（提升卷）1.3解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九下·长兴月考）如图，若△ABC底边BC上的高为h1，△DEF底边EF上的高为h2，则h1与h2的大小关系是（ ）
A．h1=h2 B．h1C．h1>h2 D．以上都有可能
2．（2022九下·义乌开学考）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2021九上·海曙期末）如图是一段索道的示意图. 若 米， ， 则洗车从 点到 点上升的高度 的长为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
4．（2021九上·上城月考）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2021九上·平阳期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结AG，CF，AG交CF于点P，AP=2 ， 则 =（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2023九下·鹿城月考）图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九下·永康月考） 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，点O为小亮家的位置，他家门前有一条东西走向的公路，水塔A位于他家北偏东60°的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离是（ ）
A．250米 B．250 C．150 D．250
10．（2021九上·鹿城开学考）图1是一块矩形材料 ，被分割成三块， ， ，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·舟山月考）小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了 cm。
12．（2021九上·宁波月考）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 .（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈ ，tan53°≈ ）
13．（2022九上·金华月考）如图，A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，小明同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时小明同学一共走的距离为 米．
14．（2022九上·上城月考）如图，以C为公共顶点的和中，，，且点D在线段上，则 ，若，则 .
15．（2022九上·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC16．（2023九下·义乌月考）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，.如图，，.则投影探头的端点到桌面的距离为 .如图3，将图2中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，则的大小为 度.（参考数据：，，，）
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九下·杭州月考）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
18．（2022九下·衢州开学考）共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： ， ， ， ）
19．（2023九下·宁波月考）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长.图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB.壶嘴EF=80cm，∠FED=70°
（1）求FE与水平桌面l的夹角
（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度.（结果保留一位小数）.
参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75.
20．（2023九下·衢江月考）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知，，，，.（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）
（1）连结，求线段的长.
（2）求点A，B之间的距离.
21．（2023九下·永康月考） 如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为.
（1）求坡高；
（2）求斜坡新起点与原起点的距离精确到0.1米.
参考数据：，，
22．（2023九下·婺城月考）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度.（结果保留整数）
23．（2023九上·诸暨期末）如图，在一片海域中有三个岛屿，标记为，，.经过测量岛屿在岛屿的北偏东，岛屿在岛屿的南偏东，岛屿在岛屿的南偏东.
（1）直接写出的三个内角度数；
（2）小明测得较近两个岛屿，求、的长度（最终结果保留根号，不用三角函数表示）.
24．（2023九上·宁波期末）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，∠DAB是所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．
（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ .请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，
∴在Rt△ABC中，h1=AH=5·sin50°，
在Rt△DGF中，h2=DG=5·sin50°，
∴h1=h2.
故答案为：A.
【分析】分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，分别在Rt△ABC中和Rt△DGF中，利用锐角三角函数表示出h1和h2，再比较大小即可得出正确答案.
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=BC=1 ，
在Rt △OAB中， sinα =
∴OB=
∵在Rt△BCO中，OB2+BC2=OC2
∴OC2 =( )2+12=
故答案为：B.
【分析】由正弦函数的定义得sin α = ，从而表示出OB的长，再由勾股定理OB2+BC2=OC2，可表示出OC2，由此得出答案.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ABC中
∴BC=1000sinα.
故答案为：A.
【分析】将图形补充完整，在Rt△ABC中，利用直角三角形可求出BC的长.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OC、AC，作CD⊥OA于D，
∵OA＝OC＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∵CD⊥OA，∠CDO=90°，OD=AD=，
∴CD=OD×tan60°=，
S△OAC＝，
∴∠BOC＝30°，
，
S扇形OAC＝，
则阴影部分的面积＝﹣（﹣）＝﹣，
故答案为：B.
【分析】连接OC、AC，作CD⊥OA于D，求出△AOC为等边三角形得∠OAC＝60°，∠CDO=90°，OD=AD=，从而求出CD=，∠BOC＝30°，利用阴影部分的面积=扇形OBC-（扇形OAC-△AOC的面积）计算即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接FG，OC，OA，过点A作AH⊥FC于点H，过点G作GQ⊥FC于点Q，
∴∠AHF=∠GQP=∠AHP=90°
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOF=∠CFA=360°÷6=60°，
∴∠FAH=90°-60°=30°
∵弧AF=弧AF，
∴∠FGA=∠AOF=30°，
∠FAP=（180°-∠FGA）÷2=75°；
∴∠HAP=∠FAP-∠FAH=45°
∴△AHP是等腰直角三角形，
∴AH=HP=
∴在Rt△AFH中
，
∴OF=AF=OC=4，
CG是正十二边形的一边，
∠COG=360°÷12=30°，
∴GQ=OG=2，
∴；
∴CQ=OC-OQ=4-
∵∠HPA=∠GPQ=∠PGQ=45°，
∴CQ=PQ=2
∴CP=PQ+CQ=4-+2=6-
∴.
