（提升卷）3.4简单几何体的表面展开图-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·温州模拟）下列各图形中，经过折叠能围成一个立方体的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴A，B，D不符合题意；C符合题意；
故答案为：C
【分析】利用正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得到经过折叠能围成一个立方体的选项.
2．（2023九上·武义期末）下面图形中，是直棱柱的表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：B中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故能围成三棱柱，是三棱柱的表面展开图.
其余选项不能围成三棱柱.
故答案为：B.
【分析】B中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，据此判断.
3．（2021七上·临海期末）如图所示，该正方体的展开图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，
选项B中面“v”与“＝”是对面，因此选项B不符合题意；
再根据上面“v”符号开口，可以判断选项D符合题意；选项A、C不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据正方体可得“v”与“＝”是相邻面，然后根据“v”的开口方向进行判断.
4．（2021·南湖模拟）如图是每个面都标注了字母的立方体表面展开图.在展开前，与标注字母 的面相对的面上的字母为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由立方体的展开图可得与标注字母 的面相对的面上的字母为 ；
故答案为：A.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
5．（2021·越城模拟）已知图1的小正方形和图2中所有的小正方形都全等，将图1的小正方形安放在图2中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的.那么安放的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体.
故答案为：A.
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题.
6．（2023九下·上城月考）如图，从一块半径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵的半径是2，
∴，
连接，根据题意知，，
在中，，
即扇形的对应半径，
弧长，
设圆锥底面圆半径为r，则有
，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据半径可得底面圆的面积，连接BC、AO，根据题意知BC⊥AO，AO=BO=2，由勾股定理可得AB的值，利用弧长公式求出弧长，然后根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出底面圆的半径.
7．（2023·宁波模拟）如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：五边形ABCDE是正五边形，
，
则弧BD的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为3，
故答案为：B.
【分析】根据正五边形的性质得∠BCD=108°，进而根据弧长计算公式算出弧BD的长，再根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长建立方程，求解即可.
8．（2022·兰溪模拟）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面展开﹣最短路径问题；圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，
则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．
∵点B是母线PA的中点，，
∴，
∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，
又∵圆锥底面半径为1，
∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即，扇形的半径=圆锥的母线=PA=4，
由弧长公式可得：
∴扇形的圆心角，
在Rt△APB中，由勾股定理可得：，
所以 蚂蚁爬行的最短路程为.
故答案为：C.
【分析】将该圆锥展开可得一个扇形，则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离，根据中点的概念可得PB=2，根据圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长结合弧长公式可得扇形圆心角的度数，然后利用勾股定理求解即可.
9．（2020·慈溪模拟）如图，在四边形ABCD中，BC=CD=4，AB=7，AB⊥BC，CD⊥BC。把四边形ABCD绕AB旋转一周，则该几何体的表面积为（ ）
A．48π B．56π C．68π D．72π
【答案】C
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E,
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B=∠C=∠DEB=90°
∴四边形BCDE是矩形，
∴DE=BC=DC=BE=4,
∴AE=AB-BE=7-4=3,
在Rt△ADE中
把四边形ABCD绕AB旋转一周，该几何体的下面是半径为4，母线长为4的圆柱，上面是底面圆的半径为4，母线长是AD的圆锥，
∴此几何体的表面积=S圆锥侧+S圆柱底+S圆柱侧
此几何体的表面积=.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，易证四边形BCDE是矩形，由此可得到DE，AE的长，利用勾股定理求出AD的长，把四边形ABCD绕AB旋转一周，该几何体的下面是半径为4，母线长为4的圆柱，上面是底面圆的半径为4，母线长是AD的圆锥，底面是半径为4的圆，然后根据此几何体的表面积=S圆锥侧+S圆柱底+S圆柱侧，代入计算可求出此几何体的表面积。
10．如图1所示，一只封闭的圆柱形容器内盛了一半水（容器的厚度忽略不计），圆柱形容器底面直径为高的2倍，现将该容器竖起后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1≤S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．S1=S2
【答案】C
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：∵圆柱的底面半径为h，图1水的表面积为：S1=2πh2+2πh h=3πh2．
对于图2，
上面的矩形的长是2h，宽是h．则面积是2h2．
曲面展开后的矩形长是πh，宽是h．则面积是πh2．
上下底面的面积的和是：π×h2．
图2水的表面积S2=（2+2π）h2．
显然S1＞S2．
故选：C．
【分析】直接求出图1的表面积，然后图2可以看出表面积是由一个矩形和一个曲面以及两个半圆组成，曲面展开图是一个矩形，两个半圆面积的和等于一个圆的面积的和．求出这两个矩形的面积的和即可．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022七上·温州期中）仓库里有如图四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片尺寸单位：分米；从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体或立方体铁盒不浪费材料甲型盒是由3种规格铁片焊接而成的表面积最大的铁盒，乙型盒是由2种规格铁片焊接而成的容积最小的铁盒.现在要分别做上述两种铁盒各100个，则至少需要号铁片 块.
