（提升卷）2.1 直线与圆的位置关系-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试

（提升卷）2.1 直线与圆的位置关系-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·舟山期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，m），若OP与y轴相切，那么 P与直线x＝5的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵若与y轴相切，P（3，m）
∴r=3
∵P（3，m）
∴ P到直线x＝5的距离为5-3=2∴ P与直线x＝5的位置关系是相交
故答案为：A.
【分析】由与y轴相切，得到半径的长度，由P的坐标，得到 P到直线x＝5的距离，由距离小于半径，得出结果。
2．（20212九上·义乌期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种都有可能
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵在平行四边形ABCD中，，，
∴点C到AD的距离d=，
∴直线与圆C相交，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的面积=底×高可得关于高的方程，解方程求出高的值与半径BC的长比较，根据垂线段最短并结合直线和圆的位置关系即可求解.
3．（2021九上·柯桥月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，3为半径的半圆，直线AB：y＝x+b与x轴交于点P（x，0），若直线AB与半圆弧有公共点，则x值的范围是（　　）
A．﹣3≤x≤3 B．﹣3≤x≤3
C．﹣3 ≤x≤3 D．0≤x≤3
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，
∵直线AB：y=x+b，
tan∠OPH==1，
∴∠OPH=45°，
∵OP=|x|，
∴OH=|x|，
∵AB与O有公共点，
∴OH≤3，
∴|x|≤3，
∴ ﹣3≤x≤3 ，
故答案为：A.
【分析】 作OH⊥AB于H，如图，则OP=|x|，∠OPH=45°，利用等腰直角三角形的性质得OH=|x|，根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以|x|≤3，然后解绝对值不等式即可．
4．（2020九上·台州月考）如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于B,C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（　　）
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴B（12，0），C（0，-5），
∴OB=12，OC=5，BC= =13，
则由三角形面积公式得， BC×DM= OB×CD，
∴DM= ，
∴圆D上点到直线 的最小距离是 ，
∴△ABC面积的最小值是 .
故答案为：B.
【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得， BC×DM= OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线 的最小距离，由此即可解决问题.
5．（2023·浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，．⊙C的半径长为2，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点E作圆O的切线EF，切点为F，连接CF，
在Rt△ACB中，
，
∴∠A=30°，
∴；
∵EF是圆O的切线，
∴∠CFE=90°，
∴；
过点B作圆C的切线BD，切点为D，连接CD，
∴CD⊥BD，
∴；
∵ P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）， 且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，
∴m的取值范围为.
故答案为：B
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点E作圆O的切线EF，切点为F，连接CF，利用解直角三角形求出∠A=30°，即可求出CE的长；利用切线的性质可证得∠CFE=90°，利用勾股定理求出EF的长；过点B作圆C的切线BD，切点为D，连接CD，利用勾股定理求出BD的长；然后根据 P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）， 且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，可得到m的取值范围.
6．（2023·松阳模拟）如图是某款“不倒翁”的示意图，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB均为切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°.
∵∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∴优弧AMB对应的圆心角的度数为360°-120°=240°，
∴优弧AMB的长为=πcm.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，结合四边形内角和为360°可得∠AOB=120°，则优弧AMB对应的圆心角的度数为360°-120°=240°，然后借助弧长公式进行计算.
7．（2023·拱墅模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，CD与⊙O相切于点D，连接AD，BD．若∠C=30°，则（　　）
A．BC+BD=CD B．AB+BD=CD C．BC+CD=AB D．AD+AC=AB
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OD，
∵CD是圆O的切线，
∴OD⊥CD即∠ODC=90°，
∵∠C=30°，
∴∠DOB=90°-30°=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OD，∠ABD=60°，
∴AB=2BD，
∴.
故答案为：B
【分析】连接OD，利用切线的性质可证得∠ODC=90°，利用三角形的内角和定理求出∠DOB的度数，利用解直角三角形可得到OD与DC的数量关系；再证明△OBD是等边三角形，利用等边三角形的性质可知BD=OD，AB=2BD，可得到BD与DC的数量关系，然后证明AB+BD=3BD，代入即可证得结论.
8．（2023·秀洲模拟）如图，BC与⊙O相切于点B，CO连接并延长后交⊙O于点A，连接AB，若∠BAC＝36°，则∠C的度数为（　　）
A．36° B．24° C．18° D．15°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，连接OB.
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC.
∴∠OBC＝90°，△OBC是直角三角形.
∵∠BOC和∠BAC分别是同弧所对的圆心角和圆周角，∠BAC=36°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°.
∴∠C＝90°-∠BOC＝90°-72°＝18°.
故答案为：C.
【分析】连接OB，由切线的性质可得OB⊥BC，则△OBC是直角三角形，根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝72°，由余角的性质可得∠C＝90°-∠BOC，据此计算.
9．（2023·江北模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为x轴上一动点，切于点B，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】垂线段最短；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接.
根据切线的性质定理，得.
要使最小，只需最小，
根据垂线段最短，当轴于点时，最小，
此时P点的坐标是，，
在中，，，
∴.
则最小值是.
故答案为：C.