故答案为：D.
【分析】连接FG，OC，OA，过点A作AH⊥FC于点H，过点G作GQ⊥FC于点Q，利用正六边形的性质可求出∠AOF=∠CFA=60°，从而可求出∠FAH的度数，再利用圆周角定理可求出∠FGA的度数；再证明△AHP，△GPQ是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出AH，HP的长， 在Rt△AFH中，利用解直角三角形求出AF的长，即可得到OF=AF=OC=4；再利用CG是正十二边形的一边，可求出∠COG的度数，利用解直角三角形求出OQ的长，即可得到CQ的长，同时可求出PQ，CQ的长；然后根据CP=PQ+CQ，代入计算求出CP的长；最后求出AP与CP的比值.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵OB=OD，∠BOD=70°，
∴∠OBD=∠ODB=55°，
∵OB=50cm，OA=80cm，
∴AB=OA+OB=130cm，
∵，
∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm.
故答案为：B.
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠OBD=55°，由线段和差得AB=OA+OB=130cm，然后根据∠ABE的正弦函数可表示出AE的长.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故答案为：A.
【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可得CE=BD=a米，根据三角函数的概念可得BE、AE，然后根据AB=AE+BE进行计算.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点O向x轴作垂线，D为垂足，
∵水塔A位于O点北偏东60°的500米处，
∴∠1=60°，AO=500米，
∴∠AOD=90°﹣60°=30°，
在Rt△OAD中，
AD=OA sin∠AOD=OA sin30°=500×=250米．
故选A．
【分析】过点O向x轴作垂线，D为垂足，由方向角的定义可知∠1=60°，进而可得出∠AOD=30°，在Rt△OAD中根据AD=OA sin∠AOD即可得出结论．
10．【答案】A
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图， 图2是轴对称图形，
， ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】由图2是轴对称图形可得BM=BE，MN=EF，设AB=m，用勾股定理可将BE、AM=FG=DF也用含m的代数式表示出来，由锐角三角函数tan∠FAG=tan∠AEB=可将AF用含m的代数式表示出来，于是由线段的构成AD=BC=DF+AF可将AD=BC用含m的代数式表示出来，则可求解.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，
∴AC=10m=1000cm，，
设BC=x，则AB=2x，
∴BC2+AB2=AC2
∴x2+4x2=10002
解之：，
∴他升高了cm.
故答案为：
【分析】利用坡比的定义，可知，设BC=x，则AB=2x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
12．【答案】8.6米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知，∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，
在Rt△CBD中，tan∠DBC= ，
∴BC= ≈ ，
在Rt△CAD中，tan∠A= ，即 =tan37°≈
解得：CD= ≈8.6.
故答案为：8.6米.
【分析】由题意知：∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，根据∠DBC的正切函数可得BC，根据∠A的正切函数就可求出CD.
13．【答案】（ +）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作PC⊥AB于C，
∴∠B=30°，∠A=45°，
在Rt△PAC中，PA＝60米，∠A＝45°，
∴PC＝AC＝PA＝×60=米，
在Rt△PCB中，∠B＝30°，
∴BC＝＝米，
∴AB＝AC+BC＝（ +）米，
∴此时小明同学一共走的距离为（ +）米.
故答案为：（ +）.
【分析】过点P作PC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质分别求出PC、AC的长，再根据30°角的正切求出BC的长，再把AC和BC长相加，即可解答.
14．【答案】30°；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30°；.
【分析】先证B、C、D、E四点共圆，可得，在中，可求，在中，由求CE=6，再求∠CBE=90°，然后根据勾股定理求出BE即可.
15．【答案】45；
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接DF，过点E作EG⊥BC于点G，
∵BD是直径，
∴∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACD，
∴∠DCF=∠ACB=45°，
∴∠EBF=90°-∠DCF=90°-45°=45°；
∵BD是直径，
∴∠DFG=90°，
∴DF⊥BC，
∴DF∥FG，
∵DE=DC，
∴CF=FG，
∵∠FCG=∠EBC=45°，
∴EC=BE，
在Rt△CEB中，∠EBC=45°，BC=8，
∴BE=CBsin∠EBC=8sin45°=；
在Rt△EBG中
EG=CG=BEsin∠EBC=sin45°=，
∴FG=CG-4，
∴FG=2
在Rt△EFG中
.
故答案为：45，
【分析】连接DF，过点E作EG⊥BC于点G，利用圆周角定理可证得∠CEB=90°，利用角平分线的定义求出∠DCF的度数，利用三角形的内角和定理求出∠EBF的度数；利用圆周角定理求出∠DFG=90°，由DF∥FG去证明CF=FG，EC=BE，利用直角三角形的性质可得到EG=CG=BG，利用解直角三角形分别求出BE，EG，CG的长，即可得到FG的长；然后在Rt△EFG中，利用勾股定理求出EF的长.
