（培优卷）3.1投影-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·南海月考）如图，哪一个是太阳光下形成的影子？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：太阳光下形成的影子方向是相同的，A，D不符合题意，
观察下面图象可知，选项B是平行投影，选项C是中心投影，
故答案为：B．
【分析】根据平行投影和中心投影的定义判断即可。
2．（2021九上·通川期末）如图，身高1.5米的小明（AB）在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分是落在地面的CE，一部分是落在墙EF上的EH.若量得米，米，则立柱CD的高为（ ）.
A．2.5m B．2.7m C．3m D．3.6m
【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，过D点作BG平行线交FE于点H，过E点作BG平行线交CD于点M
∵BG//ME//DH
∴∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°
∴，MD=HE
∴
∴
∴CD=CM+DM=1+1.5=2.5
故答案为：A.
【分析】过D作BG平行线交FE于H，过E作BG平行线交CD于M，由平行线的性质得∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°，证△BAC∽△MCE，由相似三角形性质求CM，再由CD=CM+DM进行计算.
3．（2022九上·诸暨期末）如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（ ）
A．8米 B．10米 C．18米 D．20米
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，AB为旗杆，AC为旗杆在地上的影长12米，CD为旗杆落在墙上的影长2米，延长AC，BD交于点E
由题意知，AE是旗杆在地上的影长
∴
∵1米长的直立的竹竿的影长为1.5米
∴
∴
解得：
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意，画出图形，由题意知，AE是旗杆在地上的影长， 根据平行投影易得 ，由相似三角形的性质可得 ，即 ，解得CE，求出AE，代入比例式即可求出AB的长度.
4．（2022·上思模拟）如图，小颖身高为 ，在阳光下影长 ，当她走到距离墙角（点 ） 的 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，
由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC x），
则240：120＝160：（160 x），
解得：x＝80.
答：投射在墙上的影子DE长度为80cm.
故答案为：B.
【分析】如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为x，由平行投影的性质得△GFE∽△HAB，于是可得比例式AB：FE＝AH：（GC x），解之可求解.
5．（2023·萧县模拟）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，由题意得，，
，
光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，
点A到的垂线段的长为，点A到的垂线段的长为，
，
，
故答案为：C．
【分析】先证明，可得，再求出即可。
6．（2022九上·济南期中）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，
∵FB∥PA，GD∥PA，
∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．
∴．
∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，
∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，
∴．
∴AE=5DE，
即8+DE=5DE，
解得：DE=2．
即此时影长为2米．
故答案为：B．
【分析】先证明△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA，可得，将数据代入求出AC和AE的长，再结合AE=5DE，可得8+DE=5DE，求出DE=2即可。
7．（2022·新都模拟）三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出了其中一根木杆在灯光下的影子.下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A、根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；
B、由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不符合题意；
C、根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；
D、利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据中心投影的意义以及影子的位置进行判断即可.
8．（2021九上·内江期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．12米 B．10.2米 C．10米 D．9.6米
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB于E点，
则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，
根据题意得
，即
，
解得AE=8（米），
所以AB=AE+BE=8+2=10（米）.
故答案为：C.
【分析】作CE⊥AB于E点，则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，根据物体的高度与影长成比例可得AE的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.
9．（2021九上·长清期中）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．
故答案为：C．
【分析】根据中心投影的性质得出小红在路灯下走的过程中影长随路程之间的变化：先变短后变长，在路灯下时影子为一个点，进而得出结论。
10．（2021·光明模拟）某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树桩DC的影子的一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼AB的高度．如图是根据测量活动场景抽象出的平面图形．活动中测得的数据如下：
①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；
②tan∠CDE＝ ；
③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；
④钟楼AB的影长BF＝（20 +8）m；
⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．
（点C，E，B，F在一条直线上）．
请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼AB的高度，则AB＝（ ）
A．15 m B．（15 +6）m
C．（12 +6）m D．15m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【解答】解：选择：①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；②tan∠CDE＝ ；③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．理由如下：
过D作DG⊥AB于G，如图所示：
则DG＝BC，BG＝CD，
∵DE＝10m，tan∠CDE＝ ＝ ，
∴CE＝8（m），BG＝CD＝6（m），
∴DG＝BC＝CE+BE＝8+7＝15（m），
在Rt△ADG中，∠ADG＝60°，tan∠ADG＝ ＝ ，
∴AG＝ DG＝15 ，
∴AB＝AG+BG＝（15 +6）m，
故答案为：B．
【分析】过D作DG⊥AB于G，则DG＝BC，BG＝CD，先求出CE＝8（m），BG＝CD＝6（m），则DG＝BC＝CE+BE＝15（m），再求出AG＝ DG＝15 ，即可求解．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·云梦模拟）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为 .（，，结果精确到）
【答案】4.4m
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；平行投影
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，，
在中，，，
，
（），
（），
，
，
，
即：，
解得：（m），
故答案为：.
