（培优卷）3.4简单几何体的表面展开图-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·汕尾）如图，折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的平方与y的立方根之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·保定模拟）如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023九下·淮北月考）如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2022九上·温州期中）有一个装有某种液体的圆柱体容器，底面半径为4cm，高为12cm．小强不小心碰倒容器，当容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为2cm，若将该容器扶正竖直放置，则容器内液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020七上·增城月考）有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为 ；若如图③放置时，测得液面高为 则该玻璃密封容器的容积 圆柱体容积 底面积 高 是 ．（结果保留 ）
6．（2020七上·内江月考）在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七上·呼和浩特期末）有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·龙湾模拟）如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm，宽留出1cm，则该六棱柱的侧面积是（ ）
A．(108- )cm2 B．(108- )cm2
C．(54- )cm2 D．(54- )cm2
9．（2019七上·宜兴期末）如图，线段AB和CD是正方体表面两正方形的对角线，将此正方体沿部分棱剪开，展成一个平面图形后，AB和CD可能出现下列关系中的哪几种？ 、B、C、D四点在同一直线上 正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
10．（2017·云南）正如我们小学学过的圆锥体积公式V= πr2h（π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到π．祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习．
下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9 π，则这个圆锥的高等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023八上·达川期末）在一个长为5 米， 宽为3米的长方形草地 上， 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是 米.
12．（2022七上·西安期中）如图1是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：厘米），将它们拼成如图2的新几何体，求该新几何体的体积（结果保留） ；
13．（2021七上·成都期末）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为 cm3.
14．（2021八上·秦都期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点 处吃食物，那么它爬行的最短路程是 .
15．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.4 简单几何体的表面展开图 同步练习）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4.若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉小虫，需要爬行的最短路程为 .
三、解答题（共9题，共70分）
16．（2020七上·九江期末）图（1）是一个棱长为2的正方体空盒子ABCD﹣EFGH．图（2）是取AB，BC，BF边上的中点M，N，P，截去一个角后剩下的几何体．图（3）的8×8的网格中每一小格的边长都是1，请在这个网格中画出它的一种展开图．（要求所有的顶点都在格点上，且AM，CN，PF这三条棱中最多只能剪开一条棱）
17．（2021九上·大洼期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）.
（1）△ABC与△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，且他们的顶点均在格点上，则点P的坐标为 ；
（2）将△ABC绕点A逆时针方向旋转135°，
①画出旋转后的△AB2C2；
②用线段AB旋转到线段AB2，所扫过的图形面积做一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求这个圆锥的底面圆半径.（保留精确值）
18．（2019七上·东源期中）如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
19．（2020七上·寿阳期中）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高以及底面积，当小正方形边长为4cm时，求纸盒的容积.
20．（2023九上·南宁期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.
（1）探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长 ；（填“相等”或“不相等”）若，，则n= .
（2）解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求n的值，请用含r，l的式子表示n；
（3）拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，C是中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.
21．（2023七上·子洲月考）【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？ （填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 个正方体纸盒．
22．（2020七上·汉阳期末）如图1是边长为 的正方形薄铁片，小明将其四角各剪去一个相同的小正方形（图中阴影部分）后，发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子，图2为盒子的示意图（铁片的厚度忽略不计）.
（1）设剪去的小正方形的边长为 ，折成的长方体盒子的容积为 ，直接写出用只含字母 的式子表示这个盒子的高为 ，底面积为 ，盒子的容积 为 ，
（2）为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长 之间的关系，小明列表分析：
1 2 3 4 5 6 7 8
324 588 576 500 252 128
填空：① ， ；
②由表格中的数据观察可知当 的值逐渐增大时， 的值 .（从“逐渐增大”，“逐渐减小”“先增大后减小”，“先减小后增大”中选一个进行填空）
23．（2021九上·越城月考）如图所示，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连结AB，AC，AD，E为AD上一点，连结BE，CE.
（1）求证：BE = CE.
（2）以点E为圆心作与BC相切，分别交BE，CE于点F，G.若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面积
（3）若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径.
24．（2020七下·吴兴期末）用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米，h厘米的长方体有盖木箱（a>b），其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面，乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙刚好能做成箱盖和一个短侧面。
（1）填空：用含a、b、h的代数式表示以下面积：
甲的面积 ；乙的面积 ；丙的面积 .