16．【答案】27；33.2
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点作于点，如图②，
则，
∴投影探头的端点到桌面的距离为：；
过点作于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图③，
则，，
，
，
，
.
故答案为：27，33.2.
【分析】过点作于点，求得，从而求出AF+OA-CD=27cm，过点作于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图③，求出CM=AF+AO-DH -CD =21cm，从而得出，继而得出∠MBC的度数，利用即可求解.
17．【答案】（1）解：作CE⊥AB于E，设CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝ ，
∴AE＝2x，
∴AC＝ x，
∴ x＝ ，
解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝2．
在Rt△BCE中，∵sinB＝ ，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE＋BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3
（2）解：∵CD为中线，
∴BD＝ AB＝1.5，
∴DE＝BD－ BE＝0.5，
∴tan∠CDE＝2.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，在Rt△ACE中，根据正切函数的定义可得AE=2x，利用勾股定理得AC＝ x，从而结合AC=5建立方程，求出x的值，从而得出CE、AE的长，在Rt△BCE中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得△BCE为等腰直角三角形，从而可得BE=CE=1，然后根据AB=AE+BE算出AB的长；
（2）根据中线定义求出BD的长，然后根据DE=BD-BE算出DE的长，进而根据正切函数的定义即可求出答案.
18．【答案】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，
当CN=90cm时，CM=60cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°= ，
∴BC≈64cm，
∴CE=BC-BE=64-40=24cm.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，在Rt△BCM中，利用sin∠ABE=sin70°= ，可求出BC，再利用CE=BC-BE解求解.
19．【答案】（1）解：延长FE交l于点O，分别过点D、C作，垂足为M、N，如图1所示，则，∠AMD=∠BNC = 90°，，
CD//AB，
四边形CDM N是平行四边形，
DM = CN，MN=CD=22cm，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
Rt△ADM≌Rt△BCN，
AM = BN=4 (cm)，
在Rt△ADM中，
cos∠DAM = ，
∠DAM≈80°，
∠AOE= 180°-∠AEO-∠DAM=30°，
即FE与水平桌面l的夹角约为30°；
（2）解：如图2中，分别过点E、F作直线l的垂线段EG、FH， FH交过点E的水平线于点P，则∠EGH =∠FHG = 90°，EG//FH
PE//l，
四边形PEGH是平行四边形，FH⊥PE，∠FEP=∠AOE=30°，
PH = EG，
3AE = 24cm，
AE = 8cm，
在Rt△AEG中，∠EAG = 80° ，
(cm)，
PH = EG = 7.84cm，
在Rt△EFP中，EF= 80cm，∠FEP= 30°，
FP=EF= 40cm，
FH=FP+PH≈40+7.84= 47.84 (cm)
如图3中，过点E作EQ⊥l于点Q，
EF//l，
∠EAQ=∠FED= 70°，
在Rt△AEQ中，AE = 8cm，
= 7.52 (cm)
FH- EQ≈47.84- 7.52 = 40.32≈40.3 (cm)
即此时点F下落的高度约为40.3cm.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】 （1）延长FE交l于点O，分别过点D、C作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足为M、N，如图1所示，则∠AEO=∠FED=70°，∠AMD=∠BNC = 90°，DM∥CN，可得到四边形CDMN是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得DM=CN，同时可求出MN的长；利用HL证明Rt△ADM≌Rt△BCN，利用全等三角形的性质可求出AM的长，利用解直角三角形求出∠DAM的度数，即可求出∠AOE的度数.
（2）分别过点E、F作直线l的垂线段EG、FH， FH交过点E的水平线于点P，则∠EGH =∠FHG = 90°，EG//FH，易证四边形PEGH是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得PH=EG，利用已知条件求出AE的长，在Rt△AEG中，利用解直角三角形求出EG的长，可得到PH的长；在Rt△EFP，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PF的长，由此可求出FH的长；如图3中，过点E作EQ⊥l于点Q，利用平行线的性质可证得∠EAQ=∠FED= 70°，在Rt△AEQ中，利用解直角三角形求出EQ的长，然后求出FH- EQ的值.
20．【答案】（1）解：如图2，过点C作于点F，
∵，
∴，平分.
∴，
∴(cm)，
∴.
（2）解：如图3，连结.设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C.
∴，，
∴AB∥DE.
