（提升卷）2.2切线长定理-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）（
1．（2023·瓯海模拟）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
2．（2022·宁波模拟）如图，是外一点，，分别与相切于点，，是上任意一点，过点作的切线，交于点，交于点．若的半径为4，，则的周长为（ ）
A． B．8 C． D．12
【答案】C
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：，分别与相切于点，，
，
是的切线，切点为P，
，
的周长，
，
，
中，
，
，
，
的周长=.
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理可得AB=AC，PM=MB，PN=NC，∠BAO=∠CAO，由切线的性质可得∠ABO=90°，则△AMN的周长可转化为2AB，易得∠BAO=30°，根据三角函数的概念可得AB，据此计算.
3．（2022九下·诸暨月考）如图， 中， ， ，它的周长为 若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解： 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，
， ， ，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据切线长定理可得AD=AF，BE=BD，CE=CF，根据BC=6可得BD+CF=6，推出△ADF是等边三角形，得到AD=AF=DF，根据周长可得AB+AC=10，则AD+AF=4，据此计算.
4．（2022·温州模拟）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB=60°.若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
A．cm B．12cm C．cm D．cm
【答案】A
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：
∵AD，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，
∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，
在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，
∴tan∠OAD=tan60°=，即，
∴OD=6cm，
则圆形螺母的直径为12cm.
故答案为：A.
【分析】设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，切线长定理得AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，则∠OAE=∠OAD=60°，然后根据∠OAD的正切三角函数的概念就可求出OD.
5．（2022九下·金华月考）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE.若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°-α B．α C．2α D．90°-α
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线长定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，
∴，即
在与中，
∵
∴≌（SAS），
∴，
在中，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠P＝α，PA=PB，
∴
∴在中，，即，
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，则∠PAB=∠PBA，结合等角的余角相等可得∠DAE=∠DBF，利用SAS证明△DAE≌△FBD，得到∠DEA=∠FDB，由内角和定理可得∠DAE+∠FDB+∠DEA=180°，结合平角的概念可得∠EDF=∠DAE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理表示出∠BAP，进而可得∠EDF.
6．（2022九下·舟山月考）如图，AB是⊙0的直径，点C为⊙0外一点，CA，CD分别与⊙0相切于点A，点D，连结BD，AD，若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是（ ）
A．15° B．35° C．65° D．75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，
∴CA=CD，∠CAB=90°，
又∵∠ACD=50°，
∴∠CAD=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠DAB=90°-65°=25°，
∵AB是⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA=90°-25°=65°.
故答案为：C.
【分析】由切线长性质得CA=CD，∠CAB=90°，从而求得∠CAD的度数，进而求得∠DAB的度数，再根据直径所对的圆周角为90°，即∠ADB=90°，进而求得∠DBA度数.
7．（2021·龙湾模拟）如图， 和 是 的两条切线， ， 为切点，点 在 上，点 ， 分别在线段 和 上，且 ， .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 和 是 的两条切线， ， 为切点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴△ADE≌△BFD，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理得到 ，即可得△ADE≌△BFD，再利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可求解.
8．（2021·鹿城模拟）如图，点E为Rt△ABC的直角边AC上一点，以CE为直径的半圆与斜边AB相切于点D，连结DE.若∠B＝70°，则∠CED为（ ）
A．70° B．65° C．55° D．35°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接CD ，
∵ ，
∴ BC与半圆相切于点C ，
∵半圆与斜边AB相切于点D，
∴ ，
∵∠B＝70°，
∴ ，
∴ ，
∵CE为直径，
∴ ，
∴∠CED
.
故答案为：C.
【分析】连接CD，易得BC与半圆相切于点C，根据切线长定理可得BC=BD，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCD=∠BDC=55°，然后求出∠DCE的度数，根据圆周角定理得∠CDE=90°，接下来根据∠CED=90°-∠DCE进行计算.
9．（2021·柯桥模拟）如图， 中， ，它的周长为16，若圆O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD= ，
故答案为：A.
【分析】利用切线长定理可证得AD=AF，BE=BD，CE=CF，可求出BD+CF的值；利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AD=AF=DF，由此可求出AB+AC的值；同时可求出AD+AF的长；然后求出DF的长.
10．（2021九上·台州期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．18-6π D．18-3π
【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OP，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，∠APO=∠APB=30°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=360°-90°-90°-60°=120°，
在Rt△AOP中，OA=3
∴OP=2OA=6，
∴
∴S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB=.
故答案为：B.
【分析】连接OP，利用切线长定理可证得∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，同时可求出∠APO的度数，再利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，利用勾股定理 求出AP，BP的长；然后根据S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB，利用三角形的面积公式及扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·文成模拟）如图，正六边形内接于半径为1的，则的长为 .