【分析】连接AB、AP，根据切线的性质定理得AB⊥PB，根据垂线段最短的性质可得：当AP⊥x轴于点P时，AP最小，此时P点的坐标是（-3，0），AP=4，接下来利用勾股定理进行计算即可.
10．（2023九上·江北期末）定义：在，D，E分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧.如图1，是的一条中内弧，如图2，在中，，D，E分别是AB，AC的中点.则所有中内弧所组成的图形（图中阴影部分表示）为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过点A作交于点O，如图，
∵，
∴
∵D，E分别是AB，AC的中点， ，
∴，，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴以为直径的圆与相切，即此条弧是最下方符合题意的弧.
连接.
∵，，
∴，
∴以点F为圆心，以为半径的圆与相切，即此条弧是最上方符合题意的弧，
故答案为：C.
【分析】连接DE，过点A作AF⊥BC交DE于点O，则AF=BC，由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC，AD=AE，由平行线分线段成比例的性质可得OD=DF，则以DE为直径的圆与BC相切，即此条弧是最下方符合题意的弧；连接EF，易得EF⊥AC，则以点F为圆心，以FE为半径的圆与AB、AC相切，即此条弧是最上方符合题意的弧，据此判断.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023九下·上城月考）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是　 　.
【答案】相离
【知识点】因式分解法解一元二次方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：解方程得：，（舍去），
∴的半径为3，
∵圆心O到直线l的距离，，
∴直线l与的位置关系是相离.
故答案为：相离.
【分析】利用因式分解法可求出方程的解，据此可得圆的半径，然后判断出圆心O到直线l的距离与半径的大小关系，进而可确定出直线与圆的位置关系.
12．（2021·慈溪模拟）如图，在 中， ，以C为圆心，r为半径作圆.若该圆与线段 只有一个交点，则r的取值范围为　 　.
【答案】 或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴ ，
根据三角形的面积公式得：AB CD=AC BC，
∴ ，
当圆与时AB相切时，r= ，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2 ，
综上所述：r的取值范围是r= 或2＜r≤2 ，
故答案为：r= 或2＜r≤2 .
【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，用勾股定理可求得BC的值，再由面积法可得AB CD=AC BC，则C的的值可求解，分别计算当圆与时AB相切时和当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围即可求解.
13．（2023·舟山模拟）把量角器和含角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若与相切于点E，，．则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；切线的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OE，
∵AB为切线，
∴∠BEO=90°.
∵∠BOF=120°，
∴∠FOC=180°-120°=60°.
∵∠ACB=90°，
∴∠OFC=30°，
∴OF=2OC=4cm.
∵∠B=30°，
∴BE=OE=，
∴S阴影=S△BOE-S扇形DOE=××4-=-π.
故答案为：-π.
【分析】连接OE，由切线的性质可得∠BEO=90°，根据邻补角的性质以及余角的性质可得∠OFC=30°，则OF=2OC=4cm，由三角函数的概念可得BE，然后根据S阴影=S△BOE-S扇形DOE进行计算.
14．（2023·宁波模拟）在矩形ABCD中，，，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD只有一个公共点，那么线段AO的长是　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠D=∠B=90°，
∴，
点O在对角线AC上，圆O与矩形ABCD只有一个公共点，
当圆O与AD边相切时，切点为E，
∴OE⊥AD，
∴∠AEO=∠D=90°，
∴OE∥DC，
∴△AOE∽△ACD，
∴即
解之：；
当圆O与BC相切时，切点为F，连接OF，
∴∠CFO=∠B=90°，
∴OF∥AB，
∴△COF∽△CAB，
∴即
解之：，
∴，
∴ 如果圆O与矩形ABCD只有一个公共点，那么线段AO的长是或.
故答案为：或
【分析】利用矩形的性质可证得∠D=∠B=90°，利用勾股定理求出AC的长；再分情况讨论：当圆O与AD边相切时，切点为E，利用切线的性质可证得OE⊥AD，再证明OE∥DC，可得到△AOE∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出AO的长；当圆O与BC相切时，切点为F，连接OF，同理可证△COF∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例可求出CO的长，根据AO=AC-CO，代入计算求出AO的长；综上所述可得到AO的长.
15．（2023·鄞州模拟）如图，△ABC中，∠BAC=35° ，边BC与以AB为直径的⊙O相切于点B，将△ABC绕点A顺时针旋转，记旋转角度为a (0°【答案】90°或125°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，
当△ABC的边AB绕点A顺时针旋转到AB'的位置，
∵AB是圆O的直径，AB'是圆O的切线，
∴∠BAB'=90°，
∴旋转过程中，△ABC的边与圆O相切时， a的值为90°；
当△ABC的边AC绕点A顺时针旋转到AC'的位置，
∵AB是圆O的直径，AC'是圆O的切线，
∴∠BAC'=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠CAC'=125°，
∴旋转过程中，△ABC的边与圆O相切时， a的值为125°；
综上旋转过程中，△ABC的边与圆O相切时，a的值为90°或 125°.
故答案为：90°或 125°.
【分析】当△ABC的边AB绕点A顺时针旋转到AB'的位置，根据切线的性质得∠BAB'=90°，当△ABC的边AC绕点A顺时针旋转到AC'的位置，根据切线的性质得∠BAC'=90°，从而即可得出结论.