过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，
∴DG∥l， EH∥l，
∴，
∵，BE⊥CE，
∴，
∴(cm)，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 （1）过点C作CF⊥DE于点F，由等腰三角形的三线合一得DF=EF，∠DCF=∠ECF=20°， 由∠DCF的正弦函数可求出DF的长，从而即可求出DE的长；
（2） 连结AB，设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l， 根据轴对称图形的性质得AB⊥l，DE⊥l，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥DE， 过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H， 易得四边形DGCE是矩形，得DE=HG，由平行线的性质可得∠GDC=∠CEH=20°，由同角的余角相等得∠DAB=∠GDC=20°，∠EBH=∠CEH=20°，由极爱哦A的余弦阿含糊可求出AG，由∠B的余弦函数可求出BH，最后根据AB=BH+AG+DE计算即可.
21．【答案】（1）解：在中，，
则，
答：坡高约为米
（2）解：在中，，
则，
在中，，
则，
则，
答：斜坡新起点与原起点的距离约为13.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△CBD中，根据正弦函数的定义得CD=BD×sin∠CBD，据此即可求出CD的长；
（2）在Rt△CBD中，根据正弦函数的定义得BD=BC×cos∠CBD，据此即可求出BD的长，在Rt△CAD中由正切函数的定义可求出AD的长，从而根据AB=AD-BD即可算出答案.
22．【答案】（1）解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
（2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1） 过B作BF⊥CD于点F，根据坡比的概念得 ，设BF=4t米，DF=3t米，由勾股定理表示出BD，结合BD=450米建立方程可求出t，从而即可解决此题；
（2） 过A作AE⊥CD于E，过A作AH⊥BF于H，则四边形AEFH为矩形，得HF=AE=120米，AH=EF，则BH=BF-HF=240米，在Rt△ABH中，由正切函数的定义可求出AH，在Rt△ACE中，由勾股定理可算出CE，进而根据CD=EF-CE-DF即可算出答案.
23．【答案】（1）解： 如图，
∵ 岛屿在岛屿的北偏东，岛屿在岛屿的南偏东，岛屿在岛屿的南偏东.
∴∠EAB=65°，∠DAC=85°，∠CBF=70°
∵DE∥BF∥CG，
∴∠BAC=180°-∠EAB-∠DAC=180°-65°-85°=30°，∠ABF=∠EAB=65°，∠FBC=∠BCG=70°，
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC=65°+70°=135°，
∠ACB=180°-∠BAC=∠ABC=180°-135°-30°=15°.
∴△ABC的三个内角的度数分别为30°，135°，15°
（2）解：过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，
设CH=x，
∵∠ABC=135°，
∴∠HBC=180°-∠ABC=45°，
在Rt△BHC中，BH=CH=x，
在Rt△AHC中，∠HAC=30°，
∴，
∵AB=10，
∴AH-BH=10即，
解之：，
∴，
∴
∴ ；
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用方位角的定义可得到∠EAB，∠DAC，∠CBF的度数，由此可求出∠BAC的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABF，∠BCG的度数，根据∠ABC=∠ABF+∠FBC，代入计算求出∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ACB的度数.
（2）过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，设CH=x，可求出∠HBC=45°，利用等腰直角三角形的性质可表示出BH的长，在Rt△AHC中，利用解直角三角形表示出AH的长，根据AH+BH=10，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BC，AC的长.
24．【答案】（1）解：∵点C是弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠BAC＝∠DAC．
又∵AC＝AC，
∴△ACB与△ACD是偏等三角形；
（2）180°
（3）解：分类讨论：①当BC＝CD时，如图，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°-∠ABC＝180°-105°＝75°，
∴∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-30°-75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合题意，
∴AD＝AC＝4；
②当AB＝CD时，
如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°-∠CAB-∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-45°-75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合题意．
设CE＝x，则 ，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+ x，
∴x＝
∴AE＝DE＝ × ＝
∴AD＝ AE＝ × ＝
综上可知AD的值为4或 ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）如图，在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由题意可知在△ABC和△DGF中，
，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF．
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE．
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案为：180°；
【分析】（1）利用圆周角定理可证得BC=BD，∠BAC=∠DAC，利用偏等三角形的定义可证得结论.
（2）在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG，利用SAS证明△ABC≌△DGF，利用全等三角形的性质可证得∠B＝∠DGF，BC＝GF；由此可推出GF=EF，可证得∠E＝∠FGE，即可求出∠B+∠E的度数.
（3）利用△ADC与△ABC是偏等三角形，分情况讨论：当BC＝CD时，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠ADC的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠ACD的度数；可推出∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，由此可求出AD的长；当AB＝CD时，过点D作DE⊥AC于点E，可求出∠DAC的度数，可证得△ADE是等腰直角三角形，可证得AE=DE，同时可求出∠ACD的度数，可得到∠ACD＞∠DAC，利用大角对大边，可得到AD＞CD；设CE=x，可表示出DE，AE的长，根据AC=AE+CE，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；再求出AE的长，利用解直角三角形可求出AD的长；综上所述可得到符合题意的AD的长.