（2）当h=20cm时，若甲的面积比丙的面积大200cm2，乙的面积为1400cm2，求a和b的值；
（3）现将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型（如图②），且这样的圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等。问：一个上述长方体木箱中最多可以放 个这样的圆柱体模型。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的运算；几何体的展开图；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：如图，编号相同的面是折成正方体后的相对面，
相对面所对应的值相等，
，
，得，
，得，
.
故答案为：D.
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，一线隔一个，先知道折成正方体后的相对面，再根据相对面所对应的值相等列出二元一次方程组，解得x、y的值，然后求出x的平方与y的立方根之和.
2．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可知，1的对面是6，3的对面是4，2的对面是5，
按图所示方式翻转后停止在M处，1在底面，则6朝上时．
故答案为：D．
【分析】由题意可知，1的对面是6，3的对面是4，2的对面是5，根据题意可知翻转后停止在M处，1在底面，则6朝上。
3．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵在矩形中，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长
∴设圆锥的底面圆的半径为r
∴，
∴解得．
故答案为：B．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，再结合“扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长”列出方程，再求出即可。
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，OC⊥AB于点C，
由题意得：OA＝OB=4cm，OC＝2cm，∠ACO=90°，
∴∠OAC＝30°=∠OBA，
∴AC=cm，∠AOB＝120°，
∴AB＝2AC＝cm，
∴S阴影＝S扇形OAB-S△OAB＝-××2＝π-cm2．
设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为hcm，
∴π·42·h＝12（π-），
解得h＝.
故答案为：D．
【分析】连接OA，OB，OC⊥AB于点C，由题意得：OA＝OB=4cm，OC＝2cm，∠ACO=90°，利用直角边与斜边关系可得∠OAC＝30°=∠OBA，从而求得AC=cm，∠AOB＝120°，进而得AC、AB的长，再利用扇形OAB的面积减去△OAB的面积求得阴影部分的面积；设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为hcm，再根据体积不变可列式为π·42·h＝12（π-），解之即可求解.
5．【答案】 a2h
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
π×a2× h=V-π×a2×（h- h），
解得V= a2h，
故答案为： a2h．
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得出结论．
6．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．
故答案为：A．
【分析】根据题意和所给图形对每个选项一一判断求解即可。
7．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】A.折叠后，三条对角线交于一点，不能构成三角形；
B. 折叠后，侧面俩条对角线无交点，不能构成三角形；
C.折叠后，可以形成三角形；
D，折叠后，底面和侧面的俩条对角线无交点，不能构成三角形.
故答案为：C.
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.
8．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，
挪动前长为（2h+2a）cm，宽为（4a+a）cm，
挪动后长为（h+2a+a）cm，宽为4acm，
由题意得：(2h+2a)-(h+2a+a)=5， （4a+a）-4a=1，
解得：a=2，h=9-2，
∴六棱柱的侧面积=6×ah=6×2×（9-2）=（108-24）cm2 .
故答案为：A.
【分析】设正六棱柱的地面边长为acm，高为hcm，分别求出挪动前后长方形的长与宽，根据挪动前后的展开图放入矩形内的位置关系列两个关系式，两式联立求出a、h，再由六棱柱的侧面积是6ah计算即可.
9．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由已知可知，AB与CD为相邻面所在，如展开图简要示意，
如图1，若展开图中，不剪AC，如图1，此时两直线所在平面展开图的直线关系为AB∥CD，
如图2，若展开图中，剪开AC，且相邻直线所在平面完全分离，此时所在直线展开图的直线关系为AB∥CD，
如图3、4，若展开图中，剪开AC，但相邻直线所在平面依靠点A或点C连接，此时所在直线展开图的直线关系为AB⊥CD，
故①②成立，③不成立，选A.
故答案为：A.
【分析】利用相邻面情况展开分析，选择适当的角度将所有相邻面的情况分析即可得出结论.
10．【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】设母线长为R，底面圆半径为r，圆锥的高为h，
由于圆锥的侧面展开图是个半圆
∴侧面展开图的弧长为： =πR，
∵底面圆的周长为：2πr，
∴πR=2πr，
∴R=2r，
∴由勾股定理可知：h= r，
∵圆锥的体积等于9 π
∴9 π= πr2h，
∴r=3，
∴h=3
故答案为：D
【分析】根据圆锥的侧面展开图结合题意得出R=2r，再由勾股定理得出圆锥的高h= r；再根据圆锥的体积公式，得出r=3，从而求出这个圆锥的高.
