（B卷）第一章 解直角三角形-浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·义乌模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式不一定成立的（ ）
A．a＝csinA B．a＝btanA
C． D．sin2A+sin2B＝1
2．（2022·上虞模拟）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·杭州期中）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心， 为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．8π B． C．8π﹣16 D．
4．用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020九上·鄞州期中）如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（ ）
A．a B．1.5a C． D．
6．（2023·瑞安模拟）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形.若，，与地面垂直且，则灯顶A到地面的高度为（ ）m
A． B． C． D．
7．（2023·金华模拟）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是.（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·拱墅模拟）图1是某公园的一个滑梯，图2是其示意图.滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐忠，公园管理局决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A满足30°≤∠A≤45°，则AB加长的距离可以是（ ）
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
A．0.8m B．1.6m C．2.4m D．3.2m
9．（2022·宁波模拟）如图1，以的各边为边向外作等边三角形，编号分别为①，②，③．如图2，将①，②叠放在③中，若四边形与的面积之比是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·宁波模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．若⊙M与线段EN只有一个公共点，则t的取值范围为（ ）
A．0＜t≤ 或 ＜t＜6 B．0＜t≤ 或 ＜t＜8
C．0＜t≤ 或 ＜t＜6 D．0＜t≤ 或 ＜t＜8
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·温州模拟） 如图1是一款手机支架，水平放置时，它的侧面示意图如图2所示，其中线段，，，是支撑杆且，，可以自由调节大小已知，，当时，点恰好在点的正上方，则线段 ；如图3，保持不变，旋转至，使点，，恰好在一条直线上，则此时点到点上升的竖直高度为 .
12．（2022九上·桐乡市期中）如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为 cm2
13．（2022·湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y= ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．
14．（2022·温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
15．（2022·浦江模拟）如图，为了配合疫情工作，浦江某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.5米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为，则学校大门ME的高是 米.
16．（2020·宁波模拟）如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 米(精确到1米，参考数据 ≈1.414， ≈1.732)。
三、解答题（共9题，共72分）
17．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
18．（2022·龙湾模拟）如图，在矩形 中， 于点 ，交 边于点 ． 平分 交 于点 ，并经过 边的中点 ．
（1）求证： ．
（2）求 的值．
（3）若 ，试在 上找一点 （不与 ， 重合），使直线 经过四边形 一边的中点，求所有满足条件的 的值．
19．（2023·舟山）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度，识别的最远水平距离。
（1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别。
（2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明。
（精确到，参考数据）
20．（2023·宁波模拟）如图
（1）【问题发现】如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 ；
（2）【问题探究】如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A==30°，∠C=∠C'=90°），绕点B旋转，当旋转至CC′=4时，求的长；
（3）【问题解决】如图3，点O为等腰RtABC的斜边AB的中点，AC=BC=5，OE=2，连接BE，作RtBEF，其中∠BEF=90°，tan∠EBF=，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
21．（2022九上·诸暨期末）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.
（1）如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点 ；
（2）如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；
②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a的代数式表示）
22．（2023九上·江北期末）如图
（1）【基础巩固】如图1，和都是等边三形，点B、D、E在同条直线上，与交于点F.求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若，求的长度.
（3）【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中，，，，求的值.
23．（2022·宁波模拟）【证明体验】
（1）如图1，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，．求证：．
（2）【思考探究】
如图2，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长．
（3）【拓展延伸】
如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求BE的长．
24．（2019·天台模拟）如图
（1）【问题背景】如图1，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°则 = .
（2）【迁移应用】如图2，△ABC和△ABE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同-条直线上，连结BD．求线段AD，BD，CD之间的数量关系式；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连结AE并延长交BM于点F，连结CE， CF．若AE=4，CE=1．求BF的长.
25．（2023九下·鹿城月考）如图，在四边形中，，点分别在边和边上，.点在上从点匀速运动到点时，点恰好从上某一点匀速运动到点，记，已知.
（1）求证：.
（2）求的长与的值.
（3）连结.
①当直线与一边垂直时，求所有满足条件的的值.
②线段绕点顺时针旋转得到线段，当点恰好落在上时，求和的面积比.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴，
，
，
，
c2=a2+b2，
∴a=csinA，
a=btanA，
，
.
∴A、B、D都正确，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理及锐角三角函数的定义得，，，，c2=a2+b2，从而变形即可一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点D，连接BD，
∵CD为⊙O的直径
∴∠CBD=90°，
∵BC=2，BD=4，
∴由勾股定理得CD=，
∴sin∠BDC＝＝＝，
∵∠BAC＝∠BDC（同弧所对的圆周角相等），
∴sin∠BAC＝sin∠BDC＝.
故答案为：B.
【分析】延长CO交⊙O于点D，连接BD，由CD为⊙O的直径可得∠CBD=90°，又BC=2，BD=4，由正弦的定义求出sin∠BDC，再根据圆周角定理得∠BAC＝∠BDC，根据等角的锐角三角函数值相等，从而求得sin∠BAC的值.
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（2，2），
∴OP＝2 ，
∵OA'＝OB'＝4 ，
∴cos∠A'OP＝cos∠B'OP＝ ，
∴∠A'OP＝∠B'OP＝60°，
∴∠A'OB'＝120°，A′P＝4 × ＝2 ，
∴A′B′＝4
∴S阴＝S扇形OA'B'﹣S△A'OB'＝ ﹣ ＝ π﹣8 .
故答案为：D.
【分析】由题意可知当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，根据点P的坐标可得OP，根据OA′=OB′=4结合三角函数的概念可得cos∠A'OP＝cos∠B'OP＝，则∠A'OP＝∠B'OP＝60°，求出∠A'OB'的度数以及A′P，进而得到A′B′，然后根据S阴＝S扇形OA'B′﹣S△A'OB′进行计算.
4．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′18″，按键“=”即可得到结果．
故选：A．
【分析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果．
5．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，
∵AC、BC为直径，
∴∠APC=∠BQC=90°，
∴四边形BHPQ为矩形，
∴PQ=BH，
∵BH∥CP，
∴∠ABH=∠C=30°，
∴BH=ABcos30°=2a×=a，
∴PQ=a.
故答案为：C.
【分析】连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，利用直径所对的圆周角是直角，结合垂直的定义可证四边形BHPQ为矩形，从而把PQ转化为BH，最后在Rt△AHB中用余弦函数即可求出BH的长，则PQ长可知.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点E，过点C作于点M，
所以，四边形是矩形，
∴，
∵路灯图是轴对称图形，且，
∵
在中，
又
∴，
∴
即灯顶A到地面的高度为
故答案为：B
【分析】过点E作AE⊥DE于点E，过点C作CM⊥AE于点M，易证四边形CDEM是矩形，利用矩形的性质可求出ME的长；根据路灯图是轴对称图形，可求出∠ACM的度数，在Rt△ACM中，利用解直角三角形求出AM的长，根据AE=AM+ME，可求出AE的长，即可得到灯顶A到地面的高度.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接CA，如图，
由题可知四边形CAF 是矩形，
∴CA⊥AF，EF=CA，
∴，
∵AB⊥BC，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△CDE中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接CA，由题可知四边形CAF 是矩形，得CA⊥AF，EF=CA，由同角的余角相等得，在Rt△ABC中，由余弦函数的定义得，在Rt△CDE中，由正弦函数的定义得，最后根据DF=DE+EF即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC，∠CAB＝60°，BC＝2，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
当坡角为45°时，有BD＝BC＝2，
∴DA＝2﹣AB＝2﹣ ≈0.85（m），
当坡角为30°时，有BE＝ ＝ （m），
∴EA＝BE﹣AB＝2 ﹣ ≈2.31（m），
当坡角满足30°≤∠A≤45°，
∴AB加长的距离x的取值范围为0.85≤x≤2.31，
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC，利用AB＝ 求出AB的长；当坡角为45°时，有BD＝BC＝2，由此可求出DA的长；当坡角为30°时，利用BE＝ 求出BE的长，然后根据EA=BE-AB，求出EA的长；即可得到x的取值范围.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知△BEF是等边三角形， 作FH⊥BE于点H，如图，
∵△BEF是等边三角形，
∴ ∠BEF＝60°，BE＝EF＝BF，
∵FH⊥BE，
∴∠FHE＝90°，
∴FH＝＝BE，
∴，
设△BEF边长为b，则AC＝b，△BCD边长为 ，△BGH边长为c，则AB＝c，
，
同理可得，，
∴，
，
∵△ABC是直角三角形，
∴，
∴，
∴ ＝ ，
∴，
∴，
设c＝15，b＝8，
则 ，
∴＝ .