1 / 1（提升卷）1.3解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九下·长兴月考）如图，若△ABC底边BC上的高为h1，△DEF底边EF上的高为h2，则h1与h2的大小关系是（ ）
A．h1=h2 B．h1C．h1>h2 D．以上都有可能
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，
∴在Rt△ABC中，h1=AH=5·sin50°，
在Rt△DGF中，h2=DG=5·sin50°，
∴h1=h2.
故答案为：A.
【分析】分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，分别在Rt△ABC中和Rt△DGF中，利用锐角三角函数表示出h1和h2，再比较大小即可得出正确答案.
2．（2022九下·义乌开学考）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=BC=1 ，
在Rt △OAB中， sinα =
∴OB=
∵在Rt△BCO中，OB2+BC2=OC2
∴OC2 =( )2+12=
故答案为：B.
【分析】由正弦函数的定义得sin α = ，从而表示出OB的长，再由勾股定理OB2+BC2=OC2，可表示出OC2，由此得出答案.
3．（2021九上·海曙期末）如图是一段索道的示意图. 若 米， ， 则洗车从 点到 点上升的高度 的长为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ABC中
∴BC=1000sinα.
故答案为：A.
【分析】将图形补充完整，在Rt△ABC中，利用直角三角形可求出BC的长.
4．（2021九上·上城月考）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OC、AC，作CD⊥OA于D，
∵OA＝OC＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∵CD⊥OA，∠CDO=90°，OD=AD=，
∴CD=OD×tan60°=，
S△OAC＝，
∴∠BOC＝30°，
，
S扇形OAC＝，
则阴影部分的面积＝﹣（﹣）＝﹣，
故答案为：B.
【分析】连接OC、AC，作CD⊥OA于D，求出△AOC为等边三角形得∠OAC＝60°，∠CDO=90°，OD=AD=，从而求出CD=，∠BOC＝30°，利用阴影部分的面积=扇形OBC-（扇形OAC-△AOC的面积）计算即可.
5．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
6．（2021九上·平阳期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结AG，CF，AG交CF于点P，AP=2 ， 则 =（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接FG，OC，OA，过点A作AH⊥FC于点H，过点G作GQ⊥FC于点Q，
∴∠AHF=∠GQP=∠AHP=90°
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOF=∠CFA=360°÷6=60°，
∴∠FAH=90°-60°=30°
∵弧AF=弧AF，
∴∠FGA=∠AOF=30°，
∠FAP=（180°-∠FGA）÷2=75°；
∴∠HAP=∠FAP-∠FAH=45°
∴△AHP是等腰直角三角形，
∴AH=HP=
∴在Rt△AFH中
，
∴OF=AF=OC=4，
CG是正十二边形的一边，
∠COG=360°÷12=30°，
∴GQ=OG=2，
∴；
∴CQ=OC-OQ=4-
∵∠HPA=∠GPQ=∠PGQ=45°，
∴CQ=PQ=2
∴CP=PQ+CQ=4-+2=6-
∴.
故答案为：D.
【分析】连接FG，OC，OA，过点A作AH⊥FC于点H，过点G作GQ⊥FC于点Q，利用正六边形的性质可求出∠AOF=∠CFA=60°，从而可求出∠FAH的度数，再利用圆周角定理可求出∠FGA的度数；再证明△AHP，△GPQ是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出AH，HP的长， 在Rt△AFH中，利用解直角三角形求出AF的长，即可得到OF=AF=OC=4；再利用CG是正十二边形的一边，可求出∠COG的度数，利用解直角三角形求出OQ的长，即可得到CQ的长，同时可求出PQ，CQ的长；然后根据CP=PQ+CQ，代入计算求出CP的长；最后求出AP与CP的比值.
7．（2023九下·鹿城月考）图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵OB=OD，∠BOD=70°，
∴∠OBD=∠ODB=55°，
∵OB=50cm，OA=80cm，
∴AB=OA+OB=130cm，
∵，
∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm.
故答案为：B.
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠OBD=55°，由线段和差得AB=OA+OB=130cm，然后根据∠ABE的正弦函数可表示出AE的长.
8．（2023九下·永康月考） 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故答案为：A.
【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可得CE=BD=a米，根据三角函数的概念可得BE、AE，然后根据AB=AE+BE进行计算.
