（基础卷）2.3三角形的内切圆-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020九上·东莞期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·日照期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．30
3．（2021九上·陵城期末）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
4．（2021九上·大余期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（ ）
A．125° B．115° C．100° D．130°
5．（2021九上·西青期末）如图，⊙O内切于△ABC，若∠AOC＝110°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
6．（2021九上·台安期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．（2021九下·苏州开学考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠EDF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．（2020九上·曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若 ，则∠EDF的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·金昌期末）在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．80°
10．（2020九下·襄阳月考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·临清期中）RtABC的斜边为13，其内切圆的半径等于2，则RtABC的周长等于 ．
12．（2022九上·曹县期中）如图，的内切圆与边相切于点D，，，连接，，则的度数为 ．
13．（2021九上·门头沟期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是 步．
14．（2021九上·滨海期末）中，，则的内切圆的半径长是 ．
15．（2021九上·南开期末）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是 ．
16．（2021九上·龙江期末）如图，ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，ABC的周长为14，则BC的长为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
18．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
19．（2020九上·通辽经济技术开发期末）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接CD．
求证：OD＝CD．
20．（2021九上·原州期末）已知：如图，点 是△ 的内心， 的延长线和△ 的外接圆相交于点 .求证： .
21．（2020九下·广陵月考）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
22．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
23．（2022九上·巴东月考）一个直角三角形的两条直角边的和为，面积为.
（1）求这个直角三角形的斜边长；
（2）求这个直角三角形的内切圆直径.
24．（2018九上·辽宁期末）某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积最大，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】由基本作图得到 B 选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．
故答案为：B．
【分析】根据三角形内心为三条角平分线的交点，对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得x＝10，
∴△ABC的周长为12+5+13＝30．
故答案为：D．
【分析】连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，再利用勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，求出x的值，最后利用三角形的周长公式计算即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故答案为：B．
【分析】先求出BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，再利用三角形的周长公式计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．
故答案为：A．
【分析】根据内切圆的性质可得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再利用角的运算和等量代换可得∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°。
5．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O内切于△ABC，∠AOC＝110°，
∴，
故答案为：A
【分析】先利用角平分线的定义及角的运算可得，再利用三角形的内角和求出即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： ∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，
，
设，则，
即
解得
故答案为：B．
【分析】根据切线长的性质可得，，设，则， ，根据可得，再求出x的值即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠A+∠FIE=360°-∠AFI-∠AEI
∴∠FIE=360°-50°-90°-90°=130°，
∵
∴∠EFD=∠FIE=65°.
故答案为：C.
【分析】连接IF，IE，利用切线的性质可证得∠AFI=∠AEI=90°；再利用四边形的内角和为360°，可求出∠FIE的度数；然后利用圆周角定理求出∠EDF的度数.
8．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵∠B=65°，∠C=75°，
∴∠A=180°-65°-75°=40°
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，
∵∠A=40°，
∴∠FIE=140°，
∴∠EDF= ∠FIE= ×140°=70°．
故答案为：D．
【分析】连接IF，IE，如图，根据切线的性质得出∠A=180°-65°-75°=40°利用内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，得出IF⊥AB，IE⊥AC，由∠A=40°，得出∠FIE=140°，由此得出∠EDF的度数。
9．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=50°，
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠IBC与∠ICB之和，再由内心的性质可知BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，从而求出ABC与∠ACB角度之和，最后在△ABC中利用三角形内角和定理求解即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC= ∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD= = ，
同理求出CD= ，
即BC=2 .
故答案为：D.
【分析】标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可.