【答案】400
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意得，甲型盒是由两个两个和1个焊接而成，乙型盒是由两个和3个焊接而成，
块.
故答案为：400.
【分析】根据题意得：甲型盒是由两个①、两个③和1个②焊接而成，乙型盒是由两个④和3个②焊接而成，据此求解.
12．（2022·衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得长方体的长为cm，宽为xcm，高为1.5cm，列方程为：
.
故答案为：.
【分析】观察长方体的展开图可知此长方体的长，宽，高，再利用长方体的容积为360cm3，可得到关于x的方程.
13．（2022七上·西湖开学考）如图，硬纸片沿虛线折起来便可成一个正方体，与3号面相对的是 号面。
【答案】6
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由展开图可知与3号面相对的是6号面.
故答案为：6.
【分析】利用正方体的展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，观察图形，可得答案.
14．（2023·宁波模拟）已知圆锥的底面半径和母线的长分别是一元二次方程的两个根，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】12π
【知识点】因式分解法解一元二次方程；圆锥的计算
【解析】【解答】解：x2-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0或x-4=0，
解之：x1=3，x2=4，
∴圆锥的底面半径和母线的长分别是3和4，
∴圆锥的侧面积为3×4π=12π.
故答案为：12π
【分析】利用因式分解法求出求出一元二次方程的解，可得到圆锥的底面半径和母线的长；然后利用圆锥的侧面积等于πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径）.-
15．（2023九下·余姚月考）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为 .
【答案】36π或24π
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；圆锥的计算
【解析】【解答】解：以3为旋转轴时，
所得圆锥的底面半径为4，高为3，母线长为，
所以旋转后成为圆锥的表面积为；
以4为旋转轴时，所得圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为，
所以旋转后成为圆锥的的表面积为；
综上，所以旋转后围成的几何体的表面积为36π或24π
故答案为：36π或24π.
【分析】分类讨论：①以3为旋转轴时，所得圆锥的底面半径为4，高为3，②以4为旋转轴时，所得圆锥的底面半径为3，高为4，用勾股定理算出母线长，根据旋转后的几何体是圆锥，其表面积=底面积+侧面积，进而结合扇形面积计算公式，分别计算即可.
16．（2022·衢江模拟）已知，，，，将此三角形绕旋转一周所形成的圆锥的侧面积是 .
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥体的切面如图所示，
在RtΔABC，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，
∴利用勾股定理可知，BC=3cm，
∴圆锥体底部圆的半径r=BC=3cm，
∴底部圆的周长，
∴则侧面展开后扇形的弧长为l，
∵AB=5cm，
∴侧面展开图扇形所在圆的半径R=AB=5cm，
∴侧面展开图扇形所在圆的周长，面积，
∴扇形面积与其所在圆的面积的比率，
∴圆锥侧面面积.
故答案为：.
