（提升卷）3.1投影-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·灞桥开学考）太阳发出的光照在物体上是 ，路灯发出的光照在物体上是 （ ）
A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
【答案】A
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影.
故答案为：A.
【分析】中心投影：由一点发射投影线所产生的投影称中心投影，平行投影：当投影线互相平行时，所产生的投影称平行投影，据此判断即可.
2．（2022·东洲模拟）一个矩形木框在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是等边三角形，
故答案为：B．
【分析】根据图形的投影及生活常识判断即可。
3．（2021·南京）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；中心投影
【解析】【解答】A.因为正方形纸板重直于地面，故不能产生正方形的投影，不符合题意
B.因为正方形的对角线互相垂直，中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，不符合题意
D.上方投影比下方要长，故D选项符合题意
故答案为：D.
【分析】观察图形，根据正方形纸板放置的位置，可知不能产生正方形的投影，可对A作出判断；中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，可对B，C作出判断；中心投影物体的高和影长成比例，正方形对边相等，可对D作出判断.
4．（2021九上·渠县期末）如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其 天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ）
A．①②③④ B．④①③② C．④②③① D．④③②①
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方，然后依次为西北 北 东北 东，即④①③②
故答案为：B.
【分析】本体考查平行投影的特点与规律，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向为：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长，据此判断.
5．（2021九上·禅城期末）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（ ）
A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得，
根据平行线分线段成比例的性质可得，
即，
解得：，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质列出比例式，再将数据代入计算求出，最后利用计算即可。
6．（2021·临海模拟）如图，为测量楼高 ，在适当位置竖立一根高 的标杆 ，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长 ，则楼高 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴AB＝16（米）.
故答案为：B.
【分析】利用同一时刻，同一地点，同一平面上，不同物体的高度与影长成比例建立方程，可求出AB的长.
7．（2023·南山模拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：
，
解得：，
即蜡烛火焰的高度为，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求出即可作答。
8．（2021九上·泰山期末）如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB//A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即，
∴A′B′=6，
故答案为：D．
【分析】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，由P、A、B的坐标，可得PD=1，PE=2，AB=3，根据平行线可证△PAB∽△PA′B′，利用相似三角形的性质求解即可.
9．（2021九上·织金期末）如图，小明居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上 两点的正中间，晚上，小明由点 处径直走到点 处，他在灯光照射下的影长 与行走路程 之间的变化关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：小明从M点走到灯下方时影长由长变短，
从灯下方走到N点时影长由短变长，
C选项满足题意，
故答案为：C.
【分析】观察图形，根据已知条件可知小明从M点走到灯下方时影长由长变短，从灯下方走到N点时影长由短变长，由此可得到符合题意的选项.
10．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册5.1 投影课时作业（1）同步练习）如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其“锥体”面图的“锥角”是60°.已知舞台ABCD是边长为6 m的正方形，要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂高度是（ ）
A． m B．3 m C．3 m D．4 m
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠APC=60°，
∴∠PAC=∠PCA=60°，
∵ABCD是边长为6m的正方形，
∴AC=6 ，OC=3
∴PC＝6 ，
∴PO=3 ，
故答案为：C
【分析】连接AC，根据圆锥体的性质及∠APC=60°，可以判断出三角形PAC是一个等边三角形，根据正方形的性质利用勾股定理算出AC的长，进而得出OC的长，根据圆锥的高，母线，底面圆的半径刚好围成一个直角三角形，利用勾股定理即可算出PO的长。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·东洲模拟）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为0.6米，落在地面上的影长为3.6米，则树高为 米．
【答案】6.1
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意，
得，
解得，
∴树高为（米），
故答案为：6.1．
【分析】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
12．（2022·南海模拟）如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 m．
【答案】
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m
∴ ，
代入得：
∴
故答案为：．
【分析】根据中心投影的性质可得，再将数据代入可得，然后求出即可。
13．（2021九上·宁波期中）如图，电线杆上的路灯距离地面 ，身高 的小明（ ）站在距离电线杆的底部（点O） 的A处，则小明的影子 长为 m.
【答案】5
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，由题意得，AB∥OC
∴
∴ ，
，
解得 .
故答案为：5.
【分析】由AB∥OC可得，据此求出AM.