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB、OC，
由题意得，，即，
∴的长，
故答案为：.
【分析】连接OA、OB、OC，根据正六边形的性质得∠AOB=∠BOC=60°，进而根据弧长计算公式计算即可.
12．（2023九上·东阳期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，连结PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴，
∵弧AB=弧AB，
∴∠ADB＝∠AOB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠APO＝∠BPO，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴∠ADB＝∠AOP，
∴sin∠ADB＝sin∠AOP＝.
故答案为：.
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据勾股定理求出OP，根据圆周角定理、切线长定理及三角形的内角和定理得到∠ADB＝∠AOP，根据等角的同名三角函数值相等结合正弦的定义计算即可．
13．（2022·北仑模拟）如图，在正六边形内取一点，作与边相切，并经过点，已知的半经为，则正六边形的边长为 .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：如图， 与边DE、EF相切于点N、M， 连接OM，ON，OE，
⊙O与边DE，EF相切，
，
，，
又，
，
所以OE在正六边形ABCDEF的一条对称轴上，
正六边形ABCDEF，
，
，
由切线长定理得，，
，
，
因为圆的对称轴是直径所在的直线，且圆过点B，所以OB在一条对称轴上，
因为BE所在直线是正六边形ABCDEF的一条对称轴，所以点B、O、E在一条直线上，
，
因为BE为正六边形外接圆直径，其圆心与正六边形相邻两点构成等边三角形，所以边长等于外接圆的半径为.
故答案为：.
【分析】连接OM，ON，OE，根据切线的性质可得∠OME=∠ONE=90°，根据切线长定理可得OM=ON，证明△OEM≌△OEN，根据正多边形的性质可得∠FED=120°，则∠MON=60°，∠MOE=30°，根据三角函数的概念可得ME、OE，由BE=OB+BE可得BE，据此不难求出正六边形的边长.
14．（2022九下·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+
＝
.
故答案为：
.
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形性质得∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，由切线性质可得∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，可证明四边形AFOE，FBGO是正方形，得AF＝BF＝AE＝BG＝4，进而求得DE＝6；根据切线长定理可得DN＝DE＝6，MN＝MG，可求得CM＝6﹣MN，再在Rt△DMC中，由勾股定理得DM2＝CD2+CM2，即（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，求得NM＝ ，进而可求出DM的长.
15．（2022九上·金东期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，DE为以AB为直径的半圆的切线，切点为F，连结CF，则ED的长为 ，CF的长为 .
【答案】5；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB
∵以AB为直径的半圆
∴BE、AD也是半圆的切线
∵DE为以AB为直径的半圆的切线，
∴EB=EF、DA=DF=4
∴EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF
在Rt△DCE中，
∴
解得
∴DE=DF+EF=4+EF=5
过F作FG⊥DC于G，如图
∴
∴
∴
解得
∴
∴在Rt△CFG中，
故答案为：5，
【分析】由正方形的性质可得CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB，由切线长定理可得EB=EF、DA=DF=4，从而可得EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF，在Rt△DCE中利用勾股定理可求出EF=1，从而求出DE=5，过F作FG⊥DC于G，证明 ，利用相似三角形的性质可求出GF、DG，从而求出CG，在Rt△CFG中，利用勾股定理求出CF即可.
16．（2021·余杭模拟）如图， ， 是 的两条切线， ， 为切点，若 ， ，则 .
【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠OPB＝ ∠APB＝30°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°，
∴OP＝2OB=2OA＝4，
在Rt△OPB中，依据勾股定理得：PB＝ ＝ = .
故答案为： .
【分析】 由切线长定理"从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠OPB＝∠APB，再结合圆的切线的性质和直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OP=2OB，在Rt△OPB中，用勾股定理可求解.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九下·瑞安开学考）如图，D为Rt△ABC的直角边BC上一点以CD为直径的半圆O与斜边AB相切于点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F.已知AC：BF＝3：4.
（1）求sin∠ABC的值.
（2）若BE＝6，求⊙O的半径的长.
【答案】（1）解：∵BF∥AC，
∴△AEC∽△BEF，
∴
∵CD为⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵AB是⊙O的切线，
∴AC＝AE，
∴sin∠ABC＝
（2）解：如图，连接OE，
∵ ，BE＝6，
∴AE＝ ，
∴AB＝ ，AC＝ ，
∴BC＝
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵∠OBE＝∠ABC，
∴△OBE∽△ABC，
∴ ， 即
解得：OE＝ ，即⊙O的半径的长为 .