【分析】画出圆锥体的切面，利用勾股定理可得BC=3cm，则圆锥体底部圆的半径为3cm，求出底面圆的周长，然后根据底面圆的周长等于侧面展开后扇形的弧长为l可得侧面展开图扇形所在圆的周长，根据圆的面积公式可得面积，然后求出扇形面积与其所在圆的面积的比率，据此解答.
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2019九上·三门期末）在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型.如图，已知△ABC是腰长为16cm的等腰直角三角形.
（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
（2）请求出所制作圆锥底面的半径长.
【答案】（1）解：如图所示：扇形CEF为所求作的图形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC＝16cm，
∴AB＝16 cm，
由(1)可知CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，
∴CD＝8 cm，
设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr＝ ，
∴r＝2 cm，
答：所制作圆锥底面的半径长为2 cm
【知识点】切线的性质；圆锥的计算；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）当扇形的弧与等腰直角三角形ABC的斜边AB相切的时候，该扇形面积最大，利用尺规作图法作出∠ACB的角平分线，该线交AB于点D，根据等腰直角三角形的性质可知CD垂直于AB于点D，然后以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交AC于点F，交BC于点E，扇形CEF就是所求的扇形；
（2）根据勾股定理算出AB的长，根据等腰直角三角形的性质得出 CD⊥AB， 且CD=， 设圆锥底面的半径长为r ，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面扇形的弧长即可列出方程算出答案。
18．（2018九上·镇海期末）有一个顶部是圆锥，底部是圆柱的粮囤模型，如图是它的主视图.
（1）画出该粮囤模型的俯视图；
（2）若每相邻两个格点之间的距离均表示1米，请计算：
①在粮囤顶部铺上油毡，需要多少平方米油毡（油毡接缝重合部分不计）？
②若粮食最多只能装至与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米粮食？（结果保留 和根号）
【答案】（1）解：
（2）①解：
答：需要 平方米油毡.
②解：
答：最多可以存放 立方米粮食.
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算；简单组合体的三视图
【解析】【分析】（1）根据三视图的画法画图即可.(2)根据圆锥侧面积计算公式即可解答.(3)根据圆柱体积计算公式即可解答.
19．（2021·绍兴模拟）如图，已知圆柱底面的直径 ，圆柱的高 ，在圆柱的侧面上，过点 ， 嵌有一圈长度最短的金属丝.
（1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______.
A． ； B． ；
C． ； D．
（2）求该长度最短的金属丝的长.
【答案】（1）A
（2）解：如图：
侧面展开后 ， 两点之间的距离为 ，
， 两点之间的距离为 ，
该长度最短的金属丝的长=
所以该长度最短的金属丝的长为 .
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：（1）因圆柱的展开图为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，A选项符合要求.
故答案为：A.
【分析】（1）圆柱的展开图为长方形，由题意"点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝"根据两点之间线段最短可知AC展开应该是两条线段，结合各选项可求解；
（2）由（1）的结论可得：长度最短的金属丝的长就是线段AC+A C=2AC的值；在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的值，则AC+A C=2AC可求解.
20．（2020·绍兴模拟）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心D的坐标为 ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）.
【答案】（1）（-2，0）
（2）解：圆D的半径长= = ，AC= = .
∵AD2+CD2=20+20=40，AC2=40，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°.
设圆锥的底面圆的半径长为r，
则2πr= ，
解得： r= .
所以该圆锥底面圆的半径长为
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；圆锥的计算；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，可知点D的坐标为（-2，0）.
【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，就可确定出圆心D的位置，从而可得到圆心D的坐标。
（2）利用勾股定理求出DC，AC，的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，可得到展开的扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆的周长等于展开的扇形的弧长，建立关于r的方程，解方程求出r的值。
21．（2021八下·金东期末）如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）.已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）.