故答案为：A.
【分析】由题意知△BEF是等边三角形，作FH⊥BE于点H，根据等边三角形的性质可得 ∠BEF＝60°，BE＝EF＝BF，则∠FHE＝90°，根据三角函数的概念表示出FH，得到S△BEF，设△BEF边长为b，则AC＝b，△BCD边长为a ，△BGH边长为c，则AB＝c，表示出S△BEF、S△BCD、S△BGH，根据S四边形EGHF=S△BGH-S△BEF，S四边形GDCH=S△BCD-S△BGH表示出S四边形EGHF，S四边形GDCH，由勾股定理可得b2=a2-c2，代入求解可得，设c＝15k，b＝8k，由勾股定理可得a，然后根据三角函数的概念进行计算.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD， AC=12cm，BD=16cm
∴AO=AC=6，BO=BD=8，AC⊥BD
∴，
∴
∵BE是直径，
∴∠BFE=90°，BE=2BM=2t
∴，
∴
当EN与圆M相切时，则∠BEN=90°，
在Rt△BEN中，
解之：；
∴当0＜t≤时，圆M与EN只有一个公共点；
当点N运动到圆M上即点N和点F重合时
∴BF+ND=16
∴
解之：；
当t=8时，点N和点B重合此时EN与圆M有两个公共点
∴当时圆M与EN只有一个公共点
∴若⊙M与线段EN只有一个公共点，则t的取值范围为0＜t≤或
故答案为：B
【分析】 利用菱形的性质求出AO，BO的长，利用勾股定理求出AB的长，利用锐角三角函数的定义可得到BP与AB的比值，利用圆周角定理及解直角三角形可求出BF的长；分情况讨论：当EN与圆M相切时，则∠BEN=90°，利用解直角三角形建立关于t的方程，解方程求出t的值，由此可求出t的取值范围；当点N运动到圆M上即点N和点F重合时，根据BF+ND=16，建立关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述可得到t的取值范围。
11．【答案】8；
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，过点作，交于点，过点作于点，如图，
当时，点恰好在点的正上方，
.
，，
四边形为矩形，
，.
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
.
故答案为：8.
连接，延长，交于点，过点作于点，过点作于点，如图，
由题意：，
在中，
，，
，，
，
，
.
，，
∽，
.
设，，则，，
，
解得：.
，.
，
，
.
，
点到点上升的竖直高度为.
故答案为：.
【分析】连接AD，过点D作DF∥AB，交BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，易得四边形ADFG为矩形，则AG=DF，∠DFC=∠B=60°，根据等边三角形的性质可得DF=CF=CD=6cm，则AG=DF=6cm，根据三角函数的概念可得BF=2BG，然后根据AB=AG+BG进行计算；连接AC，延长CD，BA交于点H，过点C作CM⊥AB于点M，过点D′作D′K⊥AH于点H，易得BM、CM、AM、AC、AD′的值，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△HAD′∽△HCM，设HD′=x，AH=y，则HC=6+x，MH=y+3，根据相似三角形的性质可得x、y的值，由等面积法可得D′K，然后根据勾股定理进行计算.
12．【答案】
【知识点】轴对称的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，
∵△DBF的轴对称图形△CAG，
由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合
∴△ACG≌△BDF，
∴∠ACG=∠BDF=60°，
∵∠ECB=60°，
∴G、C、E三点共线，
∵AM⊥CG，ON⊥CE，
∴AM∥ON，
∴，
在Rt△ONC中，∠OCN=60°，
∴ON=sin∠OCN OC= OC，
∵OC=OA-AC=6-12÷3=2，
∴ON=，
同理：AM=，
∵ON⊥GE，
∴NE=GN=GE，
连接OE，
在Rt△ONE中，NE=，
∴GE=2NE=，
∴S△AGE=GE AM=，
∴图中两个阴影部分的面积和为.
故答案为：.
【分析】如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，判断出G、C、E三点共线，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，可得AM∥ON，根据平行线分线段成比例定理得，由ON=sin∠OCN OC求出ON，同理求出AM，根据垂径定理得NE=GN=GE，连接OE，利用勾股定理算出NE，从而即可得出GE，进而根据三角形面积计算公式即可得出答案.
13．【答案】y=
【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，
∵tan∠ABO=3，
∴AO=3OB，
设OB=a，则AO=3a，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，
∴∠OAB=∠CBE，
又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），
∴CE=OB=a，BE=AO=3a，
∴OE=BE-BO=3a-a=2a，
∴点C（a，2a），
∵点C在反比例函数y=图象上，
∴2a2=1，解得a1=，a2=-（舍去），
∴CE=OB=，BE=AO=，
同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），
∴DF=AO=，AF=BO=，
∴FO=，
∴D（-，），
设经过D点的反比例函数解析式为y=（d≠0），
∴d=-×=-3，
∴y=-.
【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=，BE=AO=，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=，AF=BO=，FO=，即D（-，），设经过D点的反比例函数解析式为y=（d≠0），代入点D坐标求解即可.
14．【答案】10；
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴，
∴
∴，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴，
设CN＝2x，DN＝3x，则，
解之：，
∴，
∴，
在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM=∠DCN，
∴，
解之：，
∴，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于OB+OM=（）米．
故答案为：10，（）.
【分析】设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，利用平行线的性质可证得∠HCM＝∠EGF，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△HMC∽△EFG，利用相似三角形的对应边成比例可求出HM的长；利用平行线的性质可得到∠BDC＝∠EGF，从而可推出tan∠BDC＝tan∠EGF，可得到CN与DN的比值，设CN＝2x，DN＝3x，利用勾股定理表示出CD的长，利用CD的长建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB，OA的长；在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM，利用锐角三角函数的定义可求出OH的长，根据OM=OH+HM，代入计算求出MO的长；以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，然后求出其最大高度.
15．【答案】（）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得四边形ABCD是矩形，四边形BEFD是矩形，
∴CD=AB=6米，EF=BD=1.5米，
设MF=x，
在中，
在中，
∵CF+CD=FD，
∴，
解得，
∴，
∴（米）.
故答案为：（）.
【分析】由题意得四边形ABCD是矩形，四边形BEFD是矩形，得CD=AB=6米，EF=BD=1.5米，设MF=x，根据∠MCF及∠MDF的正切三角函数定义表示出CF、DF，根据CF+CD=FD建立方程并解之，根据ME=MF+EF即可求解.