14．（2019九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），则点A′的坐标为 ．
【答案】（5，6）
【知识点】点的坐标；中心投影
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），
∴位似比为1：2，故点A′的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【分析】本道题考察的是位似图形的位似比。因为三角形A'B'C'是由三角形ABC以点O为位似中心放大的图，且位似比是1：2，根据点A的坐标进行扩大处理就可以了。
15．（2022九上·门头沟期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸．
【答案】450
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，
∴，
解得．
答：竹竿长为450寸，
故答案为：450．
【分析】设竹竿的长度为x寸，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
16．（2023·仙居模拟）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度.如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为62.8 m. 先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子AB长为23 m（直线AB过底面圆心），则小山包的高为 m（π取3.14）.
【答案】33
【知识点】圆锥的计算；相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】 解：连接EF，过D作DC⊥AB于C，
由题意可知，△ACD∽△EGF，
∴
∵圆锥底面周长为62.8m.
∴C=2π BC=62.8m，解得BC=10m，
∵AB=23m，
∴DC=AC=AB+BC=23+10=33（m），
∴小山包的高为33m.
故答案为：33．
【分析】由平行投影可得△ACD∽△EGF，从而可得DC=AC，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·禅城期末）如图
（1）如图①，在8×6的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．点C坐标为（2，4），以O为位似中心，在网格图中作△A′B'C′，使△A′B'C′与△ABC位似，且位似比为1∶2，（保留作图痕迹） ，则点C'的坐标为 ，周长比C△A'B'C′∶C△ABC＝ ．
（2）如图②，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为6cm．请你在图中②画出此时DE在阳光下的投影EF．根据题中信息，求得立柱DE的长为 ▲ m．
【答案】（1）；（1，2）；1：2
（2）解：连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影：
图②
；9
【知识点】位似变换；平行投影
【解析】【解答】解：（1）由图知：A(－2，0)，B（4，0），
∵△A′B'C′与△ABC位似，且位似比为1∶2，O为位似中心，
∴A′（－1，0），B'（2，0），C′（1，2），C△A'B'C′∶C△ABC＝1：2，
顺次连接A′、B'、C′，如图①△A'B'C'即为所求作：
故答案为：（1，2），1：2；
（2）连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影：
图②
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，又∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=6m，BC=4m，EF=6m，
∴，
解得：DE=9，
故答案为：9．
【分析】（1）利用位似图形的性质得出A′、B'、C′位置进而得出答案；
（2）连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影；利用三角形△ABC∽△DEF，得出比例尺求出DE的长。
18．（2023·武功模拟）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度．
【答案】解：作EF⊥AB于点F，如图，
∵ ， ，EF⊥AB，
∴∠ABD=∠CDB=∠EFB=90°，
∴四边形BDEF是矩形，
∴ 米， EF=BD=21 米，
根据同一时刻的物高与其影长成比例可得： ，即 ，
解得： 米，
∴ （米）；
答：该古树的高度AB=15米．
【知识点】平行投影
【解析】【分析】作EF⊥AB于点F，由垂直定义得∠ABD=∠CDB=∠EFB=90°，进而根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形BDEF是矩形，由矩形的对边相等得BF=DE=1米，BD=EF=21米，进而根据同一时刻的物高与其影长成比例建立方程，可求出AF的长，进而根据AB=AF+FB计算即可.
19．（2022九上·沭阳期末）如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小明在点D处，自己的影长，沿方向到达点F处再测自己的影长，如果小明的身高为，求路灯杆的高度.
【答案】解：∵，
∴可以得到，，
∴，，
又∵，
∴
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
解得.
答：路灯杆的高度为米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】易得CD∥EF∥AB，根据平行三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△CDF，△ABG∽△EFG，根据相似三角形对应边成比例及等量代换可得BF∶DF=BG∶FG，据此建立方程，求解可得BD的长，进而即可求出答案.
20．（2022九上·长清期中）如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．
（1）求路灯B的高度；
（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴米，米，
∴，解得：．
∴路灯高6.4米．
（2）解：如图所示：
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可；
（2）根据要求作出图象即可。
21．（2023九上·府谷期末）如图，某墙壁左侧有一木杆和一棵松树.某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在墙壁上，已知，.
（1）请画出在同一时刻下松树AB在阳光下的投影；
（2）若木杆，木杆DP的投影，同一时刻松树AB在阳光下的投影，求松树的高度.
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，即，
得.
答：松树的高度为8米.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连接DM即为木杆DP的影子，过A作AC∥DM，则AC即为松树AB的影子；
（2）根据平行线的性质可得∠ACB=∠DMP，由垂直的概念可得∠ABC=∠DPM=90°，证明△ABC∽△DPM，然后利用相似三角形的性质进行计算.
