（A卷）第一章 解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九下·萧山期中）在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵cos∠B=，∠B=35°，AB=7，
∴BC=AB·cos∠B=7cos35°.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的概念可得cos∠B=，据此解答.
2．（2022九上·良庆月考）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算.
3．（2021九上·扶风期末）在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA= ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：B .
【分析】根据进行计算即可.
4．（2023九下·上城月考）已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：是锐角，，
.
故答案为：B.
【分析】若α与β互余，则sinα=cosβ，据此解答.
5．（2021九上·鄞州期末）已知 ，则 的度数所属范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴正切值随着角度的增大而增大，且
，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得tan45°=1，tan60°=
，且正切值随着角度的增大而增大，据此解答.
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由tan∠B= ，得
AC=BC tanB=5×tan26．
故选：D．
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B= ，根据计算器的应用，可得答案．
7．（2022九上·哈尔滨月考）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子底端A到墙面的距离为6米，若梯子与地面的夹角为α，则梯子的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：，米，
则米，
故答案为：D．
【分析】根据，再将数据代入求出即可。
8．（2022九上·文登期中）如图，圆规两脚张开的角度为α，，则两脚张开的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作，垂足为C，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点O作，垂足为C，根据解直角三角形的方法可得。
9．（2023九上·桂平期末）如图，某超市电梯的截面图中，的长为15米，与的夹角为，则高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在中，，
的长为15米，
米，
故答案为：A.
【分析】根据即可求解.
10．（2022九上·济南期末）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，．长6米，坡度为，的坡度为，则长为（ ） 米
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点E，过点于点F，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵长6米，坡度为，
∴米，
∴米，
∵的坡度为，
∴米，
∴米，
故答案为：A．
【分析】过点D作于点E，过点于点F，利用解直角三角形的方法可得，，再利用勾股定理求出AD的长即可。
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2023九上·义乌期末）如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，则的值是 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，点D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB的长，进而根据余弦函数的定义可求出答案.
12．（2022九上·杨浦期中）已知为锐角，，那么 度．
【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴=30°.
故答案为：30.
【分析】把的值代入计算，得出，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案.
13．（2021九上·百色期末）α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝ °.
【答案】75
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sinα=cos(90°-α)，
∴sinα=cos(90°-α)=cos15°，
∴α=90°-15°=75°，
故答案为：75.
【分析】根据互余两角三角函数关系： sina=cos(90°-a)列式求解即可.
14．（2022九下·泉州开学考）若 为锐角，且 ，则 °.
【答案】26
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】
，
，
，
为锐角，
，
故答案为：26.
【分析】根据
即可求解.
15．（2022九下·淮安开学考）比较大小：sin35° cos45°.
【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin35°＜sin45°，
∴sin35°＜cos45°.
故答案为：＜.
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得sin35°＜sin45°，根据特殊角的三角函数值可得cos45°= sin45°，据此进行比较.
16．（2023九下·江岸月考）某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走6米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上，则新教学楼的高度OB是 米.（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】19.95
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠A=45°，
∴OA=OB.
∵AC=6，
∴OC=(OB-6)米.
∵Rt△COB中，∠BCO=55°，
∴tan∠BCO=，
∴≈1.43，
解得OB≈19.95.
故答案为：19.95.
【分析】分别在Rt△AOB、Rt△COB中，根据三角函数的概念可得OA=OB，则OC=(OB-6)米，然后根据∠BCO正切函数的概念进行求解.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023九上·武义期末）计算：.
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式= ，然后计算乘法，再根据二次根式的减法法则进行计算.
18．（2023九下·靖江月考）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
，
当时，
，
原式.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对第一个分式的分母进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得x的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
19．（2022九上·杨浦期中）如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点D、E．求线段的长．
【答案】解：过A作 ，垂足为点H．
在 中，∵ ， ，
∴ ， ．
在 中，∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ 垂直平分 ，∴ ， ．
在 中，∵ ，∴ ．
∴ ．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据题意求出AH和BH的长，再根据锐角三角函数定义求出CH的长，从而求出BC的长，再求出BE的长，利用CE=BC-BE，即可得出CE的长.