9．如图，点O为小亮家的位置，他家门前有一条东西走向的公路，水塔A位于他家北偏东60°的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离是（ ）
A．250米 B．250 C．150 D．250
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点O向x轴作垂线，D为垂足，
∵水塔A位于O点北偏东60°的500米处，
∴∠1=60°，AO=500米，
∴∠AOD=90°﹣60°=30°，
在Rt△OAD中，
AD=OA sin∠AOD=OA sin30°=500×=250米．
故选A．
【分析】过点O向x轴作垂线，D为垂足，由方向角的定义可知∠1=60°，进而可得出∠AOD=30°，在Rt△OAD中根据AD=OA sin∠AOD即可得出结论．
10．（2021九上·鹿城开学考）图1是一块矩形材料 ，被分割成三块， ， ，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图， 图2是轴对称图形，
， ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】由图2是轴对称图形可得BM=BE，MN=EF，设AB=m，用勾股定理可将BE、AM=FG=DF也用含m的代数式表示出来，由锐角三角函数tan∠FAG=tan∠AEB=可将AF用含m的代数式表示出来，于是由线段的构成AD=BC=DF+AF可将AD=BC用含m的代数式表示出来，则可求解.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·舟山月考）小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了 cm。
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，
∴AC=10m=1000cm，，
设BC=x，则AB=2x，
∴BC2+AB2=AC2
∴x2+4x2=10002
解之：，
∴他升高了cm.
故答案为：
【分析】利用坡比的定义，可知，设BC=x，则AB=2x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
12．（2021九上·宁波月考）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 .（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈ ，tan53°≈ ）
【答案】8.6米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知，∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，
在Rt△CBD中，tan∠DBC= ，
∴BC= ≈ ，
在Rt△CAD中，tan∠A= ，即 =tan37°≈
解得：CD= ≈8.6.
故答案为：8.6米.
【分析】由题意知：∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，根据∠DBC的正切函数可得BC，根据∠A的正切函数就可求出CD.
13．（2022九上·金华月考）如图，A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，小明同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时小明同学一共走的距离为 米．
【答案】（ +）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作PC⊥AB于C，
∴∠B=30°，∠A=45°，
在Rt△PAC中，PA＝60米，∠A＝45°，
∴PC＝AC＝PA＝×60=米，
在Rt△PCB中，∠B＝30°，
∴BC＝＝米，
∴AB＝AC+BC＝（ +）米，
∴此时小明同学一共走的距离为（ +）米.
故答案为：（ +）.
【分析】过点P作PC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质分别求出PC、AC的长，再根据30°角的正切求出BC的长，再把AC和BC长相加，即可解答.
14．（2022九上·上城月考）如图，以C为公共顶点的和中，，，且点D在线段上，则 ，若，则 .
【答案】30°；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30°；.
【分析】先证B、C、D、E四点共圆，可得，在中，可求，在中，由求CE=6，再求∠CBE=90°，然后根据勾股定理求出BE即可.
15．（2022九上·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC【答案】45；
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接DF，过点E作EG⊥BC于点G，
∵BD是直径，
∴∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACD，
∴∠DCF=∠ACB=45°，
∴∠EBF=90°-∠DCF=90°-45°=45°；
∵BD是直径，
∴∠DFG=90°，
∴DF⊥BC，
∴DF∥FG，
∵DE=DC，
∴CF=FG，
∵∠FCG=∠EBC=45°，
∴EC=BE，
在Rt△CEB中，∠EBC=45°，BC=8，
∴BE=CBsin∠EBC=8sin45°=；
在Rt△EBG中
EG=CG=BEsin∠EBC=sin45°=，
∴FG=CG-4，
∴FG=2
在Rt△EFG中
.
故答案为：45，
【分析】连接DF，过点E作EG⊥BC于点G，利用圆周角定理可证得∠CEB=90°，利用角平分线的定义求出∠DCF的度数，利用三角形的内角和定理求出∠EBF的度数；利用圆周角定理求出∠DFG=90°，由DF∥FG去证明CF=FG，EC=BE，利用直角三角形的性质可得到EG=CG=BG，利用解直角三角形分别求出BE，EG，CG的长，即可得到FG的长；然后在Rt△EFG中，利用勾股定理求出EF的长.
16．（2023九下·义乌月考）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，.如图，，.则投影探头的端点到桌面的距离为 .如图3，将图2中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，则的大小为 度.（参考数据：，，，）
【答案】27；33.2
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点作于点，如图②，
则，
∴投影探头的端点到桌面的距离为：；
过点作于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图③，
则，，
，
，
，
.
故答案为：27，33.2.
【分析】过点作于点，求得，从而求出AF+OA-CD=27cm，过点作于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图③，求出CM=AF+AO-DH -CD =21cm，从而得出，继而得出∠MBC的度数，利用即可求解.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九下·杭州月考）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
【答案】（1）解：作CE⊥AB于E，设CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝ ，
∴AE＝2x，
∴AC＝ x，
∴ x＝ ，
解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝2．
在Rt△BCE中，∵sinB＝ ，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE＋BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3
（2）解：∵CD为中线，
∴BD＝ AB＝1.5，
∴DE＝BD－ BE＝0.5，
∴tan∠CDE＝2.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，在Rt△ACE中，根据正切函数的定义可得AE=2x，利用勾股定理得AC＝ x，从而结合AC=5建立方程，求出x的值，从而得出CE、AE的长，在Rt△BCE中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得△BCE为等腰直角三角形，从而可得BE=CE=1，然后根据AB=AE+BE算出AB的长；
（2）根据中线定义求出BD的长，然后根据DE=BD-BE算出DE的长，进而根据正切函数的定义即可求出答案.