11．【答案】30
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，Rt△ABC三边分别切圆O于点D，E，F，
∴OD⊥BD，OE⊥BE，
∴∠BDO=∠BEO=∠DBE=90°，
∴四边形BEOD为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODBE是正方形，
∴BE＝BD＝OD＝OE，
∴AF＝AD＝AB 2，CF＝CE＝BC 2，
∴AC＝AF＋CF＝AB 2＋BC 2＝AB＋BC 4，
∴AB＋BC＝AC＋4＝13＋4＝17，
∴AB＋BC＋AC＝17＋13＝30．
∴Rt△ABC的周长等于30．
故答案为：30．
【分析】根据切线长定理可得AF＝AD＝AB 2，CF＝CE＝BC 2，再利用线段的和差及等量代换可得AB＋BC＝AC＋4＝13＋4＝17，最后求出Rt△ABC的周长即可。
12．【答案】75°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵的内切圆⊙O与边相切于点D，
∴平分，，
∴，
∴．
故答案为：75°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再利用切线长定理可得，最后利用角的运算求出即可。
13．【答案】6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：；
依据直角三角形的性质：可得斜边长为：
依据直角三角形面积公式：，即为；
内切圆半径面积公式：，即为；
所以，可得：，所以直径为：；
故填：6；
【分析】由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为r，利用面积相等可得出关于r的方程，可求的内切圆的半径，则可求得内切圆的直径。
14．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设△ABC的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r，
∵AB＝13，AC＝5，BC＝12，
∴AB2＝AC2+ BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴，
根据三角形的面积公式可得：
，
∴15r=30，即r=2，
故答案为：2．
【分析】设△ABC的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r，根据三角形的面积公式可得：，再求出r的值即可。
15．【答案】6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3
又∵∠C=90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO=DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO=x，
则EC=CD=x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2=AB2
故（x+2）2+（x+3）2=52，
解得：x=1，
∴BC=3，AC=4，
∴S△ABC=×3×4=6.
故答案为：6．
【分析】先求出四边形OECD是矩形，再求出矩形OECD是正方形，最后利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
16．【答案】5
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AB+BC+CA=AD+BD+BE+CE+CF+AF=2AD+2BE+2CE=14，
∴2BE+2CE=14-2AD=14-4=10，
∴BE+CE=5，
∴BC=BE+CE=5，
故答案为5．
【分析】根据切线长定理可得AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，再结合△ABC的周长为14，即可而得到2BE+2CE=14-2AD=14-4=10，再计算可得BC=BE+CE=5。
17．【答案】解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180° 45° 105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先根据圆 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，求出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC的长。
18．【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
19．【答案】证明：如图，连接OC，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，
∠DCO=∠BCD+∠OCB，
∴∠COD=∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD=CD．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先求出 ∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB， 再求出 ∠COD=∠DCO， 最后证明即可。
20．【答案】解：连接 ，
∵点 是△ 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BE，利用三角形的内心定义可知∠1=∠5，∠3=∠4，再利用三角形的外角的性质去证明∠EBD=∠BED，然后根据等角对等边可证得结论.
21．【答案】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可.
22．【答案】（1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC，∠C=90 ，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF，
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=(AC+BC AB)；
∴r=(12+9 15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=(AC+BC AB)
即：r=(a+b c).
∴O的半径r为：(a+b c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的判定定理，证明四边形OFCD是正方形，由切线长定理证得AD=AE，CD=CF，BE=BF，从而可得出CD=CF=(AC+BC AB)，就可求出结果。
（2）由（1）的解答过程，可知CD=CF=(AC+BC AB)，代入即可。
23．【答案】（1）解：设其中一条直角边长度为，则另一条直角边长度为，
根据题意可得：，
解得：，
∴这个直角三角形的两条直角边的长度为，
∴这个直角三角形的斜边长为
（2）解：设三角形内切圆的半径为，
则根据题意可得：，
解得：，
∴这个直角三角形的内切圆直径为.
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：两直角边相加=14；两直角边相乘×=24，再设未知数，列方程，然后求出方程的解，再利用勾股定理求出斜边的长.