【分析】由题意得AD∥CP，EF∥DP，根据平行线的性质得∠DPC=∠ADB=∠FEC=30°，由∠ADB的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出AB的长，进而由线段的和差算出BC的长，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ADB∽△CPB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CP的长.
12．（2023·东莞模拟）在阳光下，高为6m的旗杆在地面上的影长为4m，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为，则这座建筑物的高度为 m．
【答案】
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设建筑物高为，
根据题意可得：，
解得：
故答案为：
【分析】设建筑物高为，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
13．（2023·江西模拟）《孙子算经》有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸．问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹笨不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五．同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸．请你算一算竹竿的长度是 尺．（1丈等于10尺，1尺等于10寸）
【答案】45
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长：一丈五尺尺，标杆长：一尺五寸尺，影长五寸尺，
∴
解得（尺）．
答：竹竿的长度是45尺．
故答案为：45
【分析】根据题意先求出，再解方程求解即可。
14．（2022九上·长清期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时各叶片影子在点M右侧成线段．测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为．则点O、M之间的距离等于 m；
【答案】10
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：连接交于点H，过点C作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：．
设，，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴，
故答案为：10．
【分析】连接交于点H，过点C作，设，，则，先证明，可得，即：，再求出，最后利用线段的和差求出OM的长即可。
15．（2023·锦江模拟）如图，高为6m的电线杆的顶上有一盏路灯，电线杆底部为A，身高1.5m的男孩站在与点A相距6m的点B处，若男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC＝ m；BC扫过的面积为 m2．
【答案】2；
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【解答】解：如图，
∵AE∥BD，
∴△BCD∽△ACE，
∴，
即，
解得BC=2，
∴AC=AB+BC=8，
∴ 男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC扫过的面积为：.
故答案为：2，.
【分析】由题意易得AE∥BD，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BCD∽△ACE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长，进而根据男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC扫过的面积为是以AC与AB为半径的圆的面积的差，计算即可.
16．（2022·承德模拟）一块直角三角板如图所示放置，，，，测得边在平面的中心投影长为，则长为 ，的面积是 ．
【答案】；192
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】∵，，
∴AB=
又∵是△ABC的投影
∴∽△ABC
∴即
∴=
∵与△ABC的相似比是2
∴的面积=12×8×22=192
故答案为：；192．
【分析】根据中心投影的性质可得∽△ABC，即，=；根据相似三角形的性质可得的面积 。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·宁夏期末）在同一水平线l上的两根竹竿AB、CD，它们在同一灯光下的影子分别为BE、DF，如图所示：（竹竿都垂直于水平线l）
（1）根据灯光下的影子确定光源S的位置；
（2）画出影子为GH的竹竿MG（用线段表示）；
（3）若在点H观测到光源S的仰角是∠α，且 cosα= ，GH=1.2m，请求出竹竿MG的长度.
【答案】（1）如图，点S即为所求；
（2）如图，MG即为所求；
（3）∵cosα= = ，GH=1.2m，
∴MH=1.5m，
在Rt△MHG中，∠MGH=90°，
则MG2=MH2﹣GH2=0.81，
则MG=0.9m，
答：竹杆MG的长度为0.9m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；中心投影
【解析】【分析】（1）根据中心投影的性质，分别连接EA、FC并延长，交点即为点S；
（2）连接SH，过点G作GM⊥L交SH于一点即为M，则GM即为所求；
（3） 由cosα= = 可求出MH， 在Rt△MHG中，利用勾股定理求出MG即可.
