（培优卷）2.3三角形的内切圆-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021·武汉模拟）如图，在 中， 其周长为20，⊙I是 的内切圆，其半径为 ，则 的外接圆半径为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 周长为20，内切圆半径为 ，
∴ ，
∴
∴
中，
∴
∵在 周长为20，
∴
∴
解得
∵ 是 的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵ °
∴
∴
∵OE⊥BC
∴ ，
∴
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，根据三角形内心定义可得 可得bc=40，根据勾股定理可得 ，根据 是 的内心可得BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理可得OB的长度.
2．（2023·威海）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
A、由题意得，A不符合题意；
B、当CA⊥CB时，，
当CB为底时，高h小于AC=4，故，B不符合题意；
C、设△ABC的内切圆的半径为r，由题意得，
∴，
∵，
∴，C符合题意；
D、当时，，
∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可判断A；根据三角形的面积分类讨论即可判断B；设△ABC的内切圆的半径为r，根据三角形内切圆的性质结合题意即可得到，进而即可判断C；根据勾股定理的逆定理结合题意即可判断D。
3．（2023·慈溪模拟）如图，在正中，D，E分别在边，上，连接，的平分线过的内心O，交于点F，连接．若要知道的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE、GM、OC，
∵DF为∠ADE的角平分线，
∴OG=OH.
∵DO=DO，OG=OH，
∴△DGO≌△DHO，
∴DG=DH.
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
∵OC=OC，OG=OM，
∴△CGO≌△CMO，
∴CG=CM.
∵∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM=MG.
∴O为△ABC的内心，
∴CG=AG=AC.
∵OE=OE，OH=OM，
∴△EHO≌△EMO，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DH+EH+CE=CD+DG+EM+CE=CG+CM=2CG=AC，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长.
故答案为：A.
【分析】过O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE、GM、OC，根据角平分线的性质可得OG=OH，利用HL证明△DGO≌△DHO，得到DG=DH，由内心的概念可得CO平分∠ACB，根据角平分线的性质可得OG=OM，则OH=OM，同理证明△CGO≌△CMO，得到CG=CM，推出△CGM为等边三角形，则CG=CM=MG，结合内心的概念可得CG=AG=AC，利用HL证明△EHO≌△EMO，得到EH=EM，则△CDE的周长=CD+DE+CE=AC，△ABC的周长=AB+AC+BC=3AC，据此解答.
4．（2023·洪山模拟）如图，是的内切圆，，过点I作分别交，于N，M，若，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设切点分别为E，F，G，连接IE、IF、IG，过点M作MP⊥AB于P，过点N作NQ⊥AB于Q，
∵是的内切圆，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
在中，由勾股定理，
，
解得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】设切点分别为E，F，G，连接IE、IF、IG，过M作MP⊥AB于P，过N作NQ⊥AB于Q，根据切线的性质得IE⊥BC，IF⊥AC，IG⊥AB，IE=IF=IG，根据平行线间的距离相等得NQ=IG=MP，推出NQ=IF，由AAS判断出△AQN≌△NFI，得IN=AN=4，同理IM=BM=3，进而判断出△MEI∽△IFN，由相似三角形对应边成比例得得，设ME=3x，IF=4x，则IE=IF=4x，在Rt△MEI中，利用勾股定理建立方程求出x的值，即可得出IF的长.
5．（2023九下·姑苏开学考）如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长 交 于点 ，连接 ， 交 于点 ，
则： ，
∵I是 内心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，
则： ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵I是 内心，
∴ ，
∴ ，
如图2：过点 作 ，连接 ，设 ，则： ，
则： ，
即： ，
解得： ，
∴ ；
∴
设 的半径为
则：
∴ ，
即： ，
解得： ；
故答案为：A.
【分析】延长BI交⊙O于点D，连接OB、OD、AI，OD交AC于点E，由圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，由内心的概念可得∠ABD=∠DBC，∠CAI=∠BAI，则∠DAC=∠DBA，根据角的和差关系可得∠DAI=∠AID，推出AD=DI，由等腰三角形的性质可得DI=BI，则AD=BI，过点I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，利用AAS证明△AED≌△BGI，得到BG=AE=7，则CG=BC-BG=6，由内心的概念可得CM=CG=6，BN=BG=7，AN=AM=8，AB=AN+BN=15，过点C作CH⊥AB，连接IC，设AH=x，则BH=15-x，由勾股定理可得x的值，然后求出CH，设半径为r，则IG=IM=IN=r，然后根据三角形的面积公式进行计算.
6．（2023·武汉模拟）如图，，分别为的切线，切点为A，B，点C为弧上一动点，过点C作的切线，分别交，于点D，E，作的内切圆，若，的半径为R，的半径为r，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，设的内切圆与、、的交点分别为G、H、F连接、、、、、、
，，
根据题意，过点C作的切线，分别交，于点D，E
，
，分别为的切线
，
是的角平分线
.
故答案为：D.
【分析】设△PDE的内切圆⊙O2与PD、DE、PE的交点分别为G、H、F，连接PO2、PO1、GQ2、FO2、HO2、DO2、EO2，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可得S△PDE=(PE+DE+PD)×r，由切线长定理可得DA=DC，EC=EB，则PD+DE+PE=PA+PB，易得PO1是∠P的角平分线，∠APO1=α，根据三角函数的概念可得PD+DE+PE=PA+PB=，据此计算.