20．（2023九上·中卫期末）如图所示，在△ABC中，，D为上一点，若，，求和的值.
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， ，，
∴，
如图，过点D作于点M，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠ADC=∠DAC，由等角对等边可证得AC=DC，由BD=2CD，可推出BC=3AC，从而可求出tanB的值；利用勾股定理用含AC的代数式表示出AB、AD的长，可得到sin∠ABC的值；过点D作DM⊥AB于点M，利用解直角三角形可表示出DM的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠BAD的值.
21．（2022九上·平谷期末）如图，在中，，平分交边于点D，于点E，若，，求的长．
【答案】解：∵，，，
∴在中，，
在中，根据勾股定理可得：，
∵平分， ，，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，根据勾股定理可得：
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】先利用勾股定理和解直角三角形的方法求出DE和AB的长，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可。
22．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．
【答案】解：∠OBA=∠OCD，理由如下：
由勾股定理，得
AB===5，CD===15，
sin∠OBA==，sin∠OCD===，
∠OBA=∠OCD．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，CD的长，根据锐角三角三角函数的正弦等对边比斜边，可得锐角三角函数的正弦值，再根据锐角三角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．
23．（2023九下·宝应月考）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）.如图，在中，，顶角A的正对记作，这时.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1） 的值为（ ）.
A． B．1 C． D．2
（2）对于，的正对值的取值范围是 .
（3）已知，其中α为锐角，试求的值.
【答案】（1）B
（2）0＜sadA＜2
（3）解：如图，在 中， ， ，
在 上取点D，使 ，
作 ，H为垂足，令 ， ，
则 ，
又∵在 中， ， ，
∴ ， ，
则在 中， ， ，
于是在 中， ， ，
由正对的定义可得： ，即 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）解：根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60° ，
则三角形为等边三角形，
则 ，
故答案为：B；
（2）解：当∠A接近0°时， 接近0，
当∠A近 时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 接近2.
于是 的取值范围是 0＜sadA＜2.
故答案为： 0＜sadA＜2 ；
【分析】（1）根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，进而根据由等边三角形三边相等及正对的定义即可求解；
（2）当0°＜A＜180°，根据三角形三边的关系得到两腰之和大于底边即可得出0＜sadA＜2；
（3）在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC于点H，由∠A的正弦函数定义，可设BC=3k，则AB=5k，用勾股定理表示出AD=AC=4k，在Rt△ADH中，由∠A的正弦函数可得DH=k，用勾股定理表示出AH=k，在Rt△CDH中，由勾股定理表示出CD=k，进而在△ACD中根据正对定义即可求出答案.
24．（2023九下·丹徒月考）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）.（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到1m）.
【答案】（1）解：∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，.
在中，，，
∵，，.
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米.
（2）解：过点作于点，设，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，，
解得.
∴（米）
答：房屋的高约是14米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由轴对称图形的性质得AG⊥EF，EG=EF=6，由平行线的性质得∠AEG=∠ACB=35°，在Rt△AEG中，由∠AEG的正切函数可求出AG；
（2） 过点E作EH⊥CB于点H，设EH=x， 在Rt△EDH中，由正切函数的定义可表示出DH的长，在Rt△ECH中由∠ECH的正切函数可表示出CH，根据CD=CH-DH=8建立方程，可求出x的值，进而根据矩形的性质及AB=AG+BG求出房屋的高度.
25．（2023九下·北碚期中）如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.
（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）
【答案】（1）解：过点P作于D点，
∴，
在中，，海里，
∴（海里）， （海里），
在中，，
∴（海里），
∴海里，
∴观测站A，B之间的距离为海里；
（2）解：补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作，垂足为F，
∴，
由题意得：，，
∴，
在中，，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴补给船从B到C处的航行时间（分钟）分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，由题意可得∠PAD=30°，∠PBD=45°，BP=20海里，根据三角函数的概念可得DP、BD、AB，据此解答；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，由题意可得∠ABC=105°，∠PAD=30°，由内角和定理可得∠C=45°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BF=AB，然后根据三角函数的概念求出BC的值，再除以速度可得从B到C处的航行时间，最后与83进行比较即可判断.