18．（2023·深圳模拟）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形G，可以用其投影矩形来检测．图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
（1）如图3，点，，则投影比k的值为 ；
（2）如图4，若点，点且投影比，则点P的坐标可能是 （填写序号）；
；；；．
（3）如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点D，若的投影比，求点D的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）解：点D在函数（其中）的图象上，
设点D坐标为，
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
，
，
解得：，
；
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
点D坐标为，点M坐标为，
，，
，
，
，
解得：，
点D的坐标为，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；平行投影
【解析】【解答】解：（1）(1)过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为D、C，
如图3：，
则矩形ODBC为△OAB的投影矩形，
∵B(3，5)，
∴BD=5，BC=3，
∴△OAB的投影比k的值为，
故答案为：，
（2）如图：
，
①点P的坐标为(1，-5)时，△MNP投影比k==2；
②点P的坐标为(0，2)时，△MNP投影比k=；
③点P的坐标为(-3，)时，△MNP投影比k=；
④点P的坐标为(4，-1)时，△MNP投影比k=；
∴点P的坐标可能是①（1，-5）；③；
故答案为：①③.
【分析】（1）根据题意先求出BD=5，BC=3，再求解即可；
（2）先作图，再根据投影比的定义求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，计算求解即可。
19．（2023·鹿城模拟）根据信息，完成活动任务.
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系.
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
（1）【任务1】如图2，作于点，设，，求y关于x的函数表达式.
（2）活动二 设计该地房子的数量与层数.
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示.现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米.
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上.
（3）【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格.
①所有房子层数总和超过.
②正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上.
方案设计
每幢楼层数 n的值 层数总和
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为，
当时，，，
，
当时，，，
，
代入解析式得：，
解得：，
关于x的函数表达式为，经检验符合题意.
（2）解：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，的长为：，
的长为：，
，
，
，
，
，，
，，
而，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上.
（3）解：由任务2可得： ，
，
∴，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，
∴，
解得：，
∵每层楼高3米，
∴，
∴每幢房子最多7层，
∴，
∴，
∴，层数为，
，层数为，总和为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）任务一：分AB=10cm与AB=20cm两种情况，用∠BCD的正弦函数的定义分别求出BH的长，从而利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）任务二： 将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作BM⊥CG于M当1号楼层为24时，AB的长为：24×3=72m，BH的长为1.2×72=86.4m， 由∠BCD的正弦函数定义可求出BC的长，进而根据勾股定理算出CH的长，从而可求出∠BCD的余弦函数值，根据平行间的距离相等得BM=CH=64.8m，EG=BC=108m，再比较即可得出答案；
（3）任务三：由任务二可得BH=y=x=AB，利用∠BCD的正弦函数可得BC=x，用∠BCD的余弦函数可得CH=x，由正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，列出不等式求解得出x的取值范围，并结合题意可得每幢房子最多层数，进而即可算出楼栋数量及层数总和.
20．（2021·苏州模拟）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥 ，点O是正方形 的中心 垂直于地面，是正四棱锥 的高，泰勒斯借助太阳光.测量金字塔影子 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量.甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥 表示.
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形 的边长为 ，金字塔甲的影子是 ，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为 m.
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形 边长为 ，金字塔乙的影子是 ， ，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度.
【答案】（1）100
（2）解：如图，根据图1作出俯视图，连接 ， ，过点 作 交 的延长线于 ，
，
，
，四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
.
乙金字塔的高度为 .
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【解答】解：（1）如图2中，连接 交 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
垂直平分 ，
，
，
，
设金子塔的高度为 ，物体的长度与影子的长度成比例，
，
.
故答案为：100；
【分析】（1）连接OP交BC于T，由正方形的性质可得OC=OB，AC⊥BD，BC=CD=80，由线段垂直平分线的性质可得OT、TC，然后根据勾股定理求出PT，进而求出OP，设金子塔的高度为h，然后根据物体的长度与影子的长度成比例求解即可；
（2）根据图1作出俯视图，连接OP、OC，过点O作OR⊥PC交PC的延长线于R，求出∠OCP、∠OCR的度数，根据正方形的性质结合勾股定理可得OC，进而求出CR、OR、PR、OP，然后根据物体的长度与影子的长度成比例求解即可.