16．【答案】38
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，
根据垂线段最短可知CH的长是轮船在航行中离小岛最近的距离。
由题意可知AB=30×（10-8）=60.
由题意可知∠CAH=90°-45°=45°，∠CBH=90°-30°=60°，
在Rt△CAH中，
AH=CH=x
则BH=60-x
在Rt△CBH中
CH=BHtan∠CBH
∴x=（60-x）
解之：x=90-30
∴CH=90-30×1.732≈38.
故答案为：38.
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，利用垂线段最短可知CH的长是轮船在航行中离小岛最近的距离，求出AB的长，设AH=CH=x，利用解直角三角形，在Rt△CBH中，可得到CH=BHtan∠CBH，由此可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到CH的长。
17．【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA=，cosA=，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，
∴an+bn＜cn．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA=，cosA=，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，即可得到它们的关系．
18．【答案】（1）证明：∵AG平分∠DAF，
∴∠DAG=∠EAG，
∵AE⊥BD，∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAE=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴∠AGB=∠DGH=∠ADB+∠DAG=∠BAE+∠EAG=∠BAG，
∴BG=AB.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，BC=AD，
∴△ABG∽△HDG，
∴，
∵H是CD的中点，
∴CH=DH=AB，
∴BG=2DG，
∵BG=AB，
∴BD=AB，
∴AD=，
∵∠ABF=∠BAD=90°，∠BAF=∠ADB，
∴△ABF∽△DAB，
∴，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=AB，
∴tan∠HFC=
（3）解：由（2）可知：tan∠HFC=，
∵，
∴CH=2，
由（2）结论得：CD=AB=BG=4，BD=AB=6，BC=AD=AB=2，BF=AB=，CF=AB=，
∵S△ABD=AB·AD=AE·BD，
∴AE=，
∴BE=，
①如图，当CM经过EF的中点O时，过点F作FN∥BD交CM于点N，
易得△EOM≌△FON，△CNF∽△CMB，
∴ME=NF，，
∴NF=BM，
∴EM+MB=NF+MB=BM=BE=，
∴BM=；
②如图，当点M为ED中点时，
∴DM=ME=ED，
∵ED=BD-BE=6-=，
∴BM=BE+ME=+×=；
③如图，当CM过FH的中点I时，过点M作MN⊥BC于点N，
易得∠BCD=∠MNB=90°，
∴IF=IH=IC，
∴∠IFC=∠ICF=∠HFC=∠MCN，
∴tan∠MCN=tan∠HFC=，
∴=，即MN=NC，
又∵∠DBC=∠MBN，
∴△CBD∽△NBM，
∴，即BN=MN，
∴BN=NC，
∴BN+NC=NC=BC=2，
∴NC=，BN=，
∴MN=，
∴BM=.
综上所述，BM的值为或或.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠DAG=∠EAG，根据同角的余角相等得出∠BAE=∠ADB，利用三角形外角性质得出∠AGB=∠DGH=∠ADB+∠DAG=∠BAE+∠EAG=∠BAG，即可得出BG=AB；
（2）根据进行的性质和线段中点定义得出CH=AB，再根据相似三角形的性质得出BF=，从而得出CF=AB，再根据锐角三角函数的定义即可得出tan∠HFC的值；
（3）由（2）可知：tan∠HFC=，若，则CH=2，由（2）结论得：CD=AB=BG=4，BD=AB=6，BC=AD=AB=2，BF=AB=，CF=AB=，利用三角形面积求得AE=，利用勾股定求理得BE=，由题意分三种情况：①当CM经过EF中点O时，作FN∥BD交CM于点N，易得△EOM≌△FON，△CNF∽△CMB，由全等和相似性质得ME=NF，，从而得BM=BE=，即可求得BM的长；②当点M为ED中点时，则DM=ME=ED，由ED=BD-BE=，再由BM=BE+ME，代入数据即可即可求得BM长；③当CM过FH的中点I时，过点M作MN⊥BC于点N，易得∠BCD=∠MNB=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得IF=IH=IC，即得∠IFC=∠ICF= ∠HFC=∠MCN，从而得tan∠MCN=tan∠HFC=，进而得MN=NC，易证△CBD∽△NBM，由相似性质得BN=MN，从而得BN=NC，由BN+NC=NC=BC，求出NC=，BN=，
进而求出MN=，再由勾股定理BM=，代入数据计算即可求得BM的长.
19．【答案】（1）解：过点C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F．
在中，。
。
，
。
。
，，
小杜下蹲的最小距离．
（2）解：过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P．
在中，。
，
，
。
，
。
小若垫起脚尖后头顶的高度为。
小若头顶超出点N的高度。
小若垫起脚尖后能被识别。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，利用三角函数的概念可得EF，由ASA证明△ADF≌△AEF，得到EF=DF，然后求出CE、ED的值，据此求解；
（2）过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，利用三角函数的概念可得MP，根据ASA证明△AMP≌△ANP，得到PN=MP，然后求出BN的值，再求出小若垫起脚尖后头顶的高度，据此求解.
20．【答案】（1）5
（2）解：如图2，由已知可得：
BC=BC′，BA=BA′，∠CBA=∠C′BA′=60°．
∴．
∵∠CBA=∠C′BA′=60°，
∴∠CBA+∠ABC′=∠C′BA′+∠ABC′．
即∠CBC′=∠ABA′．
∴△CBC′～△ABA′．
∴．
∵，
∴．
∴AA′=2CC′=2×4=8．
（3）解：∵四边形ACBF的面积=S△ABC+S△FAB，
△ABC的面积为定值，
∴△ABF 面积最大时，四边形ACBF的面积最大．
∵AB=5且位置不变，
∴点F距离AB最大时，△ABF 面积最大．
∵OE=2，
∴点E在以O为圆心，半径为2的圆上，如下图所示：
∵∠BEF=90°，
∴当O，E，F三点在一条直线上，即BE与该圆相切时，△ABF 面积最大．
过F作FD⊥OB于D，
∵AC=BC=5，
∴AB=AC=10．
∵O为AB的中点，
∴BO=5．
∵BE⊥OF，
∴．
∵tan∠EBF=，
∴．
∴EF=．
∴OF=OE+EF=2+．
在Rt△BEO中，．
在Rt△ODF中，．
∴．
∴△ABF 面积最大值为．
∴四边形ACBF的面积的最大值=S△ABC+S△FAB
【知识点】三角形的面积；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，最大值为2+3=5.
故答案为：5.
【分析】（1）当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，据此求解；
（2）由已知条件可得，∠CBA=∠C′BA′=60°，根据角的和差关系可得∠CBC′=∠ABA′，利用对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CBC′～△ABA′，结合三角函数的概念就可求出AA′的长；
（3）根据面积间的和差关系可得：四边形ACBF的面积=S△ABC+S△FAB，则当点F距离AB最大时，△ABF面积最大，四边形ACBF的面积最大，过F作FD⊥OB于D，易得AB、BE的值，根据三角函数的概念可得EF，由OF=OE+EF可得OF，利用三角函数的概念可得DF，据此求解.
21．【答案】（1）
（2）解：①作BE⊥AQ于E，
∵最佳射门点为点Q，
∴，
∵，
∴，
∴△ADQ∽△QDB，
∴，
∵，，
∴，代入比例式得，，
解得，（负值舍去）；
，
∴，，
∴，，
∴，，
则，
；
②过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，
∵守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，
∴当时才能确保防守成功.