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；
（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？
【答案】（1）解：根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，
由勾股定理可得：MG＝GN＝ x，MN＝ 2x
∵正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120
∴x+2x+x＝120，解得：x＝30，
∴正方体的底面边长a＝30 ，
∴V＝a3＝ ＝5400 （cm3）；
答：这个工艺盒的体积是5400 cm3；
（2）解：设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，
则a＝ x，h＝ ＝ （60﹣x），
∴S＝4ah＝4 x （60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，
∵0＜x＜60，
∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2.
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设CM＝DN＝x（cm），根据折成的工艺盒恰好是个正方体，利用勾股定理表示出MG，MN的长，根据正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到正方形的底面边长，然后求出这个工艺盒的体积；
（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，用含x的代数式表示出a，h，再列出S与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质可求出结果.
22．（2020·浙江模拟）如图1，小明用一张边长为6 dm的正三角形硬纸板设计一个无盖的正三棱柱糖果盒，从三个角处分别剪去一个形状大小相同的四边形，其一边长记为x dm，再折成如图2所示的无盖糖果盒，它的容积记为y dm3.
（1）y关于x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 .
（2）为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：
①列表：请你补充表格中的数据；
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y 0 3.125 3.375 0.625 0
②描点：请你把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
③连线：请你用光滑的曲线顺次连接各点.
（3）利用函数图象解决：
①该糖果盒的最大容积是 ；
②若该糖果盒的容积超过2 dm3，请估计糖果盒的底边长a的取值范围.（保留一位小数）
【答案】（1）y=x(3-x)2；0＜x＜3
（2）解：为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：
①列表：请你补充表格中的数据；
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y 4 2
②描点：请你把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
③连线：请你用光滑的曲线顺次连接各点.
（3）4；解：②由图象可知：0.27＜x＜2 因为a=6-2x， 所以2＜a＜5.46
【知识点】函数解析式；函数的图象；几何体的展开图；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由题意可知无盖糖果的高为：，a=6-2x，
∴底面正三角形的面积为；
∴，
自变量x的取值范围是0＜x＜3.
故答案为： y=x(3-x)2； 0＜x＜3.
【分析】（1）观察图形，分别求出无盖糖果的高和底面正三角形的面积，由此可求出y与x的函数解析式，同时求出自变量x的取值范围。
（2）①分别将x=1和x=2代入函数解析式求出对应的y的值，②将表中x，y的对应值在平面直角坐标系中描出相应的点；③用圆滑的曲线连接，画出函数图象。
（3）①观察图像可知当x=1时函数值最大，由此可得到该糖果盒的最大容积；②根据该糖果盒的容积超过2 dm3，结合函数图象可求出a的取值范围。
23．（2020·江北模拟）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形.
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 （填A或B）.
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图.（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中.（用阴影表示）
【答案】（1）A
（2）解：立方体表面展开图如图所示：
（3）解：将其表面展开图画在方格图中如图所示：
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A，
故答案为：A.
【分析】（1）有“田”字格的展开图都不能围成正方体，据此可排除B，从而得出答案；
（2）可利用“1、3、2”作图（答案不唯一）；
（3）根据裁剪线裁剪，再展开.