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AEC∽△BEF，根据题意可得AC是⊙O的切线，由切线长定理可得AC=AE，然后根据相似三角形的对应边成比例以及三角函数的概念进行计算；
（2）连接OE，易得AE、AB、AC、BC的值，根据切线的性质可得OE⊥AB，由两角分别相等的两个三角形相似可得△OBE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
18．（2022·定海模拟）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm.
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径长.
【答案】（1）解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴BC＝ ＝10cm；
（2）解：如图，连接OF，
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
∵S△BOC＝ OB OC＝ OF BC，
∴6×8＝10×OF，解得：OF＝ cm，
即⊙O的半径为 cm.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理可得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠DCB，根据平行线的性质可得∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠DCB=90°，利用三角形的内角和求出∠BOC＝90°，根据勾股定理求出BC即可；
（2）连接OF，由切线的性质可得OF⊥BC，根据S△BOC＝ OB OC＝ OF BC，求出OF的长即得结论.
19．（2022·兰溪模拟）如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BE＝，BF＝6，求CD的长．
【答案】（1）证明：连接AB，OA．
∵BC是的直径，
∴．
∵DB是的切线，
∴，
∴，
在中，E是斜边BD的中线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵AO是的半径，
∴AF是的切线；
（2）解：在中，，，
∴，
∵FA、DB是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵E是BD的中点，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；切线长定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接AB，OA，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，根据切线的性质可得∠DBO=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AE=DE=BE，根据等腰三角形的性质可得∠EAB=∠EBA，∠OAB=∠OBA，推出∠EAO=∠DBO=90°，据此证明；
（2）利用勾股定理可得EF，根据切线长定理可得EA=EB，则AF=EF+EA=9，然后根据AF2=FB·FC可得FC，由BC=FC-FB可得BC，根据中点的概念可得BD=2BE=5，然后利用勾股定理进行计算.
20．（2022·普陀模拟）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．延长、相交于点D．
（1）求证：；
（2）设的半径为2，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，交于
，是的两条切线，
，，
，
，
，
为直径，是的切线，
，
，
，
；
（2）解：连接，
是的切线，
，
，
的半径为2，，
，
，
，
设，
，
，
解得．
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OP，交BC于点E，根据切线长定理可得PC=PB，∠CPO=∠BPO，根据垂直的概念可得∠PEB=90°，根据切线的性质可得∠ABP=90°，由同角的余角相等可得∠EPB=∠ABC，据此证明；
（2）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据三角函数的概念可得OD，利用勾股定理可得DC，设PC=x，然后由勾股定理求解即可.
21．（2021·乐清模拟）如图，在 中， ，以 为直径作⊙O交 交于点 ，作切线 交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，交⊙O于点 ，连接 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：连接CD，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵ED为⊙O的切线，
∴CE=ED，
∴∠ECD=∠EDC，
∵∠ECD+∠A=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴AE=EC
（2）解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠CGB=90°，
∵BF⊥ED，
∴CG//EF，
∴△BGH∽△BFD，
∴ ，
∴ ，
∵EC=AE，DE∥CH，
∴AD=DH，
设DH=3x，则AD=3x，BH=2x，
∴3x+3x+2x=16，
∴x=2，
∴AD=6，BD=10，
∵∠CBD=∠ABC，∠CDB=∠ACB，
∴△CDB∽△ACB，
∴ ，
∴BC2=AB DB=10×16=160，
∴BC=4
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)由切线长定理得出CE=ED，再由圆周角定理得出∠ADC=90°，由直角三角形斜边中线的性质可得结论；
(2)先证明 △BGH∽△BFD， 由相似三角形的性质列比例式求出AD和BD的长， 设DH=3x， 根据AB=16列方程求解，再证明 △CDB∽△ACB， 根据相似的性质，列比例式求出BC，即可解答.
22．（2020·南湖模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，经过点C且半径为2的⊙O分别切AB，AD于点B，D。
（1）求 的度数。
（2）求图中阴影部分的面积。
【答案】（1）解：∵在菱形ABCD中，∠A=60°
∴∠C=∠A=60°
∴ 的度数为120°．
（2）解：连结OA，OB，OD． ∵⊙O分别切AB，AD于点B，D.
∴OB⊥AB，OD⊥AD，且OA平分∠BAD.
∴∠OAB=∠OAD=30° ∴∴ ． = ．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可求出∠C的度数，再根据圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，就可求出弧BD的度数。
（2）连接OD，OB，利用切线的性质可证得OB⊥AB，OD⊥AD，利用切线长定理可得到OA平分∠DAB，从而可求出∠OAB和∠OAD的度数，再利用解直角三角形求出AB的长，然后根据阴影部分的面积等于2S△AOB-S扇形OBD，利用三角形和扇形的面积公式可求解。
23．（浙教版备考2020年中考数学一轮专题9 圆 (1） ）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D；与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连结FE并延长交AC边于点G.