∵MN⊥AQ，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
；
MN中点与AB的距离至少为时才能确保防守成功..
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：连接 、 ，
∵CD∥AB，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴最佳射门点为
故答案为： ；
【分析】（1）连接 Q2A、Q2B，由平行线的性质得出 ，再根据等腰三角形的性质得出 即可判断；
(2)①根据最佳射门点为点Q，可证△ADQ∽△QDB， 列出比例式即可求出DQ的长度， 作BE⊥AQ于E， 求出线段长，利用三角函数求解即可；②根据题意守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，利用相似三角形的性质求出EM，在解直角三角形求出MP、PF、PO即可.
22．【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，
A，B，C，E四点共圆，，
，
，
（2）解：是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
设，，
，，解得，
.
（3）解：如图添加辅助线，构造以为边的等边，连接，过点B作交的延长线于点M，
，
是正三角形，
，
，
在和中， ，
，
，，
，
，
，，
设，，
则，
解得，
，
在中，，
，，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠AED=∠ACB=60°，根据圆内接四边形的性质可得∠BEC=∠BAC=60°，则∠ADF=∠CEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据等边三角形的性质可得AD=DE=AE，结合已知条件可得DF=2，AD=DE=AE=6，根据相似三角形的性质可得CE的值，利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE=12，证明△AFE∽△BFC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）构造以AB为边的等边△ABH，连接DH，过点B作BM⊥AE交AE的延长线于点M，则△EAD是正三角形，结合角的和差关系可得∠BAE=∠HAD，利用SAS证明△BAE≌△HAD，得到∠AEB=∠ADH=120°，BE=DH=3，进而推出AE∥DH，证明△AEFE∽△HDF，设EF=x，AE=ED=x-2，根据相似三角形的性质可求出AE的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
23．【答案】（1）证明：
正方形中
（2）解：连接BD交AC于点O，
，，
矩形ABCD中，
，
，
（3）解：菱形ABCD中，BC=AB=DC=AD=5
设对角线AC、BD相交于点O，
，且AC与BD互相平分，
，BD=2OD
中，
，BD=2OD=8
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 根据正方形的性质可得∠CDB=45°，∠EBD=∠FCD=45°，结合角的和差关系可得∠EDB=∠CDF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）连接BD交AC于点O，根据勾股定理可得AC=BD=10，根据矩形的性质可得AC=BD，则OD=OC，根据等腰三角形的性质可得∠ODC=∠OCD，根据平行线的性质可得∠ABD=∠ODC，推出∠ABD=∠OCD，结合三角函数的概念可得∠EDF=∠BDC，证明△DBE∽△DCF，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）根据菱形的性质可得BC=AB=DC=AD=5，设对角线AC、BD相交于点O，则OC=3，BD=2OD，利用勾股定理可得OD，求出tan∠ODC的值，推出∠EDF=∠ODC，根据等角的余角相等可得∠HBD=∠OCD，证明△DBE∽△DCF，然后根据相似三角形的性质进行计算.
24．【答案】（1）
（2）解： CD=AD+BD
过点A作AH⊥CD于点H
∵∠BAC=∠DAE=120°、
∴∠DAB=∠CAE
在△DAB和△EAC中
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴BD=CE
在Rt△ADH中，
DH=AD·cos30°=
∵AD=AE，AH⊥DE
∴DH=HE
∴CD=DE+EC=2DH+BD=CD=AD+BD
（3）解： 过点B作BH⊥AE于点H，连接BE
∵点C、E关于MB对称
∴BE=BC，FE=FC，∠EBF=∠CBF，∠EFB=∠CFB
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴BA=BD=BC=BE
∵BH⊥AE
∴∠ABH=∠EBH
∴∠HBF=∠EBH+∠EBF=
∴∠HFB=30°，∠EFC=60°
∴△EFC是等边三角形
∴EC=EF=1
∵AE=4
∴AH=HE=2，FH=3
在Rt△BHF中，∠BFH=30°
BF=
∴BF的长为
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D
∵ 等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C，BD=BC
∴∠B=（180°-120°）÷2=30°
在Rt△ADB中
∴
∴
故答案为：.
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质，可求出∠B，易证BD=BC，再利用解直角三角形就可求出结果。
（2）过点A作AH⊥CD于点H，结合已知条件易证△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质，可证得BD=CE，在Rt△ADH中，利用解直角三角形可得DH=，再利用等腰三角形三线合一的性质，可证DH=HE，从而可证得结论。
（3）过点B作BH⊥AE于点H，连接BE，利用轴对称的性质及菱形的性质，可得到BA=BD=BC=BE，再证明∠EFC=60°，可得到△EFC是等边三角形，从而可求出HF的长，然后在Rt△BHF中，∠BFH=30°，利用解直角三角形，就可求出BF的长。
25．【答案】（1）证明：∵∠A=∠B=90°，AE=BF，DE=EF，
∴Rt△AED≌Rt△BFE（HL），
∴∠AED=∠BFE，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠DEF=180°-（∠BEF+∠AED）=90°
∴DE⊥EF；
（2）解：令y=4-x中的x=0，得y=4，
∴AD=4，
∵Rt△AED≌Rt△BFE，
∴BE=AD=4，
∵AE=3，
∴ED=EF=CF=5，
∴BC=BF+CF=8，∠FEC=∠FCE，
∵∠DEC+∠FEC=90°，∠BEC+∠FCE=90°，
∴∠DEC=∠BEC，
∴tan∠DEC=tan∠BEC==2；
（3）解：①(i)如图1，当HI⊥BC时，
即
（ⅱ）如图2，当HI⊥CE时，作KE⊥EC，∴HI∥KE，
即
由图可知，HI不可能垂直BE，
综上所述，当时，直线HI与△BCE一边垂直；
②如图3，作HP⊥ED于点P，JQ⊥ED于点Q，IR⊥AD于点R，
∵
∴
∴
，
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）首先利用HL判断出Rt△AED≌Rt△BFE，得∠AED=∠BFE，由直角三角形两锐角互余及等量代换可得∠BEF+∠AED=90°，再根据平角的定义可得∠DEF=90°，从而根据垂直的定义得DE⊥EF；
（2）令y=4-x中的x=0，得y=4，即AD=4，由全等三角形的对应边相等得BE=AD=4，用勾股定理及已知可得ED=EF=CF=5，由等边对等角得∠FEC=∠FCE，由等角的余角相等得∠DEC=∠BEC，进而根据等角的同名三角函数值相等及∠BEC的正切函数的定义可得答案；
（3）①(i)如图1，当HI⊥BC时，首先证出AE∥HI，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△HDI∽△ADE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AH的长；（ⅱ）如图2，当HI⊥CE时，作KE⊥EC，由等角的余角相等得∠AKE=∠BEC，进而根据等角的同名三角函数值相等及∠BEC的正切函数的定义可得=2，结合已知可求出AK、KD的长，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△DHI∽△DKE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AH的长；由图可知，HI不可能垂直BE，综上所述即可得出答案；
②作HP⊥ED于点P，JQ⊥ED于点Q，IR⊥AD于点R，由同角的余角相等得∠JIQ=∠IHP，用AAS判断出△HIP≌△IJQ，由全等三角形的对应边相等及∠HDP的正弦函数可得IQ=HP=HD·sin∠HDP=x，则EQ=，由∠HDP的余弦函数表示出PD，进而可表示出QJ，再根据∠QEJ的正切函数建立方程可求出x的值，最后根据等底三角形的面积之比等于底之比即可求出答案.