24．（2023八下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务。
圆柱体外包装的材料损耗率问题研究
素材1 厂商在生产产品时，对产品外包装的材料，通常要考虑尽可能地合理利用，减少浪费。圆柱体形状的物品，它的外包装盒通常都是长方体，且上下底面为正方形。
素材2 设计产品外包装时，我们把裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率。一种材料利用率较高的裁剪方式如图所示，采用正方形纸板裁剪，只需剪掉四条边上的四个小三角形。 按这种方式包装一个底面直径为2，高为1的圆柱体(接缝处的材料损耗不计)，损耗率只有≈11.1%．
问题解决
任务1 现采用一张边长为4 cm的正方形纸，按如图所示的裁剪方式剪掉各边上的四个三角形后，可恰好无缝地做成一个圆柱体的外包装盒，设圆柱体的底面半径为r，则它的高h= ▲ (用r的代数式表示)
任务2 在上图中，若已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%，求这个圆柱体的底面半径r
任务3 现利用两块同样大小的正方形纸板，按如图方式裁剪后，可包装两个高分别为4和2的圆柱体，发现这两个圆柱体的体积恰好相等．求第一个圆柱体的底面半径．(圆柱体的体积=底面积×高)
【答案】解：任务一：4- 2r；
任务二：由题意，可得= 16%，
解得h=1.6
由h=4- 2r，得4- 2r= 1.6
得r=1.2；
任务三：设两个圆柱的底面半径分别为r和R，则有2r+4=2R+2
得R=r+1
由题意，得4rπr2=2π(r+1)2
解得r1=1+，r2=1- (不合题意，舍去)
答：第一个圆柱体的底面半径为1+．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；等腰直角三角形；圆柱的体积
【解析】【解答】解：任务一：
在等腰直角△AOG中，
2AO2=AG2=32，
解之：AO=4，
∵OF=DE=CE=r，EF=h，
∴2r+h=4，
∴h=4-2r.
故答案为：4-2r
【分析】任务一：根据图形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AO的长，同时可证得OF=DE=CE=r，EF=h，即可得到h与r的关系.
任务二：根据已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%，可得到关于h的方程，解方程求出h的值，然后根据h=4-2r，代入计算求出h的值.
任务三：两个圆柱的底面半径分别为r和R，可得到R与r之间的关系式，再根据这两个圆柱体的体积恰好相等，可得到关于r的方程，解方程求出符合题意r的值.
25．（2015·金华）图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．
（1）蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．
【答案】（1）解：①根据“两点之间，线段最短”可知：
线段A′B为最近路线，如图1所示．
②（i）．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．
在Rt△A′B′C中，
∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，
∴AC= = =20 ．
(ii)．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．
在Rt△A′C′C中，
∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，
∴A′C= = =10 ．
∵ ＜ ，
∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近
（2）解：过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．
∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′=60dm，
∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，
根据勾股定理可得AM= = = ，
MB= = = ，
∴50≤MP≤ ．
∵⊙M与PQ相切于点Q，
∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，
∴PQ= = ．
当MP=50时，PQ= =20 ；
当MP= 时，PQ= =55．
∴PQ长度的范围是20 dm≤PQ≤55dm
【知识点】几何体的展开图；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线；
②(i)．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①，运用勾股定理求出AC长；(ii)．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②，运用勾股定理求出A′C长，然后将两个长度进行比较，就可解决问题；（2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．由⊙M与PQ相切于点Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根据勾股定理可得PQ= = ．要求PQ的取值范围，只需先求出MP的取值范围，就可解决问题．
1 / 1（提升卷）3.4简单几何体的表面展开图-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·温州模拟）下列各图形中，经过折叠能围成一个立方体的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·武义期末）下面图形中，是直棱柱的表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七上·临海期末）如图所示，该正方体的展开图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·南湖模拟）如图是每个面都标注了字母的立方体表面展开图.在展开前，与标注字母 的面相对的面上的字母为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·越城模拟）已知图1的小正方形和图2中所有的小正方形都全等，将图1的小正方形安放在图2中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的.那么安放的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2023九下·上城月考）如图，从一块半径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·宁波模拟）如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
8．（2022·兰溪模拟）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·慈溪模拟）如图，在四边形ABCD中，BC=CD=4，AB=7，AB⊥BC，CD⊥BC。把四边形ABCD绕AB旋转一周，则该几何体的表面积为（ ）
A．48π B．56π C．68π D．72π
10．如图1所示，一只封闭的圆柱形容器内盛了一半水（容器的厚度忽略不计），圆柱形容器底面直径为高的2倍，现将该容器竖起后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1≤S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．S1=S2
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022七上·温州期中）仓库里有如图四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片尺寸单位：分米；从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体或立方体铁盒不浪费材料甲型盒是由3种规格铁片焊接而成的表面积最大的铁盒，乙型盒是由2种规格铁片焊接而成的容积最小的铁盒.现在要分别做上述两种铁盒各100个，则至少需要号铁片 块.