16．（2023·海曙模拟）如图，点A (7，7)，过A作AB⊥x轴于点B，C是反比例函数y=图像上一动点且在△AOB内部，以C为圆心为半径作⊙C，当⊙C与△AOB的边相切时，点C的纵坐标是　 　．
【答案】4或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的判定与性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A (7，7)，AB⊥x轴，
∴OB=BA，∠ABO=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°即OA是第一象限的角平分线，
∴OA的函数解析式为y=x，
当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，
∴∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，
∴CE=EF=
∴，
设点C（m，），
∴点F，
∴
解之：m1=-4（舍去），m2=6，
∴点C的纵坐标为；
当圆C与AB边相切时，切点为G，
∴CG=，CG⊥AB，
∴点C横坐标为，
∴点C的纵坐标为.
故答案为：4或
【分析】利用点A的坐标可证得△AOB是等腰直角三角形，由此可知OA是第一象限的角平分线，可得到OA的函数解析式为y=x；再分情况讨论：当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，易证∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，利用解直角三角形求出CF的长，设点C（m，），可表示出点F的坐标，由此可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点C的纵坐标；当圆C与AB边相切时，切点为G，可得到CG=，CG⊥AB，即可得到点C的横坐标，再利用反比例函数解析式求出点C的纵坐标；综上所述可得到点C的纵坐标.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023九上·温岭期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
（1）如图1，判断圆心O▲ （填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
（2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）；
（3）在图2中画出的中点E；
【答案】（1）解：是.
（2）解：如图，即为所求.
（3）解：如图，即为所求.
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；圆的认识；切线的性质
【解析】【解答】解：（1）点O为圆心，且在格点上，理由如下：
如图， ⊙O经过A、B、C、D四个格点，
∵OC=OD=
∴点O为圆心，此时点O在格点上.
故答案为：是.
【分析】（1）格点C、D所在腰长是的等腰三角形的顶点O，即为圆心O，因此圆心O在格点上；
（2）用虚线连接OC，再分别连接格点C所在长为2的矩形对角线，此时OC⊥CG，CG为⊙O的切线，且G在格点上；
（3）如图作出以B、O、C为顶点的菱形，连接菱形的对角线交⊙O（BC弧间）于点E，即为BC弧的中点；或如图，确定出BC线段中点，连接圆心O与BC线段中点，并延长交⊙O（BC弧间）于点E，即为BC弧的中点.
18．（2023·衢州模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D.
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径.
【答案】解：①证明：如图，连接OB，
∵BD为⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵点B为 的中点，
∴ ，
∴∠CAB＝∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠CAB＝∠OBA，
∴OB∥AD，
∴∠D＝90°，
∴BD⊥AD；
②解：如图，连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠AEC＝∠ABC，
∴
∴
∵AC＝9，
∴EC＝12，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE＝90°，
∴
∴⊙O的半径为 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】①连接OB，根据切线的性质可得∠OBD＝90°，由圆周角定理可得∠CAB＝∠BAE，根据等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA，则∠CAB＝∠OBA，推出OB∥AD，据此证明；
②连接CE，由圆周角定理可得∠ACE＝90°，∠AEC＝∠ABC，结合三角函数的概念可得EC，然后利用勾股定理进行计算.
19．（2019九上·诸暨月考）如图，公路MN和村路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，
（1）学校是否会受到噪声影响？请说明理由；
（2）如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h时，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】（1）解：学校是会受到噪声影响.
过点A作AB⊥PN于点B，
∴ABP=90°，
在Rt△PAB中，∠QPN=30°，
∴
∵80＜100
∴ 学校是会受到噪声影响.
（2）解：如图，以点A为圆心，100cm为半径画圆，交PN于点C，D，连接AC，AD，
∴CD=2BC，
在Rt△ABC中，AC=100cm，AB=80cm，
∴
∴CD=2×60=120cm，
∵拖拉机的速度为18km/h=5cm/s，
∴学校受影响的时间为120÷5=24s.
答：学校受影响的时间为24秒.
【知识点】垂线段最短；垂径定理的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用垂线段最短，过点A作AB⊥PN于点B，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半就可求出AB的长。然后将AB的长与100cm比较大小，即可作出判断。
（2）以点A为圆心，100cm为半径画圆，交PN于点C，D，连接AC，AD，利用垂径定理可证得CD=2BC，再利用勾股定理求出BC的长，就可得到CD的长，然后利用时间=路程÷速度，列式计算可求解。
20．（2023·温州模拟）如图在中，，在其内部有一点，以为圆心，为半径的圆与相切于点交于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）连接，若，且，求的半径．
【答案】（1）解：如图：连接OD，
∵ 与 相切，
∴ ，即 ．
∵ ，即 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图：过 作 ，
设 的半径为r，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴在 中，由勾股定理可得， ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到，即；由 可得，结合对顶角相等及圆的半径的相等，即，可以推出，由等角对等边可以证明.
（2）过 作 ，设 的半径为r，则 ．由可以推出，由垂径定理可以得到，，在 中，由勾股定理可得，，即可求解r.