1 / 1（A卷）第一章 解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九下·萧山期中）在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·良庆月考）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·扶风期末）在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA= ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九下·上城月考）已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
5．（2021九上·鄞州期末）已知 ，则 的度数所属范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022九上·哈尔滨月考）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子底端A到墙面的距离为6米，若梯子与地面的夹角为α，则梯子的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．（2022九上·文登期中）如图，圆规两脚张开的角度为α，，则两脚张开的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·桂平期末）如图，某超市电梯的截面图中，的长为15米，与的夹角为，则高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．（2022九上·济南期末）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，．长6米，坡度为，的坡度为，则长为（ ） 米
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2023九上·义乌期末）如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，则的值是 .
12．（2022九上·杨浦期中）已知为锐角，，那么 度．
13．（2021九上·百色期末）α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝ °.
14．（2022九下·泉州开学考）若 为锐角，且 ，则 °.
15．（2022九下·淮安开学考）比较大小：sin35° cos45°.
16．（2023九下·江岸月考）某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走6米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上，则新教学楼的高度OB是 米.（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023九上·武义期末）计算：.
18．（2023九下·靖江月考）先化简，再求值：，其中.
19．（2022九上·杨浦期中）如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点D、E．求线段的长．
20．（2023九上·中卫期末）如图所示，在△ABC中，，D为上一点，若，，求和的值.
21．（2022九上·平谷期末）如图，在中，，平分交边于点D，于点E，若，，求的长．
22．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．
23．（2023九下·宝应月考）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）.如图，在中，，顶角A的正对记作，这时.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1） 的值为（ ）.
A． B．1 C． D．2
（2）对于，的正对值的取值范围是 .
（3）已知，其中α为锐角，试求的值.
24．（2023九下·丹徒月考）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）.（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到1m）.
25．（2023九下·北碚期中）如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.
（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵cos∠B=，∠B=35°，AB=7，
∴BC=AB·cos∠B=7cos35°.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的概念可得cos∠B=，据此解答.
2．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算.
3．【答案】B
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：B .
【分析】根据进行计算即可.
4．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：是锐角，，
.
故答案为：B.
【分析】若α与β互余，则sinα=cosβ，据此解答.
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴正切值随着角度的增大而增大，且
，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得tan45°=1，tan60°=
，且正切值随着角度的增大而增大，据此解答.
6．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由tan∠B= ，得
AC=BC tanB=5×tan26．
故选：D．
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B= ，根据计算器的应用，可得答案．
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：，米，
则米，
故答案为：D．
【分析】根据，再将数据代入求出即可。
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作，垂足为C，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点O作，垂足为C，根据解直角三角形的方法可得。
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在中，，
的长为15米，
米，
故答案为：A.
【分析】根据即可求解.
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点E，过点于点F，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵长6米，坡度为，
∴米，
∴米，
∵的坡度为，
∴米，
∴米，
故答案为：A．
【分析】过点D作于点E，过点于点F，利用解直角三角形的方法可得，，再利用勾股定理求出AD的长即可。
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，点D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB的长，进而根据余弦函数的定义可求出答案.
12．【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴=30°.
故答案为：30.
【分析】把的值代入计算，得出，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案.
13．【答案】75
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sinα=cos(90°-α)，
∴sinα=cos(90°-α)=cos15°，
∴α=90°-15°=75°，
故答案为：75.
【分析】根据互余两角三角函数关系： sina=cos(90°-a)列式求解即可.
14．【答案】26
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】
，
，
，
为锐角，
，
故答案为：26.
【分析】根据
即可求解.
15．【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin35°＜sin45°，
∴sin35°＜cos45°.
故答案为：＜.
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得sin35°＜sin45°，根据特殊角的三角函数值可得cos45°= sin45°，据此进行比较.
16．【答案】19.95
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠A=45°，
∴OA=OB.
∵AC=6，
∴OC=(OB-6)米.
∵Rt△COB中，∠BCO=55°，
∴tan∠BCO=，
∴≈1.43，
解得OB≈19.95.
故答案为：19.95.
【分析】分别在Rt△AOB、Rt△COB中，根据三角函数的概念可得OA=OB，则OC=(OB-6)米，然后根据∠BCO正切函数的概念进行求解.