18．（2022九下·衢州开学考）共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： ， ， ， ）
【答案】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，
当CN=90cm时，CM=60cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°= ，
∴BC≈64cm，
∴CE=BC-BE=64-40=24cm.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，在Rt△BCM中，利用sin∠ABE=sin70°= ，可求出BC，再利用CE=BC-BE解求解.
19．（2023九下·宁波月考）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长.图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB.壶嘴EF=80cm，∠FED=70°
（1）求FE与水平桌面l的夹角
（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度.（结果保留一位小数）.
参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75.
【答案】（1）解：延长FE交l于点O，分别过点D、C作，垂足为M、N，如图1所示，则，∠AMD=∠BNC = 90°，，
CD//AB，
四边形CDM N是平行四边形，
DM = CN，MN=CD=22cm，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
Rt△ADM≌Rt△BCN，
AM = BN=4 (cm)，
在Rt△ADM中，
cos∠DAM = ，
∠DAM≈80°，
∠AOE= 180°-∠AEO-∠DAM=30°，
即FE与水平桌面l的夹角约为30°；
（2）解：如图2中，分别过点E、F作直线l的垂线段EG、FH， FH交过点E的水平线于点P，则∠EGH =∠FHG = 90°，EG//FH
PE//l，
四边形PEGH是平行四边形，FH⊥PE，∠FEP=∠AOE=30°，
PH = EG，
3AE = 24cm，
AE = 8cm，
在Rt△AEG中，∠EAG = 80° ，
(cm)，
PH = EG = 7.84cm，
在Rt△EFP中，EF= 80cm，∠FEP= 30°，
FP=EF= 40cm，
FH=FP+PH≈40+7.84= 47.84 (cm)
如图3中，过点E作EQ⊥l于点Q，
EF//l，
∠EAQ=∠FED= 70°，
在Rt△AEQ中，AE = 8cm，
= 7.52 (cm)
FH- EQ≈47.84- 7.52 = 40.32≈40.3 (cm)
即此时点F下落的高度约为40.3cm.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】 （1）延长FE交l于点O，分别过点D、C作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足为M、N，如图1所示，则∠AEO=∠FED=70°，∠AMD=∠BNC = 90°，DM∥CN，可得到四边形CDMN是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得DM=CN，同时可求出MN的长；利用HL证明Rt△ADM≌Rt△BCN，利用全等三角形的性质可求出AM的长，利用解直角三角形求出∠DAM的度数，即可求出∠AOE的度数.
（2）分别过点E、F作直线l的垂线段EG、FH， FH交过点E的水平线于点P，则∠EGH =∠FHG = 90°，EG//FH，易证四边形PEGH是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得PH=EG，利用已知条件求出AE的长，在Rt△AEG中，利用解直角三角形求出EG的长，可得到PH的长；在Rt△EFP，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PF的长，由此可求出FH的长；如图3中，过点E作EQ⊥l于点Q，利用平行线的性质可证得∠EAQ=∠FED= 70°，在Rt△AEQ中，利用解直角三角形求出EQ的长，然后求出FH- EQ的值.
20．（2023九下·衢江月考）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知，，，，.（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）
（1）连结，求线段的长.
（2）求点A，B之间的距离.
【答案】（1）解：如图2，过点C作于点F，
∵，
∴，平分.
∴，
∴(cm)，
∴.
（2）解：如图3，连结.设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C.
∴，，
∴AB∥DE.
过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，
∴DG∥l， EH∥l，
∴，
∵，BE⊥CE，
∴，
∴(cm)，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 （1）过点C作CF⊥DE于点F，由等腰三角形的三线合一得DF=EF，∠DCF=∠ECF=20°， 由∠DCF的正弦函数可求出DF的长，从而即可求出DE的长；
（2） 连结AB，设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l， 根据轴对称图形的性质得AB⊥l，DE⊥l，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥DE， 过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H， 易得四边形DGCE是矩形，得DE=HG，由平行线的性质可得∠GDC=∠CEH=20°，由同角的余角相等得∠DAB=∠GDC=20°，∠EBH=∠CEH=20°，由极爱哦A的余弦阿含糊可求出AG，由∠B的余弦函数可求出BH，最后根据AB=BH+AG+DE计算即可.
21．（2023九下·永康月考） 如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为.
（1）求坡高；
（2）求斜坡新起点与原起点的距离精确到0.1米.