21．（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
22．（2021九上·舞钢期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米.
（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子.
（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度.
【答案】（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；
（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，
由△GAE∽△GOM得 ，
即： ①，
由△BDH∽△OMH得
即： ②
结合①②得，
x=6，y=2.
经检验，x=6、y=2是方程的解，
答：灯的高度为6米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影子；
（2）作OM⊥QH ，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度.
23．（2020九上·无锡月考）阅读以下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）.
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米.
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）.身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m.
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米.
（2）求出乙树的高度（画出示意图）.
（3）请选择丙树的高度为（ ）
A．6.5米 B．5.75米 C．6.05米 D．7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看.
【答案】（1）
（2）如图，
设AB为乙树的高度， , ，
四边形AECD是平行四边形，
，
由题意得： ，即 ，
解得 ，
则乙树的高度 （米）；
（3）C
（4）如图，
设AB为丁树的高度， ， ，
由题意得： ， ，
解得 ， ，
四边形AECF是平行四边形，
，
则丁树的高度 （米）.
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：（1）设甲树的高度为
米，
则
，
解得
（米），
故答案为：
；
（ 3 ）如图，设AB为丙树的高度，
，
，
，
由题意得：
，
，
解得
，
，
，
四边形AGCD是平行四边形，
，
则丙树的高度
（米），
故答案为：C；
【分析】（1）根据同一时刻物体的影长与实际高度的比值不变即可得；
（2）如图（见解析），先画出示意图，再根据平行四边形的性质得出AE的长，然后根据线段的和差即可得；
（3）如图（见解析），先画出示意图，再分别求出AG、BG的长，然后根据线段的和差即可得；
（4）如图（见解析），先画出示意图，再分别求出AE、BE的长，然后根据线段的和差即可得.
24．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
1 / 1（培优卷）3.1投影-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·南海月考）如图，哪一个是太阳光下形成的影子？（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·通川期末）如图，身高1.5米的小明（AB）在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分是落在地面的CE，一部分是落在墙EF上的EH.若量得米，米，则立柱CD的高为（ ）.
A．2.5m B．2.7m C．3m D．3.6m
3．（2022九上·诸暨期末）如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（ ）
A．8米 B．10米 C．18米 D．20米
4．（2022·上思模拟）如图，小颖身高为 ，在阳光下影长 ，当她走到距离墙角（点 ） 的 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·萧县模拟）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·济南期中）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
7．（2022·新都模拟）三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出了其中一根木杆在灯光下的影子.下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九上·内江期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．12米 B．10.2米 C．10米 D．9.6米
9．（2021九上·长清期中）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·光明模拟）某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树桩DC的影子的一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼AB的高度．如图是根据测量活动场景抽象出的平面图形．活动中测得的数据如下：
①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；
②tan∠CDE＝ ；
③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；
④钟楼AB的影长BF＝（20 +8）m；
⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．
（点C，E，B，F在一条直线上）．
请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼AB的高度，则AB＝（ ）
A．15 m B．（15 +6）m
C．（12 +6）m D．15m
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·云梦模拟）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为 .（，，结果精确到）
12．（2023·东莞模拟）在阳光下，高为6m的旗杆在地面上的影长为4m，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为，则这座建筑物的高度为 m．
13．（2023·江西模拟）《孙子算经》有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸．问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹笨不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五．同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸．请你算一算竹竿的长度是 尺．（1丈等于10尺，1尺等于10寸）
14．（2022九上·长清期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时各叶片影子在点M右侧成线段．测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为．则点O、M之间的距离等于 m；
15．（2023·锦江模拟）如图，高为6m的电线杆的顶上有一盏路灯，电线杆底部为A，身高1.5m的男孩站在与点A相距6m的点B处，若男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC＝ m；BC扫过的面积为 m2．
16．（2022·承德模拟）一块直角三角板如图所示放置，，，，测得边在平面的中心投影长为，则长为 ，的面积是 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·宁夏期末）在同一水平线l上的两根竹竿AB、CD，它们在同一灯光下的影子分别为BE、DF，如图所示：（竹竿都垂直于水平线l）
（1）根据灯光下的影子确定光源S的位置；
（2）画出影子为GH的竹竿MG（用线段表示）；
（3）若在点H观测到光源S的仰角是∠α，且 cosα= ，GH=1.2m，请求出竹竿MG的长度.
