（基础卷）2.2切线长定理-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2021九上·柳江期中）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022九上·广西壮族自治区期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则BD的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
3．（2021九上·海珠期末）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
4．（2021九上·中山期末）如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2021九上·东城期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）
A．70° B．50° C．20° D．40°
6．（2021九上·北京月考）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大小是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
7．（2020九上·滨城期末）如图， 分别切 与点 切 于点 ，分别交 于点 ，若 的周长 ，则 是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·霍林郭勒月考）如图，AB、AC是圆O的两条切线，切点为B、C且∠BAC=50°，D是优弧BDC上一动点（不与B、C重合），则∠BDC的度数为（ ）
A．130° B．65° C．50°或130° D．65°或115°
9．（2020九上·厦门月考）如图PA，PB分别与 相切于A，B两点．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九下·射洪月考）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2022九上·阳信期中）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB=10，AC=7，则BD的长为 ．
12．（2022九上·建设月考）如图，分别过上、、三点作切线，切线两两交于、、，，则的周长为 ．
13．（2021九上·番禺期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°，则∠P的度数为 ．
14．（2021九上·海淀期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是 ．
15．（2020九上·普洱期末）已知 分别切 于点 ， 为 上不同于 的一点， ，则 的度数是 ．
三、解答题（共5题，共55分）
16．（2021九上·普洱期中）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
17．（2020九上·民勤月考）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB ∥ CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长
18．（2020九上·番禺期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
19．如图，∠APB=52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA=6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB-AP=4-3=1.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可得AC=AP，BP=BD，利用BD=PB=AB-AP即可求解.
3．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】PA、PB、FG是⊙O的切线，
cm．
△PFG的周长
cm．
故答案为：C．
【分析】根据切线长定理可得AF=FE，GE=GB，PA=PB=8，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△PFG的周长=PF +FG +GB=PA+PB=16cm.
4．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=10，BC=7，CD=8，
∴AD+7=10+8，
解得：AD=11．
故答案为：D．
【分析】根据切线长定理可得AD+BC=AB+CD，再结合AB=10，BC=7，CD=8，即可得到AD=11．
5．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故答案为：D．
【分析】连接OA、OB，根据切线长的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再利用圆周角的性质求出∠AOB=2∠P=140°，最后利用四边形的内角和求出∠P即可。
6．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠AOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠OCB= ×130°=65°，
即∠ACB=65°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再求出∠AOB=∠OCB+∠OBC，最后计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴MA=MC，NC=NB，PA=PB，
∵△PMN的周长=PM+PN+MC+NC=PM+MA+PN+NB=PA+PB=8（cm），
∴PA=PB= （cm）．
故答案为：A．
【分析】先求出MA=MC，NC=NB，PA=PB，再求解即可。
8．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接BO，CO，
∵AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝130°，
∴∠BDC＝65°．
故答案为：B．
【分析】直接利用切线的性质得到∠ABO=∠ACO=90°，进而利用四边形内角和定理得出∠BOC=100°，再利用圆周角定理得出答案。
9．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．
故答案为：C．
【分析】根据圆周角的性质求出∠AOB=2∠C=130°，再根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，最后利用四边形的内角和求解即可。
10．【答案】C
【知识点】弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：
故答案为：C.
【分析】连接OA，OB，由圆的切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，结合已知根据四边形的内角和等于360°可得∠AOB=120°，再根据弧长公式l=可求解.
