（基础卷）1.3解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·诸暨期末）如图，中，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2022九上·汽开区期末）在中，，，，则的（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2022九上·胶州期末）如图，斜坡长，坡顶离地面的高度为，则此斜坡的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·霍邱月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=
6．（2022九上·建设月考）在中，，，，分别是、、的对边，则有（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九下·义乌月考）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为
A． B． C． D．
8．（2023九上·镇海区期末）如图，某游乐场一滑梯长为l，滑梯的坡角为，那么滑梯的高h的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九上·广平期末）某斜坡的坡度，则它的坡角是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·武义期末）如图，从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·曹县期中）在中，，，则的度数为 ．
12．（2022九上·黄浦期中）在中，，如果，，那么 ．
13．（2022九上·虹口期中）已知中，，，，那么的长是 ．
14．（2021九上·瑶海期末）某人沿着坡角为的斜坡前进80m，则他上升的最大高度是 m．
15．（2021九下·江油开学考）如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A和B的正东方向上，且点D位于点C的北偏东60°方向上，CD＝12km，则AB＝ km.
16．（2023九下·孝南月考）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为120m，那么该建筑物的高度BC约为 m（结果保留整数，）．
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2022九上·温州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，求AC，AB及sinB的值．
18．（2022九上·顺义期末）在中，，若．请你添加一个条件： ▲ ，设计一道解直角三角形的题目（不用计算器计算），并画出图形，解这个直角三角形．
19．（2022九上·江门期末）中，，，，求边的长度．
20．（2022九上·临清期中）如图，在中，，，，求长．
21．（2022九上·牟平期中）如图，在中，，，，求的长．（，）
22．（2018九上·定安期末）如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．
23．（2018九上·江阴期中）如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°(即图2中∠ACB＝20°)时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB＝1.5m，木板超出车厢部分AD＝0.5m，请求出木板CD的长度？
(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m)
24．（2018九下·吉林模拟）如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．
（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）
25．（2023九上·武义期末）如图，小聪全家自驾到某风景区旅游，到达A景点后，导航显示沿北偏西方向行驶8千米到达B景点，在B景点查询C景点显示在北偏东方向上，到达C景点，小聪发现C景点恰好在A景点的正北方向，求B，C两景点的距离.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】观察图形，结合已知条件BC=8，可知要求AB的长，利用∠A的正弦，可求出AB的长.
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∴可设，则，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在中，，
，
，
在中，．
故答案为：D．
【分析】根据，求出，再利用勾股定理求出BC的长即可。
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，
则，
答：此斜坡的倾斜角为．
故答案为：B．
【分析】利用正弦的定义可得，再利用特殊角的三角函数值求出即可。
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ，
∴，
∴，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理先求出BC的值，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，，分别是、、的对边，
，则，A不符合题意；
，则，B不符合题意；
，则，C符合题意；
，则，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数分别求出AB=，AD=，继而求出AB：AD的值即可.
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由图可知，
∴.
故答案为：D.
【分析】直接根据三角函数的概念进行解答.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设坡角为α，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】设坡角为α，根据特殊角的三角函数值可得。
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是.
故答案为：A.
【分析】根据仰角的概念进行解答.
11．【答案】60°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：60°．
【分析】根据，求出，再利用特殊角的三角形函数值可得。
12．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】由即可求解.
13．【答案】10
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据，，再直接求出AB的长即可。
14．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，
sin A=，
∵∠A=α，AB=80m，
∴BC=AB sinA=80sinα（m），
∴他上升的最大高度是80sinαm，
故答案为：80sinα．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
15．【答案】6
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过C作CE⊥BD于E，则CE=AB.
∵在Rt△CDE中，∠ECD=60°，CD=12km，
∴CE=CD·cos60°=12×=6km，
∴AB=6km.
故答案为：6.
【分析】过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数的概念可求得CE的长，从而得到AB的长.
16．【答案】328
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠BAD=45°，AD=120，
∴BD=120m.
∵∠CAD=60°，AD=120，
∴CD=AD·tan60°=，
∴BC=BD+CD=120+≈328.
故答案为：328.
【分析】在Rt△ABD、Rt△ACD中，根据三角函数的概念可得BD、CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
17．【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，
∴sinA＝＝，即＝，
∴AB＝6，
∴AC＝，
∴sinB＝.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先根据正弦函数的定义求出AB，再利用勾股定理求出AC，最后根据正弦函数的定义，即可求出sinB的值．
18．【答案】解：（答案不唯一）如图，
在中，
由勾股定理得，，
，
，
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 （答案不唯一） ，据此画出图形，利用勾股定理求出BC，由于可得∠A的度数，再利用直角三角形两锐角互余可求出∠B的度数.