18．（2023·深圳模拟）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形G，可以用其投影矩形来检测．图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
（1）如图3，点，，则投影比k的值为 ；
（2）如图4，若点，点且投影比，则点P的坐标可能是 （填写序号）；
；；；．
（3）如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点D，若的投影比，求点D的坐标．
19．（2023·鹿城模拟）根据信息，完成活动任务.
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系.
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
（1）【任务1】如图2，作于点，设，，求y关于x的函数表达式.
（2）活动二 设计该地房子的数量与层数.
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示.现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米.
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上.
（3）【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格.
①所有房子层数总和超过.
②正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上.
方案设计
每幢楼层数 n的值 层数总和
20．（2021·苏州模拟）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥 ，点O是正方形 的中心 垂直于地面，是正四棱锥 的高，泰勒斯借助太阳光.测量金字塔影子 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量.甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥 表示.
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形 的边长为 ，金字塔甲的影子是 ，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为 m.
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形 边长为 ，金字塔乙的影子是 ， ，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度.
21．（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
22．（2021九上·舞钢期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米.
（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子.
（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度.
23．（2020九上·无锡月考）阅读以下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）.
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米.
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）.身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m.
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米.
（2）求出乙树的高度（画出示意图）.
（3）请选择丙树的高度为（ ）
A．6.5米 B．5.75米 C．6.05米 D．7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看.
24．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：太阳光下形成的影子方向是相同的，A，D不符合题意，
观察下面图象可知，选项B是平行投影，选项C是中心投影，
故答案为：B．
【分析】根据平行投影和中心投影的定义判断即可。
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，过D点作BG平行线交FE于点H，过E点作BG平行线交CD于点M
∵BG//ME//DH
∴∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°
∴，MD=HE
∴
∴
∴CD=CM+DM=1+1.5=2.5
故答案为：A.
【分析】过D作BG平行线交FE于H，过E作BG平行线交CD于M，由平行线的性质得∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°，证△BAC∽△MCE，由相似三角形性质求CM，再由CD=CM+DM进行计算.
3．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，AB为旗杆，AC为旗杆在地上的影长12米，CD为旗杆落在墙上的影长2米，延长AC，BD交于点E
由题意知，AE是旗杆在地上的影长
∴
∵1米长的直立的竹竿的影长为1.5米
∴
∴
解得：
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意，画出图形，由题意知，AE是旗杆在地上的影长， 根据平行投影易得 ，由相似三角形的性质可得 ，即 ，解得CE，求出AE，代入比例式即可求出AB的长度.
4．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，
由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC x），
则240：120＝160：（160 x），
解得：x＝80.
答：投射在墙上的影子DE长度为80cm.
故答案为：B.
【分析】如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为x，由平行投影的性质得△GFE∽△HAB，于是可得比例式AB：FE＝AH：（GC x），解之可求解.
5．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，由题意得，，
，
光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，
点A到的垂线段的长为，点A到的垂线段的长为，
，
，
故答案为：C．
【分析】先证明，可得，再求出即可。
6．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，
∵FB∥PA，GD∥PA，
∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．
∴．
∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，
∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，
∴．
∴AE=5DE，
即8+DE=5DE，
解得：DE=2．
即此时影长为2米．
故答案为：B．
【分析】先证明△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA，可得，将数据代入求出AC和AE的长，再结合AE=5DE，可得8+DE=5DE，求出DE=2即可。
7．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A、根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；
B、由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不符合题意；
C、根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；
D、利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据中心投影的意义以及影子的位置进行判断即可.
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB于E点，
则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，
根据题意得
，即
，
解得AE=8（米），
所以AB=AE+BE=8+2=10（米）.
故答案为：C.