11．【答案】3
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC与⊙O相切于点C、AB与⊙O相切于点P，
∴AC=AP=7，
∵AB=10，
∴BP=AB-AP=10-7=3，
∵BD与⊙O相切于点D、BP与⊙O相切于点P，
∴BD=BP=3，
∴BD的长为3，
故答案为：3．
【分析】根据切线长的性质可得AC=AP=7，利用线段的和差求出BP的长，再结合BD与⊙O相切于点D、BP与⊙O相切于点P，求出BD=BP=3，即可得到BD的长为3。
12．【答案】18
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：、、分别与切于、、，
，，，
的周长，
故答案为：18．
【分析】根据切线长定理可得，，，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可。
13．【答案】50
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线的性质定理得，
．
根据切线长定理得，
所以，
所以．
故答案为：50 ．
【分析】先利用切线的性质求出∠PAB的度数，再根据切线长的性质可得，最后利用三角形的内角和求出∠P的度数即可。
14．【答案】70°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，
∴∠AOB=360°－90°－90°－40°=140°，
∴∠Q=∠AOB=70°，
故答案为：70°．
【分析】连接OA、OB，先根据切线的性质和四边形的内角和求出∠AOB，再利用圆周角的性质可得∠Q=∠AOB=70°。
15．【答案】50°或130°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵PA、PB分别切 于A、B两点，
∴∠PAO=∠PBO=90°
∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，
当点C1在 上时，则∠AC1B= ∠AOB=50°
当点C2在 B上时，则∠AC2B+∠AC1B=180°，即.∠AC2B=130°．
故答案为：50°或130°．
【分析】连接OA、OB，可求的∠AOB，再分点C在 上、在 B上，可求的答案。
16．【答案】解：∵PA，PB分别是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵OA=OB，∠BAC=35°
∴∠ABO=∠BAC=35°，
∴∠AOB=180°-35°-35°=110°，
在四边形APBO中，∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=110°，
则∠P=360°-（∠OAP+∠OBP+∠AOB）=70°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】先求出 OA⊥AP，OB⊥BP， 再求出 ∠ABO=∠BAC=35°， 最后求解即可。
17．【答案】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠CBO+∠BCO= ∠ABC+∠DCB= （∠ABC+∠DCB）=90°.
∴BC＝ cm.
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理：从圆外一点可以引两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角可得 ∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB， 根据二直线平行同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180° ，故 ∠CBO+∠BCO=90° ，在Rt△BOC中，由勾股定理可得 BC的长.
18．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）解：连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
19．【答案】（1）解：∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，
∴DE=DA+EB，
∴PE+PD+DE=PA+PB=12，
即△PDE的周长为12
（2）解：连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD= ∠BOF，∠FOD=∠AOD= ∠AOF，
∵∠APB=52°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，
∴∠DOE=∠FOE+∠FOD= （∠BOF+∠AOF）= ∠BOA=64°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得到DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，于是得到DE=DA+EB，即可得到结论；（2）根据切线的性质得到OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD= ∠BOF，∠FOD=∠AOD= ∠AOF，根据四边形的内角和得到∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，即可得到结论．
20．【答案】（1）解：连接OF；
根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°
（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC= =10cm，
∴BE+CG=BC=10cm
（3）解：∵OF⊥BC，
∴OF= =4.8cm
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
1 / 1（基础卷）2.2切线长定理-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2021九上·柳江期中）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，据此解答.
2．（2022九上·广西壮族自治区期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则BD的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB-AP=4-3=1.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可得AC=AP，BP=BD，利用BD=PB=AB-AP即可求解.
3．（2021九上·海珠期末）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】PA、PB、FG是⊙O的切线，
cm．
△PFG的周长
cm．
故答案为：C．
【分析】根据切线长定理可得AF=FE，GE=GB，PA=PB=8，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△PFG的周长=PF +FG +GB=PA+PB=16cm.
4．（2021九上·中山期末）如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=10，BC=7，CD=8，
∴AD+7=10+8，
解得：AD=11．
故答案为：D．
【分析】根据切线长定理可得AD+BC=AB+CD，再结合AB=10，BC=7，CD=8，即可得到AD=11．
5．（2021九上·东城期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）
A．70° B．50° C．20° D．40°
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故答案为：D．
【分析】连接OA、OB，根据切线长的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再利用圆周角的性质求出∠AOB=2∠P=140°，最后利用四边形的内角和求出∠P即可。
6．（2021九上·北京月考）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大小是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠AOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠OCB= ×130°=65°，
即∠ACB=65°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再求出∠AOB=∠OCB+∠OBC，最后计算求解即可。
7．（2020九上·滨城期末）如图， 分别切 与点 切 于点 ，分别交 于点 ，若 的周长 ，则 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴MA=MC，NC=NB，PA=PB，
∵△PMN的周长=PM+PN+MC+NC=PM+MA+PN+NB=PA+PB=8（cm），
∴PA=PB= （cm）．
故答案为：A．
【分析】先求出MA=MC，NC=NB，PA=PB，再求解即可。
8．（2020九上·霍林郭勒月考）如图，AB、AC是圆O的两条切线，切点为B、C且∠BAC=50°，D是优弧BDC上一动点（不与B、C重合），则∠BDC的度数为（ ）
A．130° B．65° C．50°或130° D．65°或115°
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接BO，CO，
∵AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝130°，
∴∠BDC＝65°．
故答案为：B．
【分析】直接利用切线的性质得到∠ABO=∠ACO=90°，进而利用四边形内角和定理得出∠BOC=100°，再利用圆周角定理得出答案。
9．（2020九上·厦门月考）如图PA，PB分别与 相切于A，B两点．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．
故答案为：C．
【分析】根据圆周角的性质求出∠AOB=2∠C=130°，再根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，最后利用四边形的内角和求解即可。
10．（2021九下·射洪月考）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】C
【知识点】弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：
故答案为：C.
