（A卷）第二章 直线与圆的位置关系-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·密云期末）已知的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上情况都有可能
2．（2022九上·阳信期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
3．（2021九上·槐荫期末）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．（2020九上·大丰月考）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)， 于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2017九下·莒县开学考）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC，BC. 若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022九上·江门期末）如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
7．（2022九上·哈尔滨月考）如图，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·莒南期中）如图，PA，PB切⊙O 于点A，B，PA＝20，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD 的周长是（ ）
A．20 B．36 C．40 D．44
9．（2022九上·临清期中）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（ ）
A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2
10．（2022九上·宿豫开学考）已知是的内切圆，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·密云期末）如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是 ．
12．（2023九上·衢州期末）如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于 .
13．（2022九上·长沙月考）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连接，则 ．
14．（2022九上·济宁期中）如图，，分别与相切于A，两点，为上异于A，的一点，连接，，若，则的大小是
15．（2022九上·中山期末）如图，在中，，点是的内心，则 度．
16．（2021九上·陵城期末）如图，大圆和小圆是等边三角形的外接圆和内切圆，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在小圆区域的概率为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·天河期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．
（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点．
（2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切．
18．（2021九上·廉江期末）ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D．
求证：AC是O的切线．
19．（2020九上·郑州期末）已知如图：为测量一个圆的半径，采用了下面的方法：将圆平放在一个平面上，用一个含有30°角的三角板和一把无刻度的直尺，按图示的方式测量（此时，⊙O与三角板和直尺分别相切，切点分别为点C、点B），若量得AB＝5cm，试求圆的半径以及 的弧长.
20．（2020九上·民勤月考）如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.
21．（2023九下·龙江期中）如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于点，于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22．（2023九下·宝应月考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长.
23．（2021九上·古县期末）如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果，，求内切圆的半径．
24．（2023九下·江夏月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF = 2，BC = ，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵圆半径，圆心到直线的距离．
∴，
∴直线l与的位置关系是相离．
故答案为：A．
【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可。
2．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，AH==3，
∵AB=5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可。
3．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O切线，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=35°，
∴∠AOB=90°-∠B=55°．
故答案为：B．
【分析】根据切线的性质可得∠OAB=90°，则∠AOB=90°-∠B=55°。
4．【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OC，∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠B+∠DFB=90°，
∵∠EFC=∠BFD，
∴∠B+∠EFC=90°，
∵∠ECF=∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF=90°，
∴CE是⊙O的切线.
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，推出∠OCB+∠ECF=90°，于是得到结论.
5．【答案】A
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠BAC=2∠BCO，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵AP为圆O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠P=30°，
∵AC=3，
∴PA= .
故答案为：A
【分析】先证明△OAC为等边三角形，可得∠AOC=60°，再根据切线的性质可求得∠OAP=90°，然后根据正切的定义求得PA的值.
6．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA=PB，
∵DE是O的切线，
∴DA=DC，EB=EC，
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE
=PD+DC+EC+PE
=PD+AD+EB+PE
=PA+PB
=2PA
=12，
∴PA=6.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得PD+DE+PE=2PA=12，最后求出PA=6即可。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵、分别与相切于A，B两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】连接OA，OB，根据切线长定理可得，再利用四边形的内角和求出∠AOB的度数，最后利用圆周角的性质求出即可。
8．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=20，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA=CE，DB=DE，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20+20=40．
则△PCD的周长是40．
故答案为：C．
【分析】根据切线长定理可得CA=CE，DB=DE，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△PCD的周长是40。
9．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OE，
∵AB、AC切圆O于E、D，
∴，， 且OA平分∠BAC，
又∵为等边三角形，
，
，
：：2．
故答案为：D．
【分析】连接OD、OE，根据等边三角形的性质可得，求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得：：2。
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；角平分线的定义
【解析】【解答】解：是的内切圆，
和是的角平分线，
，，
．
故答案为：C.
【分析】由题意可得OB、OC为△ABC的角平分线，则∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°，然后根据内角和定理进行计算.
11．【答案】20°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接
∵
∴
∵过点A作的切线与的延长线交于点P
∴
∴
故答案为：20°
【分析】连接OA，根据圆周角的性质可得，再根据，利用三角形的内角和求出∠APO的度数即可。
12．【答案】3
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵是的切线，
∴，
，
在中，
，
即，
∴，
解得，
故答案为：3.