参考数据：，，
【答案】（1）解：在中，，
则，
答：坡高约为米
（2）解：在中，，
则，
在中，，
则，
则，
答：斜坡新起点与原起点的距离约为13.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△CBD中，根据正弦函数的定义得CD=BD×sin∠CBD，据此即可求出CD的长；
（2）在Rt△CBD中，根据正弦函数的定义得BD=BC×cos∠CBD，据此即可求出BD的长，在Rt△CAD中由正切函数的定义可求出AD的长，从而根据AB=AD-BD即可算出答案.
22．（2023九下·婺城月考）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度.（结果保留整数）
【答案】（1）解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
（2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1） 过B作BF⊥CD于点F，根据坡比的概念得 ，设BF=4t米，DF=3t米，由勾股定理表示出BD，结合BD=450米建立方程可求出t，从而即可解决此题；
（2） 过A作AE⊥CD于E，过A作AH⊥BF于H，则四边形AEFH为矩形，得HF=AE=120米，AH=EF，则BH=BF-HF=240米，在Rt△ABH中，由正切函数的定义可求出AH，在Rt△ACE中，由勾股定理可算出CE，进而根据CD=EF-CE-DF即可算出答案.
23．（2023九上·诸暨期末）如图，在一片海域中有三个岛屿，标记为，，.经过测量岛屿在岛屿的北偏东，岛屿在岛屿的南偏东，岛屿在岛屿的南偏东.
（1）直接写出的三个内角度数；
（2）小明测得较近两个岛屿，求、的长度（最终结果保留根号，不用三角函数表示）.
【答案】（1）解： 如图，
∵ 岛屿在岛屿的北偏东，岛屿在岛屿的南偏东，岛屿在岛屿的南偏东.
∴∠EAB=65°，∠DAC=85°，∠CBF=70°
∵DE∥BF∥CG，
∴∠BAC=180°-∠EAB-∠DAC=180°-65°-85°=30°，∠ABF=∠EAB=65°，∠FBC=∠BCG=70°，
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC=65°+70°=135°，
∠ACB=180°-∠BAC=∠ABC=180°-135°-30°=15°.
∴△ABC的三个内角的度数分别为30°，135°，15°
（2）解：过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，
设CH=x，
∵∠ABC=135°，
∴∠HBC=180°-∠ABC=45°，
在Rt△BHC中，BH=CH=x，
在Rt△AHC中，∠HAC=30°，
∴，
∵AB=10，
∴AH-BH=10即，
解之：，
∴，
∴
∴ ；
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用方位角的定义可得到∠EAB，∠DAC，∠CBF的度数，由此可求出∠BAC的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABF，∠BCG的度数，根据∠ABC=∠ABF+∠FBC，代入计算求出∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ACB的度数.
（2）过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，设CH=x，可求出∠HBC=45°，利用等腰直角三角形的性质可表示出BH的长，在Rt△AHC中，利用解直角三角形表示出AH的长，根据AH+BH=10，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BC，AC的长.
24．（2023九上·宁波期末）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，∠DAB是所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．
（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ .请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．
【答案】（1）解：∵点C是弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠BAC＝∠DAC．
又∵AC＝AC，
∴△ACB与△ACD是偏等三角形；
（2）180°
（3）解：分类讨论：①当BC＝CD时，如图，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°-∠ABC＝180°-105°＝75°，
∴∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-30°-75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合题意，
∴AD＝AC＝4；
②当AB＝CD时，
如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°-∠CAB-∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-45°-75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合题意．
设CE＝x，则 ，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+ x，
∴x＝
∴AE＝DE＝ × ＝
∴AD＝ AE＝ × ＝
综上可知AD的值为4或 ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）如图，在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由题意可知在△ABC和△DGF中，
，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF．
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE．
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案为：180°；
【分析】（1）利用圆周角定理可证得BC=BD，∠BAC=∠DAC，利用偏等三角形的定义可证得结论.
（2）在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG，利用SAS证明△ABC≌△DGF，利用全等三角形的性质可证得∠B＝∠DGF，BC＝GF；由此可推出GF=EF，可证得∠E＝∠FGE，即可求出∠B+∠E的度数.
（3）利用△ADC与△ABC是偏等三角形，分情况讨论：当BC＝CD时，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠ADC的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠ACD的度数；可推出∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，由此可求出AD的长；当AB＝CD时，过点D作DE⊥AC于点E，可求出∠DAC的度数，可证得△ADE是等腰直角三角形，可证得AE=DE，同时可求出∠ACD的度数，可得到∠ACD＞∠DAC，利用大角对大边，可得到AD＞CD；设CE=x，可表示出DE，AE的长，根据AC=AE+CE，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；再求出AE的长，利用解直角三角形可求出AD的长；综上所述可得到符合题意的AD的长.
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