22．（2022·莲湖模拟）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑的高度.如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端处竖立一根高2米的标杆，此时测得标杆的影子为2米；然后，在处竖立一根高2.5米的标杆，小婷从处沿后退0.8米到处恰好看到点、在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离米，米，已知，，，，点、、、、在同一水平直线上，请根据以上数据求出秦始皇雕塑的高度.
【答案】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∴.
过点作于点，交于点，，，
，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴秦始皇雕塑的高度为14米.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】易得∠ADB=∠DAB=45°，可得AB=BD，从而得出， 过点M作于点O，交GH于点P，证明，可得，据此可求出AB的长.
23．（2023·崇明模拟）如图，一根灯杆上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为F，它的影子的长度为4米．
（1）当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离；
（2）当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？
【答案】（1）解：如图，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴
由题意可知，，
∴，
解得，
即标尺与路灯间的距离为8米；
（2）解：如图，连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，
∵影子长为4米，
∴米，
设米，
∴米，
∵米，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵米，，
∴米，，
∴米，
∴米，米，米，，
∴，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
经检验是方程的解且正确，
∴米，
∴米，
∴此时标尺与路灯间的距离为14米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；中心投影
【解析】【分析】（1）连接AE并延长，交BC于点G，根据题意可得 ，可证，根据相似三角形的性质即可求解；
（2） 连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，根据题意带入方程即可求出BF。
24．（2022·上蔡模拟）为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示.
课题 测量校园旗杆的高度
测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等
测量小组 A组 B组 C组
测量方案示意图
说明 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD，FG表示测角仪的高度，点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，CG表示两次测角仪摆放位置的距离，测角仪可测得旗杆顶端A的仰角 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD表示测角仪的高度，DE表示测角仪到旗杆的距离，点F表示平面镜的中心，点E，F，D共线，眼睛在C处，移动平面镜，看向中心F，恰好看到旗杆顶端A，此时用测角仪测得平面镜的俯角，A，B，C，D，E，F六点在同一竖直平面内 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，EC为旗杆与底座某一时刻下的影长，A，B，C，E四点在同一竖直平面内，标杆NM垂直于水平地面，PM为标杆NM在某一时刻的影长
测量数据 为，为，米，米，米 米，米，米，为 米，米，米，米
（1）上述A，B，C三个小组中，用哪个小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，为什么？
（2）请结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度AB.（结果保留两位小数.参考数据：，）
【答案】（1）解：C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，理由如下：
上午10：00测量的旗杆与影长的比值与上午10：30测量的标杆与影长的比值不相同，因为随着时间的推移，太阳的位置上升，使得太阳光与地面竖直物体之间的夹角增大，从而使得竖直物体的高度与其影长之间的比值变大，两个时间点测量的比值不同，从而根据比值计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，如图所示，
是上午10：00旗杆高度与影长的比值，
是上午10：30旗杆高度与影长的比值，
∵在同一时刻，上述两个比值因为太阳处于同一高度，是相同的，
但是在不同时刻，随着太阳高度上升，上述比值是逐渐增大的，
∴，
∴，
∴通过上述比值求出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，比真实高度要小；
（2）解：如图所示，连接FD与线段AE交于点M，
根据题意得：=，=，米，米，米，
又∵FG⊥CG，DC⊥CG，
∴四边形FGCD是矩形，
又∵AE⊥CG，且线段AE与FD交于点M，
∴FG = ME = 1.5 m，
∴FM= GE，DM = CE，
设FM = xm，则DM= CE = CG-GE = CG-FM=（14.79-x）m，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即旗杆的高度AB为9.45m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据上午10：00测量的旗杆与影长的比值与上午10：30测量的标杆与影长的比值不相同，那么根据比值计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，要比真实高度要小，即可得出C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度；
（2）连接DF交AB于M，易得四边形FGCD为矩形，根据矩形性质及AE⊥CG，求得FG = ME = 1.5m，FM= GE，DM = CE，设FM =xm，则DM= CE = CG-GE = CG-FM=（14.79-x）m， 再利用α、β的正切值得DM·1≈FM，即14.79-x=x，解得x值从而求得AM得长度，最后再由AB=AM+ME-BE，代入数据计算即可求得AB的值.