【分析】连接OA，根据切线的性质得∠PAO=90°，在Rt△PAO中，根据勾股定理建立方程可求出OA的长.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】∵是的切线，为切点
∴
∴
∵的半径为1
∴
∴
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出PT的长即可。
14．【答案】61°或119°
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接、，如图所示：
∵，分别与相切于A，B两点，
∴，，
∴，
∴，
当点C在优弧上时，，
当点C在劣弧上时，．
故答案为：或．
【分析】连接、，先求出，再分两种情况并利用圆周角和圆内接四边形的性质求解即可。
15．【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解；∵ ，
∴ ，
∵点 是 的内心，
∴ 分别是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
故答案为；117．
【分析】根据角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和及等量代换求出∠BOC的度数即可。
16．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设小圆半径OD为r，小圆与△ABC的切点为D，连接OA，OD，则OD⊥AB．
∵△ABC为等边三角形，小圆是等边三角形的内切圆，
∴OA平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAB＝×60°＝30°
∴OA＝2OD，
∴大圆半径为2r，
则针尖落在小圆区域的概率P=．
故答案为．
【分析】先求出OA平分∠BAC，再求出OA＝2OD，最后根据题意求概率即可。
17．【答案】（1）解：如下图，⊙O即为所作：
（2）证明：连接OC
∵△ABC中，∠A=∠B= 30°
∴∠ACB= 120°
由(1) 可知，OC= OB
∴∠OCB=∠B = 30°
∴∠ACO= 90°
∴AC是⊙O的相切．
【知识点】切线的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点，即为所求；
（2）连接OC，由(1) 可知，OC= OB，根据切线的判定定理即可得出答案。
18．【答案】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是O的半径，
∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是O的切线。
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，再证明OE=OD，可得OE是O的半径，再结合AC⊥OE，即可得到AC是O的切线。
19．【答案】解：如图，连接OB，OA，OC，
则∠BAC＝180°﹣60°＝120°∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵AB＝AC
∴△OBA≌△OCA
∴∠BAO＝ ∠BAC＝60°，
OB＝AB tan60°＝5 .
由以上可得∠BOA＝∠COA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴ ＝2×5 π× ＝ π，
所以圆的半径以及 的弧长分别为：5 ， π.
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】连接OB，OA，OC，证明△OBA≌△OCA，从而得出∠BAO=60°，然后利用三角函数算出半径，利用弧长公式算出弧长.
20．【答案】解：如图，作 ，设 ，则 ，
由勾股定理可知： ，
则 ，解得 ，则 ，
故 ，
由三角形的内切圆性质，可得：
.
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】 作AD⊥BC，设BD=x，则CD=8-x， 根据勾股定理可得 从而得AD的长度，根据=且三角形的面积为 可建立方程，求解即可得三角形内切圆的半径.
21．【答案】（1）证明：如图，连接
由题意知，，
在和值
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵是半径
∴是的切线．
（2）解：∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴即
解得
∵，
∵
∴
在中，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，由垂直的概念可得∠AEC=∠AFC=90°，利用HL证明△AEC≌△AFC，得到∠EAC=∠FAC，由等腰三角形的性质可得∠ACO=∠FAC，结合∠EAC+∠ECA=90°可得OC⊥AE，据此证明；
（2）由同角的余角相等可得∠ACO=∠BCD，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ACO，则∠CAD=∠BCD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BCD∽△CAD，利用相似三角形的性质求出CD的值，由OD=OB+BD可得OD，利用三角函数的概念可得DE，然后由勾股定理就可求出AE.
22．【答案】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线
（2）解：连接AD，
∵∠ADB=90°，AB=AC，
∴BD=CD，
∵⊙O的半径为5，BC=16，
∴AC=AB=10，CD=8，
∴AD= ，
∵S△ADC= AC DE= AD CD，
∴DE= .
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1） DE是⊙O的切线，理由如下： 连接OD，由等边对等角得∠B=∠ODB=∠C，由同位角相等，两直线平行，得OD∥AC，进而根据平行线的性质可得OD⊥DE，结合切线的判定定理即可得出结论；
（2） 连接AD， 由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一得CD=8，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD，进而根据等面积法可求出DE.
23．【答案】（1）证明：∵BC，AC分别切于点D，E，
∴，，
又∵，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵，
∴矩形ODCE是正方形．
（2）解：设的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
∵与各边相切于点D，E，F，
∴，，
又∵，
∴，解得
∴内切圆的半径是1．
【知识点】正方形的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）先求出 ，， 再求出 四边形ODCE是矩形， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ，， 最后列方程求解即可。
24．【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R–DF=R–2，OB=R，
，
在Rt△OBD中，
∵ OD2+BD2=OB2，
∴(R–2)2+(2)2=R2，
解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，∠BOC=120°，
∵OB=4，∠BOE=60°，
∴在Rt△OBE中，，
∴S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC
=2××4×-
=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，根据垂径定理可得CD=BD，即OD垂中平分BC，则EC=EB，利用SSS证明△OCE≌△OBE，得到∠OBE=∠OCE=90°，则OB⊥BE，据此证明；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R–2，OB=R，BD=BC=，在Rt△OBD中，由勾股定理可得R的值，然后求出BE的值，接下来根据S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC进行计算.