7．（2020·龙海模拟）如图，点E为 的内心，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， ，则MN的长为（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】连接EB、EC，如图，
∵点E为△ABC的内心，
∴EB平分∠ABC，EC平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BM=ME，
同理可得NC=NE，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴ ，即 ，则BM=7- MN①，
同理可得CN=5- MN②，
①+②得MN=12-2MN，
∴MN=4．
故答案为：B．
【分析】连接EB、EC，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME，同理可得NC=NE，接着证明△AMN∽△ABC，所以 ，则BM=7- MN①，同理可得CN=5- MN②，把两式相加得到MN的方程，然后解方程即可．
8．（2020·青山模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI。
∵PH⊥OA
∴∠PHO=90°，
∴∠HOP+∠OPH=90°
又∵I为△OPH的内心
∴∠IOP=∠IOA=∠HOP，∠IPO=∠OPH
∴∠IOP+∠IPO=(∠HOP+∠OPH）=45°
∴∠PIO=180°-（∠IPO+∠IOP）=180°-45°=135°
又∵OP=OA，OI=OT，∠IOP=∠IOA
∴△OPI≌△OAI
∴∠AIO=∠PIO=135°
∴点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上
过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO。
∴∠APO=180°-∠AIO=180°-135°=45°
∴∠AO′O=90°
∴O′O=OA=×2=
∴弧OA的长=.
∴内心I所经过的路径长为。
故答案为：B.
【分析】连OI，PI，AI，先利用三角形的内心的定义求出∠PIO=135°，然后易证△OPI≌△OAI，利用相似三角形的对应角相等得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，利用圆内接四边形的性质可得∠APO=45°，进而得∠AOO=90°，则可求出O′O，然后利用弧长公式计算即可。
9．（2020·无锡模拟）如图， 中， ， ， ，点 在 内，且 平分 ， 平分 ，过点D作直线 ，分别交 、 于点P、Q，若 与 相似，则线段 的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：若△APQ∽△ABC，
∴∠APQ=∠ABC，
∴PQ∥BC， ，
∴∠PDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠PBD=∠CBD，
∴∠PBD =∠PDB，
∴PB=PD，同理，DQ=CQ，
∵ ， ， ，
∴BC= ，
设AP=x，根据 得 ，
∴AQ= ，
∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6- ，
∴PQ=PD+QD= ，
∴ ，即 ，
解得：x= ，
∴PQ= ；
若△APQ∽△ACB，
则 ，
由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，
可知四边形AMDN为正方形，
∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，
∴AM∥DN，AN∥DM，
∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，
∴△MPD∽△NDQ，
∴ ，
∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴DM=DN= =2，
∴AM=AN=2，
设PM=x，则 ，
∴NQ= ，
∵ ，即 ，
解得：x= 或-2（舍），
∴AP= +2= ，
∴PQ=AP×BC÷AC= ×10÷6= .
综上：PQ的值为 .
故答案为：B.
【分析】分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.
10．（2023·武汉模拟）课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）.”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则n的值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设内切圆的圆心分别为设与的三边相切于点，如图，
则四边形为正方形，
又，
，
，
同样，在中，四边形为正方形，
又，
，
同理，，
，
则，
，
，
经检验，是增根，是原方程的根，
∴n的值是24.
故答案为：A.
【分析】设内切圆的圆心分别为O1、O2、O3……设⊙O1与△OAA1的三边相切于点B、C、D，则四边形ABO1C为正方形，A1D=A1C=1-r1，OD=OB=1-r1，根据OA1=可得r1，同理可得r2、r3、r4，表示出rn，进而可得r1+r2+r3+……+rn，结合其值为10可得n的值，据此解答.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·福州模拟）已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是 .
【答案】60°或108°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：当是锐角三角形时，如图所示：
∵I是的内心，
∴、平分、，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，
∴；
当是钝角三角形时，如图所示：
∵I是的内心，
∴、平分、，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴；
当是直角三角形时，不符合题意；
故答案为：60°或108°.
【分析】当△ABC是锐角三角形时，由内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠CB，根据内角和定理可得∠I=180°-∠IBC-∠ICB=180°-(180°-∠A)=90°+∠A，由圆周角定理可得∠O=∠A，∠BIC=∠BOC，据此求解；当△ABC是钝角三角形时，由内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠CB，结合四边形内角和为360°可得∠I=360°-(360°-∠A-∠IBA-∠ICA)=90°+A，由圆内接四边形的性质以及圆周角定理可得∠O=2(180°-∠A)，∠BIC=∠BOC，据此求解；当△ABC是直角三角形时，不符合题意.
12．（2023·江油模拟）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当时， .
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长到M，使，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵I是内心，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，根据圆周角定理可得∠BCD=∠BAD，根据内心的概念可得∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，则∠BCD=∠IAC，由外角的性质以及角的和差关系可得∠DIC=∠DCI，则DI=DC=DM=5，进而推出∠ICM=90°，由勾股定理求出CM，推出IE为△ACM的中位线，得到IE∥CM，根据平行线的性质可得∠AIE=∠AMC，然后根据三角函数的概念进行计算.
13．（2023·梅州模拟）如题图所示，在中存在一面积为的内切圆，其圆心为点，连接，若满足，，，则实数的值为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接，过点分别向作垂线，垂足分别为，如图所示：
由三角形内切圆性质，根据切线长定理可知，，，
该内切圆的面积为，
由圆面积公式可知该内切圆的半径为1，即，
，，在中，，
，则，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，解得或（舍去），
，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
14．（2022·泰州）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
【答案】2或
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，作，，连接OB，则OD⊥AC，
∵，
∴
∵O为的内心，
∴，
∴
∴，
同理，，
∴DE=CD+BE，
∵O为的内心，
∴，
∴
∴
∴
②如图，作，
由①知，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：2或.
【分析】作DE∥BC，OF∥BC，OG∥AB，连接OB，则OD⊥AC，由平行线的性质得∠OBF=∠BOE，根据内心的概念可得∠OBF=∠OBE，推出BE=OE，同理可得CD=OD，则DE=CD+BE，利用勾股定理可得AB，根据内心的概念可得OF=OD=OG=CD，则BF=BG，AD=AC，AB=BG+AG=6-CD+8-CD=10，据此可得CD的值；作DE⊥AB，则BE=4，AE=6，易证△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得AD的值，由CD=AC-AD可得AD，利用勾股定理可得DE，由DE=BE+CD就可求出CD的值.
