角函数值可得a＝(cos30°)-2＝()-2＝，b=＝12，r然后利用有理数的乘法法则进行计算.
7．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：角和角均为锐角，且，
，
，
，，，，
的值更靠近，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性结合特殊角的三角函数值可得，据此判断.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，
当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，
当点E与A重合时，∠BEC=45°，∴tan∠BEC =1，
当点E是AD中点时，如图，设正方形边长为2，∴AE=ED=1，
∴BE=CE=，设EF=x，∴BF=-x，
∵CF2=BC2-BF2=22-（-x）2，CF2=EC2-EF2=（）2-x2，
∴22-（-x）2=（）2-x2，解得x=,∴CF=
∴tan∠BEC=，即得1≤y≤ .
故答案为：D.
【分析】点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，即是当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，分别求出此时的正切值，根据正切函数的性质即得范围.
9．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，设AS交圆于点E，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，
而∠AEB是△SEB的一个外角，所以∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区.
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°.
又因正弦函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小
所有只有cos∠ASB＞cos50°最符合题意.
故答案为：D.
【分析】设AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知∠AEB=∠C=50°，根据三角形外角的性质可得∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区，进而根据三角函数的增减性判断即可.
10．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：①∵ 随 的增大而增大，符合题意；
②∵ 随 的增大而减小，不符合题意；
③∵ 随 的增大而增大，符合题意；
④若 ，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得 ，符合题意；
综上所述，①③④符合题意
故答案为：C．
【分析】根据锐角范围内 、 、 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得．
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sin90°=1>sin48°=α>sin45°=，cos48°=βtan45°=1，
∴β<α<γ.
故答案为：β<α<γ.
【分析】首先根据正弦函数、余弦函数、正切函数的增减性判断出sin48°与sin45°，cos48°与cos45°，tan48°与tan45°的关系，然后进行比较即可.
12．【答案】75°31′
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为 ，
∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，
∴ ，
解得： .
故答案为：75°31′.
【分析】设梯子与地面所成锐角为α，根据三角函数的概念可得cosα==，然后利用计算器进行计算即可.
13．【答案】3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
把△BAF绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，如图，
∴∠BCG＝∠BAF＝90°，∠FBG＝∠ABC＝90°，AF＝CG，
∴点G、
C、E共线，
∵∠EBF＝45°，
∴∠GBE＝45°，BG＝BF，
在△BEF和△BGE中，
，
∴△BEF≌△BGE（SAS），
∴∠FEB＝∠GEB，
设正方形的边长为2a，CE＝x，则AF＝DF＝a，CG＝AF＝a，DF＝2a﹣x，EF＝EG＝x+a，
在Rt△DEF中，∵DF2+DE2＝EF2，
∴a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，
解得x＝ a，
在Rt△BCE中，
tan∠CEB＝ ，
∴tan∠FEB＝3．
故答案为3．
【分析】根据正方形的性质以及图形旋转的性质，可以判断△BEF≌△BGE（SAS），即而∠FEB＝∠GEB，设CE=x，边长为2a，利用勾股定理等求出x的值，再进行三角函数的计算即可。
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
又∵∠PFC=∠EFD，∠C=∠EDF=90°，
∴△EDF≌△PCF(ASA)，
∴CP=DE，PF=EF，
设CF=x，BP=y，
则CD=2CF=2x，CP=DE=BC-BP=2x-y，
∴ ，
，
∵EH垂直平分AP，
∴AE=EP，
即： ，
整理得： ，
即： ，
令 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 ，
，
∵点P在正方形ABCD的BC边上，
∴ ，
即： ，
∴取 符合题意，此时 ，
故答案为： .
【分析】首先根据点F是CD的中点，结合正方形的性质可得出△EDF≌△PCF，则设CF=x，BP=y，从而分别表示出PF和EP，再结合垂直平分这个条件建立关于x，y的等式，通过变形整体求出 的值，最后根据题意判断合理的结果即可.