1 / 1（B卷）第一章 解直角三角形-浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·义乌模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式不一定成立的（ ）
A．a＝csinA B．a＝btanA
C． D．sin2A+sin2B＝1
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴，
，
，
，
c2=a2+b2，
∴a=csinA，
a=btanA，
，
.
∴A、B、D都正确，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理及锐角三角函数的定义得，，，，c2=a2+b2，从而变形即可一一判断得出答案.
2．（2022·上虞模拟）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点D，连接BD，
∵CD为⊙O的直径
∴∠CBD=90°，
∵BC=2，BD=4，
∴由勾股定理得CD=，
∴sin∠BDC＝＝＝，
∵∠BAC＝∠BDC（同弧所对的圆周角相等），
∴sin∠BAC＝sin∠BDC＝.
故答案为：B.
【分析】延长CO交⊙O于点D，连接BD，由CD为⊙O的直径可得∠CBD=90°，又BC=2，BD=4，由正弦的定义求出sin∠BDC，再根据圆周角定理得∠BAC＝∠BDC，根据等角的锐角三角函数值相等，从而求得sin∠BAC的值.
3．（2021九上·杭州期中）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心， 为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．8π B． C．8π﹣16 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（2，2），
∴OP＝2 ，
∵OA'＝OB'＝4 ，
∴cos∠A'OP＝cos∠B'OP＝ ，
∴∠A'OP＝∠B'OP＝60°，
∴∠A'OB'＝120°，A′P＝4 × ＝2 ，
∴A′B′＝4
∴S阴＝S扇形OA'B'﹣S△A'OB'＝ ﹣ ＝ π﹣8 .
故答案为：D.
【分析】由题意可知当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，根据点P的坐标可得OP，根据OA′=OB′=4结合三角函数的概念可得cos∠A'OP＝cos∠B'OP＝，则∠A'OP＝∠B'OP＝60°，求出∠A'OB'的度数以及A′P，进而得到A′B′，然后根据S阴＝S扇形OA'B′﹣S△A'OB′进行计算.
4．用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′18″，按键“=”即可得到结果．
故选：A．
【分析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果．
5．（2020九上·鄞州期中）如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（ ）
A．a B．1.5a C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，
∵AC、BC为直径，
∴∠APC=∠BQC=90°，
∴四边形BHPQ为矩形，
∴PQ=BH，
∵BH∥CP，
∴∠ABH=∠C=30°，
∴BH=ABcos30°=2a×=a，
∴PQ=a.
故答案为：C.
【分析】连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，利用直径所对的圆周角是直角，结合垂直的定义可证四边形BHPQ为矩形，从而把PQ转化为BH，最后在Rt△AHB中用余弦函数即可求出BH的长，则PQ长可知.
6．（2023·瑞安模拟）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形.若，，与地面垂直且，则灯顶A到地面的高度为（ ）m
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点E，过点C作于点M，
所以，四边形是矩形，
∴，
∵路灯图是轴对称图形，且，
∵
在中，
又
∴，
∴
即灯顶A到地面的高度为
故答案为：B
【分析】过点E作AE⊥DE于点E，过点C作CM⊥AE于点M，易证四边形CDEM是矩形，利用矩形的性质可求出ME的长；根据路灯图是轴对称图形，可求出∠ACM的度数，在Rt△ACM中，利用解直角三角形求出AM的长，根据AE=AM+ME，可求出AE的长，即可得到灯顶A到地面的高度.
7．（2023·金华模拟）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是.（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接CA，如图，
由题可知四边形CAF 是矩形，
∴CA⊥AF，EF=CA，
∴，
∵AB⊥BC，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△CDE中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接CA，由题可知四边形CAF 是矩形，得CA⊥AF，EF=CA，由同角的余角相等得，在Rt△ABC中，由余弦函数的定义得，在Rt△CDE中，由正弦函数的定义得，最后根据DF=DE+EF即可得出答案.
8．（2021·拱墅模拟）图1是某公园的一个滑梯，图2是其示意图.滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐忠，公园管理局决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A满足30°≤∠A≤45°，则AB加长的距离可以是（ ）
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
A．0.8m B．1.6m C．2.4m D．3.2m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC，∠CAB＝60°，BC＝2，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
当坡角为45°时，有BD＝BC＝2，
∴DA＝2﹣AB＝2﹣ ≈0.85（m），
当坡角为30°时，有BE＝ ＝ （m），
∴EA＝BE﹣AB＝2 ﹣ ≈2.31（m），
当坡角满足30°≤∠A≤45°，
∴AB加长的距离x的取值范围为0.85≤x≤2.31，
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC，利用AB＝ 求出AB的长；当坡角为45°时，有BD＝BC＝2，由此可求出DA的长；当坡角为30°时，利用BE＝ 求出BE的长，然后根据EA=BE-AB，求出EA的长；即可得到x的取值范围.
9．（2022·宁波模拟）如图1，以的各边为边向外作等边三角形，编号分别为①，②，③．如图2，将①，②叠放在③中，若四边形与的面积之比是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知△BEF是等边三角形， 作FH⊥BE于点H，如图，
∵△BEF是等边三角形，
∴ ∠BEF＝60°，BE＝EF＝BF，
∵FH⊥BE，
∴∠FHE＝90°，
∴FH＝＝BE，
∴，
设△BEF边长为b，则AC＝b，△BCD边长为 ，△BGH边长为c，则AB＝c，
，
同理可得，，
∴，
，
∵△ABC是直角三角形，
∴，
∴，
∴ ＝ ，
∴，
∴，
设c＝15，b＝8，
则 ，
∴＝ .
故答案为：A.
【分析】由题意知△BEF是等边三角形，作FH⊥BE于点H，根据等边三角形的性质可得 ∠BEF＝60°，BE＝EF＝BF，则∠FHE＝90°，根据三角函数的概念表示出FH，得到S△BEF，设△BEF边长为b，则AC＝b，△BCD边长为a ，△BGH边长为c，则AB＝c，表示出S△BEF、S△BCD、S△BGH，根据S四边形EGHF=S△BGH-S△BEF，S四边形GDCH=S△BCD-S△BGH表示出S四边形EGHF，S四边形GDCH，由勾股定理可得b2=a2-c2，代入求解可得，设c＝15k，b＝8k，由勾股定理可得a，然后根据三角函数的概念进行计算.
10．（2020·宁波模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．若⊙M与线段EN只有一个公共点，则t的取值范围为（ ）
A．0＜t≤ 或 ＜t＜6 B．0＜t≤ 或 ＜t＜8
C．0＜t≤ 或 ＜t＜6 D．0＜t≤ 或 ＜t＜8
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD， AC=12cm，BD=16cm
∴AO=AC=6，BO=BD=8，AC⊥BD
∴，
∴
∵BE是直径，
∴∠BFE=90°，BE=2BM=2t
∴，
∴
当EN与圆M相切时，则∠BEN=90°，
在Rt△BEN中，
解之：；
∴当0＜t≤时，圆M与EN只有一个公共点；
当点N运动到圆M上即点N和点F重合时
∴BF+ND=16
∴
解之：；
当t=8时，点N和点B重合此时EN与圆M有两个公共点
∴当时圆M与EN只有一个公共点
∴若⊙M与线段EN只有一个公共点，则t的取值范围为0＜t≤或
故答案为：B
【分析】 利用菱形的性质求出AO，BO的长，利用勾股定理求出AB的长，利用锐角三角函数的定义可得到BP与AB的比值，利用圆周角定理及解直角三角形可求出BF的长；分情况讨论：当EN与圆M相切时，则∠BEN=90°，利用解直角三角形建立关于t的方程，解方程求出t的值，由此可求出t的取值范围；当点N运动到圆M上即点N和点F重合时，根据BF+ND=16，建立关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述可得到t的取值范围。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·温州模拟） 如图1是一款手机支架，水平放置时，它的侧面示意图如图2所示，其中线段，，，是支撑杆且，，可以自由调节大小已知，，当时，点恰好在点的正上方，则线段 ；如图3，保持不变，旋转至，使点，，恰好在一条直线上，则此时点到点上升的竖直高度为 .