【分析】连接OA，OB，由圆的切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，结合已知根据四边形的内角和等于360°可得∠AOB=120°，再根据弧长公式l=可求解.
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2022九上·阳信期中）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB=10，AC=7，则BD的长为 ．
【答案】3
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC与⊙O相切于点C、AB与⊙O相切于点P，
∴AC=AP=7，
∵AB=10，
∴BP=AB-AP=10-7=3，
∵BD与⊙O相切于点D、BP与⊙O相切于点P，
∴BD=BP=3，
∴BD的长为3，
故答案为：3．
【分析】根据切线长的性质可得AC=AP=7，利用线段的和差求出BP的长，再结合BD与⊙O相切于点D、BP与⊙O相切于点P，求出BD=BP=3，即可得到BD的长为3。
12．（2022九上·建设月考）如图，分别过上、、三点作切线，切线两两交于、、，，则的周长为 ．
【答案】18
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：、、分别与切于、、，
，，，
的周长，
故答案为：18．
【分析】根据切线长定理可得，，，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可。
13．（2021九上·番禺期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°，则∠P的度数为 ．
【答案】50
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线的性质定理得，
．
根据切线长定理得，
所以，
所以．
故答案为：50 ．
【分析】先利用切线的性质求出∠PAB的度数，再根据切线长的性质可得，最后利用三角形的内角和求出∠P的度数即可。
14．（2021九上·海淀期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是 ．
【答案】70°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，
∴∠AOB=360°－90°－90°－40°=140°，
∴∠Q=∠AOB=70°，
故答案为：70°．
【分析】连接OA、OB，先根据切线的性质和四边形的内角和求出∠AOB，再利用圆周角的性质可得∠Q=∠AOB=70°。
15．（2020九上·普洱期末）已知 分别切 于点 ， 为 上不同于 的一点， ，则 的度数是 ．
【答案】50°或130°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵PA、PB分别切 于A、B两点，
∴∠PAO=∠PBO=90°
∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，
当点C1在 上时，则∠AC1B= ∠AOB=50°
当点C2在 B上时，则∠AC2B+∠AC1B=180°，即.∠AC2B=130°．
故答案为：50°或130°．
【分析】连接OA、OB，可求的∠AOB，再分点C在 上、在 B上，可求的答案。
三、解答题（共5题，共55分）
16．（2021九上·普洱期中）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
【答案】解：∵PA，PB分别是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵OA=OB，∠BAC=35°
∴∠ABO=∠BAC=35°，
∴∠AOB=180°-35°-35°=110°，
在四边形APBO中，∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=110°，
则∠P=360°-（∠OAP+∠OBP+∠AOB）=70°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】先求出 OA⊥AP，OB⊥BP， 再求出 ∠ABO=∠BAC=35°， 最后求解即可。
17．（2020九上·民勤月考）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB ∥ CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长
【答案】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠CBO+∠BCO= ∠ABC+∠DCB= （∠ABC+∠DCB）=90°.
∴BC＝ cm.
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理：从圆外一点可以引两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角可得 ∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB， 根据二直线平行同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180° ，故 ∠CBO+∠BCO=90° ，在Rt△BOC中，由勾股定理可得 BC的长.
18．（2020九上·番禺期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）解：连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
19．如图，∠APB=52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA=6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
【答案】（1）解：∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，
∴DE=DA+EB，
∴PE+PD+DE=PA+PB=12，
即△PDE的周长为12
（2）解：连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD= ∠BOF，∠FOD=∠AOD= ∠AOF，
∵∠APB=52°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，
∴∠DOE=∠FOE+∠FOD= （∠BOF+∠AOF）= ∠BOA=64°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得到DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，于是得到DE=DA+EB，即可得到结论；（2）根据切线的性质得到OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD= ∠BOF，∠FOD=∠AOD= ∠AOF，根据四边形的内角和得到∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，即可得到结论．
20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
【答案】（1）解：连接OF；
根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°
（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC= =10cm，
∴BE+CG=BC=10cm
（3）解：∵OF⊥BC，
∴OF= =4.8cm
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
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