1 / 1（提升卷）3.1投影-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·灞桥开学考）太阳发出的光照在物体上是 ，路灯发出的光照在物体上是 （ ）
A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
2．（2022·东洲模拟）一个矩形木框在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·南京）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·渠县期末）如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其 天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ）
A．①②③④ B．④①③② C．④②③① D．④③②①
5．（2021九上·禅城期末）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（ ）
A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5
6．（2021·临海模拟）如图，为测量楼高 ，在适当位置竖立一根高 的标杆 ，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长 ，则楼高 为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·南山模拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B．6 C． D．8
8．（2021九上·泰山期末）如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2021九上·织金期末）如图，小明居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上 两点的正中间，晚上，小明由点 处径直走到点 处，他在灯光照射下的影长 与行走路程 之间的变化关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册5.1 投影课时作业（1）同步练习）如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其“锥体”面图的“锥角”是60°.已知舞台ABCD是边长为6 m的正方形，要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂高度是（ ）
A． m B．3 m C．3 m D．4 m
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·东洲模拟）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为0.6米，落在地面上的影长为3.6米，则树高为 米．
12．（2022·南海模拟）如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 m．
13．（2021九上·宁波期中）如图，电线杆上的路灯距离地面 ，身高 的小明（ ）站在距离电线杆的底部（点O） 的A处，则小明的影子 长为 m.
14．（2019九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），则点A′的坐标为 ．
15．（2022九上·门头沟期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸．
16．（2023·仙居模拟）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度.如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为62.8 m. 先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子AB长为23 m（直线AB过底面圆心），则小山包的高为 m（π取3.14）.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·禅城期末）如图
（1）如图①，在8×6的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．点C坐标为（2，4），以O为位似中心，在网格图中作△A′B'C′，使△A′B'C′与△ABC位似，且位似比为1∶2，（保留作图痕迹） ，则点C'的坐标为 ，周长比C△A'B'C′∶C△ABC＝ ．
（2）如图②，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为6cm．请你在图中②画出此时DE在阳光下的投影EF．根据题中信息，求得立柱DE的长为 ▲ m．
18．（2023·武功模拟）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度．
19．（2022九上·沭阳期末）如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小明在点D处，自己的影长，沿方向到达点F处再测自己的影长，如果小明的身高为，求路灯杆的高度.
20．（2022九上·长清期中）如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．
（1）求路灯B的高度；
（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）
21．（2023九上·府谷期末）如图，某墙壁左侧有一木杆和一棵松树.某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在墙壁上，已知，.
（1）请画出在同一时刻下松树AB在阳光下的投影；
（2）若木杆，木杆DP的投影，同一时刻松树AB在阳光下的投影，求松树的高度.
22．（2022·莲湖模拟）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑的高度.如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端处竖立一根高2米的标杆，此时测得标杆的影子为2米；然后，在处竖立一根高2.5米的标杆，小婷从处沿后退0.8米到处恰好看到点、在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离米，米，已知，，，，点、、、、在同一水平直线上，请根据以上数据求出秦始皇雕塑的高度.
23．（2023·崇明模拟）如图，一根灯杆上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为F，它的影子的长度为4米．
（1）当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离；
（2）当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？
24．（2022·上蔡模拟）为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示.
课题 测量校园旗杆的高度
测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等
测量小组 A组 B组 C组
测量方案示意图
说明 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD，FG表示测角仪的高度，点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，CG表示两次测角仪摆放位置的距离，测角仪可测得旗杆顶端A的仰角 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD表示测角仪的高度，DE表示测角仪到旗杆的距离，点F表示平面镜的中心，点E，F，D共线，眼睛在C处，移动平面镜，看向中心F，恰好看到旗杆顶端A，此时用测角仪测得平面镜的俯角，A，B，C，D，E，F六点在同一竖直平面内 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，EC为旗杆与底座某一时刻下的影长，A，B，C，E四点在同一竖直平面内，标杆NM垂直于水平地面，PM为标杆NM在某一时刻的影长
测量数据 为，为，米，米，米 米，米，米，为 米，米，米，米
（1）上述A，B，C三个小组中，用哪个小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，为什么？
（2）请结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度AB.（结果保留两位小数.参考数据：，）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影.
故答案为：A.