11．【答案】
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
长方形的长为米，
长方形的宽为3米，
一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，
米，
故答案为.
【分析】如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程就是对角线AC的值，在直角三角形ABC中，用勾股定理即可求解.
12．【答案】60π立方厘米
【知识点】立体图形的初步认识；圆柱的计算
【解析】【解答】解：π×22×10+（π×22×10）=40π+20π=60π（立方厘米）．
故答案为为60π立方厘米．
【分析】根据图示可得两个图1中的图组成一个圆柱，因此图2中几何体的体积=个底面半径是2cm，高为10cm的圆柱体积，据此计算即可.
13．【答案】6552
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案为：6552.
【分析】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒,也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答.
14．【答案】5
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】解：分三种情况：如图1，
，
如图2，
，
如图3，
，
，
它爬行的最短路程为5，
故答案为：5.
【分析】分三种情况将长方体展开，然后利用勾股定理分别求出AP的长，再比较结果去最短距离即可.
15．【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
依题可得：
底面圆的直径AC=8，
∴底面圆的周长=8π.
∴8π= ，
∴n=180，
∴展开图(如图所示)中∠A'OB=90°，
在Rt△A'BO中，
∴A'B== ，
∴蚂蚁爬行的最短路程为 .
【分析】设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据圆锥侧面展开图特点：扇形的弧长即为底面圆的周长，由此得出展开图扇形圆心角的度数，（如图）在Rt△A'BO中，根据勾股定理得出A'B长度，即为蚂蚁爬行的最短路程.
16．【答案】解：正方体截去一个角后剩下的几何体的展开图如下：
【知识点】几何体的展开图
【解析】【分析】根据正方体的表面展开图的特征画出相应的展开图即可。
17．【答案】（1）
（2）①如图所示：
②根据勾股定理得 AB2=32+32=18，
∴AB= ，
∴AB所扫过的扇形的弧长L= = ，
∴圆锥底面圆周长为 ，
∴圆锥底面圆半径R= .
【知识点】圆锥的计算；位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，作直线C1C，B1B，两直线交点即为点P位置，∴点P坐标为（5，6），
故答案为：（5，6）
【分析】（1）作直线C1C，B1B，两直线交点即为点P位置，即可写出点P的坐标；（2）①根据题意画出图形即可；②根据勾股定理求出AB，再求出AB的扫过的扇形的弧长，最后根据扇形的弧长等于所围成的底面圆的周长即可求出半径.
18．【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
【知识点】几何体的展开图；由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
19．【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．
故答案为：C．
（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”．
（3）解：①如图，
②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．
【知识点】立体图形的初步认识；几何体的展开图
【解析】【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．
20．【答案】（1）相等；120°
（2）解：由圆锥的底面周长等于扇形的弧长
得：
∴
（3）解：
∵，，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为
∴
∵
∴
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：（1）圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等；
∵，，，
∴，
故答案为：相等，.
【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
（2）根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出等式并求解即可；
（3）利用（1）结论先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°， 从而求出，利用勾股定理求出A'C，继而求解.
21．【答案】（1）①③④
（2）解：①由图象可知共有6个无盖正方体纸盒，
由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为 ，
故这个几何体的体积为 ；
②3.
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）解：无盖正方体形纸盒应该由5个面，但图②中经折叠后有两个面重复，因此图②中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图①③④均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，
故答案为：①③④．
（2）②由图得左视图和俯视图分别为：
故保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，可放置的正方体纸盒为虚线所示的正方体纸盒：
共3个，
故答案为：3．
【分析】（1）动手操作即得结论；
（2）① 由图象可知共有6个无盖正方体纸盒， 由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为 ，求出一个正方体的体积，再乘以6即可；②先判断出原几何体的左视图和俯视图，再添加判断即可.
22．【答案】（1）x；；
（2）512；384；先增大后减小
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）由小正方形的边长可知这个盒子的高为xcm，底面积为 的正方形，所以底面积为 ，盒子的容积 为 ；（2）①将 代入 得 ，将 代入 得 ；
②观察表格可知 的值先增大到588随后开始减小，所以当 的值逐渐增大时， 的值先增大后减小.