15．（2021·黄冈模拟）如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接 ， ，过 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴sin∠AOD= ，
∴ ，
，
，
∴ ，
连接 ， ，
∵点 为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为优弧 上动点，
∴ 始终等于 ，
∴点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设 ， ， 三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 移动的路径长 .
故答案为： .
【分析】连接OB，OA，过O 作OD⊥AB ，根据垂径定理可得AD的长，根据余弦的定义、特殊角三角函数值及圆周角定理求出∠P的度数，连接IA、IB ， 根据三角形的内心的性质得 ， ，由三角形内角和定理求出，设A ，B ，I 三点所在的圆的圆心为O' ，连接O'A，O'B ，则∠AO'B=120° ，根据等腰三角形的性质得∠O'AB=∠O'BA=30°，连接O'D，可得O'D⊥AB，利用解直角三角形求出AO'的长，利用弧长公式计算即可.
16．（2020·兴化模拟）如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 。
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵CD⊥OB
∴∠ODC=90°
∵点E是△ODC的内心
∴∠OEC=90°+∠ODC=135°，∠COE=∠BOE
又∵OE=OE，OB=OC
∴△COE≌△BOE
∴∠OEB=∠OEC=135°
∴点E的运动轨迹为：以OB为弦，并且弦OB所对圆周角为135°的一段劣弧。
设经过点O、B、E三点的圆M如图所示，则∠N=180°-∠OEB=45°
∴∠M=2∠N=90°
∴OM=BM=OB=2
∴
∴内心E所经过的路径长为.
故答案为：.
【分析】先利用内心的性质求出∠OEC的度数和∠COE=∠BOE，易证△COE≌△BOE，利用全等三角形的性质得∠OEB=∠OEC=135°，从而确定出点E的运动轨迹，则劣弧OB的长即为所求。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023·游仙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，内切于，反比例函数的图象经过点P，交直线于点C，D（C在点D的左侧）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求的面积.
【答案】（1）解：如图，设与三边的切点分别为点F、点G、点H，连接、、，则、、，
在中，
当时，；
当时，
∴点A的坐标为，点B的坐标为
，
又
∴点P的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点P
，
，
∴反比例函数的解析式是；
（2）解：∵一次函数和反比例函数的图象相交于点C、点D
∴
∴消去y得
∴
∴方程两边同乘可得：
∵判别式
经检验：是原分式方程的解
∴当时，
当时，
∴点C的坐标，点D的坐标为
轴，轴
∴点E的坐标为
.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1） 设圆P与△ABO三边的切点分别为点F、点G、点H，连接OP、BP、AP，则PF⊥OA、PG⊥OB、PH⊥AB，PF=PG=PH，分别令一次函数解析式中x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，然后算出AB的长，进而根据S△ABO=S△AOP+S△BOP+S△BPA建立方程，可求出PF的长，从而得出点P的坐标，进而利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）解联立两函数解析式组成的方程组可求出点C、D的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质可求出点E的坐标，利用两点间的距离公式算出CE、ED的长，最后根据三角形的面积计算方法可求出△CDE的面积.
18．（2023·游仙模拟）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D.
（1）求证：；
（2）已知，，求该圆的半径的长度；
（3）在（2）的条件下，若，求的值.
【答案】（1）证明：连接，
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点作的外接圆的直径，则，
.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该圆的半径的长度为5；
（3）解：设的直径交于点，
.
∵平分，
∴点D是的中点，
∴，，
∵，则，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BE，由内心定义得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠DAC，由同弧所对的圆周角相等得∠CAD=∠CBD，推出∠BAD=∠DBC，进而根据角的和差及三角形外角相等可得∠DBE=∠DEB，从而根据等角对等边即可得出DE=DB；
（2） 过点D作△ABC的外接圆圆O的直径DG，则∠GBD=90°， 由圆周角定理、角的角平分线定义及等角的同名三角函数值相等得 ， 据此可得GB的长，然后根据勾股定理算出DG；
（3） 设圆O的直径DG交BC于点H， 根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等得 点D是的中点， 由垂径定理得DH⊥BC，BH=HC，由等面积法求出BH，进而根据勾股定理算出DH，最后根据余弦函数的定义即可求出答案.
19．（2021·长沙模拟）如图，在矩形ABCD中， 为矩形 对角线， 于点 ， 的延长线交AB于点E，已知 ， .
（1）求AE的长；
（2） 的角平分线CF交AD于点F，求 的值；
（3）若 、 分别是 、 的内心，求 、 两点间的距离.
【答案】（1）解：∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠DAE=∠ADC=90°，
∴△DAE∽△CDA，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）解：作FH⊥AC于点H，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠FCD，
∵∠CHF=∠CDF=90°，CF=CF，
∴△FCH≌△FCD(AAS)，
∴CD=CH=8，
∵AC= ，
∴AH=AC-CH=10 8=2，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，
∵∠CAD+∠3=∠2+∠3=∠CAD+∠1=90°，
∴∠CAD=∠2，∠3=∠1，
∴ ，
，
过O2作O2N⊥AC于N，过O1作O1I⊥AC于I，过O2作O2M⊥IO1交IO1的延长线于M，
设Rt△CDG和Rt△ADG的内切圆半径分别为R和r，
则 ，
，
，
， ，
∴ .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）证明△DAE∽△CDA可得 ，据此求出AE即可；
（2）作FH⊥AC于点H，利用角平分线的性质可得FH=DF，证明△FCH≌△FCD(AAS)可得CD=CH=8，由勾股定理求出AC=10，从而得出AH=AC-CH=2， 由 可求出HF，即得DF，根据 即可求解 ；
（3） 利用解直角三角形求出GD，GC的长， 过O2作O2N⊥AC于N，过O1作O1I⊥AC于I，过O2作O2M⊥IO1交IO1的延长线于M，设Rt△CDG和Rt△ADG的内切圆半径分别为R和r， 利用直角三角形内切圆半径公式求出R，r，根据 ， 求出O1M，O2M，再利用勾股定理求出O1O2即可.