（1）求证：DF∥AO.
（2）若AC＝6，AB＝10，求CG的长．
【答案】（1）证明：∵AB与⊙O相切于点D，∴∠BCD＝∠BDF.
又∵AC与⊙O相切于点C，由切线长定理得AC＝AD，
∴CD⊥AO，∴∠BCD＝∠CAO＝∠DAO，∴∠DAO＝∠BDF，∴DF∥AO.
（2）解：如图，过点E作EM⊥OC于点M.
∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝ ＝8.
∵AD＝AC＝6，∴BD＝AB－AD＝4，
∴由△BDF∽△BCD得BD2＝BF·BC，解得BF＝2，
∴FC＝BC－BF＝6，OC＝ FC＝3， ∴OA＝ ＝3 .
由△OCE∽△OAC得OC2＝OE·OA，解得OE＝ .∴ ＝ ＝ ＝ ，
解得OM＝ ，EM＝ ，FM＝ .又∵ ＝ ＝ ，∴CG＝ EM＝2.
【知识点】相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）利用弦切角定理易证∠BCD＝∠BDF，利用切线长定理可证得AC=AD，∠CAO=∠DAO，再利用等腰三角形三线合一的性质，可以推出CD⊥AO，然后去证明∠DAO=∠BDF，利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。
（2）利用勾股定理求出BC的长，从而可得BD的长，再利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证得△BDF∽△BCD，利用相似三角形的性质，可以推出BD2＝BF·BC，代入计算求出BF，OC，利用勾股定理求出OA的长，同理可证△OCE∽△OAC，利用相似三角形的对应边成比例求出OM，EM，FM的长， 然后由EM∥CG，利用平行线分线段成比例定理就可求出CG的长。
24．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（七））如图1所示，在正方形ABCD中，AB＝1， 是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当∠DEF＝45°时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF＝ 时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．
【答案】（1）证明：∵∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝45°．
∴∠DFE＝∠DEF．
∴DE＝DF．
又∵AD＝DC，
∴AE＝FC．
∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，
∴AD切圆B于点A．
同理：CD切圆B于点C．
又∵EF切圆B于点G，
∴AE＝EG，FC＝FG．
∴EG＝FG，即G为线段EF的中点．
（2）解：根据（1）中的线段之间的关系，得EF＝x+y，DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，
根据勾股定理，得：
（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2
∴y＝ （0＜x＜1）．
（3） 解：当EF＝ 时，由（2）得EF＝EG+FG＝AE+FC，
即x+ ＝ ，
解得x1＝ ，x2＝ ．
经检验x1＝ ，x2＝ 是原方程的解．
①当AE＝ 时，△AD1D∽△ED1F，
证明：设直线EF交线段DD1于点H，
由题意，得：
△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH＝D1H．
∵AE＝ ，AD＝1，
∴AE＝ED．
∴EH∥AD1，
∴△DEH∽△DAD1，
∵△DEF是一个等腰直角三角形，且 EF⊥DD1 ，
∴△DEH∽△DEF，
∴△DEF∽△DAD1，
∴△ED1F∽△AD1D．
②当AE＝ 时，△ED1F与△AD1D不相似．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及三角形的内角和得出 ∠DFE＝∠DEF =45°，根据等角对等边得出 DE＝DF ，根据等式的性质得出 AE＝FC ，根据切线的判定定理判断出AD切圆B于点A，CD切圆B于点C，根据切线长定理得出 AE＝EG，FC＝FG ，故 EG＝FG，即G为线段EF的中点 ；
（2） 根据（1）中的线段之间的关系，得EF＝x+y，DE＝1﹣x，DF＝1﹣y， 在Rt△DEF中利用勾股定理即可建立出y与x之间的函数关系；
（3） 当EF＝ 时，由（2）得EF＝EG+FG＝AE+FC， 建立方程，求解并检验得出x的值； ①当AE＝ 时，△AD1D∽△ED1F， 设直线EF交线段DD1于点H， 根据翻折的性质得出 △EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH＝D1H， ∠ED1F＝∠EDF＝90° ，根据三角形的中位线定理得出 EH∥AD1，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△DEH∽△DAD1，根据直角三角形斜边上的高将直角三角形分成的两个小三角形与原三角形都相似得出△DEH∽△DEF，故△DEF∽△DAD1，△ED1F∽△AD1D；②当AE＝ 时，△ED1F与△AD1D不相似．
1 / 1（提升卷）2.2切线长定理-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）（
1．（2023·瓯海模拟）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
2．（2022·宁波模拟）如图，是外一点，，分别与相切于点，，是上任意一点，过点作的切线，交于点，交于点．若的半径为4，，则的周长为（ ）
A． B．8 C． D．12
3．（2022九下·诸暨月考）如图， 中， ， ，它的周长为 若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·温州模拟）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB=60°.若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
A．cm B．12cm C．cm D．cm
5．（2022九下·金华月考）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE.若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°-α B．α C．2α D．90°-α
6．（2022九下·舟山月考）如图，AB是⊙0的直径，点C为⊙0外一点，CA，CD分别与⊙0相切于点A，点D，连结BD，AD，若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是（ ）
A．15° B．35° C．65° D．75°
7．（2021·龙湾模拟）如图， 和 是 的两条切线， ， 为切点，点 在 上，点 ， 分别在线段 和 上，且 ， .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·鹿城模拟）如图，点E为Rt△ABC的直角边AC上一点，以CE为直径的半圆与斜边AB相切于点D，连结DE.若∠B＝70°，则∠CED为（ ）
A．70° B．65° C．55° D．35°
9．（2021·柯桥模拟）如图， 中， ，它的周长为16，若圆O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．（2021九上·台州期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．18-6π D．18-3π
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·文成模拟）如图，正六边形内接于半径为1的，则的长为 .