【分析】（1）由小正方形的边长可知这个盒子的高为xcm，底面积为 的正方形，求该正方形面积即为底面积，根据底面积乘高即可求出盒子的容积；（2）①将x的值代入（1）中盒子的容积 的代数式中即可求出m、n的值；②根据表格中 值的变化确定即可.
23．【答案】（1）证明：由题意可知：，为等边三角形，
点是BC的中点，
是等边的中线，且，
，
，
.
（2）解：如图所示：
与BC相切，且，
点是切点，并且是该扇形的半径，
，且，
，
，
在中，，
，
是BC的中点，
在中，由勾股定理可知：，解得，
扇形FEG的面积为.
（3）解：设圆锥底面圆半径为，
扇形FEG的弧长为： ，
扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长，
，解得 ，
故圆锥的底面圆的半径为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆锥的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BDE≌△CDE， 可得BE=CE；
（2）根据切线的性质可得D点是切点，并且DE是该扇形的半径 ，求出ED的长，利用扇形的面积公式计算即得结论；
（3） 根据扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长即可求解.
24．【答案】（1）ab+ah；ah+bh；ab+bh
（2）解： ，
化简得 ，
解得： .
（3）8
【知识点】列式表示数量关系；矩形的性质；圆柱的计算；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）甲的面积= ab+ah ，乙的面积= ah +bh； 丙的面积 =ab+bh；
（3）设圆的直径为d，
∵将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型，
∴b=2d，a-d=πd，
∴a=（π+1）d
∵圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，
∴只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，
∴
∴可以放两层，
∴b=2r+πr
∴
∴一个上述长方体木箱中最多可以放8个这样的圆柱体模型.
故答案为：8.
【分析】（1）根据矩形的面积公式，分别求出甲，乙，丙的面积即可；
（2）根据甲的面积-丙的面积=200cm2， 乙的面积为1400cm2，列出方程组，将h=20cm代入并解出方程组，即可求出a，b的值；
（3）设圆的直径为d，观察图像由已知可得到b=2d，a=（π+1）d，再根据圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，就可得到只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，因此利用木箱的上表面的面积除以正方形ACDF的面积即可求解。
1 / 1（培优卷）3.4简单几何体的表面展开图-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·汕尾）如图，折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的平方与y的立方根之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】实数的运算；几何体的展开图；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：如图，编号相同的面是折成正方体后的相对面，
相对面所对应的值相等，
，
，得，
，得，
.
故答案为：D.
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，一线隔一个，先知道折成正方体后的相对面，再根据相对面所对应的值相等列出二元一次方程组，解得x、y的值，然后求出x的平方与y的立方根之和.
2．（2023·保定模拟）如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可知，1的对面是6，3的对面是4，2的对面是5，
按图所示方式翻转后停止在M处，1在底面，则6朝上时．
故答案为：D．
【分析】由题意可知，1的对面是6，3的对面是4，2的对面是5，根据题意可知翻转后停止在M处，1在底面，则6朝上。
3．（2023九下·淮北月考）如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵在矩形中，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长
∴设圆锥的底面圆的半径为r
∴，
∴解得．
故答案为：B．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，再结合“扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长”列出方程，再求出即可。
4．（2022九上·温州期中）有一个装有某种液体的圆柱体容器，底面半径为4cm，高为12cm．小强不小心碰倒容器，当容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为2cm，若将该容器扶正竖直放置，则容器内液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，OC⊥AB于点C，
由题意得：OA＝OB=4cm，OC＝2cm，∠ACO=90°，
∴∠OAC＝30°=∠OBA，
∴AC=cm，∠AOB＝120°，
∴AB＝2AC＝cm，
∴S阴影＝S扇形OAB-S△OAB＝-××2＝π-cm2．
设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为hcm，
∴π·42·h＝12（π-），
解得h＝.
故答案为：D．
【分析】连接OA，OB，OC⊥AB于点C，由题意得：OA＝OB=4cm，OC＝2cm，∠ACO=90°，利用直角边与斜边关系可得∠OAC＝30°=∠OBA，从而求得AC=cm，∠AOB＝120°，进而得AC、AB的长，再利用扇形OAB的面积减去△OAB的面积求得阴影部分的面积；设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为hcm，再根据体积不变可列式为π·42·h＝12（π-），解之即可求解.