20．（2019·石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm.点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x(s），半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2).
（1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为 ：MN的最小值为 .
（2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与△ABC重叠部分的面积S；
（3）当x为何值时，半圆O与△ABC的边所在的直线相切
【答案】（1）24cm；(9 -6）cm
（2）解：当点O与BC的中点重合时，点O移动了12cm，
如解图3，设半圆O与AB交于点H，连接OH，CH.
∵BC是半圆O的直径，∴∠CHB=90°，
∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠HBC=∠HCB=45°，
∴HC=HB， ∴OH⊥BC，OH=OB=OC=6cm，
∴S=S扇形OHC十S△OHB= π×62+ ×62=(18+9π）cm2
（3）解：当半圆O与直线AC相切时，x=0或x=6，
当半圆O与直线AB相切，如解图4，
则半圆O在直线AB左侧且与直线AB相切，过点O作OH⊥AB于点H，由题意得OH=6cm，
∵∠ABC=450，∠OHB=90°，
∴OB=6 cm，
∴OC=BC-OB=(12-6 ）cm，
∴x= =9-3
综上所述，当x=0或x=6或x=9-3 时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：（1）MN的最大值，即等于线段BD的长，即MV最大值为24cm，如解图2所示，过点O作ON⊥AB于点N，垂线段的长减去半径长，即为MN的最小值，
在Rt△OBN中，∵∠B=45°，∠ONB=90°，OB=OC+BC=18cm，∴ON=OB·sinB=18×sin450=9 cm，.MV的最小值=ON-OM=(9 -6)cm.
【分析】（1）MN的最大值，即为线段BD的长度；MN的最小值为ON-OM，根据题目所给的条件进行计算即可。
（2）点O与BC的中点重合时，点O运动了12cm，根据题意将面积转化为两个图形的和的形式，进行计算即可。
（3）半圆与直线相切时，根据题意可知，相切的情况存在多种情况，可以分情况进行讨论，根据题意求出
21．（2023·西安模拟）如图：
（1）如图1，的半径为2，，点为上任意一点，则的最小值为 .
（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点是的内心，求的度数.
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值.
【答案】（1）3
（2）解：，
，
，
点是的内心，
平分，平分，
，，
（3）解：，，，
，
，
如图3，作的外接圆，圆心记作点，连接，，在优弧上取一点，连接，，
点在的外接圆上，
，
，
，
连接，与相交于点此时，是的最小值，
过点作于，，交的延长线于，
，，
四边形是矩形，
，
平分
，
四边形是正方形，
，
，
在中，
，
.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）当点在线段上时，有最小值为，
故答案为：3；
【分析】（1）当点P在线段AB上时，BP取得最小值，最小值为AB-AP，据此计算；
（2）根据垂直的概念可得∠EFB=90°，由内心的概念可得∠PEB=∠FEB，∠ABP=∠PBE=∠FBE，然后根据内角和定理进行计算；
（3）利用SAS证明△ABP≌△EBP，得到∠APB=∠BPE=135°，作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA、OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ、BQ，根据圆内接四边形的性质可得∠AQB=180°-∠BPA=45°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠AQB=90°，求出OA、OB的值，连接OC，与圆相交于点P′，CP′是CP的最小值，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，则四边形OMBN是正方形，ON=BN=BM=AB，CN=7，利用勾股定理求出OC，据此求解.
22．（2023九下·睢宁开学考）已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证：；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.
【答案】（1）证明：如图①中，连接BI.
∵DB＝DI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，
又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠DBC＝∠IAB，
∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，
∴点I是△ABC的内心.
（2）证明：如图②中，
∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，
∴△BDE∽△ACE，
∴
∵DB＝DI，
∴
（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，
由（1）点I是△ABC的内心.
∵IH⊥AC，
∴IH是△ABC的内切圆的半径，
在△AIH中，∠IAH＝ ∠BAC＝60°，
∴IH＝ AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值，
∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝CB＝8，即DI＝8，
作直径DF，
在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，
∴DF＝ ，即直径为 ，
∴AI的最大值为 -8，
∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8-4 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BI，由等腰三角形的性质可得∠DBI＝∠DIB，由外角的性质得∠DIB=∠IAB+∠IBA，根据角的和差关系可得∠DBI＝∠IBC+∠DBC，由角平分线的概念以及圆周角定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，则∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，证明△BDE∽△ACE，然后根据相似三角形的性质以及DB＝DI可得结论；
（3）作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，由（1）点I是△ABC的内心，根据三角函数的概念可得IH＝AI，易得△BDC是等边三角形，则DB=CB＝8，即DI＝8，作直径DF，易得DF的值，据此解答.
23．【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC r+AC r+AB r=ar+br+cr=（a+b+c）r．
∴r= ．
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．
【答案】解：（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=arbrcrdr=（a+b+c+d）r，∴r=；（2）如图3连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，OE=EC=CF=FO=r，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，（3+r）2+（2+r）2=52，r2+5r﹣6=0，解得：r=1．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．
（2）如图3，连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，OE=EC=CF=FO=r，解直角三角形求得结果．
24．（2020·北京模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设， ，为三角形三边， 为面积，则 ①
这是中国古代数学的瑰宝之一．
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 （周长的一半），则 ②
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②① ；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图， 的内切圆半径为，三角形三边长为， ，仍记 ， 为三角形面积，则 ．
【答案】（1）解：由①得： ，
由②得： ，
（2）解：公式①和②等价；推导过程如下：
，
，
①中根号内的式子可化为：
，
（3）解：连接 、 、 ，如图所示：
．
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）公式①和②等价；先求出2p=a+b+c，利用平方差公式将①中根号内的式子进行分解，然后利用完全平方公式将其变形，再次利用平方差公式分解可得（a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)，接着将2p=a+b+c代入并整理可得， 据此即可验证；
（3） 连接 ， ，，如图所示，由S=S△AOB+S△AOC+S△BOC即可求出结论.