1 / 1（A卷）第二章 直线与圆的位置关系-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·密云期末）已知的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上情况都有可能
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵圆半径，圆心到直线的距离．
∴，
∴直线l与的位置关系是相离．
故答案为：A．
【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可。
2．（2022九上·阳信期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，AH==3，
∵AB=5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可。
3．（2021九上·槐荫期末）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O切线，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=35°，
∴∠AOB=90°-∠B=55°．
故答案为：B．
【分析】根据切线的性质可得∠OAB=90°，则∠AOB=90°-∠B=55°。
4．（2020九上·大丰月考）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)， 于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OC，∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠B+∠DFB=90°，
∵∠EFC=∠BFD，
∴∠B+∠EFC=90°，
∵∠ECF=∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF=90°，
∴CE是⊙O的切线.
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，推出∠OCB+∠ECF=90°，于是得到结论.
5．（2017九下·莒县开学考）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC，BC. 若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠BAC=2∠BCO，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵AP为圆O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠P=30°，
∵AC=3，
∴PA= .
故答案为：A
【分析】先证明△OAC为等边三角形，可得∠AOC=60°，再根据切线的性质可求得∠OAP=90°，然后根据正切的定义求得PA的值.
6．（2022九上·江门期末）如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA=PB，
∵DE是O的切线，
∴DA=DC，EB=EC，
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE
=PD+DC+EC+PE
=PD+AD+EB+PE
=PA+PB
=2PA
=12，
∴PA=6.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得PD+DE+PE=2PA=12，最后求出PA=6即可。
7．（2022九上·哈尔滨月考）如图，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵、分别与相切于A，B两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】连接OA，OB，根据切线长定理可得，再利用四边形的内角和求出∠AOB的度数，最后利用圆周角的性质求出即可。
8．（2022九上·莒南期中）如图，PA，PB切⊙O 于点A，B，PA＝20，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD 的周长是（ ）
A．20 B．36 C．40 D．44
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=20，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA=CE，DB=DE，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20+20=40．
则△PCD的周长是40．
故答案为：C．
【分析】根据切线长定理可得CA=CE，DB=DE，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△PCD的周长是40。
9．（2022九上·临清期中）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（ ）
A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OE，
∵AB、AC切圆O于E、D，
∴，， 且OA平分∠BAC，
又∵为等边三角形，
，
，
：：2．
故答案为：D．
【分析】连接OD、OE，根据等边三角形的性质可得，求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得：：2。
10．（2022九上·宿豫开学考）已知是的内切圆，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；角平分线的定义
【解析】【解答】解：是的内切圆，
和是的角平分线，
，，
．
故答案为：C.
【分析】由题意可得OB、OC为△ABC的角平分线，则∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°，然后根据内角和定理进行计算.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·密云期末）如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是 ．
【答案】20°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接
∵
∴
∵过点A作的切线与的延长线交于点P
∴
∴
故答案为：20°
【分析】连接OA，根据圆周角的性质可得，再根据，利用三角形的内角和求出∠APO的度数即可。
12．（2023九上·衢州期末）如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵是的切线，
∴，
，
在中，
，
即，
∴，
解得，
故答案为：3.
【分析】连接OA，根据切线的性质得∠PAO=90°，在Rt△PAO中，根据勾股定理建立方程可求出OA的长.
13．（2022九上·长沙月考）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连接，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】∵是的切线，为切点
∴
∴
∵的半径为1
∴
∴
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出PT的长即可。
14．（2022九上·济宁期中）如图，，分别与相切于A，两点，为上异于A，的一点，连接，，若，则的大小是
【答案】61°或119°
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接、，如图所示：
∵，分别与相切于A，B两点，
∴，，
∴，
∴，
当点C在优弧上时，，
当点C在劣弧上时，．
故答案为：或．
【分析】连接、，先求出，再分两种情况并利用圆周角和圆内接四边形的性质求解即可。
15．（2022九上·中山期末）如图，在中，，点是的内心，则 度．
【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解；∵ ，
∴ ，
∵点 是 的内心，
∴ 分别是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
故答案为；117．
【分析】根据角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和及等量代换求出∠BOC的度数即可。
16．（2021九上·陵城期末）如图，大圆和小圆是等边三角形的外接圆和内切圆，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在小圆区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设小圆半径OD为r，小圆与△ABC的切点为D，连接OA，OD，则OD⊥AB．
∵△ABC为等边三角形，小圆是等边三角形的内切圆，
∴OA平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAB＝×60°＝30°
∴OA＝2OD，
∴大圆半径为2r，
则针尖落在小圆区域的概率P=．
故答案为．
【分析】先求出OA平分∠BAC，再求出OA＝2OD，最后根据题意求概率即可。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·天河期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．
（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点．
（2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切．
【答案】（1）解：如下图，⊙O即为所作：
（2）证明：连接OC
∵△ABC中，∠A=∠B= 30°
∴∠ACB= 120°
由(1) 可知，OC= OB
∴∠OCB=∠B = 30°
∴∠ACO= 90°
∴AC是⊙O的相切．
【知识点】切线的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点，即为所求；
（2）连接OC，由(1) 可知，OC= OB，根据切线的判定定理即可得出答案。
18．（2021九上·廉江期末）ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D．
求证：AC是O的切线．
【答案】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是O的半径，
∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是O的切线。
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，再证明OE=OD，可得OE是O的半径，再结合AC⊥OE，即可得到AC是O的切线。
19．（2020九上·郑州期末）已知如图：为测量一个圆的半径，采用了下面的方法：将圆平放在一个平面上，用一个含有30°角的三角板和一把无刻度的直尺，按图示的方式测量（此时，⊙O与三角板和直尺分别相切，切点分别为点C、点B），若量得AB＝5cm，试求圆的半径以及 的弧长.