5．（2020七上·增城月考）有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为 ；若如图③放置时，测得液面高为 则该玻璃密封容器的容积 圆柱体容积 底面积 高 是 ．（结果保留 ）
【答案】 a2h
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
π×a2× h=V-π×a2×（h- h），
解得V= a2h，
故答案为： a2h．
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得出结论．
6．（2020七上·内江月考）在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．
故答案为：A．
【分析】根据题意和所给图形对每个选项一一判断求解即可。
7．（2020七上·呼和浩特期末）有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】A.折叠后，三条对角线交于一点，不能构成三角形；
B. 折叠后，侧面俩条对角线无交点，不能构成三角形；
C.折叠后，可以形成三角形；
D，折叠后，底面和侧面的俩条对角线无交点，不能构成三角形.
故答案为：C.
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.
8．（2020·龙湾模拟）如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm，宽留出1cm，则该六棱柱的侧面积是（ ）
A．(108- )cm2 B．(108- )cm2
C．(54- )cm2 D．(54- )cm2
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，
挪动前长为（2h+2a）cm，宽为（4a+a）cm，
挪动后长为（h+2a+a）cm，宽为4acm，
由题意得：(2h+2a)-(h+2a+a)=5， （4a+a）-4a=1，
解得：a=2，h=9-2，
∴六棱柱的侧面积=6×ah=6×2×（9-2）=（108-24）cm2 .
故答案为：A.
【分析】设正六棱柱的地面边长为acm，高为hcm，分别求出挪动前后长方形的长与宽，根据挪动前后的展开图放入矩形内的位置关系列两个关系式，两式联立求出a、h，再由六棱柱的侧面积是6ah计算即可.
9．（2019七上·宜兴期末）如图，线段AB和CD是正方体表面两正方形的对角线，将此正方体沿部分棱剪开，展成一个平面图形后，AB和CD可能出现下列关系中的哪几种？ 、B、C、D四点在同一直线上 正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由已知可知，AB与CD为相邻面所在，如展开图简要示意，
如图1，若展开图中，不剪AC，如图1，此时两直线所在平面展开图的直线关系为AB∥CD，
如图2，若展开图中，剪开AC，且相邻直线所在平面完全分离，此时所在直线展开图的直线关系为AB∥CD，
如图3、4，若展开图中，剪开AC，但相邻直线所在平面依靠点A或点C连接，此时所在直线展开图的直线关系为AB⊥CD，
故①②成立，③不成立，选A.
故答案为：A.
【分析】利用相邻面情况展开分析，选择适当的角度将所有相邻面的情况分析即可得出结论.
10．（2017·云南）正如我们小学学过的圆锥体积公式V= πr2h（π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到π．祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习．
下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9 π，则这个圆锥的高等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】设母线长为R，底面圆半径为r，圆锥的高为h，
由于圆锥的侧面展开图是个半圆
∴侧面展开图的弧长为： =πR，
∵底面圆的周长为：2πr，
∴πR=2πr，
∴R=2r，
∴由勾股定理可知：h= r，
∵圆锥的体积等于9 π
∴9 π= πr2h，
∴r=3，
∴h=3
故答案为：D
【分析】根据圆锥的侧面展开图结合题意得出R=2r，再由勾股定理得出圆锥的高h= r；再根据圆锥的体积公式，得出r=3，从而求出这个圆锥的高.
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023八上·达川期末）在一个长为5 米， 宽为3米的长方形草地 上， 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是 米.
【答案】
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
长方形的长为米，
长方形的宽为3米，
一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，
米，
故答案为.
【分析】如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程就是对角线AC的值，在直角三角形ABC中，用勾股定理即可求解.
12．（2022七上·西安期中）如图1是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：厘米），将它们拼成如图2的新几何体，求该新几何体的体积（结果保留） ；
【答案】60π立方厘米
【知识点】立体图形的初步认识；圆柱的计算
【解析】【解答】解：π×22×10+（π×22×10）=40π+20π=60π（立方厘米）．
故答案为为60π立方厘米．
【分析】根据图示可得两个图1中的图组成一个圆柱，因此图2中几何体的体积=个底面半径是2cm，高为10cm的圆柱体积，据此计算即可.
13．（2021七上·成都期末）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为 cm3.
【答案】6552
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案为：6552.