1 / 1（培优卷）2.3三角形的内切圆-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021·武汉模拟）如图，在 中， 其周长为20，⊙I是 的内切圆，其半径为 ，则 的外接圆半径为（ ）
A．7 B． C． D．
2．（2023·威海）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
3．（2023·慈溪模拟）如图，在正中，D，E分别在边，上，连接，的平分线过的内心O，交于点F，连接．若要知道的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·洪山模拟）如图，是的内切圆，，过点I作分别交，于N，M，若，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九下·姑苏开学考）如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2023·武汉模拟）如图，，分别为的切线，切点为A，B，点C为弧上一动点，过点C作的切线，分别交，于点D，E，作的内切圆，若，的半径为R，的半径为r，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·龙海模拟）如图，点E为 的内心，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， ，则MN的长为（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
8．（2020·青山模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
9．（2020·无锡模拟）如图， 中， ， ， ，点 在 内，且 平分 ， 平分 ，过点D作直线 ，分别交 、 于点P、Q，若 与 相似，则线段 的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．6
10．（2023·武汉模拟）课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）.”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则n的值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·福州模拟）已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是 .
12．（2023·江油模拟）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当时， .
13．（2023·梅州模拟）如题图所示，在中存在一面积为的内切圆，其圆心为点，连接，若满足，，，则实数的值为 ．
14．（2022·泰州）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
15．（2021·黄冈模拟）如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为 .
16．（2020·兴化模拟）如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023·游仙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，内切于，反比例函数的图象经过点P，交直线于点C，D（C在点D的左侧）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求的面积.
18．（2023·游仙模拟）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D.
（1）求证：；
（2）已知，，求该圆的半径的长度；
（3）在（2）的条件下，若，求的值.
19．（2021·长沙模拟）如图，在矩形ABCD中， 为矩形 对角线， 于点 ， 的延长线交AB于点E，已知 ， .
（1）求AE的长；
（2） 的角平分线CF交AD于点F，求 的值；
（3）若 、 分别是 、 的内心，求 、 两点间的距离.
20．（2019·石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm.点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x(s），半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2).
（1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为 ：MN的最小值为 .
（2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与△ABC重叠部分的面积S；
（3）当x为何值时，半圆O与△ABC的边所在的直线相切
21．（2023·西安模拟）如图：
（1）如图1，的半径为2，，点为上任意一点，则的最小值为 .
（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点是的内心，求的度数.
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值.
22．（2023九下·睢宁开学考）已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证：；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.
23．【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC r+AC r+AB r=ar+br+cr=（a+b+c）r．
∴r= ．
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．
24．（2020·北京模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设， ，为三角形三边， 为面积，则 ①
这是中国古代数学的瑰宝之一．
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 （周长的一半），则 ②
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②① ；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图， 的内切圆半径为，三角形三边长为， ，仍记 ， 为三角形面积，则 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 周长为20，内切圆半径为 ，
∴ ，
∴
∴
中，
∴
∵在 周长为20，
∴
∴
解得
∵ 是 的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵ °
∴
∴
∵OE⊥BC
∴ ，
∴
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，根据三角形内心定义可得 可得bc=40，根据勾股定理可得 ，根据 是 的内心可得BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理可得OB的长度.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
A、由题意得，A不符合题意；
B、当CA⊥CB时，，
当CB为底时，高h小于AC=4，故，B不符合题意；
C、设△ABC的内切圆的半径为r，由题意得，
∴，
∵，
∴，C符合题意；
D、当时，，
∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可判断A；根据三角形的面积分类讨论即可判断B；设△ABC的内切圆的半径为r，根据三角形内切圆的性质结合题意即可得到，进而即可判断C；根据勾股定理的逆定理结合题意即可判断D。
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE、GM、OC，
∵DF为∠ADE的角平分线，
∴OG=OH.
∵DO=DO，OG=OH，
∴△DGO≌△DHO，
∴DG=DH.
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
∵OC=OC，OG=OM，
∴△CGO≌△CMO，
∴CG=CM.
∵∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM=MG.
∴O为△ABC的内心，
∴CG=AG=AC.
∵OE=OE，OH=OM，
∴△EHO≌△EMO，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DH+EH+CE=CD+DG+EM+CE=CG+CM=2CG=AC，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长.
故答案为：A.
【分析】过O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE、GM、OC，根据角平分线的性质可得OG=OH，利用HL证明△DGO≌△DHO，得到DG=DH，由内心的概念可得CO平分∠ACB，根据角平分线的性质可得OG=OM，则OH=OM，同理证明△CGO≌△CMO，得到CG=CM，推出△CGM为等边三角形，则CG=CM=MG，结合内心的概念可得CG=AG=AC，利用HL证明△EHO≌△EMO，得到EH=EM，则△CDE的周长=CD+DE+CE=AC，△ABC的周长=AB+AC+BC=3AC，据此解答.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设切点分别为E，F，G，连接IE、IF、IG，过点M作MP⊥AB于P，过点N作NQ⊥AB于Q，
∵是的内切圆，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
在中，由勾股定理，
，
解得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】设切点分别为E，F，G，连接IE、IF、IG，过M作MP⊥AB于P，过N作NQ⊥AB于Q，根据切线的性质得IE⊥BC，IF⊥AC，IG⊥AB，IE=IF=IG，根据平行线间的距离相等得NQ=IG=MP，推出NQ=IF，由AAS判断出△AQN≌△NFI，得IN=AN=4，同理IM=BM=3，进而判断出△MEI∽△IFN，由相似三角形对应边成比例得得，设ME=3x，IF=4x，则IE=IF=4x，在Rt△MEI中，利用勾股定理建立方程求出x的值，即可得出IF的长.
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长 交 于点 ，连接 ， 交 于点 ，
则： ，
∵I是 内心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，
则： ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵I是 内心，
∴ ，
∴ ，
如图2：过点 作 ，连接 ，设 ，则： ，
则： ，
即： ，
解得： ，
∴ ；
∴
设 的半径为
则：
∴ ，
即： ，
解得： ；
故答案为：A.