19．【答案】解：过点作，交的延长线于点．
，，，
，．
在中，
，
，，
，．
在中，
，
．
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点作，交的延长线于点，先利用解直角三角形的方法求出，，再结合，可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可。
20．【答案】解：过点A作，垂足为D
在中，，
，
在中，
长为
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作，垂足为D，先利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再解直角三角形求出AB和BD，最后利用线段的和差求出BC的长即可。
21．【答案】解：过C作，交的延长线于点D．
∵，，
∴，
在中，，，
∴
在中，，
∴
∴．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】
过C作，交的延长线于点D ， 根据三角形外角的性质求出∠CAD.在Rt△ACD中，求出AD， CD，在Rt△BCD中，求出BD，再利用AB= BD- AD即可求解。
22．【答案】解：作AD⊥BC,垂足为D.
设AD= xm，
∵∠ABC=45°，
∴BD＝AD= xm，
∵∠ACB=30°，
∴DC＝ ＝ xm，
∵AD+DC=BC ,且BC＝40m，
∴ ，
解得， ，
答：则河的宽度为 m
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】作AD⊥BC,垂足为D.利用解直角三角形的知识进行求解即可。
23．【答案】解：由题意可知：AB⊥BC． ∴在Rt△ABC中，sin∠ACB= ， ∴AC= = = ≈4.39， ∴CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89≈4.9（m）． 故答案为：4.9m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据正弦函数的定义，由 sin∠ACB= ，即可算出AC的长，然后根据 CD=AC+AD 即可算出答案。
24．【答案】解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．
∵sin40°= ，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．
答：山的高度BC约为422米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正弦函数的定义由sin40°=BC ∶AB得出B错的长度，从而得出答案。
25．【答案】解：如图标出对应的角度，过作与点，
在中，（千米），
∵中，，
∴是等腰直角三角形，
∴（千米），
∴（千米）
答：B，C两景点的距离为千米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据三角函数的概念可得BD的值，推出△BCD是等腰直角三角形，然后根据勾股定理进行计算.
1 / 1（基础卷）1.3解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·诸暨期末）如图，中，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】观察图形，结合已知条件BC=8，可知要求AB的长，利用∠A的正弦，可求出AB的长.
2．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∴可设，则，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
3．（2022九上·汽开区期末）在中，，，，则的（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在中，，
，
，
在中，．
故答案为：D．
【分析】根据，求出，再利用勾股定理求出BC的长即可。
4．（2022九上·胶州期末）如图，斜坡长，坡顶离地面的高度为，则此斜坡的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，
则，
答：此斜坡的倾斜角为．
故答案为：B．
【分析】利用正弦的定义可得，再利用特殊角的三角函数值求出即可。
5．（2022九上·霍邱月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ，
∴，
∴，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理先求出BC的值，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
6．（2022九上·建设月考）在中，，，，分别是、、的对边，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，，分别是、、的对边，
，则，A不符合题意；
，则，B不符合题意；
，则，C符合题意；
，则，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法逐项判断即可。
7．（2023九下·义乌月考）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数分别求出AB=，AD=，继而求出AB：AD的值即可.
8．（2023九上·镇海区期末）如图，某游乐场一滑梯长为l，滑梯的坡角为，那么滑梯的高h的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由图可知，
∴.
故答案为：D.
【分析】直接根据三角函数的概念进行解答.
9．（2022九上·广平期末）某斜坡的坡度，则它的坡角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设坡角为α，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】设坡角为α，根据特殊角的三角函数值可得。
10．（2023九上·武义期末）如图，从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是.
故答案为：A.
【分析】根据仰角的概念进行解答.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·曹县期中）在中，，，则的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：60°．
【分析】根据，求出，再利用特殊角的三角形函数值可得。
12．（2022九上·黄浦期中）在中，，如果，，那么 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】由即可求解.
13．（2022九上·虹口期中）已知中，，，，那么的长是 ．
【答案】10
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据，，再直接求出AB的长即可。
14．（2021九上·瑶海期末）某人沿着坡角为的斜坡前进80m，则他上升的最大高度是 m．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，
sin A=，
∵∠A=α，AB=80m，
∴BC=AB sinA=80sinα（m），
∴他上升的最大高度是80sinαm，
故答案为：80sinα．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
15．（2021九下·江油开学考）如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A和B的正东方向上，且点D位于点C的北偏东60°方向上，CD＝12km，则AB＝ km.