【分析】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒,也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答.
14．（2021八上·秦都期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点 处吃食物，那么它爬行的最短路程是 .
【答案】5
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】解：分三种情况：如图1，
，
如图2，
，
如图3，
，
，
它爬行的最短路程为5，
故答案为：5.
【分析】分三种情况将长方体展开，然后利用勾股定理分别求出AP的长，再比较结果去最短距离即可.
15．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.4 简单几何体的表面展开图 同步练习）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4.若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉小虫，需要爬行的最短路程为 .
【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
依题可得：
底面圆的直径AC=8，
∴底面圆的周长=8π.
∴8π= ，
∴n=180，
∴展开图(如图所示)中∠A'OB=90°，
在Rt△A'BO中，
∴A'B== ，
∴蚂蚁爬行的最短路程为 .
【分析】设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据圆锥侧面展开图特点：扇形的弧长即为底面圆的周长，由此得出展开图扇形圆心角的度数，（如图）在Rt△A'BO中，根据勾股定理得出A'B长度，即为蚂蚁爬行的最短路程.
三、解答题（共9题，共70分）
16．（2020七上·九江期末）图（1）是一个棱长为2的正方体空盒子ABCD﹣EFGH．图（2）是取AB，BC，BF边上的中点M，N，P，截去一个角后剩下的几何体．图（3）的8×8的网格中每一小格的边长都是1，请在这个网格中画出它的一种展开图．（要求所有的顶点都在格点上，且AM，CN，PF这三条棱中最多只能剪开一条棱）
【答案】解：正方体截去一个角后剩下的几何体的展开图如下：
【知识点】几何体的展开图
【解析】【分析】根据正方体的表面展开图的特征画出相应的展开图即可。
17．（2021九上·大洼期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）.
（1）△ABC与△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，且他们的顶点均在格点上，则点P的坐标为 ；
（2）将△ABC绕点A逆时针方向旋转135°，
①画出旋转后的△AB2C2；
②用线段AB旋转到线段AB2，所扫过的图形面积做一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求这个圆锥的底面圆半径.（保留精确值）
【答案】（1）
（2）①如图所示：
②根据勾股定理得 AB2=32+32=18，
∴AB= ，
∴AB所扫过的扇形的弧长L= = ，
∴圆锥底面圆周长为 ，
∴圆锥底面圆半径R= .
【知识点】圆锥的计算；位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，作直线C1C，B1B，两直线交点即为点P位置，∴点P坐标为（5，6），
故答案为：（5，6）
【分析】（1）作直线C1C，B1B，两直线交点即为点P位置，即可写出点P的坐标；（2）①根据题意画出图形即可；②根据勾股定理求出AB，再求出AB的扫过的扇形的弧长，最后根据扇形的弧长等于所围成的底面圆的周长即可求出半径.
18．（2019七上·东源期中）如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
【知识点】几何体的展开图；由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
19．（2020七上·寿阳期中）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高以及底面积，当小正方形边长为4cm时，求纸盒的容积.
【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．
故答案为：C．
（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”．
（3）解：①如图，
②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．
【知识点】立体图形的初步认识；几何体的展开图
【解析】【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．
20．（2023九上·南宁期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.
（1）探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长 ；（填“相等”或“不相等”）若，，则n= .
（2）解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求n的值，请用含r，l的式子表示n；
（3）拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，C是中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.
【答案】（1）相等；120°
（2）解：由圆锥的底面周长等于扇形的弧长
得：
∴
（3）解：
∵，，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为
∴
∵
∴
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：（1）圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等；
∵，，，
∴，
故答案为：相等，.
【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
（2）根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出等式并求解即可；
（3）利用（1）结论先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°， 从而求出，利用勾股定理求出A'C，继而求解.
21．（2023七上·子洲月考）【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？ （填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 个正方体纸盒．
【答案】（1）①③④
（2）解：①由图象可知共有6个无盖正方体纸盒，
由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为 ，
故这个几何体的体积为 ；
②3.
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）解：无盖正方体形纸盒应该由5个面，但图②中经折叠后有两个面重复，因此图②中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图①③④均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，
故答案为：①③④．
（2）②由图得左视图和俯视图分别为：
故保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，可放置的正方体纸盒为虚线所示的正方体纸盒：
共3个，
故答案为：3．
【分析】（1）动手操作即得结论；
（2）① 由图象可知共有6个无盖正方体纸盒， 由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为 ，求出一个正方体的体积，再乘以6即可；②先判断出原几何体的左视图和俯视图，再添加判断即可.