17．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式= ，然后计算乘法，再根据二次根式的减法法则进行计算.
18．【答案】解：
，
当时，
，
原式.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对第一个分式的分母进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得x的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
19．【答案】解：过A作 ，垂足为点H．
在 中，∵ ， ，
∴ ， ．
在 中，∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ 垂直平分 ，∴ ， ．
在 中，∵ ，∴ ．
∴ ．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据题意求出AH和BH的长，再根据锐角三角函数定义求出CH的长，从而求出BC的长，再求出BE的长，利用CE=BC-BE，即可得出CE的长.
20．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， ，，
∴，
如图，过点D作于点M，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠ADC=∠DAC，由等角对等边可证得AC=DC，由BD=2CD，可推出BC=3AC，从而可求出tanB的值；利用勾股定理用含AC的代数式表示出AB、AD的长，可得到sin∠ABC的值；过点D作DM⊥AB于点M，利用解直角三角形可表示出DM的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠BAD的值.
21．【答案】解：∵，，，
∴在中，，
在中，根据勾股定理可得：，
∵平分， ，，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，根据勾股定理可得：
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】先利用勾股定理和解直角三角形的方法求出DE和AB的长，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可。
22．【答案】解：∠OBA=∠OCD，理由如下：
由勾股定理，得
AB===5，CD===15，
sin∠OBA==，sin∠OCD===，
∠OBA=∠OCD．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，CD的长，根据锐角三角三角函数的正弦等对边比斜边，可得锐角三角函数的正弦值，再根据锐角三角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．
23．【答案】（1）B
（2）0＜sadA＜2
（3）解：如图，在 中， ， ，
在 上取点D，使 ，
作 ，H为垂足，令 ， ，
则 ，
又∵在 中， ， ，
∴ ， ，
则在 中， ， ，
于是在 中， ， ，
由正对的定义可得： ，即 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）解：根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60° ，
则三角形为等边三角形，
则 ，
故答案为：B；
（2）解：当∠A接近0°时， 接近0，
当∠A近 时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 接近2.
于是 的取值范围是 0＜sadA＜2.
故答案为： 0＜sadA＜2 ；
【分析】（1）根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，进而根据由等边三角形三边相等及正对的定义即可求解；
（2）当0°＜A＜180°，根据三角形三边的关系得到两腰之和大于底边即可得出0＜sadA＜2；
（3）在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC于点H，由∠A的正弦函数定义，可设BC=3k，则AB=5k，用勾股定理表示出AD=AC=4k，在Rt△ADH中，由∠A的正弦函数可得DH=k，用勾股定理表示出AH=k，在Rt△CDH中，由勾股定理表示出CD=k，进而在△ACD中根据正对定义即可求出答案.
24．【答案】（1）解：∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，.
在中，，，
∵，，.
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米.
（2）解：过点作于点，设，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，，
解得.
∴（米）
答：房屋的高约是14米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由轴对称图形的性质得AG⊥EF，EG=EF=6，由平行线的性质得∠AEG=∠ACB=35°，在Rt△AEG中，由∠AEG的正切函数可求出AG；
（2） 过点E作EH⊥CB于点H，设EH=x， 在Rt△EDH中，由正切函数的定义可表示出DH的长，在Rt△ECH中由∠ECH的正切函数可表示出CH，根据CD=CH-DH=8建立方程，可求出x的值，进而根据矩形的性质及AB=AG+BG求出房屋的高度.
25．【答案】（1）解：过点P作于D点，
∴，
在中，，海里，
∴（海里）， （海里），
在中，，
∴（海里），
∴海里，
∴观测站A，B之间的距离为海里；
（2）解：补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作，垂足为F，
∴，
由题意得：，，
∴，
在中，，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴补给船从B到C处的航行时间（分钟）分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，由题意可得∠PAD=30°，∠PBD=45°，BP=20海里，根据三角函数的概念可得DP、BD、AB，据此解答；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，由题意可得∠ABC=105°，∠PAD=30°，由内角和定理可得∠C=45°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BF=AB，然后根据三角函数的概念求出BC的值，再除以速度可得从B到C处的航行时间，最后与83进行比较即可判断.
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