21．（2023九下·萧山期中）如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
是切线；
（2）解：如图，取中点，连接，
于点．
四边形是矩形，
，
．
在中，，
，
在中，，，
，
的长是．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OA，由余角的性质可得∠DAE+∠ADE=90°，根据角平分线的概念可得∠ADE=∠ADO，由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ADO，则∠DAE+∠OAD=90°，进而推出OA⊥AE，据此证明；
（2）取CD的中点F，连接OF，则四边形AEFO是矩形，由垂径定理可得DF=FC=4，利用勾股定理可得OD的值，根据线段的和差关系可得ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=2，再利用勾股定理就可求出AD的长.
22．（2023·金东模拟）如图，为的直径，为弦，且于E，F为延长线上一点，恰好平分.
（1）求证：与相切；
（2）连接，若，求的值.
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由直角三角形两锐角互余得∠ACE+∠CAE=90°，由角平分线的定义得∠FCA=∠ACD，由等边对等角得∠OAC=∠OCA，从而可得∠FCA+∠ACO=90°，即OC⊥CF，从而根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）根据平行线的性质及等边对等角可得∠OCD=∠ACD，结合角平分线的定义及切线的性质可得∠OCD=∠ACD=∠FCA=30°，然后判断出△OAC是等边三角形，得OA=AC=OC，∠COA=60°，进而推出∠CFO=∠FCA=30°，由等角对等边得AB=AC=OA，从而即可解决此题了.
23．（2023九下·义乌开学考）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且是的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接 ，
是 的中点，
∴弧EF=弧DE，
．
，
．
．
．
，
．
，
．
又 为半圆 的半径，
是 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则OA=x+4，
， ， ，
由勾股定理得： ，
解得： ．
．
，
∽ ．
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OE，由等弧所对的圆周角相等得∠OBE=∠CBE，根据等边对等角得∠OEB=∠OBE，则∠OEB=∠CBE，根据内错角相等，两直线平行得OE∥BC，由平行线的性质可得∠AEO=90°，从而根据切线的判定定理得出结论；
（2）设圆的半径为x，则OA=x+4，在Rt△AEO中，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AOE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
24．（2021九上·拱墅月考）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D.
（1）判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由：
（2）若AP=4，tanA= ，
①求⊙O的半径的长；
②求PD的长.
【答案】（1）解：直线PQ与⊙O相切.理由如下：
连接OP、CP.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°.
又∵Q是AC的中点，
∴PQ=CQ=AQ.
∴∠3=∠4，
∵∠BCA=90°，
∴∠2+∠4=90°.
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=90°.
即∠OPQ=90°，
∴直线PQ与⊙O相切；
（2）解：①在Rt△APC中，AP=4，tanA=
∴CP=AP×tanA=4× =2
∴AC=
在Rt△ABC中，AC= ，tanA=
∴BC=AC×tanA= × =
即⊙O的半径长为
②连接OQ
∵Q是AC的中点，O是BC的中点
∴OQ∥AB，OQ= AB=
∴△DOQ∽△DBP
∴
即：
又BP=1，PQ= AC=
∴
即：PD=
【知识点】圆周角定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OP、CP，根据圆周角定理可得∠BPC=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得PQ=CQ=AQ，由等腰三角形的性质可得∠3=∠4，∠1=∠2，易知∠2+∠4=90°，则∠1+∠3=90°，据此判断；
（2）①在Rt△APC中，根据∠A的正切函数可得CP，由勾股定理求出AC，然后在Rt△ABC中，根据∠A的正切函数求解即可；
②连接OQ，易得OQ为△ABC的中位线，则OQ∥AB，OQ=AB=，证明△DOQ∽△DBP，然后利用相似三角形的性质进行求解.
25．阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为：d＝ ．
例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3＝0知，A＝4，B＝3，C＝﹣3，
∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为d＝ ＝ ．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）问题1：点P1（3，4）到直线y＝﹣ x+ 的距离为　 　；
（2）问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝﹣ x+b相切，求实数b的值；
（3）问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最大值和最小值．
【答案】（1）4
（2）解：∵⊙C与直线y＝﹣ x+b相切，⊙C的半径为1，
∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b＝0的距离d＝1，
∴ ＝1，
解得b＝ 或 ．
（3）解：点C（2，1）到直线3x+4y+5＝0的距离d＝ ＝3，
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5＝0的距离的最大值为4，最小值为2，
∴S△ABP的最大值＝ ×2×4＝4，S△ABP的最小值＝ ×2×2＝2
【知识点】一次函数的实际应用；切线的判定
【解析】【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5＝0的距离d＝ ＝4，
故答案为4．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式，可知A=3，B=4，C=-5，x0=3，y0=4，代入公式就可求出d的值。
（2）根据⊙C与直线y＝﹣ x+b相切，可知点C到直线的距离=1，根据点C的坐标结合函数解析式，代入公式建立关于b的方程，解方程求出b的值。
（3）先求出点C（2，1）到直线3x+4y+5＝0的距离d，再求出⊙C上点P到直线3x+4y+5＝0的距离的最大值和最小值，然后利用三角形的面积公式可求解。
1 / 1（提升卷）2.1 直线与圆的位置关系-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·舟山期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，m），若OP与y轴相切，那么 P与直线x＝5的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．（20212九上·义乌期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种都有可能
3．（2021九上·柯桥月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，3为半径的半圆，直线AB：y＝x+b与x轴交于点P（x，0），若直线AB与半圆弧有公共点，则x值的范围是（　　）
A．﹣3≤x≤3 B．﹣3≤x≤3
C．﹣3 ≤x≤3 D．0≤x≤3
4．（2020九上·台州月考）如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于B,C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（　　）
A．30 B．29 C．28 D．27
5．（2023·浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，．⊙C的半径长为2，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·松阳模拟）如图是某款“不倒翁”的示意图，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·拱墅模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，CD与⊙O相切于点D，连接AD，BD．若∠C=30°，则（　　）
A．BC+BD=CD B．AB+BD=CD C．BC+CD=AB D．AD+AC=AB
8．（2023·秀洲模拟）如图，BC与⊙O相切于点B，CO连接并延长后交⊙O于点A，连接AB，若∠BAC＝36°，则∠C的度数为（　　）
A．36° B．24° C．18° D．15°
9．（2023·江北模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为x轴上一动点，切于点B，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
10．（2023九上·江北期末）定义：在，D，E分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧.如图1，是的一条中内弧，如图2，在中，，D，E分别是AB，AC的中点.则所有中内弧所组成的图形（图中阴影部分表示）为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023九下·上城月考）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是　 　.