【分析】作CE⊥AB于E点，则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，根据物体的高度与影长成比例可得AE的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.
9．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．
故答案为：C．
【分析】根据中心投影的性质得出小红在路灯下走的过程中影长随路程之间的变化：先变短后变长，在路灯下时影子为一个点，进而得出结论。
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【解答】解：选择：①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；②tan∠CDE＝ ；③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．理由如下：
过D作DG⊥AB于G，如图所示：
则DG＝BC，BG＝CD，
∵DE＝10m，tan∠CDE＝ ＝ ，
∴CE＝8（m），BG＝CD＝6（m），
∴DG＝BC＝CE+BE＝8+7＝15（m），
在Rt△ADG中，∠ADG＝60°，tan∠ADG＝ ＝ ，
∴AG＝ DG＝15 ，
∴AB＝AG+BG＝（15 +6）m，
故答案为：B．
【分析】过D作DG⊥AB于G，则DG＝BC，BG＝CD，先求出CE＝8（m），BG＝CD＝6（m），则DG＝BC＝CE+BE＝15（m），再求出AG＝ DG＝15 ，即可求解．
11．【答案】4.4m
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；平行投影
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，，
在中，，，
，
（），
（），
，
，
，
即：，
解得：（m），
故答案为：.
【分析】由题意得AD∥CP，EF∥DP，根据平行线的性质得∠DPC=∠ADB=∠FEC=30°，由∠ADB的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出AB的长，进而由线段的和差算出BC的长，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ADB∽△CPB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CP的长.
12．【答案】
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设建筑物高为，
根据题意可得：，
解得：
故答案为：
【分析】设建筑物高为，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
13．【答案】45
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长：一丈五尺尺，标杆长：一尺五寸尺，影长五寸尺，
∴
解得（尺）．
答：竹竿的长度是45尺．
故答案为：45
【分析】根据题意先求出，再解方程求解即可。
14．【答案】10
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：连接交于点H，过点C作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：．
设，，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴，
故答案为：10．
【分析】连接交于点H，过点C作，设，，则，先证明，可得，即：，再求出，最后利用线段的和差求出OM的长即可。
15．【答案】2；
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【解答】解：如图，
∵AE∥BD，
∴△BCD∽△ACE，
∴，
即，
解得BC=2，
∴AC=AB+BC=8，
∴ 男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC扫过的面积为：.
故答案为：2，.
【分析】由题意易得AE∥BD，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BCD∽△ACE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长，进而根据男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC扫过的面积为是以AC与AB为半径的圆的面积的差，计算即可.
16．【答案】；192
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】∵，，
∴AB=
又∵是△ABC的投影
∴∽△ABC
∴即
∴=
∵与△ABC的相似比是2
∴的面积=12×8×22=192
故答案为：；192．
【分析】根据中心投影的性质可得∽△ABC，即，=；根据相似三角形的性质可得的面积 。
17．【答案】（1）如图，点S即为所求；
（2）如图，MG即为所求；
（3）∵cosα= = ，GH=1.2m，
∴MH=1.5m，
在Rt△MHG中，∠MGH=90°，
则MG2=MH2﹣GH2=0.81，
则MG=0.9m，
答：竹杆MG的长度为0.9m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；中心投影
【解析】【分析】（1）根据中心投影的性质，分别连接EA、FC并延长，交点即为点S；
（2）连接SH，过点G作GM⊥L交SH于一点即为M，则GM即为所求；
（3） 由cosα= = 可求出MH， 在Rt△MHG中，利用勾股定理求出MG即可.
18．【答案】（1）
（2）
（3）解：点D在函数（其中）的图象上，
设点D坐标为，
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
，
，
解得：，
；
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
点D坐标为，点M坐标为，
，，
，
，
，
解得：，
点D的坐标为，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；平行投影
【解析】【解答】解：（1）(1)过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为D、C，
如图3：，
则矩形ODBC为△OAB的投影矩形，
∵B(3，5)，
∴BD=5，BC=3，
∴△OAB的投影比k的值为，
故答案为：，
（2）如图：
，
①点P的坐标为(1，-5)时，△MNP投影比k==2；
②点P的坐标为(0，2)时，△MNP投影比k=；
③点P的坐标为(-3，)时，△MNP投影比k=；
④点P的坐标为(4，-1)时，△MNP投影比k=；
∴点P的坐标可能是①（1，-5）；③；
故答案为：①③.