15．【答案】22°9′12″
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：EG=CD-AB=150-124=26（cm），
则GF=83-EG=83-26=57（cm），
则在直角△AGF中，tanα= = ，由计算机可得：α=22°9′12″
故答案为：22°9′12″.
【分析】由图形可得EG=CD-AB=26cm，GF=EF-EG=57cm，根据三角函数的概念可得tanα== ，然后利用计算器就可求出α的度数.
16．【答案】72；10.02
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：A、正五边形每个内角的度数＝ ＝108°，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA＝ （180°﹣∠E）＝ （180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
故答案为：72°.
B、 +3tan56°≈10.02.
故答案为：10.02.
【分析】首先根据内角和公式求出正五边形每个内角的度数，然后结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EAD＝∠EDA=36°，根据∠BAD=∠EAB-∠EAD可得∠BAD的度数；依次按键、31、+、3、×、tan、56、=可得结果.
17．【答案】（1）6；8；
（2）5x；4x；；；
（3）36°52′12″；53°7′48″.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】（1）∵sinA= = ，
∴BC=10× =6，
∴AC= ，
∴cosA= = ；
（2）∵sinA= = ，
∴AB= =5x，
∴AC= 4x，
∴tanA= ，tanB= = ，sinB= = ；
（3）∵sinA= ，
∴∠A≈36°52′12″，
∴∠B=90°－∠A≈53°7′48″.
【分析】(1)利用正弦三角函数定义求出BC长，再利用勾股定理求AC长，然后根据余弦三角函数定义求cosA即可；
(2)根据正弦三角函数定义用含x的代数式表示AB，再利用勾股定理表示出BC，最后根据三角函数定义分别计算即可；
(3)利用计算器先求出A的度数，再利用余角的性质求∠B即可.
18．【答案】（1）解：∵2sin30° cos30°=2 ，sin60° .
2sin22.5° cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45° 0.7，∴2sin30° cos30°=sin60°，2sin22.5° cos22.5=sin45°；
（2）解：由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；
（3）解：2sin15° cos15°≈2×0.26×0.97 ，sin30° ；
故结论成立；
（4）解：2sinα cosα=sin2α.
【知识点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可得2sin30°cos30°=2××=，sin60°=；依次输入2、×、sin、22.5、cos、22.5、=可得2sin22.5°cos22.5°的值，根据特殊角的三角函数值可得sin45°的值；
（2）根据（1）的结果可推出： 一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；
（3）取α=15°，依次输入2、×、sin、15、cos、15、=可得2sin15°cos15°的值，根据特殊角的三角函数值可得sin30°的值，然后进行比较；
（4）将（2）的结论用含α的式子表示出来即可.
19．【答案】（1）解：∵ ， ，
.
（2）解： .
（3）证明：由图，
可得 ， ，
∵ ，
，
，
∵ ，
，
.
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）依次按键sin、25、+sin、46、=可得sin25°+sin46°的结果，按键sin、71、=可得sin71°的结果，然后进行比较；
（2）根据（1）的结果进行猜想；
（3）画出示意图，表示出sinα+sinβ，sin(α+β)，结合不等式的性质进行证明.
20．【答案】（1）解：如图1，作 ，垂足为点 ，
在 中，根据勾股定理， .
同理， ( ， 为同一点).
∵ ， ， ，
，
解得 .
在 中 ，
∴ ，
即 .
（2）解：如图2，作 ，垂足为点 ，
在 中， .
.
在 中， ，
∴ .( ， 为同一点)
∴ .
.
∴相邻两个卡孔的间距为 .
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 作 ，垂足为点 。在直角三角形中利用勾股定理，分析求得OD。利用三角函数，根据三角函数值求出角的度数。
（2） 作 。求MN的距离， 。 在 中 ，根据三角函数值，求得PE，OE。 在 中 ，利用勾股定理求得EQ。即而求出MN。
21．【答案】（1）176；164
（2）解：如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，
∴tan∠FAC＝ ＝ ＝5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°．
【知识点】等腰三角形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，
故答案为：176，164；
【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题；（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tan∠FAC，根据表格即可得出∠FAC，即可得出答案．
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