12．（2021·慈溪模拟）如图，在 中， ，以C为圆心，r为半径作圆.若该圆与线段 只有一个交点，则r的取值范围为　 　.
13．（2023·舟山模拟）把量角器和含角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若与相切于点E，，．则阴影部分的面积为　 　．
14．（2023·宁波模拟）在矩形ABCD中，，，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD只有一个公共点，那么线段AO的长是　 　．
15．（2023·鄞州模拟）如图，△ABC中，∠BAC=35° ，边BC与以AB为直径的⊙O相切于点B，将△ABC绕点A顺时针旋转，记旋转角度为a (0°16．（2023·海曙模拟）如图，点A (7，7)，过A作AB⊥x轴于点B，C是反比例函数y=图像上一动点且在△AOB内部，以C为圆心为半径作⊙C，当⊙C与△AOB的边相切时，点C的纵坐标是　 　．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023九上·温岭期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
（1）如图1，判断圆心O▲ （填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
（2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）；
（3）在图2中画出的中点E；
18．（2023·衢州模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D.
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径.
19．（2019九上·诸暨月考）如图，公路MN和村路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，
（1）学校是否会受到噪声影响？请说明理由；
（2）如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h时，那么学校受影响的时间为多少秒？
20．（2023·温州模拟）如图在中，，在其内部有一点，以为圆心，为半径的圆与相切于点交于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）连接，若，且，求的半径．
21．（2023九下·萧山期中）如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
22．（2023·金东模拟）如图，为的直径，为弦，且于E，F为延长线上一点，恰好平分.
（1）求证：与相切；
（2）连接，若，求的值.
23．（2023九下·义乌开学考）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且是的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
24．（2021九上·拱墅月考）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D.
（1）判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由：
（2）若AP=4，tanA= ，
①求⊙O的半径的长；
②求PD的长.
25．阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为：d＝ ．
例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3＝0知，A＝4，B＝3，C＝﹣3，
∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为d＝ ＝ ．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）问题1：点P1（3，4）到直线y＝﹣ x+ 的距离为　 　；
（2）问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝﹣ x+b相切，求实数b的值；
（3）问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵若与y轴相切，P（3，m）
∴r=3
∵P（3，m）
∴ P到直线x＝5的距离为5-3=2∴ P与直线x＝5的位置关系是相交
故答案为：A.
【分析】由与y轴相切，得到半径的长度，由P的坐标，得到 P到直线x＝5的距离，由距离小于半径，得出结果。
2．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵在平行四边形ABCD中，，，
∴点C到AD的距离d=，
∴直线与圆C相交，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的面积=底×高可得关于高的方程，解方程求出高的值与半径BC的长比较，根据垂线段最短并结合直线和圆的位置关系即可求解.
3．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，
∵直线AB：y=x+b，
tan∠OPH==1，
∴∠OPH=45°，
∵OP=|x|，
∴OH=|x|，
∵AB与O有公共点，
∴OH≤3，
∴|x|≤3，
∴ ﹣3≤x≤3 ，
故答案为：A.
【分析】 作OH⊥AB于H，如图，则OP=|x|，∠OPH=45°，利用等腰直角三角形的性质得OH=|x|，根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以|x|≤3，然后解绝对值不等式即可．
4．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴B（12，0），C（0，-5），
∴OB=12，OC=5，BC= =13，
则由三角形面积公式得， BC×DM= OB×CD，
∴DM= ，
∴圆D上点到直线 的最小距离是 ，
∴△ABC面积的最小值是 .
故答案为：B.
【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得， BC×DM= OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线 的最小距离，由此即可解决问题.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点E作圆O的切线EF，切点为F，连接CF，
在Rt△ACB中，
，
∴∠A=30°，
∴；
∵EF是圆O的切线，
∴∠CFE=90°，
∴；
过点B作圆C的切线BD，切点为D，连接CD，
∴CD⊥BD，
∴；
∵ P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）， 且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，
∴m的取值范围为.