【答案】解：如图，连接OB，OA，OC，
则∠BAC＝180°﹣60°＝120°∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵AB＝AC
∴△OBA≌△OCA
∴∠BAO＝ ∠BAC＝60°，
OB＝AB tan60°＝5 .
由以上可得∠BOA＝∠COA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴ ＝2×5 π× ＝ π，
所以圆的半径以及 的弧长分别为：5 ， π.
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】连接OB，OA，OC，证明△OBA≌△OCA，从而得出∠BAO=60°，然后利用三角函数算出半径，利用弧长公式算出弧长.
20．（2020九上·民勤月考）如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.
【答案】解：如图，作 ，设 ，则 ，
由勾股定理可知： ，
则 ，解得 ，则 ，
故 ，
由三角形的内切圆性质，可得：
.
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】 作AD⊥BC，设BD=x，则CD=8-x， 根据勾股定理可得 从而得AD的长度，根据=且三角形的面积为 可建立方程，求解即可得三角形内切圆的半径.
21．（2023九下·龙江期中）如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于点，于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接
由题意知，，
在和值
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵是半径
∴是的切线．
（2）解：∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴即
解得
∵，
∵
∴
在中，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，由垂直的概念可得∠AEC=∠AFC=90°，利用HL证明△AEC≌△AFC，得到∠EAC=∠FAC，由等腰三角形的性质可得∠ACO=∠FAC，结合∠EAC+∠ECA=90°可得OC⊥AE，据此证明；
（2）由同角的余角相等可得∠ACO=∠BCD，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ACO，则∠CAD=∠BCD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BCD∽△CAD，利用相似三角形的性质求出CD的值，由OD=OB+BD可得OD，利用三角函数的概念可得DE，然后由勾股定理就可求出AE.
22．（2023九下·宝应月考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长.
【答案】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线
（2）解：连接AD，
∵∠ADB=90°，AB=AC，
∴BD=CD，
∵⊙O的半径为5，BC=16，
∴AC=AB=10，CD=8，
∴AD= ，
∵S△ADC= AC DE= AD CD，
∴DE= .
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1） DE是⊙O的切线，理由如下： 连接OD，由等边对等角得∠B=∠ODB=∠C，由同位角相等，两直线平行，得OD∥AC，进而根据平行线的性质可得OD⊥DE，结合切线的判定定理即可得出结论；
（2） 连接AD， 由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一得CD=8，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD，进而根据等面积法可求出DE.
23．（2021九上·古县期末）如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果，，求内切圆的半径．
【答案】（1）证明：∵BC，AC分别切于点D，E，
∴，，
又∵，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵，
∴矩形ODCE是正方形．
（2）解：设的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
∵与各边相切于点D，E，F，
∴，，
又∵，
∴，解得
∴内切圆的半径是1．
【知识点】正方形的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）先求出 ，， 再求出 四边形ODCE是矩形， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ，， 最后列方程求解即可。
24．（2023九下·江夏月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF = 2，BC = ，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R–DF=R–2，OB=R，
，
在Rt△OBD中，
∵ OD2+BD2=OB2，
∴(R–2)2+(2)2=R2，
解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，∠BOC=120°，
∵OB=4，∠BOE=60°，
∴在Rt△OBE中，，
∴S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC
=2××4×-
=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，根据垂径定理可得CD=BD，即OD垂中平分BC，则EC=EB，利用SSS证明△OCE≌△OBE，得到∠OBE=∠OCE=90°，则OB⊥BE，据此证明；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R–2，OB=R，BD=BC=，在Rt△OBD中，由勾股定理可得R的值，然后求出BE的值，接下来根据S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC进行计算.
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