【答案】6
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过C作CE⊥BD于E，则CE=AB.
∵在Rt△CDE中，∠ECD=60°，CD=12km，
∴CE=CD·cos60°=12×=6km，
∴AB=6km.
故答案为：6.
【分析】过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数的概念可求得CE的长，从而得到AB的长.
16．（2023九下·孝南月考）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为120m，那么该建筑物的高度BC约为 m（结果保留整数，）．
【答案】328
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠BAD=45°，AD=120，
∴BD=120m.
∵∠CAD=60°，AD=120，
∴CD=AD·tan60°=，
∴BC=BD+CD=120+≈328.
故答案为：328.
【分析】在Rt△ABD、Rt△ACD中，根据三角函数的概念可得BD、CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2022九上·温州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，求AC，AB及sinB的值．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，
∴sinA＝＝，即＝，
∴AB＝6，
∴AC＝，
∴sinB＝.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先根据正弦函数的定义求出AB，再利用勾股定理求出AC，最后根据正弦函数的定义，即可求出sinB的值．
18．（2022九上·顺义期末）在中，，若．请你添加一个条件： ▲ ，设计一道解直角三角形的题目（不用计算器计算），并画出图形，解这个直角三角形．
【答案】解：（答案不唯一）如图，
在中，
由勾股定理得，，
，
，
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 （答案不唯一） ，据此画出图形，利用勾股定理求出BC，由于可得∠A的度数，再利用直角三角形两锐角互余可求出∠B的度数.
19．（2022九上·江门期末）中，，，，求边的长度．
【答案】解：过点作，交的延长线于点．
，，，
，．
在中，
，
，，
，．
在中，
，
．
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点作，交的延长线于点，先利用解直角三角形的方法求出，，再结合，可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可。
20．（2022九上·临清期中）如图，在中，，，，求长．
【答案】解：过点A作，垂足为D
在中，，
，
在中，
长为
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作，垂足为D，先利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再解直角三角形求出AB和BD，最后利用线段的和差求出BC的长即可。
21．（2022九上·牟平期中）如图，在中，，，，求的长．（，）
【答案】解：过C作，交的延长线于点D．
∵，，
∴，
在中，，，
∴
在中，，
∴
∴．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】
过C作，交的延长线于点D ， 根据三角形外角的性质求出∠CAD.在Rt△ACD中，求出AD， CD，在Rt△BCD中，求出BD，再利用AB= BD- AD即可求解。
22．（2018九上·定安期末）如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．
【答案】解：作AD⊥BC,垂足为D.
设AD= xm，
∵∠ABC=45°，
∴BD＝AD= xm，
∵∠ACB=30°，
∴DC＝ ＝ xm，
∵AD+DC=BC ,且BC＝40m，
∴ ，
解得， ，
答：则河的宽度为 m
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】作AD⊥BC,垂足为D.利用解直角三角形的知识进行求解即可。
23．（2018九上·江阴期中）如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°(即图2中∠ACB＝20°)时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB＝1.5m，木板超出车厢部分AD＝0.5m，请求出木板CD的长度？
(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m)
【答案】解：由题意可知：AB⊥BC． ∴在Rt△ABC中，sin∠ACB= ， ∴AC= = = ≈4.39， ∴CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89≈4.9（m）． 故答案为：4.9m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据正弦函数的定义，由 sin∠ACB= ，即可算出AC的长，然后根据 CD=AC+AD 即可算出答案。
24．（2018九下·吉林模拟）如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．
（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）
【答案】解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．
∵sin40°= ，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．
答：山的高度BC约为422米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正弦函数的定义由sin40°=BC ∶AB得出B错的长度，从而得出答案。
25．（2023九上·武义期末）如图，小聪全家自驾到某风景区旅游，到达A景点后，导航显示沿北偏西方向行驶8千米到达B景点，在B景点查询C景点显示在北偏东方向上，到达C景点，小聪发现C景点恰好在A景点的正北方向，求B，C两景点的距离.
【答案】解：如图标出对应的角度，过作与点，
在中，（千米），
∵中，，
∴是等腰直角三角形，
∴（千米），
∴（千米）
答：B，C两景点的距离为千米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据三角函数的概念可得BD的值，推出△BCD是等腰直角三角形，然后根据勾股定理进行计算.
1 / 1