故答案为：B
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点E作圆O的切线EF，切点为F，连接CF，利用解直角三角形求出∠A=30°，即可求出CE的长；利用切线的性质可证得∠CFE=90°，利用勾股定理求出EF的长；过点B作圆C的切线BD，切点为D，连接CD，利用勾股定理求出BD的长；然后根据 P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）， 且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，可得到m的取值范围.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB均为切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°.
∵∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∴优弧AMB对应的圆心角的度数为360°-120°=240°，
∴优弧AMB的长为=πcm.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，结合四边形内角和为360°可得∠AOB=120°，则优弧AMB对应的圆心角的度数为360°-120°=240°，然后借助弧长公式进行计算.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OD，
∵CD是圆O的切线，
∴OD⊥CD即∠ODC=90°，
∵∠C=30°，
∴∠DOB=90°-30°=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OD，∠ABD=60°，
∴AB=2BD，
∴.
故答案为：B
【分析】连接OD，利用切线的性质可证得∠ODC=90°，利用三角形的内角和定理求出∠DOB的度数，利用解直角三角形可得到OD与DC的数量关系；再证明△OBD是等边三角形，利用等边三角形的性质可知BD=OD，AB=2BD，可得到BD与DC的数量关系，然后证明AB+BD=3BD，代入即可证得结论.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，连接OB.
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC.
∴∠OBC＝90°，△OBC是直角三角形.
∵∠BOC和∠BAC分别是同弧所对的圆心角和圆周角，∠BAC=36°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°.
∴∠C＝90°-∠BOC＝90°-72°＝18°.
故答案为：C.
【分析】连接OB，由切线的性质可得OB⊥BC，则△OBC是直角三角形，根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝72°，由余角的性质可得∠C＝90°-∠BOC，据此计算.
9．【答案】C
【知识点】垂线段最短；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接.
根据切线的性质定理，得.
要使最小，只需最小，
根据垂线段最短，当轴于点时，最小，
此时P点的坐标是，，
在中，，，
∴.
则最小值是.
故答案为：C.
【分析】连接AB、AP，根据切线的性质定理得AB⊥PB，根据垂线段最短的性质可得：当AP⊥x轴于点P时，AP最小，此时P点的坐标是（-3，0），AP=4，接下来利用勾股定理进行计算即可.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过点A作交于点O，如图，
∵，
∴
∵D，E分别是AB，AC的中点， ，
∴，，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴以为直径的圆与相切，即此条弧是最下方符合题意的弧.
连接.
∵，，
∴，
∴以点F为圆心，以为半径的圆与相切，即此条弧是最上方符合题意的弧，
故答案为：C.
【分析】连接DE，过点A作AF⊥BC交DE于点O，则AF=BC，由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC，AD=AE，由平行线分线段成比例的性质可得OD=DF，则以DE为直径的圆与BC相切，即此条弧是最下方符合题意的弧；连接EF，易得EF⊥AC，则以点F为圆心，以FE为半径的圆与AB、AC相切，即此条弧是最上方符合题意的弧，据此判断.
11．【答案】相离
【知识点】因式分解法解一元二次方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：解方程得：，（舍去），
∴的半径为3，
∵圆心O到直线l的距离，，
∴直线l与的位置关系是相离.
故答案为：相离.
【分析】利用因式分解法可求出方程的解，据此可得圆的半径，然后判断出圆心O到直线l的距离与半径的大小关系，进而可确定出直线与圆的位置关系.
12．【答案】 或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴ ，
根据三角形的面积公式得：AB CD=AC BC，
∴ ，
当圆与时AB相切时，r= ，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2 ，
综上所述：r的取值范围是r= 或2＜r≤2 ，
故答案为：r= 或2＜r≤2 .
【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，用勾股定理可求得BC的值，再由面积法可得AB CD=AC BC，则C的的值可求解，分别计算当圆与时AB相切时和当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围即可求解.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；切线的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OE，
∵AB为切线，
∴∠BEO=90°.
∵∠BOF=120°，
∴∠FOC=180°-120°=60°.
∵∠ACB=90°，
∴∠OFC=30°，
∴OF=2OC=4cm.
∵∠B=30°，
∴BE=OE=，
∴S阴影=S△BOE-S扇形DOE=××4-=-π.
故答案为：-π.
【分析】连接OE，由切线的性质可得∠BEO=90°，根据邻补角的性质以及余角的性质可得∠OFC=30°，则OF=2OC=4cm，由三角函数的概念可得BE，然后根据S阴影=S△BOE-S扇形DOE进行计算.
14．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠D=∠B=90°，
∴，
点O在对角线AC上，圆O与矩形ABCD只有一个公共点，
当圆O与AD边相切时，切点为E，
∴OE⊥AD，
∴∠AEO=∠D=90°，
∴OE∥DC，
∴△AOE∽△ACD，
∴即
解之：；
当圆O与BC相切时，切点为F，连接OF，
∴∠CFO=∠B=90°，
∴OF∥AB，
∴△COF∽△CAB，
∴即
解之：，
∴，
∴ 如果圆O与矩形ABCD只有一个公共点，那么线段AO的长是或.