【答案】8；
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，过点作，交于点，过点作于点，如图，
当时，点恰好在点的正上方，
.
，，
四边形为矩形，
，.
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
.
故答案为：8.
连接，延长，交于点，过点作于点，过点作于点，如图，
由题意：，
在中，
，，
，，
，
，
.
，，
∽，
.
设，，则，，
，
解得：.
，.
，
，
.
，
点到点上升的竖直高度为.
故答案为：.
【分析】连接AD，过点D作DF∥AB，交BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，易得四边形ADFG为矩形，则AG=DF，∠DFC=∠B=60°，根据等边三角形的性质可得DF=CF=CD=6cm，则AG=DF=6cm，根据三角函数的概念可得BF=2BG，然后根据AB=AG+BG进行计算；连接AC，延长CD，BA交于点H，过点C作CM⊥AB于点M，过点D′作D′K⊥AH于点H，易得BM、CM、AM、AC、AD′的值，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△HAD′∽△HCM，设HD′=x，AH=y，则HC=6+x，MH=y+3，根据相似三角形的性质可得x、y的值，由等面积法可得D′K，然后根据勾股定理进行计算.
12．（2022九上·桐乡市期中）如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为 cm2
【答案】
【知识点】轴对称的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，
∵△DBF的轴对称图形△CAG，
由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合
∴△ACG≌△BDF，
∴∠ACG=∠BDF=60°，
∵∠ECB=60°，
∴G、C、E三点共线，
∵AM⊥CG，ON⊥CE，
∴AM∥ON，
∴，
在Rt△ONC中，∠OCN=60°，
∴ON=sin∠OCN OC= OC，
∵OC=OA-AC=6-12÷3=2，
∴ON=，
同理：AM=，
∵ON⊥GE，
∴NE=GN=GE，
连接OE，
在Rt△ONE中，NE=，
∴GE=2NE=，
∴S△AGE=GE AM=，
∴图中两个阴影部分的面积和为.
故答案为：.
【分析】如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，判断出G、C、E三点共线，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，可得AM∥ON，根据平行线分线段成比例定理得，由ON=sin∠OCN OC求出ON，同理求出AM，根据垂径定理得NE=GN=GE，连接OE，利用勾股定理算出NE，从而即可得出GE，进而根据三角形面积计算公式即可得出答案.
13．（2022·湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y= ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．
【答案】y=
【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，
∵tan∠ABO=3，
∴AO=3OB，
设OB=a，则AO=3a，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，
∴∠OAB=∠CBE，
又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），
∴CE=OB=a，BE=AO=3a，
∴OE=BE-BO=3a-a=2a，
∴点C（a，2a），
∵点C在反比例函数y=图象上，
∴2a2=1，解得a1=，a2=-（舍去），
∴CE=OB=，BE=AO=，
同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），
∴DF=AO=，AF=BO=，
∴FO=，
∴D（-，），
设经过D点的反比例函数解析式为y=（d≠0），
∴d=-×=-3，
∴y=-.
【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=，BE=AO=，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=，AF=BO=，FO=，即D（-，），设经过D点的反比例函数解析式为y=（d≠0），代入点D坐标求解即可.
14．（2022·温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
【答案】10；
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴，
∴
∴，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴，
设CN＝2x，DN＝3x，则，
解之：，
∴，
∴，
在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM=∠DCN，
∴，
解之：，
∴，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于OB+OM=（）米．
故答案为：10，（）.
【分析】设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，利用平行线的性质可证得∠HCM＝∠EGF，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△HMC∽△EFG，利用相似三角形的对应边成比例可求出HM的长；利用平行线的性质可得到∠BDC＝∠EGF，从而可推出tan∠BDC＝tan∠EGF，可得到CN与DN的比值，设CN＝2x，DN＝3x，利用勾股定理表示出CD的长，利用CD的长建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB，OA的长；在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM，利用锐角三角函数的定义可求出OH的长，根据OM=OH+HM，代入计算求出MO的长；以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，然后求出其最大高度.
15．（2022·浦江模拟）如图，为了配合疫情工作，浦江某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.5米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为，则学校大门ME的高是 米.
【答案】（）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得四边形ABCD是矩形，四边形BEFD是矩形，
∴CD=AB=6米，EF=BD=1.5米，
设MF=x，
在中，
在中，
∵CF+CD=FD，
∴，
解得，
∴，
∴（米）.
故答案为：（）.
【分析】由题意得四边形ABCD是矩形，四边形BEFD是矩形，得CD=AB=6米，EF=BD=1.5米，设MF=x，根据∠MCF及∠MDF的正切三角函数定义表示出CF、DF，根据CF+CD=FD建立方程并解之，根据ME=MF+EF即可求解.
16．（2020·宁波模拟）如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 米(精确到1米，参考数据 ≈1.414， ≈1.732)。
【答案】38
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，
根据垂线段最短可知CH的长是轮船在航行中离小岛最近的距离。
由题意可知AB=30×（10-8）=60.
由题意可知∠CAH=90°-45°=45°，∠CBH=90°-30°=60°，
在Rt△CAH中，
AH=CH=x
则BH=60-x
在Rt△CBH中
CH=BHtan∠CBH
∴x=（60-x）
解之：x=90-30
∴CH=90-30×1.732≈38.
故答案为：38.
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，利用垂线段最短可知CH的长是轮船在航行中离小岛最近的距离，求出AB的长，设AH=CH=x，利用解直角三角形，在Rt△CBH中，可得到CH=BHtan∠CBH，由此可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到CH的长。
三、解答题（共9题，共72分）
17．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA=，cosA=，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，
∴an+bn＜cn．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA=，cosA=，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，即可得到它们的关系．
18．（2022·龙湾模拟）如图，在矩形 中， 于点 ，交 边于点 ． 平分 交 于点 ，并经过 边的中点 ．
（1）求证： ．
（2）求 的值．
（3）若 ，试在 上找一点 （不与 ， 重合），使直线 经过四边形 一边的中点，求所有满足条件的 的值．
【答案】（1）证明：∵AG平分∠DAF，
∴∠DAG=∠EAG，
∵AE⊥BD，∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAE=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴∠AGB=∠DGH=∠ADB+∠DAG=∠BAE+∠EAG=∠BAG，
∴BG=AB.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，BC=AD，
∴△ABG∽△HDG，
∴，
∵H是CD的中点，
∴CH=DH=AB，
∴BG=2DG，
∵BG=AB，
∴BD=AB，
∴AD=，
∵∠ABF=∠BAD=90°，∠BAF=∠ADB，
∴△ABF∽△DAB，
∴，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=AB，
∴tan∠HFC=
（3）解：由（2）可知：tan∠HFC=，
∵，
∴CH=2，
由（2）结论得：CD=AB=BG=4，BD=AB=6，BC=AD=AB=2，BF=AB=，CF=AB=，
∵S△ABD=AB·AD=AE·BD，
∴AE=，
∴BE=，
①如图，当CM经过EF的中点O时，过点F作FN∥BD交CM于点N，
易得△EOM≌△FON，△CNF∽△CMB，
∴ME=NF，，
∴NF=BM，
∴EM+MB=NF+MB=BM=BE=，
∴BM=；
②如图，当点M为ED中点时，
∴DM=ME=ED，
∵ED=BD-BE=6-=，
∴BM=BE+ME=+×=；
③如图，当CM过FH的中点I时，过点M作MN⊥BC于点N，
易得∠BCD=∠MNB=90°，
∴IF=IH=IC，
∴∠IFC=∠ICF=∠HFC=∠MCN，
∴tan∠MCN=tan∠HFC=，
∴=，即MN=NC，
又∵∠DBC=∠MBN，
∴△CBD∽△NBM，
∴，即BN=MN，
∴BN=NC，
∴BN+NC=NC=BC=2，
∴NC=，BN=，
∴MN=，
∴BM=.