【分析】中心投影：由一点发射投影线所产生的投影称中心投影，平行投影：当投影线互相平行时，所产生的投影称平行投影，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是等边三角形，
故答案为：B．
【分析】根据图形的投影及生活常识判断即可。
3．【答案】D
【知识点】正方形的性质；中心投影
【解析】【解答】A.因为正方形纸板重直于地面，故不能产生正方形的投影，不符合题意
B.因为正方形的对角线互相垂直，中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，不符合题意
D.上方投影比下方要长，故D选项符合题意
故答案为：D.
【分析】观察图形，根据正方形纸板放置的位置，可知不能产生正方形的投影，可对A作出判断；中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，可对B，C作出判断；中心投影物体的高和影长成比例，正方形对边相等，可对D作出判断.
4．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方，然后依次为西北 北 东北 东，即④①③②
故答案为：B.
【分析】本体考查平行投影的特点与规律，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向为：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长，据此判断.
5．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得，
根据平行线分线段成比例的性质可得，
即，
解得：，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质列出比例式，再将数据代入计算求出，最后利用计算即可。
6．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴AB＝16（米）.
故答案为：B.
【分析】利用同一时刻，同一地点，同一平面上，不同物体的高度与影长成比例建立方程，可求出AB的长.
7．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：
，
解得：，
即蜡烛火焰的高度为，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求出即可作答。
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB//A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即，
∴A′B′=6，
故答案为：D．
【分析】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，由P、A、B的坐标，可得PD=1，PE=2，AB=3，根据平行线可证△PAB∽△PA′B′，利用相似三角形的性质求解即可.
9．【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：小明从M点走到灯下方时影长由长变短，
从灯下方走到N点时影长由短变长，
C选项满足题意，
故答案为：C.
【分析】观察图形，根据已知条件可知小明从M点走到灯下方时影长由长变短，从灯下方走到N点时影长由短变长，由此可得到符合题意的选项.
10．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠APC=60°，
∴∠PAC=∠PCA=60°，
∵ABCD是边长为6m的正方形，
∴AC=6 ，OC=3
∴PC＝6 ，
∴PO=3 ，
故答案为：C
【分析】连接AC，根据圆锥体的性质及∠APC=60°，可以判断出三角形PAC是一个等边三角形，根据正方形的性质利用勾股定理算出AC的长，进而得出OC的长，根据圆锥的高，母线，底面圆的半径刚好围成一个直角三角形，利用勾股定理即可算出PO的长。
11．【答案】6.1
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意，
得，
解得，
∴树高为（米），
故答案为：6.1．
【分析】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
12．【答案】
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m
∴ ，
代入得：
∴
故答案为：．
【分析】根据中心投影的性质可得，再将数据代入可得，然后求出即可。
13．【答案】5
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，由题意得，AB∥OC
∴
∴ ，
，
解得 .
故答案为：5.
【分析】由AB∥OC可得，据此求出AM.
14．【答案】（5，6）
【知识点】点的坐标；中心投影
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），
∴位似比为1：2，故点A′的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【分析】本道题考察的是位似图形的位似比。因为三角形A'B'C'是由三角形ABC以点O为位似中心放大的图，且位似比是1：2，根据点A的坐标进行扩大处理就可以了。
15．【答案】450
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，
∴，
解得．
答：竹竿长为450寸，
故答案为：450．
【分析】设竹竿的长度为x寸，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
16．【答案】33
【知识点】圆锥的计算；相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】 解：连接EF，过D作DC⊥AB于C，
由题意可知，△ACD∽△EGF，
∴
∵圆锥底面周长为62.8m.
∴C=2π BC=62.8m，解得BC=10m，
∵AB=23m，
∴DC=AC=AB+BC=23+10=33（m），
∴小山包的高为33m.
故答案为：33．
【分析】由平行投影可得△ACD∽△EGF，从而可得DC=AC，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．
17．【答案】（1）；（1，2）；1：2
（2）解：连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影：
图②
；9
【知识点】位似变换；平行投影
【解析】【解答】解：（1）由图知：A(－2，0)，B（4，0），
∵△A′B'C′与△ABC位似，且位似比为1∶2，O为位似中心，
∴A′（－1，0），B'（2，0），C′（1，2），C△A'B'C′∶C△ABC＝1：2，
顺次连接A′、B'、C′，如图①△A'B'C'即为所求作：
故答案为：（1，2），1：2；
（2）连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影：
图②
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，又∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=6m，BC=4m，EF=6m，
∴，
解得：DE=9，
故答案为：9．
【分析】（1）利用位似图形的性质得出A′、B'、C′位置进而得出答案；
（2）连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影；利用三角形△ABC∽△DEF，得出比例尺求出DE的长。
18．【答案】解：作EF⊥AB于点F，如图，
∵ ， ，EF⊥AB，
∴∠ABD=∠CDB=∠EFB=90°，
∴四边形BDEF是矩形，
∴ 米， EF=BD=21 米，
根据同一时刻的物高与其影长成比例可得： ，即 ，
解得： 米，
∴ （米）；
答：该古树的高度AB=15米．
【知识点】平行投影
【解析】【分析】作EF⊥AB于点F，由垂直定义得∠ABD=∠CDB=∠EFB=90°，进而根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形BDEF是矩形，由矩形的对边相等得BF=DE=1米，BD=EF=21米，进而根据同一时刻的物高与其影长成比例建立方程，可求出AF的长，进而根据AB=AF+FB计算即可.