12．（2023九上·东阳期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，连结PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为 ．
13．（2022·北仑模拟）如图，在正六边形内取一点，作与边相切，并经过点，已知的半经为，则正六边形的边长为 .
14．（2022九下·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
15．（2022九上·金东期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，DE为以AB为直径的半圆的切线，切点为F，连结CF，则ED的长为 ，CF的长为 .
16．（2021·余杭模拟）如图， ， 是 的两条切线， ， 为切点，若 ， ，则 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九下·瑞安开学考）如图，D为Rt△ABC的直角边BC上一点以CD为直径的半圆O与斜边AB相切于点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F.已知AC：BF＝3：4.
（1）求sin∠ABC的值.
（2）若BE＝6，求⊙O的半径的长.
18．（2022·定海模拟）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm.
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径长.
19．（2022·兰溪模拟）如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BE＝，BF＝6，求CD的长．
20．（2022·普陀模拟）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．延长、相交于点D．
（1）求证：；
（2）设的半径为2，，求的长．
21．（2021·乐清模拟）如图，在 中， ，以 为直径作⊙O交 交于点 ，作切线 交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，交⊙O于点 ，连接 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
22．（2020·南湖模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，经过点C且半径为2的⊙O分别切AB，AD于点B，D。
（1）求 的度数。
（2）求图中阴影部分的面积。
23．（浙教版备考2020年中考数学一轮专题9 圆 (1） ）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D；与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连结FE并延长交AC边于点G.
（1）求证：DF∥AO.
（2）若AC＝6，AB＝10，求CG的长．
24．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（七））如图1所示，在正方形ABCD中，AB＝1， 是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当∠DEF＝45°时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF＝ 时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
2．【答案】C
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：，分别与相切于点，，
，
是的切线，切点为P，
，
的周长，
，
，
中，
，
，
，
的周长=.
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理可得AB=AC，PM=MB，PN=NC，∠BAO=∠CAO，由切线的性质可得∠ABO=90°，则△AMN的周长可转化为2AB，易得∠BAO=30°，根据三角函数的概念可得AB，据此计算.
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解： 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，
， ， ，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据切线长定理可得AD=AF，BE=BD，CE=CF，根据BC=6可得BD+CF=6，推出△ADF是等边三角形，得到AD=AF=DF，根据周长可得AB+AC=10，则AD+AF=4，据此计算.
4．【答案】A
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：
∵AD，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，
∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，
在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，
∴tan∠OAD=tan60°=，即，
∴OD=6cm，
则圆形螺母的直径为12cm.
故答案为：A.
【分析】设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，切线长定理得AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，则∠OAE=∠OAD=60°，然后根据∠OAD的正切三角函数的概念就可求出OD.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线长定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，
∴，即
在与中，
∵
∴≌（SAS），
∴，
在中，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠P＝α，PA=PB，
∴
∴在中，，即，
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，则∠PAB=∠PBA，结合等角的余角相等可得∠DAE=∠DBF，利用SAS证明△DAE≌△FBD，得到∠DEA=∠FDB，由内角和定理可得∠DAE+∠FDB+∠DEA=180°，结合平角的概念可得∠EDF=∠DAE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理表示出∠BAP，进而可得∠EDF.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，
∴CA=CD，∠CAB=90°，
又∵∠ACD=50°，
∴∠CAD=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠DAB=90°-65°=25°，
∵AB是⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA=90°-25°=65°.