故答案为：或
【分析】利用矩形的性质可证得∠D=∠B=90°，利用勾股定理求出AC的长；再分情况讨论：当圆O与AD边相切时，切点为E，利用切线的性质可证得OE⊥AD，再证明OE∥DC，可得到△AOE∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出AO的长；当圆O与BC相切时，切点为F，连接OF，同理可证△COF∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例可求出CO的长，根据AO=AC-CO，代入计算求出AO的长；综上所述可得到AO的长.
15．【答案】90°或125°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，
当△ABC的边AB绕点A顺时针旋转到AB'的位置，
∵AB是圆O的直径，AB'是圆O的切线，
∴∠BAB'=90°，
∴旋转过程中，△ABC的边与圆O相切时， a的值为90°；
当△ABC的边AC绕点A顺时针旋转到AC'的位置，
∵AB是圆O的直径，AC'是圆O的切线，
∴∠BAC'=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠CAC'=125°，
∴旋转过程中，△ABC的边与圆O相切时， a的值为125°；
综上旋转过程中，△ABC的边与圆O相切时，a的值为90°或 125°.
故答案为：90°或 125°.
【分析】当△ABC的边AB绕点A顺时针旋转到AB'的位置，根据切线的性质得∠BAB'=90°，当△ABC的边AC绕点A顺时针旋转到AC'的位置，根据切线的性质得∠BAC'=90°，从而即可得出结论.
16．【答案】4或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的判定与性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A (7，7)，AB⊥x轴，
∴OB=BA，∠ABO=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°即OA是第一象限的角平分线，
∴OA的函数解析式为y=x，
当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，
∴∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，
∴CE=EF=
∴，
设点C（m，），
∴点F，
∴
解之：m1=-4（舍去），m2=6，
∴点C的纵坐标为；
当圆C与AB边相切时，切点为G，
∴CG=，CG⊥AB，
∴点C横坐标为，
∴点C的纵坐标为.
故答案为：4或
【分析】利用点A的坐标可证得△AOB是等腰直角三角形，由此可知OA是第一象限的角平分线，可得到OA的函数解析式为y=x；再分情况讨论：当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，易证∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，利用解直角三角形求出CF的长，设点C（m，），可表示出点F的坐标，由此可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点C的纵坐标；当圆C与AB边相切时，切点为G，可得到CG=，CG⊥AB，即可得到点C的横坐标，再利用反比例函数解析式求出点C的纵坐标；综上所述可得到点C的纵坐标.
17．【答案】（1）解：是.
（2）解：如图，即为所求.
（3）解：如图，即为所求.
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；圆的认识；切线的性质
【解析】【解答】解：（1）点O为圆心，且在格点上，理由如下：
如图， ⊙O经过A、B、C、D四个格点，
∵OC=OD=
∴点O为圆心，此时点O在格点上.
故答案为：是.
【分析】（1）格点C、D所在腰长是的等腰三角形的顶点O，即为圆心O，因此圆心O在格点上；
（2）用虚线连接OC，再分别连接格点C所在长为2的矩形对角线，此时OC⊥CG，CG为⊙O的切线，且G在格点上；
（3）如图作出以B、O、C为顶点的菱形，连接菱形的对角线交⊙O（BC弧间）于点E，即为BC弧的中点；或如图，确定出BC线段中点，连接圆心O与BC线段中点，并延长交⊙O（BC弧间）于点E，即为BC弧的中点.
18．【答案】解：①证明：如图，连接OB，
∵BD为⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵点B为 的中点，
∴ ，
∴∠CAB＝∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠CAB＝∠OBA，
∴OB∥AD，
∴∠D＝90°，
∴BD⊥AD；
②解：如图，连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠AEC＝∠ABC，
∴
∴
∵AC＝9，
∴EC＝12，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE＝90°，
∴
∴⊙O的半径为 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】①连接OB，根据切线的性质可得∠OBD＝90°，由圆周角定理可得∠CAB＝∠BAE，根据等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA，则∠CAB＝∠OBA，推出OB∥AD，据此证明；
②连接CE，由圆周角定理可得∠ACE＝90°，∠AEC＝∠ABC，结合三角函数的概念可得EC，然后利用勾股定理进行计算.
19．【答案】（1）解：学校是会受到噪声影响.
过点A作AB⊥PN于点B，
∴ABP=90°，
在Rt△PAB中，∠QPN=30°，
∴
∵80＜100
∴ 学校是会受到噪声影响.
（2）解：如图，以点A为圆心，100cm为半径画圆，交PN于点C，D，连接AC，AD，
∴CD=2BC，
在Rt△ABC中，AC=100cm，AB=80cm，
∴
∴CD=2×60=120cm，
∵拖拉机的速度为18km/h=5cm/s，
∴学校受影响的时间为120÷5=24s.
答：学校受影响的时间为24秒.