综上所述，BM的值为或或.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠DAG=∠EAG，根据同角的余角相等得出∠BAE=∠ADB，利用三角形外角性质得出∠AGB=∠DGH=∠ADB+∠DAG=∠BAE+∠EAG=∠BAG，即可得出BG=AB；
（2）根据进行的性质和线段中点定义得出CH=AB，再根据相似三角形的性质得出BF=，从而得出CF=AB，再根据锐角三角函数的定义即可得出tan∠HFC的值；
（3）由（2）可知：tan∠HFC=，若，则CH=2，由（2）结论得：CD=AB=BG=4，BD=AB=6，BC=AD=AB=2，BF=AB=，CF=AB=，利用三角形面积求得AE=，利用勾股定求理得BE=，由题意分三种情况：①当CM经过EF中点O时，作FN∥BD交CM于点N，易得△EOM≌△FON，△CNF∽△CMB，由全等和相似性质得ME=NF，，从而得BM=BE=，即可求得BM的长；②当点M为ED中点时，则DM=ME=ED，由ED=BD-BE=，再由BM=BE+ME，代入数据即可即可求得BM长；③当CM过FH的中点I时，过点M作MN⊥BC于点N，易得∠BCD=∠MNB=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得IF=IH=IC，即得∠IFC=∠ICF= ∠HFC=∠MCN，从而得tan∠MCN=tan∠HFC=，进而得MN=NC，易证△CBD∽△NBM，由相似性质得BN=MN，从而得BN=NC，由BN+NC=NC=BC，求出NC=，BN=，
进而求出MN=，再由勾股定理BM=，代入数据计算即可求得BM的长.
19．（2023·舟山）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度，识别的最远水平距离。
（1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别。
（2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明。
（精确到，参考数据）
【答案】（1）解：过点C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F．
在中，。
。
，
。
。
，，
小杜下蹲的最小距离．
（2）解：过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P．
在中，。
，
，
。
，
。
小若垫起脚尖后头顶的高度为。
小若头顶超出点N的高度。
小若垫起脚尖后能被识别。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，利用三角函数的概念可得EF，由ASA证明△ADF≌△AEF，得到EF=DF，然后求出CE、ED的值，据此求解；
（2）过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，利用三角函数的概念可得MP，根据ASA证明△AMP≌△ANP，得到PN=MP，然后求出BN的值，再求出小若垫起脚尖后头顶的高度，据此求解.
20．（2023·宁波模拟）如图
（1）【问题发现】如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 ；
（2）【问题探究】如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A==30°，∠C=∠C'=90°），绕点B旋转，当旋转至CC′=4时，求的长；
（3）【问题解决】如图3，点O为等腰RtABC的斜边AB的中点，AC=BC=5，OE=2，连接BE，作RtBEF，其中∠BEF=90°，tan∠EBF=，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
【答案】（1）5
（2）解：如图2，由已知可得：
BC=BC′，BA=BA′，∠CBA=∠C′BA′=60°．
∴．
∵∠CBA=∠C′BA′=60°，
∴∠CBA+∠ABC′=∠C′BA′+∠ABC′．
即∠CBC′=∠ABA′．
∴△CBC′～△ABA′．
∴．
∵，
∴．
∴AA′=2CC′=2×4=8．
（3）解：∵四边形ACBF的面积=S△ABC+S△FAB，
△ABC的面积为定值，
∴△ABF 面积最大时，四边形ACBF的面积最大．
∵AB=5且位置不变，
∴点F距离AB最大时，△ABF 面积最大．
∵OE=2，
∴点E在以O为圆心，半径为2的圆上，如下图所示：
∵∠BEF=90°，
∴当O，E，F三点在一条直线上，即BE与该圆相切时，△ABF 面积最大．
过F作FD⊥OB于D，
∵AC=BC=5，
∴AB=AC=10．
∵O为AB的中点，
∴BO=5．
∵BE⊥OF，
∴．
∵tan∠EBF=，
∴．
∴EF=．
∴OF=OE+EF=2+．
在Rt△BEO中，．
在Rt△ODF中，．
∴．
∴△ABF 面积最大值为．
∴四边形ACBF的面积的最大值=S△ABC+S△FAB
【知识点】三角形的面积；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，最大值为2+3=5.
故答案为：5.
【分析】（1）当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，据此求解；
（2）由已知条件可得，∠CBA=∠C′BA′=60°，根据角的和差关系可得∠CBC′=∠ABA′，利用对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CBC′～△ABA′，结合三角函数的概念就可求出AA′的长；
（3）根据面积间的和差关系可得：四边形ACBF的面积=S△ABC+S△FAB，则当点F距离AB最大时，△ABF面积最大，四边形ACBF的面积最大，过F作FD⊥OB于D，易得AB、BE的值，根据三角函数的概念可得EF，由OF=OE+EF可得OF，利用三角函数的概念可得DF，据此求解.
21．（2022九上·诸暨期末）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.
（1）如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点 ；
（2）如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；
②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a的代数式表示）
【答案】（1）
（2）解：①作BE⊥AQ于E，
∵最佳射门点为点Q，
∴，
∵，
∴，
∴△ADQ∽△QDB，
∴，
∵，，
∴，代入比例式得，，
解得，（负值舍去）；
，
∴，，
∴，，
∴，，
则，
；
②过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，
∵守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，
∴当时才能确保防守成功.
∵MN⊥AQ，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
；
MN中点与AB的距离至少为时才能确保防守成功..
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：连接 、 ，
∵CD∥AB，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴最佳射门点为
故答案为： ；
【分析】（1）连接 Q2A、Q2B，由平行线的性质得出 ，再根据等腰三角形的性质得出 即可判断；
(2)①根据最佳射门点为点Q，可证△ADQ∽△QDB， 列出比例式即可求出DQ的长度， 作BE⊥AQ于E， 求出线段长，利用三角函数求解即可；②根据题意守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，利用相似三角形的性质求出EM，在解直角三角形求出MP、PF、PO即可.
22．（2023九上·江北期末）如图
（1）【基础巩固】如图1，和都是等边三形，点B、D、E在同条直线上，与交于点F.求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若，求的长度.
（3）【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中，，，，求的值.
【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，
A，B，C，E四点共圆，，
，
，
（2）解：是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
设，，
，，解得，
.