22．（2020七上·汉阳期末）如图1是边长为 的正方形薄铁片，小明将其四角各剪去一个相同的小正方形（图中阴影部分）后，发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子，图2为盒子的示意图（铁片的厚度忽略不计）.
（1）设剪去的小正方形的边长为 ，折成的长方体盒子的容积为 ，直接写出用只含字母 的式子表示这个盒子的高为 ，底面积为 ，盒子的容积 为 ，
（2）为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长 之间的关系，小明列表分析：
1 2 3 4 5 6 7 8
324 588 576 500 252 128
填空：① ， ；
②由表格中的数据观察可知当 的值逐渐增大时， 的值 .（从“逐渐增大”，“逐渐减小”“先增大后减小”，“先减小后增大”中选一个进行填空）
【答案】（1）x；；
（2）512；384；先增大后减小
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）由小正方形的边长可知这个盒子的高为xcm，底面积为 的正方形，所以底面积为 ，盒子的容积 为 ；（2）①将 代入 得 ，将 代入 得 ；
②观察表格可知 的值先增大到588随后开始减小，所以当 的值逐渐增大时， 的值先增大后减小.
【分析】（1）由小正方形的边长可知这个盒子的高为xcm，底面积为 的正方形，求该正方形面积即为底面积，根据底面积乘高即可求出盒子的容积；（2）①将x的值代入（1）中盒子的容积 的代数式中即可求出m、n的值；②根据表格中 值的变化确定即可.
23．（2021九上·越城月考）如图所示，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连结AB，AC，AD，E为AD上一点，连结BE，CE.
（1）求证：BE = CE.
（2）以点E为圆心作与BC相切，分别交BE，CE于点F，G.若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面积
（3）若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径.
【答案】（1）证明：由题意可知：，为等边三角形，
点是BC的中点，
是等边的中线，且，
，
，
.
（2）解：如图所示：
与BC相切，且，
点是切点，并且是该扇形的半径，
，且，
，
，
在中，，
，
是BC的中点，
在中，由勾股定理可知：，解得，
扇形FEG的面积为.
（3）解：设圆锥底面圆半径为，
扇形FEG的弧长为： ，
扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长，
，解得 ，
故圆锥的底面圆的半径为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆锥的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BDE≌△CDE， 可得BE=CE；
（2）根据切线的性质可得D点是切点，并且DE是该扇形的半径 ，求出ED的长，利用扇形的面积公式计算即得结论；
（3） 根据扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长即可求解.
24．（2020七下·吴兴期末）用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米，h厘米的长方体有盖木箱（a>b），其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面，乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙刚好能做成箱盖和一个短侧面。
（1）填空：用含a、b、h的代数式表示以下面积：
甲的面积 ；乙的面积 ；丙的面积 .
（2）当h=20cm时，若甲的面积比丙的面积大200cm2，乙的面积为1400cm2，求a和b的值；
（3）现将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型（如图②），且这样的圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等。问：一个上述长方体木箱中最多可以放 个这样的圆柱体模型。
【答案】（1）ab+ah；ah+bh；ab+bh
（2）解： ，
化简得 ，
解得： .
（3）8
【知识点】列式表示数量关系；矩形的性质；圆柱的计算；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）甲的面积= ab+ah ，乙的面积= ah +bh； 丙的面积 =ab+bh；
（3）设圆的直径为d，
∵将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型，
∴b=2d，a-d=πd，
∴a=（π+1）d
∵圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，
∴只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，
∴
∴可以放两层，
∴b=2r+πr
∴
∴一个上述长方体木箱中最多可以放8个这样的圆柱体模型.
故答案为：8.
【分析】（1）根据矩形的面积公式，分别求出甲，乙，丙的面积即可；
（2）根据甲的面积-丙的面积=200cm2， 乙的面积为1400cm2，列出方程组，将h=20cm代入并解出方程组，即可求出a，b的值；
（3）设圆的直径为d，观察图像由已知可得到b=2d，a=（π+1）d，再根据圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，就可得到只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，因此利用木箱的上表面的面积除以正方形ACDF的面积即可求解。
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