【知识点】垂线段最短；垂径定理的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用垂线段最短，过点A作AB⊥PN于点B，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半就可求出AB的长。然后将AB的长与100cm比较大小，即可作出判断。
（2）以点A为圆心，100cm为半径画圆，交PN于点C，D，连接AC，AD，利用垂径定理可证得CD=2BC，再利用勾股定理求出BC的长，就可得到CD的长，然后利用时间=路程÷速度，列式计算可求解。
20．【答案】（1）解：如图：连接OD，
∵ 与 相切，
∴ ，即 ．
∵ ，即 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图：过 作 ，
设 的半径为r，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴在 中，由勾股定理可得， ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到，即；由 可得，结合对顶角相等及圆的半径的相等，即，可以推出，由等角对等边可以证明.
（2）过 作 ，设 的半径为r，则 ．由可以推出，由垂径定理可以得到，，在 中，由勾股定理可得，，即可求解r.
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
是切线；
（2）解：如图，取中点，连接，
于点．
四边形是矩形，
，
．
在中，，
，
在中，，，
，
的长是．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OA，由余角的性质可得∠DAE+∠ADE=90°，根据角平分线的概念可得∠ADE=∠ADO，由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ADO，则∠DAE+∠OAD=90°，进而推出OA⊥AE，据此证明；
（2）取CD的中点F，连接OF，则四边形AEFO是矩形，由垂径定理可得DF=FC=4，利用勾股定理可得OD的值，根据线段的和差关系可得ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=2，再利用勾股定理就可求出AD的长.
22．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由直角三角形两锐角互余得∠ACE+∠CAE=90°，由角平分线的定义得∠FCA=∠ACD，由等边对等角得∠OAC=∠OCA，从而可得∠FCA+∠ACO=90°，即OC⊥CF，从而根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）根据平行线的性质及等边对等角可得∠OCD=∠ACD，结合角平分线的定义及切线的性质可得∠OCD=∠ACD=∠FCA=30°，然后判断出△OAC是等边三角形，得OA=AC=OC，∠COA=60°，进而推出∠CFO=∠FCA=30°，由等角对等边得AB=AC=OA，从而即可解决此题了.
23．【答案】（1）证明：连接 ，
是 的中点，
∴弧EF=弧DE，
．
，
．
．
．
，
．
，
．
又 为半圆 的半径，
是 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则OA=x+4，
， ， ，
由勾股定理得： ，
解得： ．
．
，
∽ ．
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OE，由等弧所对的圆周角相等得∠OBE=∠CBE，根据等边对等角得∠OEB=∠OBE，则∠OEB=∠CBE，根据内错角相等，两直线平行得OE∥BC，由平行线的性质可得∠AEO=90°，从而根据切线的判定定理得出结论；
（2）设圆的半径为x，则OA=x+4，在Rt△AEO中，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AOE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
24．【答案】（1）解：直线PQ与⊙O相切.理由如下：
连接OP、CP.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°.
又∵Q是AC的中点，
∴PQ=CQ=AQ.
∴∠3=∠4，
∵∠BCA=90°，
∴∠2+∠4=90°.
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=90°.
即∠OPQ=90°，
∴直线PQ与⊙O相切；
（2）解：①在Rt△APC中，AP=4，tanA=
∴CP=AP×tanA=4× =2
∴AC=
在Rt△ABC中，AC= ，tanA=
∴BC=AC×tanA= × =
即⊙O的半径长为
②连接OQ
∵Q是AC的中点，O是BC的中点
∴OQ∥AB，OQ= AB=
∴△DOQ∽△DBP
∴
即：
又BP=1，PQ= AC=
∴
即：PD=
【知识点】圆周角定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OP、CP，根据圆周角定理可得∠BPC=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得PQ=CQ=AQ，由等腰三角形的性质可得∠3=∠4，∠1=∠2，易知∠2+∠4=90°，则∠1+∠3=90°，据此判断；
（2）①在Rt△APC中，根据∠A的正切函数可得CP，由勾股定理求出AC，然后在Rt△ABC中，根据∠A的正切函数求解即可；
②连接OQ，易得OQ为△ABC的中位线，则OQ∥AB，OQ=AB=，证明△DOQ∽△DBP，然后利用相似三角形的性质进行求解.
25．【答案】（1）4
（2）解：∵⊙C与直线y＝﹣ x+b相切，⊙C的半径为1，
∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b＝0的距离d＝1，
∴ ＝1，
解得b＝ 或 ．
（3）解：点C（2，1）到直线3x+4y+5＝0的距离d＝ ＝3，
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5＝0的距离的最大值为4，最小值为2，
∴S△ABP的最大值＝ ×2×4＝4，S△ABP的最小值＝ ×2×2＝2
【知识点】一次函数的实际应用；切线的判定
【解析】【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5＝0的距离d＝ ＝4，
故答案为4．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式，可知A=3，B=4，C=-5，x0=3，y0=4，代入公式就可求出d的值。
（2）根据⊙C与直线y＝﹣ x+b相切，可知点C到直线的距离=1，根据点C的坐标结合函数解析式，代入公式建立关于b的方程，解方程求出b的值。
（3）先求出点C（2，1）到直线3x+4y+5＝0的距离d，再求出⊙C上点P到直线3x+4y+5＝0的距离的最大值和最小值，然后利用三角形的面积公式可求解。
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