19．【答案】解：∵，
∴可以得到，，
∴，，
又∵，
∴
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
解得.
答：路灯杆的高度为米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】易得CD∥EF∥AB，根据平行三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△CDF，△ABG∽△EFG，根据相似三角形对应边成比例及等量代换可得BF∶DF=BG∶FG，据此建立方程，求解可得BD的长，进而即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴米，米，
∴，解得：．
∴路灯高6.4米．
（2）解：如图所示：
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可；
（2）根据要求作出图象即可。
21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，即，
得.
答：松树的高度为8米.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连接DM即为木杆DP的影子，过A作AC∥DM，则AC即为松树AB的影子；
（2）根据平行线的性质可得∠ACB=∠DMP，由垂直的概念可得∠ABC=∠DPM=90°，证明△ABC∽△DPM，然后利用相似三角形的性质进行计算.
22．【答案】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∴.
过点作于点，交于点，，，
，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴秦始皇雕塑的高度为14米.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】易得∠ADB=∠DAB=45°，可得AB=BD，从而得出， 过点M作于点O，交GH于点P，证明，可得，据此可求出AB的长.
23．【答案】（1）解：如图，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴
由题意可知，，
∴，
解得，
即标尺与路灯间的距离为8米；
（2）解：如图，连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，
∵影子长为4米，
∴米，
设米，
∴米，
∵米，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵米，，
∴米，，
∴米，
∴米，米，米，，
∴，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
经检验是方程的解且正确，
∴米，
∴米，
∴此时标尺与路灯间的距离为14米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；中心投影
【解析】【分析】（1）连接AE并延长，交BC于点G，根据题意可得 ，可证，根据相似三角形的性质即可求解；
（2） 连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，根据题意带入方程即可求出BF。
24．【答案】（1）解：C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，理由如下：
上午10：00测量的旗杆与影长的比值与上午10：30测量的标杆与影长的比值不相同，因为随着时间的推移，太阳的位置上升，使得太阳光与地面竖直物体之间的夹角增大，从而使得竖直物体的高度与其影长之间的比值变大，两个时间点测量的比值不同，从而根据比值计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，如图所示，
是上午10：00旗杆高度与影长的比值，
是上午10：30旗杆高度与影长的比值，
∵在同一时刻，上述两个比值因为太阳处于同一高度，是相同的，
但是在不同时刻，随着太阳高度上升，上述比值是逐渐增大的，
∴，
∴，
∴通过上述比值求出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，比真实高度要小；
（2）解：如图所示，连接FD与线段AE交于点M，
根据题意得：=，=，米，米，米，
又∵FG⊥CG，DC⊥CG，
∴四边形FGCD是矩形，
又∵AE⊥CG，且线段AE与FD交于点M，
∴FG = ME = 1.5 m，
∴FM= GE，DM = CE，
设FM = xm，则DM= CE = CG-GE = CG-FM=（14.79-x）m，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即旗杆的高度AB为9.45m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据上午10：00测量的旗杆与影长的比值与上午10：30测量的标杆与影长的比值不相同，那么根据比值计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，要比真实高度要小，即可得出C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度；
（2）连接DF交AB于M，易得四边形FGCD为矩形，根据矩形性质及AE⊥CG，求得FG = ME = 1.5m，FM= GE，DM = CE，设FM =xm，则DM= CE = CG-GE = CG-FM=（14.79-x）m， 再利用α、β的正切值得DM·1≈FM，即14.79-x=x，解得x值从而求得AM得长度，最后再由AB=AM+ME-BE，代入数据计算即可求得AB的值.
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