（3）解：如图添加辅助线，构造以为边的等边，连接，过点B作交的延长线于点M，
，
是正三角形，
，
，
在和中， ，
，
，，
，
，
，，
设，，
则，
解得，
，
在中，，
，，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠AED=∠ACB=60°，根据圆内接四边形的性质可得∠BEC=∠BAC=60°，则∠ADF=∠CEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据等边三角形的性质可得AD=DE=AE，结合已知条件可得DF=2，AD=DE=AE=6，根据相似三角形的性质可得CE的值，利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE=12，证明△AFE∽△BFC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）构造以AB为边的等边△ABH，连接DH，过点B作BM⊥AE交AE的延长线于点M，则△EAD是正三角形，结合角的和差关系可得∠BAE=∠HAD，利用SAS证明△BAE≌△HAD，得到∠AEB=∠ADH=120°，BE=DH=3，进而推出AE∥DH，证明△AEFE∽△HDF，设EF=x，AE=ED=x-2，根据相似三角形的性质可求出AE的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
23．（2022·宁波模拟）【证明体验】
（1）如图1，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，．求证：．
（2）【思考探究】
如图2，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长．
（3）【拓展延伸】
如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求BE的长．
【答案】（1）证明：
正方形中
（2）解：连接BD交AC于点O，
，，
矩形ABCD中，
，
，
（3）解：菱形ABCD中，BC=AB=DC=AD=5
设对角线AC、BD相交于点O，
，且AC与BD互相平分，
，BD=2OD
中，
，BD=2OD=8
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 根据正方形的性质可得∠CDB=45°，∠EBD=∠FCD=45°，结合角的和差关系可得∠EDB=∠CDF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）连接BD交AC于点O，根据勾股定理可得AC=BD=10，根据矩形的性质可得AC=BD，则OD=OC，根据等腰三角形的性质可得∠ODC=∠OCD，根据平行线的性质可得∠ABD=∠ODC，推出∠ABD=∠OCD，结合三角函数的概念可得∠EDF=∠BDC，证明△DBE∽△DCF，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）根据菱形的性质可得BC=AB=DC=AD=5，设对角线AC、BD相交于点O，则OC=3，BD=2OD，利用勾股定理可得OD，求出tan∠ODC的值，推出∠EDF=∠ODC，根据等角的余角相等可得∠HBD=∠OCD，证明△DBE∽△DCF，然后根据相似三角形的性质进行计算.
24．（2019·天台模拟）如图
（1）【问题背景】如图1，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°则 = .
（2）【迁移应用】如图2，△ABC和△ABE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同-条直线上，连结BD．求线段AD，BD，CD之间的数量关系式；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连结AE并延长交BM于点F，连结CE， CF．若AE=4，CE=1．求BF的长.
【答案】（1）
（2）解： CD=AD+BD
过点A作AH⊥CD于点H
∵∠BAC=∠DAE=120°、
∴∠DAB=∠CAE
在△DAB和△EAC中
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴BD=CE
在Rt△ADH中，
DH=AD·cos30°=
∵AD=AE，AH⊥DE
∴DH=HE
∴CD=DE+EC=2DH+BD=CD=AD+BD
（3）解： 过点B作BH⊥AE于点H，连接BE
∵点C、E关于MB对称
∴BE=BC，FE=FC，∠EBF=∠CBF，∠EFB=∠CFB
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴BA=BD=BC=BE
∵BH⊥AE
∴∠ABH=∠EBH
∴∠HBF=∠EBH+∠EBF=
∴∠HFB=30°，∠EFC=60°
∴△EFC是等边三角形
∴EC=EF=1
∵AE=4
∴AH=HE=2，FH=3
在Rt△BHF中，∠BFH=30°
BF=
∴BF的长为
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D
∵ 等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C，BD=BC
∴∠B=（180°-120°）÷2=30°
在Rt△ADB中
∴
∴
故答案为：.
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质，可求出∠B，易证BD=BC，再利用解直角三角形就可求出结果。
（2）过点A作AH⊥CD于点H，结合已知条件易证△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质，可证得BD=CE，在Rt△ADH中，利用解直角三角形可得DH=，再利用等腰三角形三线合一的性质，可证DH=HE，从而可证得结论。
（3）过点B作BH⊥AE于点H，连接BE，利用轴对称的性质及菱形的性质，可得到BA=BD=BC=BE，再证明∠EFC=60°，可得到△EFC是等边三角形，从而可求出HF的长，然后在Rt△BHF中，∠BFH=30°，利用解直角三角形，就可求出BF的长。
25．（2023九下·鹿城月考）如图，在四边形中，，点分别在边和边上，.点在上从点匀速运动到点时，点恰好从上某一点匀速运动到点，记，已知.
（1）求证：.
（2）求的长与的值.
（3）连结.
①当直线与一边垂直时，求所有满足条件的的值.
②线段绕点顺时针旋转得到线段，当点恰好落在上时，求和的面积比.
【答案】（1）证明：∵∠A=∠B=90°，AE=BF，DE=EF，
∴Rt△AED≌Rt△BFE（HL），
∴∠AED=∠BFE，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠DEF=180°-（∠BEF+∠AED）=90°
∴DE⊥EF；
（2）解：令y=4-x中的x=0，得y=4，
∴AD=4，
∵Rt△AED≌Rt△BFE，
∴BE=AD=4，
∵AE=3，
∴ED=EF=CF=5，
∴BC=BF+CF=8，∠FEC=∠FCE，
∵∠DEC+∠FEC=90°，∠BEC+∠FCE=90°，
∴∠DEC=∠BEC，
∴tan∠DEC=tan∠BEC==2；
（3）解：①(i)如图1，当HI⊥BC时，
即
（ⅱ）如图2，当HI⊥CE时，作KE⊥EC，∴HI∥KE，
即
由图可知，HI不可能垂直BE，
综上所述，当时，直线HI与△BCE一边垂直；
②如图3，作HP⊥ED于点P，JQ⊥ED于点Q，IR⊥AD于点R，
∵
∴
∴
，
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）首先利用HL判断出Rt△AED≌Rt△BFE，得∠AED=∠BFE，由直角三角形两锐角互余及等量代换可得∠BEF+∠AED=90°，再根据平角的定义可得∠DEF=90°，从而根据垂直的定义得DE⊥EF；
（2）令y=4-x中的x=0，得y=4，即AD=4，由全等三角形的对应边相等得BE=AD=4，用勾股定理及已知可得ED=EF=CF=5，由等边对等角得∠FEC=∠FCE，由等角的余角相等得∠DEC=∠BEC，进而根据等角的同名三角函数值相等及∠BEC的正切函数的定义可得答案；
（3）①(i)如图1，当HI⊥BC时，首先证出AE∥HI，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△HDI∽△ADE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AH的长；（ⅱ）如图2，当HI⊥CE时，作KE⊥EC，由等角的余角相等得∠AKE=∠BEC，进而根据等角的同名三角函数值相等及∠BEC的正切函数的定义可得=2，结合已知可求出AK、KD的长，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△DHI∽△DKE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AH的长；由图可知，HI不可能垂直BE，综上所述即可得出答案；
②作HP⊥ED于点P，JQ⊥ED于点Q，IR⊥AD于点R，由同角的余角相等得∠JIQ=∠IHP，用AAS判断出△HIP≌△IJQ，由全等三角形的对应边相等及∠HDP的正弦函数可得IQ=HP=HD·sin∠HDP=x，则EQ=，由∠HDP的余弦函数表示出PD，进而可表示出QJ，再根据∠QEJ的正切函数建立方程可求出x的值，最后根据等底三角形的面积之比等于底之比即可求出答案.
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