故答案为：C.
【分析】由切线长性质得CA=CD，∠CAB=90°，从而求得∠CAD的度数，进而求得∠DAB的度数，再根据直径所对的圆周角为90°，即∠ADB=90°，进而求得∠DBA度数.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 和 是 的两条切线， ， 为切点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴△ADE≌△BFD，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理得到 ，即可得△ADE≌△BFD，再利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可求解.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接CD ，
∵ ，
∴ BC与半圆相切于点C ，
∵半圆与斜边AB相切于点D，
∴ ，
∵∠B＝70°，
∴ ，
∴ ，
∵CE为直径，
∴ ，
∴∠CED
.
故答案为：C.
【分析】连接CD，易得BC与半圆相切于点C，根据切线长定理可得BC=BD，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCD=∠BDC=55°，然后求出∠DCE的度数，根据圆周角定理得∠CDE=90°，接下来根据∠CED=90°-∠DCE进行计算.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD= ，
故答案为：A.
【分析】利用切线长定理可证得AD=AF，BE=BD，CE=CF，可求出BD+CF的值；利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AD=AF=DF，由此可求出AB+AC的值；同时可求出AD+AF的长；然后求出DF的长.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OP，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，∠APO=∠APB=30°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=360°-90°-90°-60°=120°，
在Rt△AOP中，OA=3
∴OP=2OA=6，
∴
∴S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB=.
故答案为：B.
【分析】连接OP，利用切线长定理可证得∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，同时可求出∠APO的度数，再利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，利用勾股定理 求出AP，BP的长；然后根据S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB，利用三角形的面积公式及扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
11．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB、OC，
由题意得，，即，
∴的长，
故答案为：.
【分析】连接OA、OB、OC，根据正六边形的性质得∠AOB=∠BOC=60°，进而根据弧长计算公式计算即可.
12．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴，
∵弧AB=弧AB，
∴∠ADB＝∠AOB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠APO＝∠BPO，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴∠ADB＝∠AOP，
∴sin∠ADB＝sin∠AOP＝.
故答案为：.
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据勾股定理求出OP，根据圆周角定理、切线长定理及三角形的内角和定理得到∠ADB＝∠AOP，根据等角的同名三角函数值相等结合正弦的定义计算即可．
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：如图， 与边DE、EF相切于点N、M， 连接OM，ON，OE，
⊙O与边DE，EF相切，
，
，，
又，
，
所以OE在正六边形ABCDEF的一条对称轴上，
正六边形ABCDEF，
，
，
由切线长定理得，，
，
，
因为圆的对称轴是直径所在的直线，且圆过点B，所以OB在一条对称轴上，
因为BE所在直线是正六边形ABCDEF的一条对称轴，所以点B、O、E在一条直线上，
，
因为BE为正六边形外接圆直径，其圆心与正六边形相邻两点构成等边三角形，所以边长等于外接圆的半径为.
故答案为：.
【分析】连接OM，ON，OE，根据切线的性质可得∠OME=∠ONE=90°，根据切线长定理可得OM=ON，证明△OEM≌△OEN，根据正多边形的性质可得∠FED=120°，则∠MON=60°，∠MOE=30°，根据三角函数的概念可得ME、OE，由BE=OB+BE可得BE，据此不难求出正六边形的边长.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+
＝
.
故答案为：
.
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形性质得∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，由切线性质可得∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，可证明四边形AFOE，FBGO是正方形，得AF＝BF＝AE＝BG＝4，进而求得DE＝6；根据切线长定理可得DN＝DE＝6，MN＝MG，可求得CM＝6﹣MN，再在Rt△DMC中，由勾股定理得DM2＝CD2+CM2，即（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，求得NM＝ ，进而可求出DM的长.
15．【答案】5；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB
∵以AB为直径的半圆
∴BE、AD也是半圆的切线
∵DE为以AB为直径的半圆的切线，
∴EB=EF、DA=DF=4
∴EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF
在Rt△DCE中，
∴
解得
∴DE=DF+EF=4+EF=5
过F作FG⊥DC于G，如图
∴
∴
∴
解得
∴
∴在Rt△CFG中，
故答案为：5，
【分析】由正方形的性质可得CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB，由切线长定理可得EB=EF、DA=DF=4，从而可得EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF，在Rt△DCE中利用勾股定理可求出EF=1，从而求出DE=5，过F作FG⊥DC于G，证明 ，利用相似三角形的性质可求出GF、DG，从而求出CG，在Rt△CFG中，利用勾股定理求出CF即可.