（2）设三角形内切圆的半径为r，利用公式：×此直角三角形的周长×内切圆的半径=这个直角三角形的面积，可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
24．【答案】（1）解：用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）解：∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD= ，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2 ，
∴内切圆半径为2 m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）作图要使花坛面积最大，作出三角形的内切圆即可，三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，作出两角的平分线的交点即为圆心，再过圆心作OD垂直于边BC，以O为圆心，OD的长为半径作图即可；（2）是等边三角形，BO是的平分线，则∠OBD=30°，根据特殊角的三角函数值可求出圆形花坛的半径，进而求出花坛的面积。
1 / 1（基础卷）2.3三角形的内切圆-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020九上·东莞期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】由基本作图得到 B 选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．
故答案为：B．
【分析】根据三角形内心为三条角平分线的交点，对每个选项一一判断即可。
2．（2021九上·日照期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．30
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得x＝10，
∴△ABC的周长为12+5+13＝30．
故答案为：D．
【分析】连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，再利用勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，求出x的值，最后利用三角形的周长公式计算即可。
3．（2021九上·陵城期末）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故答案为：B．
【分析】先求出BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，再利用三角形的周长公式计算求解即可。
4．（2021九上·大余期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（ ）
A．125° B．115° C．100° D．130°
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．
故答案为：A．
【分析】根据内切圆的性质可得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再利用角的运算和等量代换可得∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°。
5．（2021九上·西青期末）如图，⊙O内切于△ABC，若∠AOC＝110°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O内切于△ABC，∠AOC＝110°，
∴，
故答案为：A
【分析】先利用角平分线的定义及角的运算可得，再利用三角形的内角和求出即可。
6．（2021九上·台安期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： ∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，
，
设，则，
即
解得
故答案为：B．
【分析】根据切线长的性质可得，，设，则， ，根据可得，再求出x的值即可。
7．（2021九下·苏州开学考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠EDF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠A+∠FIE=360°-∠AFI-∠AEI
∴∠FIE=360°-50°-90°-90°=130°，
∵
∴∠EFD=∠FIE=65°.
故答案为：C.
【分析】连接IF，IE，利用切线的性质可证得∠AFI=∠AEI=90°；再利用四边形的内角和为360°，可求出∠FIE的度数；然后利用圆周角定理求出∠EDF的度数.
8．（2020九上·曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若 ，则∠EDF的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，IE，
∵∠B=65°，∠C=75°，
∴∠A=180°-65°-75°=40°
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，
∵∠A=40°，
∴∠FIE=140°，
∴∠EDF= ∠FIE= ×140°=70°．
故答案为：D．
【分析】连接IF，IE，如图，根据切线的性质得出∠A=180°-65°-75°=40°利用内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，得出IF⊥AB，IE⊥AC，由∠A=40°，得出∠FIE=140°，由此得出∠EDF的度数。
9．（2021九上·金昌期末）在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=50°，
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠IBC与∠ICB之和，再由内心的性质可知BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，从而求出ABC与∠ACB角度之和，最后在△ABC中利用三角形内角和定理求解即可.
10．（2020九下·襄阳月考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC= ∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD= = ，
同理求出CD= ，
即BC=2 .
故答案为：D.
【分析】标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·临清期中）RtABC的斜边为13，其内切圆的半径等于2，则RtABC的周长等于 ．
【答案】30
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，Rt△ABC三边分别切圆O于点D，E，F，
∴OD⊥BD，OE⊥BE，
∴∠BDO=∠BEO=∠DBE=90°，
∴四边形BEOD为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODBE是正方形，
∴BE＝BD＝OD＝OE，
∴AF＝AD＝AB 2，CF＝CE＝BC 2，
∴AC＝AF＋CF＝AB 2＋BC 2＝AB＋BC 4，
∴AB＋BC＝AC＋4＝13＋4＝17，
∴AB＋BC＋AC＝17＋13＝30．
∴Rt△ABC的周长等于30．
故答案为：30．
【分析】根据切线长定理可得AF＝AD＝AB 2，CF＝CE＝BC 2，再利用线段的和差及等量代换可得AB＋BC＝AC＋4＝13＋4＝17，最后求出Rt△ABC的周长即可。
12．（2022九上·曹县期中）如图，的内切圆与边相切于点D，，，连接，，则的度数为 ．
【答案】75°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵的内切圆⊙O与边相切于点D，
∴平分，，
∴，
∴．
故答案为：75°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再利用切线长定理可得，最后利用角的运算求出即可。
13．（2021九上·门头沟期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是 步．
【答案】6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：；
依据直角三角形的性质：可得斜边长为：
依据直角三角形面积公式：，即为；
内切圆半径面积公式：，即为；
所以，可得：，所以直径为：；
故填：6；
【分析】由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为r，利用面积相等可得出关于r的方程，可求的内切圆的半径，则可求得内切圆的直径。
14．（2021九上·滨海期末）中，，则的内切圆的半径长是 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设△ABC的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r，
∵AB＝13，AC＝5，BC＝12，
∴AB2＝AC2+ BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴，
根据三角形的面积公式可得：
，
∴15r=30，即r=2，
故答案为：2．
【分析】设△ABC的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r，根据三角形的面积公式可得：，再求出r的值即可。
15．（2021九上·南开期末）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是 ．
【答案】6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3
又∵∠C=90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO=DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO=x，
则EC=CD=x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2=AB2
故（x+2）2+（x+3）2=52，
解得：x=1，
∴BC=3，AC=4，
∴S△ABC=×3×4=6.