【分析】延长BI交⊙O于点D，连接OB、OD、AI，OD交AC于点E，由圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，由内心的概念可得∠ABD=∠DBC，∠CAI=∠BAI，则∠DAC=∠DBA，根据角的和差关系可得∠DAI=∠AID，推出AD=DI，由等腰三角形的性质可得DI=BI，则AD=BI，过点I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，利用AAS证明△AED≌△BGI，得到BG=AE=7，则CG=BC-BG=6，由内心的概念可得CM=CG=6，BN=BG=7，AN=AM=8，AB=AN+BN=15，过点C作CH⊥AB，连接IC，设AH=x，则BH=15-x，由勾股定理可得x的值，然后求出CH，设半径为r，则IG=IM=IN=r，然后根据三角形的面积公式进行计算.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，设的内切圆与、、的交点分别为G、H、F连接、、、、、、
，，
根据题意，过点C作的切线，分别交，于点D，E
，
，分别为的切线
，
是的角平分线
.
故答案为：D.
【分析】设△PDE的内切圆⊙O2与PD、DE、PE的交点分别为G、H、F，连接PO2、PO1、GQ2、FO2、HO2、DO2、EO2，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可得S△PDE=(PE+DE+PD)×r，由切线长定理可得DA=DC，EC=EB，则PD+DE+PE=PA+PB，易得PO1是∠P的角平分线，∠APO1=α，根据三角函数的概念可得PD+DE+PE=PA+PB=，据此计算.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】连接EB、EC，如图，
∵点E为△ABC的内心，
∴EB平分∠ABC，EC平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BM=ME，
同理可得NC=NE，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴ ，即 ，则BM=7- MN①，
同理可得CN=5- MN②，
①+②得MN=12-2MN，
∴MN=4．
故答案为：B．
【分析】连接EB、EC，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME，同理可得NC=NE，接着证明△AMN∽△ABC，所以 ，则BM=7- MN①，同理可得CN=5- MN②，把两式相加得到MN的方程，然后解方程即可．
8．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI。
∵PH⊥OA
∴∠PHO=90°，
∴∠HOP+∠OPH=90°
又∵I为△OPH的内心
∴∠IOP=∠IOA=∠HOP，∠IPO=∠OPH
∴∠IOP+∠IPO=(∠HOP+∠OPH）=45°
∴∠PIO=180°-（∠IPO+∠IOP）=180°-45°=135°
又∵OP=OA，OI=OT，∠IOP=∠IOA
∴△OPI≌△OAI
∴∠AIO=∠PIO=135°
∴点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上
过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO。
∴∠APO=180°-∠AIO=180°-135°=45°
∴∠AO′O=90°
∴O′O=OA=×2=
∴弧OA的长=.
∴内心I所经过的路径长为。
故答案为：B.
【分析】连OI，PI，AI，先利用三角形的内心的定义求出∠PIO=135°，然后易证△OPI≌△OAI，利用相似三角形的对应角相等得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，利用圆内接四边形的性质可得∠APO=45°，进而得∠AOO=90°，则可求出O′O，然后利用弧长公式计算即可。
9．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：若△APQ∽△ABC，
∴∠APQ=∠ABC，
∴PQ∥BC， ，
∴∠PDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠PBD=∠CBD，
∴∠PBD =∠PDB，
∴PB=PD，同理，DQ=CQ，
∵ ， ， ，
∴BC= ，
设AP=x，根据 得 ，
∴AQ= ，
∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6- ，
∴PQ=PD+QD= ，
∴ ，即 ，
解得：x= ，
∴PQ= ；
若△APQ∽△ACB，
则 ，
由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，
可知四边形AMDN为正方形，
∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，
∴AM∥DN，AN∥DM，
∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，
∴△MPD∽△NDQ，
∴ ，
∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴DM=DN= =2，
∴AM=AN=2，
设PM=x，则 ，
∴NQ= ，
∵ ，即 ，
解得：x= 或-2（舍），
∴AP= +2= ，
∴PQ=AP×BC÷AC= ×10÷6= .
综上：PQ的值为 .
故答案为：B.
【分析】分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.
10．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设内切圆的圆心分别为设与的三边相切于点，如图，
则四边形为正方形，
又，
，
，
同样，在中，四边形为正方形，
又，
，
同理，，
，
则，
，
，
经检验，是增根，是原方程的根，
∴n的值是24.
故答案为：A.
【分析】设内切圆的圆心分别为O1、O2、O3……设⊙O1与△OAA1的三边相切于点B、C、D，则四边形ABO1C为正方形，A1D=A1C=1-r1，OD=OB=1-r1，根据OA1=可得r1，同理可得r2、r3、r4，表示出rn，进而可得r1+r2+r3+……+rn，结合其值为10可得n的值，据此解答.
11．【答案】60°或108°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：当是锐角三角形时，如图所示：
∵I是的内心，
∴、平分、，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，
∴；
当是钝角三角形时，如图所示：
∵I是的内心，
∴、平分、，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴；
当是直角三角形时，不符合题意；
故答案为：60°或108°.
【分析】当△ABC是锐角三角形时，由内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠CB，根据内角和定理可得∠I=180°-∠IBC-∠ICB=180°-(180°-∠A)=90°+∠A，由圆周角定理可得∠O=∠A，∠BIC=∠BOC，据此求解；当△ABC是钝角三角形时，由内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠CB，结合四边形内角和为360°可得∠I=360°-(360°-∠A-∠IBA-∠ICA)=90°+A，由圆内接四边形的性质以及圆周角定理可得∠O=2(180°-∠A)，∠BIC=∠BOC，据此求解；当△ABC是直角三角形时，不符合题意.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长到M，使，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵I是内心，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，根据圆周角定理可得∠BCD=∠BAD，根据内心的概念可得∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，则∠BCD=∠IAC，由外角的性质以及角的和差关系可得∠DIC=∠DCI，则DI=DC=DM=5，进而推出∠ICM=90°，由勾股定理求出CM，推出IE为△ACM的中位线，得到IE∥CM，根据平行线的性质可得∠AIE=∠AMC，然后根据三角函数的概念进行计算.