16．【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠OPB＝ ∠APB＝30°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°，
∴OP＝2OB=2OA＝4，
在Rt△OPB中，依据勾股定理得：PB＝ ＝ = .
故答案为： .
【分析】 由切线长定理"从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠OPB＝∠APB，再结合圆的切线的性质和直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OP=2OB，在Rt△OPB中，用勾股定理可求解.
17．【答案】（1）解：∵BF∥AC，
∴△AEC∽△BEF，
∴
∵CD为⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵AB是⊙O的切线，
∴AC＝AE，
∴sin∠ABC＝
（2）解：如图，连接OE，
∵ ，BE＝6，
∴AE＝ ，
∴AB＝ ，AC＝ ，
∴BC＝
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵∠OBE＝∠ABC，
∴△OBE∽△ABC，
∴ ， 即
解得：OE＝ ，即⊙O的半径的长为 .
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AEC∽△BEF，根据题意可得AC是⊙O的切线，由切线长定理可得AC=AE，然后根据相似三角形的对应边成比例以及三角函数的概念进行计算；
（2）连接OE，易得AE、AB、AC、BC的值，根据切线的性质可得OE⊥AB，由两角分别相等的两个三角形相似可得△OBE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
18．【答案】（1）解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴BC＝ ＝10cm；
（2）解：如图，连接OF，
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
∵S△BOC＝ OB OC＝ OF BC，
∴6×8＝10×OF，解得：OF＝ cm，
即⊙O的半径为 cm.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理可得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠DCB，根据平行线的性质可得∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠DCB=90°，利用三角形的内角和求出∠BOC＝90°，根据勾股定理求出BC即可；
（2）连接OF，由切线的性质可得OF⊥BC，根据S△BOC＝ OB OC＝ OF BC，求出OF的长即得结论.
19．【答案】（1）证明：连接AB，OA．
∵BC是的直径，
∴．
∵DB是的切线，
∴，
∴，
在中，E是斜边BD的中线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵AO是的半径，
∴AF是的切线；
（2）解：在中，，，
∴，
∵FA、DB是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵E是BD的中点，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；切线长定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接AB，OA，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，根据切线的性质可得∠DBO=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AE=DE=BE，根据等腰三角形的性质可得∠EAB=∠EBA，∠OAB=∠OBA，推出∠EAO=∠DBO=90°，据此证明；
（2）利用勾股定理可得EF，根据切线长定理可得EA=EB，则AF=EF+EA=9，然后根据AF2=FB·FC可得FC，由BC=FC-FB可得BC，根据中点的概念可得BD=2BE=5，然后利用勾股定理进行计算.
20．【答案】（1）证明：连接，交于
，是的两条切线，
，，
，
，
，
为直径，是的切线，
，
，
，
；
（2）解：连接，
是的切线，
，
，
的半径为2，，
，
，
，
设，
，
，
解得．
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OP，交BC于点E，根据切线长定理可得PC=PB，∠CPO=∠BPO，根据垂直的概念可得∠PEB=90°，根据切线的性质可得∠ABP=90°，由同角的余角相等可得∠EPB=∠ABC，据此证明；
（2）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据三角函数的概念可得OD，利用勾股定理可得DC，设PC=x，然后由勾股定理求解即可.
21．【答案】（1）证明：连接CD，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵ED为⊙O的切线，
∴CE=ED，
∴∠ECD=∠EDC，
∵∠ECD+∠A=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴AE=EC
（2）解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠CGB=90°，
∵BF⊥ED，
∴CG//EF，
∴△BGH∽△BFD，
∴ ，
∴ ，
∵EC=AE，DE∥CH，
∴AD=DH，
设DH=3x，则AD=3x，BH=2x，
∴3x+3x+2x=16，
∴x=2，
∴AD=6，BD=10，
∵∠CBD=∠ABC，∠CDB=∠ACB，
∴△CDB∽△ACB，
∴ ，
∴BC2=AB DB=10×16=160，
∴BC=4
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)由切线长定理得出CE=ED，再由圆周角定理得出∠ADC=90°，由直角三角形斜边中线的性质可得结论；
(2)先证明 △BGH∽△BFD， 由相似三角形的性质列比例式求出AD和BD的长， 设DH=3x， 根据AB=16列方程求解，再证明 △CDB∽△ACB， 根据相似的性质，列比例式求出BC，即可解答.
22．【答案】（1）解：∵在菱形ABCD中，∠A=60°
∴∠C=∠A=60°
∴ 的度数为120°．
（2）解：连结OA，OB，OD． ∵⊙O分别切AB，AD于点B，D.
∴OB⊥AB，OD⊥AD，且OA平分∠BAD.