故答案为：6．
【分析】先求出四边形OECD是矩形，再求出矩形OECD是正方形，最后利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
16．（2021九上·龙江期末）如图，ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，ABC的周长为14，则BC的长为 ．
【答案】5
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AB+BC+CA=AD+BD+BE+CE+CF+AF=2AD+2BE+2CE=14，
∴2BE+2CE=14-2AD=14-4=10，
∴BE+CE=5，
∴BC=BE+CE=5，
故答案为5．
【分析】根据切线长定理可得AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，再结合△ABC的周长为14，即可而得到2BE+2CE=14-2AD=14-4=10，再计算可得BC=BE+CE=5。
三、解答题（共8题，共66分）
17．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
【答案】解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180° 45° 105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先根据圆 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，求出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC的长。
18．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
19．（2020九上·通辽经济技术开发期末）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接CD．
求证：OD＝CD．
【答案】证明：如图，连接OC，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，
∠DCO=∠BCD+∠OCB，
∴∠COD=∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD=CD．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先求出 ∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB， 再求出 ∠COD=∠DCO， 最后证明即可。
20．（2021九上·原州期末）已知：如图，点 是△ 的内心， 的延长线和△ 的外接圆相交于点 .求证： .
【答案】解：连接 ，
∵点 是△ 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BE，利用三角形的内心定义可知∠1=∠5，∠3=∠4，再利用三角形的外角的性质去证明∠EBD=∠BED，然后根据等角对等边可证得结论.
21．（2020九下·广陵月考）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
【答案】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可.
22．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【答案】（1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC，∠C=90 ，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF，
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=(AC+BC AB)；
∴r=(12+9 15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=(AC+BC AB)
即：r=(a+b c).
∴O的半径r为：(a+b c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的判定定理，证明四边形OFCD是正方形，由切线长定理证得AD=AE，CD=CF，BE=BF，从而可得出CD=CF=(AC+BC AB)，就可求出结果。
（2）由（1）的解答过程，可知CD=CF=(AC+BC AB)，代入即可。
23．（2022九上·巴东月考）一个直角三角形的两条直角边的和为，面积为.
（1）求这个直角三角形的斜边长；
（2）求这个直角三角形的内切圆直径.
【答案】（1）解：设其中一条直角边长度为，则另一条直角边长度为，
根据题意可得：，
解得：，
∴这个直角三角形的两条直角边的长度为，
∴这个直角三角形的斜边长为
（2）解：设三角形内切圆的半径为，
则根据题意可得：，
解得：，
∴这个直角三角形的内切圆直径为.
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：两直角边相加=14；两直角边相乘×=24，再设未知数，列方程，然后求出方程的解，再利用勾股定理求出斜边的长.
（2）设三角形内切圆的半径为r，利用公式：×此直角三角形的周长×内切圆的半径=这个直角三角形的面积，可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
24．（2018九上·辽宁期末）某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积最大，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
【答案】（1）解：用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）解：∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD= ，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2 ，
∴内切圆半径为2 m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）作图要使花坛面积最大，作出三角形的内切圆即可，三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，作出两角的平分线的交点即为圆心，再过圆心作OD垂直于边BC，以O为圆心，OD的长为半径作图即可；（2）是等边三角形，BO是的平分线，则∠OBD=30°，根据特殊角的三角函数值可求出圆形花坛的半径，进而求出花坛的面积。
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