【分析】（1）根据题意先求出BD=5，BC=3，再求解即可；
（2）先作图，再根据投影比的定义求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，计算求解即可。
19．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为，
当时，，，
，
当时，，，
，
代入解析式得：，
解得：，
关于x的函数表达式为，经检验符合题意.
（2）解：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，的长为：，
的长为：，
，
，
，
，
，，
，，
而，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上.
（3）解：由任务2可得： ，
，
∴，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，
∴，
解得：，
∵每层楼高3米，
∴，
∴每幢房子最多7层，
∴，
∴，
∴，层数为，
，层数为，总和为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）任务一：分AB=10cm与AB=20cm两种情况，用∠BCD的正弦函数的定义分别求出BH的长，从而利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）任务二： 将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作BM⊥CG于M当1号楼层为24时，AB的长为：24×3=72m，BH的长为1.2×72=86.4m， 由∠BCD的正弦函数定义可求出BC的长，进而根据勾股定理算出CH的长，从而可求出∠BCD的余弦函数值，根据平行间的距离相等得BM=CH=64.8m，EG=BC=108m，再比较即可得出答案；
（3）任务三：由任务二可得BH=y=x=AB，利用∠BCD的正弦函数可得BC=x，用∠BCD的余弦函数可得CH=x，由正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，列出不等式求解得出x的取值范围，并结合题意可得每幢房子最多层数，进而即可算出楼栋数量及层数总和.
20．【答案】（1）100
（2）解：如图，根据图1作出俯视图，连接 ， ，过点 作 交 的延长线于 ，
，
，
，四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
.
乙金字塔的高度为 .
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【解答】解：（1）如图2中，连接 交 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
垂直平分 ，
，
，
，
设金子塔的高度为 ，物体的长度与影子的长度成比例，
，
.
故答案为：100；
【分析】（1）连接OP交BC于T，由正方形的性质可得OC=OB，AC⊥BD，BC=CD=80，由线段垂直平分线的性质可得OT、TC，然后根据勾股定理求出PT，进而求出OP，设金子塔的高度为h，然后根据物体的长度与影子的长度成比例求解即可；
（2）根据图1作出俯视图，连接OP、OC，过点O作OR⊥PC交PC的延长线于R，求出∠OCP、∠OCR的度数，根据正方形的性质结合勾股定理可得OC，进而求出CR、OR、PR、OP，然后根据物体的长度与影子的长度成比例求解即可.
21．【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
22．【答案】（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；
（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，
由△GAE∽△GOM得 ，
即： ①，
由△BDH∽△OMH得
即： ②
结合①②得，
x=6，y=2.
经检验，x=6、y=2是方程的解，
答：灯的高度为6米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影子；
（2）作OM⊥QH ，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度.
23．【答案】（1）
（2）如图，
设AB为乙树的高度， , ，
四边形AECD是平行四边形，
，
由题意得： ，即 ，
解得 ，
则乙树的高度 （米）；
（3）C
（4）如图，
设AB为丁树的高度， ， ，
由题意得： ， ，
解得 ， ，
四边形AECF是平行四边形，
，
则丁树的高度 （米）.
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：（1）设甲树的高度为
米，
则
，
解得
（米），
故答案为：
；
（ 3 ）如图，设AB为丙树的高度，
，
，
，
由题意得：
，
，
解得
，
，
，
四边形AGCD是平行四边形，
，
则丙树的高度
（米），
故答案为：C；
【分析】（1）根据同一时刻物体的影长与实际高度的比值不变即可得；
（2）如图（见解析），先画出示意图，再根据平行四边形的性质得出AE的长，然后根据线段的和差即可得；
（3）如图（见解析），先画出示意图，再分别求出AG、BG的长，然后根据线段的和差即可得；
（4）如图（见解析），先画出示意图，再分别求出AE、BE的长，然后根据线段的和差即可得.
24．【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
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