∴∠OAB=∠OAD=30° ∴∴ ． = ．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可求出∠C的度数，再根据圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，就可求出弧BD的度数。
（2）连接OD，OB，利用切线的性质可证得OB⊥AB，OD⊥AD，利用切线长定理可得到OA平分∠DAB，从而可求出∠OAB和∠OAD的度数，再利用解直角三角形求出AB的长，然后根据阴影部分的面积等于2S△AOB-S扇形OBD，利用三角形和扇形的面积公式可求解。
23．【答案】（1）证明：∵AB与⊙O相切于点D，∴∠BCD＝∠BDF.
又∵AC与⊙O相切于点C，由切线长定理得AC＝AD，
∴CD⊥AO，∴∠BCD＝∠CAO＝∠DAO，∴∠DAO＝∠BDF，∴DF∥AO.
（2）解：如图，过点E作EM⊥OC于点M.
∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝ ＝8.
∵AD＝AC＝6，∴BD＝AB－AD＝4，
∴由△BDF∽△BCD得BD2＝BF·BC，解得BF＝2，
∴FC＝BC－BF＝6，OC＝ FC＝3， ∴OA＝ ＝3 .
由△OCE∽△OAC得OC2＝OE·OA，解得OE＝ .∴ ＝ ＝ ＝ ，
解得OM＝ ，EM＝ ，FM＝ .又∵ ＝ ＝ ，∴CG＝ EM＝2.
【知识点】相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）利用弦切角定理易证∠BCD＝∠BDF，利用切线长定理可证得AC=AD，∠CAO=∠DAO，再利用等腰三角形三线合一的性质，可以推出CD⊥AO，然后去证明∠DAO=∠BDF，利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。
（2）利用勾股定理求出BC的长，从而可得BD的长，再利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证得△BDF∽△BCD，利用相似三角形的性质，可以推出BD2＝BF·BC，代入计算求出BF，OC，利用勾股定理求出OA的长，同理可证△OCE∽△OAC，利用相似三角形的对应边成比例求出OM，EM，FM的长， 然后由EM∥CG，利用平行线分线段成比例定理就可求出CG的长。
24．【答案】（1）证明：∵∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝45°．
∴∠DFE＝∠DEF．
∴DE＝DF．
又∵AD＝DC，
∴AE＝FC．
∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，
∴AD切圆B于点A．
同理：CD切圆B于点C．
又∵EF切圆B于点G，
∴AE＝EG，FC＝FG．
∴EG＝FG，即G为线段EF的中点．
（2）解：根据（1）中的线段之间的关系，得EF＝x+y，DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，
根据勾股定理，得：
（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2
∴y＝ （0＜x＜1）．
（3） 解：当EF＝ 时，由（2）得EF＝EG+FG＝AE+FC，
即x+ ＝ ，
解得x1＝ ，x2＝ ．
经检验x1＝ ，x2＝ 是原方程的解．
①当AE＝ 时，△AD1D∽△ED1F，
证明：设直线EF交线段DD1于点H，
由题意，得：
△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH＝D1H．
∵AE＝ ，AD＝1，
∴AE＝ED．
∴EH∥AD1，
∴△DEH∽△DAD1，
∵△DEF是一个等腰直角三角形，且 EF⊥DD1 ，
∴△DEH∽△DEF，
∴△DEF∽△DAD1，
∴△ED1F∽△AD1D．
②当AE＝ 时，△ED1F与△AD1D不相似．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及三角形的内角和得出 ∠DFE＝∠DEF =45°，根据等角对等边得出 DE＝DF ，根据等式的性质得出 AE＝FC ，根据切线的判定定理判断出AD切圆B于点A，CD切圆B于点C，根据切线长定理得出 AE＝EG，FC＝FG ，故 EG＝FG，即G为线段EF的中点 ；
（2） 根据（1）中的线段之间的关系，得EF＝x+y，DE＝1﹣x，DF＝1﹣y， 在Rt△DEF中利用勾股定理即可建立出y与x之间的函数关系；
（3） 当EF＝ 时，由（2）得EF＝EG+FG＝AE+FC， 建立方程，求解并检验得出x的值； ①当AE＝ 时，△AD1D∽△ED1F， 设直线EF交线段DD1于点H， 根据翻折的性质得出 △EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH＝D1H， ∠ED1F＝∠EDF＝90° ，根据三角形的中位线定理得出 EH∥AD1，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△DEH∽△DAD1，根据直角三角形斜边上的高将直角三角形分成的两个小三角形与原三角形都相似得出△DEH∽△DEF，故△DEF∽△DAD1，△ED1F∽△AD1D；②当AE＝ 时，△ED1F与△AD1D不相似．
1 / 1