13．【答案】4
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接，过点分别向作垂线，垂足分别为，如图所示：
由三角形内切圆性质，根据切线长定理可知，，，
该内切圆的面积为，
由圆面积公式可知该内切圆的半径为1，即，
，，在中，，
，则，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，解得或（舍去），
，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
14．【答案】2或
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，作，，连接OB，则OD⊥AC，
∵，
∴
∵O为的内心，
∴，
∴
∴，
同理，，
∴DE=CD+BE，
∵O为的内心，
∴，
∴
∴
∴
②如图，作，
由①知，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：2或.
【分析】作DE∥BC，OF∥BC，OG∥AB，连接OB，则OD⊥AC，由平行线的性质得∠OBF=∠BOE，根据内心的概念可得∠OBF=∠OBE，推出BE=OE，同理可得CD=OD，则DE=CD+BE，利用勾股定理可得AB，根据内心的概念可得OF=OD=OG=CD，则BF=BG，AD=AC，AB=BG+AG=6-CD+8-CD=10，据此可得CD的值；作DE⊥AB，则BE=4，AE=6，易证△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得AD的值，由CD=AC-AD可得AD，利用勾股定理可得DE，由DE=BE+CD就可求出CD的值.
15．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接 ， ，过 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴sin∠AOD= ，
∴ ，
，
，
∴ ，
连接 ， ，
∵点 为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为优弧 上动点，
∴ 始终等于 ，
∴点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设 ， ， 三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 移动的路径长 .
故答案为： .
【分析】连接OB，OA，过O 作OD⊥AB ，根据垂径定理可得AD的长，根据余弦的定义、特殊角三角函数值及圆周角定理求出∠P的度数，连接IA、IB ， 根据三角形的内心的性质得 ， ，由三角形内角和定理求出，设A ，B ，I 三点所在的圆的圆心为O' ，连接O'A，O'B ，则∠AO'B=120° ，根据等腰三角形的性质得∠O'AB=∠O'BA=30°，连接O'D，可得O'D⊥AB，利用解直角三角形求出AO'的长，利用弧长公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵CD⊥OB
∴∠ODC=90°
∵点E是△ODC的内心
∴∠OEC=90°+∠ODC=135°，∠COE=∠BOE
又∵OE=OE，OB=OC
∴△COE≌△BOE
∴∠OEB=∠OEC=135°
∴点E的运动轨迹为：以OB为弦，并且弦OB所对圆周角为135°的一段劣弧。
设经过点O、B、E三点的圆M如图所示，则∠N=180°-∠OEB=45°
∴∠M=2∠N=90°
∴OM=BM=OB=2
∴
∴内心E所经过的路径长为.
故答案为：.
【分析】先利用内心的性质求出∠OEC的度数和∠COE=∠BOE，易证△COE≌△BOE，利用全等三角形的性质得∠OEB=∠OEC=135°，从而确定出点E的运动轨迹，则劣弧OB的长即为所求。
17．【答案】（1）解：如图，设与三边的切点分别为点F、点G、点H，连接、、，则、、，
在中，
当时，；
当时，
∴点A的坐标为，点B的坐标为
，
又
∴点P的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点P
，
，
∴反比例函数的解析式是；
（2）解：∵一次函数和反比例函数的图象相交于点C、点D
∴
∴消去y得
∴
∴方程两边同乘可得：
∵判别式
经检验：是原分式方程的解
∴当时，
当时，
∴点C的坐标，点D的坐标为
轴，轴
∴点E的坐标为
.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1） 设圆P与△ABO三边的切点分别为点F、点G、点H，连接OP、BP、AP，则PF⊥OA、PG⊥OB、PH⊥AB，PF=PG=PH，分别令一次函数解析式中x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，然后算出AB的长，进而根据S△ABO=S△AOP+S△BOP+S△BPA建立方程，可求出PF的长，从而得出点P的坐标，进而利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）解联立两函数解析式组成的方程组可求出点C、D的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质可求出点E的坐标，利用两点间的距离公式算出CE、ED的长，最后根据三角形的面积计算方法可求出△CDE的面积.
18．【答案】（1）证明：连接，
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点作的外接圆的直径，则，
.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该圆的半径的长度为5；
（3）解：设的直径交于点，
.
∵平分，
∴点D是的中点，
∴，，
∵，则，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BE，由内心定义得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠DAC，由同弧所对的圆周角相等得∠CAD=∠CBD，推出∠BAD=∠DBC，进而根据角的和差及三角形外角相等可得∠DBE=∠DEB，从而根据等角对等边即可得出DE=DB；
（2） 过点D作△ABC的外接圆圆O的直径DG，则∠GBD=90°， 由圆周角定理、角的角平分线定义及等角的同名三角函数值相等得 ， 据此可得GB的长，然后根据勾股定理算出DG；
（3） 设圆O的直径DG交BC于点H， 根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等得 点D是的中点， 由垂径定理得DH⊥BC，BH=HC，由等面积法求出BH，进而根据勾股定理算出DH，最后根据余弦函数的定义即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠DAE=∠ADC=90°，
∴△DAE∽△CDA，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）解：作FH⊥AC于点H，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠FCD，
∵∠CHF=∠CDF=90°，CF=CF，
∴△FCH≌△FCD(AAS)，
∴CD=CH=8，
∵AC= ，
∴AH=AC-CH=10 8=2，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，
∵∠CAD+∠3=∠2+∠3=∠CAD+∠1=90°，
∴∠CAD=∠2，∠3=∠1，
∴ ，
，
过O2作O2N⊥AC于N，过O1作O1I⊥AC于I，过O2作O2M⊥IO1交IO1的延长线于M，
设Rt△CDG和Rt△ADG的内切圆半径分别为R和r，
则 ，
，
，
， ，
∴ .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）证明△DAE∽△CDA可得 ，据此求出AE即可；
（2）作FH⊥AC于点H，利用角平分线的性质可得FH=DF，证明△FCH≌△FCD(AAS)可得CD=CH=8，由勾股定理求出AC=10，从而得出AH=AC-CH=2， 由 可求出HF，即得DF，根据 即可求解 ；
（3） 利用解直角三角形求出GD，GC的长， 过O2作O2N⊥AC于N，过O1作O1I⊥AC于I，过O2作O2M⊥IO1交IO1的延长线于M，设Rt△CDG和Rt△ADG的内切圆半径分别为R和r， 利用直角三角形内切圆半径公式求出R，r，根据 ， 求出O1M，O2M，再利用勾股定理求出O1O2即可.
20．【答案】（1）24cm；(9 -6）cm
（2）解：当点O与BC的中点重合时，点O移动了12cm，
如解图3，设半圆O与AB交于点H，连接OH，CH.
∵BC是半圆O的直径，∴∠CHB=90°，
∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠HBC=∠HCB=45°，
∴HC=HB， ∴OH⊥BC，OH=OB=OC=6cm，
∴S=S扇形OHC十S△OHB= π×62+ ×62=(18+9π）cm2
（3）解：当半圆O与直线AC相切时，x=0或x=6，
当半圆O与直线AB相切，如解图4，
则半圆O在直线AB左侧且与直线AB相切，过点O作OH⊥AB于点H，由题意得OH=6cm，
∵∠ABC=450，∠OHB=90°，
∴OB=6 cm，
∴OC=BC-OB=(12-6 ）cm，
∴x= =9-3
综上所述，当x=0或x=6或x=9-3 时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：（1）MN的最大值，即等于线段BD的长，即MV最大值为24cm，如解图2所示，过点O作ON⊥AB于点N，垂线段的长减去半径长，即为MN的最小值，
在Rt△OBN中，∵∠B=45°，∠ONB=90°，OB=OC+BC=18cm，∴ON=OB·sinB=18×sin450=9 cm，.MV的最小值=ON-OM=(9 -6)cm.
【分析】（1）MN的最大值，即为线段BD的长度；MN的最小值为ON-OM，根据题目所给的条件进行计算即可。
（2）点O与BC的中点重合时，点O运动了12cm，根据题意将面积转化为两个图形的和的形式，进行计算即可。
（3）半圆与直线相切时，根据题意可知，相切的情况存在多种情况，可以分情况进行讨论，根据题意求出
21．【答案】（1）3
（2）解：，
，
，
点是的内心，
平分，平分，
，，
（3）解：，，，
，
，
如图3，作的外接圆，圆心记作点，连接，，在优弧上取一点，连接，，
点在的外接圆上，
，
，
，
连接，与相交于点此时，是的最小值，
过点作于，，交的延长线于，
，，
四边形是矩形，
，
平分
，
四边形是正方形，
，
，
在中，
，
.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）当点在线段上时，有最小值为，
故答案为：3；
【分析】（1）当点P在线段AB上时，BP取得最小值，最小值为AB-AP，据此计算；
（2）根据垂直的概念可得∠EFB=90°，由内心的概念可得∠PEB=∠FEB，∠ABP=∠PBE=∠FBE，然后根据内角和定理进行计算；
（3）利用SAS证明△ABP≌△EBP，得到∠APB=∠BPE=135°，作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA、OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ、BQ，根据圆内接四边形的性质可得∠AQB=180°-∠BPA=45°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠AQB=90°，求出OA、OB的值，连接OC，与圆相交于点P′，CP′是CP的最小值，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，则四边形OMBN是正方形，ON=BN=BM=AB，CN=7，利用勾股定理求出OC，据此求解.
22．【答案】（1）证明：如图①中，连接BI.
∵DB＝DI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，
又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠DBC＝∠IAB，
∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，
∴点I是△ABC的内心.
（2）证明：如图②中，
∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，
∴△BDE∽△ACE，
∴
∵DB＝DI，
∴
（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，
由（1）点I是△ABC的内心.
∵IH⊥AC，
∴IH是△ABC的内切圆的半径，
在△AIH中，∠IAH＝ ∠BAC＝60°，
∴IH＝ AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值，
∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝CB＝8，即DI＝8，
作直径DF，
在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，
∴DF＝ ，即直径为 ，
∴AI的最大值为 -8，
∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8-4 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BI，由等腰三角形的性质可得∠DBI＝∠DIB，由外角的性质得∠DIB=∠IAB+∠IBA，根据角的和差关系可得∠DBI＝∠IBC+∠DBC，由角平分线的概念以及圆周角定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，则∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，证明△BDE∽△ACE，然后根据相似三角形的性质以及DB＝DI可得结论；
（3）作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，由（1）点I是△ABC的内心，根据三角函数的概念可得IH＝AI，易得△BDC是等边三角形，则DB=CB＝8，即DI＝8，作直径DF，易得DF的值，据此解答.
23．【答案】解：（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=arbrcrdr=（a+b+c+d）r，∴r=；（2）如图3连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，OE=EC=CF=FO=r，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，（3+r）2+（2+r）2=52，r2+5r﹣6=0，解得：r=1．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．
（2）如图3，连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，OE=EC=CF=FO=r，解直角三角形求得结果．
24．【答案】（1）解：由①得： ，
由②得： ，
（2）解：公式①和②等价；推导过程如下：
，
，
①中根号内的式子可化为：
，
（3）解：连接 、 、 ，如图所示：
．
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）公式①和②等价；先求出2p=a+b+c，利用平方差公式将①中根号内的式子进行分解，然后利用完全平方公式将其变形，再次利用平方差公式分解可得（a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)，接着将2p=a+b+c代入并整理可得， 据此即可验证；
（3） 连接 ， ，，如图所示，由S=S△AOB+S△AOC+S△BOC即可求出结论.
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