12．（2022·衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
13．（2022七上·西湖开学考）如图，硬纸片沿虛线折起来便可成一个正方体，与3号面相对的是 号面。
14．（2023·宁波模拟）已知圆锥的底面半径和母线的长分别是一元二次方程的两个根，则圆锥的侧面积为 ．
15．（2023九下·余姚月考）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为 .
16．（2022·衢江模拟）已知，，，，将此三角形绕旋转一周所形成的圆锥的侧面积是 .
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2019九上·三门期末）在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型.如图，已知△ABC是腰长为16cm的等腰直角三角形.
（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
（2）请求出所制作圆锥底面的半径长.
18．（2018九上·镇海期末）有一个顶部是圆锥，底部是圆柱的粮囤模型，如图是它的主视图.
（1）画出该粮囤模型的俯视图；
（2）若每相邻两个格点之间的距离均表示1米，请计算：
①在粮囤顶部铺上油毡，需要多少平方米油毡（油毡接缝重合部分不计）？
②若粮食最多只能装至与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米粮食？（结果保留 和根号）
19．（2021·绍兴模拟）如图，已知圆柱底面的直径 ，圆柱的高 ，在圆柱的侧面上，过点 ， 嵌有一圈长度最短的金属丝.
（1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______.
A． ； B． ；
C． ； D．
（2）求该长度最短的金属丝的长.
20．（2020·绍兴模拟）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心D的坐标为 ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）.
21．（2021八下·金东期末）如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）.已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）.
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；
（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？
22．（2020·浙江模拟）如图1，小明用一张边长为6 dm的正三角形硬纸板设计一个无盖的正三棱柱糖果盒，从三个角处分别剪去一个形状大小相同的四边形，其一边长记为x dm，再折成如图2所示的无盖糖果盒，它的容积记为y dm3.
（1）y关于x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 .
（2）为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：
①列表：请你补充表格中的数据；
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y 0 3.125 3.375 0.625 0
②描点：请你把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
③连线：请你用光滑的曲线顺次连接各点.
（3）利用函数图象解决：
①该糖果盒的最大容积是 ；
②若该糖果盒的容积超过2 dm3，请估计糖果盒的底边长a的取值范围.（保留一位小数）
23．（2020·江北模拟）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形.
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 （填A或B）.
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图.（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中.（用阴影表示）
24．（2023八下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务。
圆柱体外包装的材料损耗率问题研究
素材1 厂商在生产产品时，对产品外包装的材料，通常要考虑尽可能地合理利用，减少浪费。圆柱体形状的物品，它的外包装盒通常都是长方体，且上下底面为正方形。
素材2 设计产品外包装时，我们把裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率。一种材料利用率较高的裁剪方式如图所示，采用正方形纸板裁剪，只需剪掉四条边上的四个小三角形。 按这种方式包装一个底面直径为2，高为1的圆柱体(接缝处的材料损耗不计)，损耗率只有≈11.1%．
问题解决
任务1 现采用一张边长为4 cm的正方形纸，按如图所示的裁剪方式剪掉各边上的四个三角形后，可恰好无缝地做成一个圆柱体的外包装盒，设圆柱体的底面半径为r，则它的高h= ▲ (用r的代数式表示)
任务2 在上图中，若已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%，求这个圆柱体的底面半径r
任务3 现利用两块同样大小的正方形纸板，按如图方式裁剪后，可包装两个高分别为4和2的圆柱体，发现这两个圆柱体的体积恰好相等．求第一个圆柱体的底面半径．(圆柱体的体积=底面积×高)
25．（2015·金华）图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．
（1）蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴A，B，D不符合题意；C符合题意；
故答案为：C
【分析】利用正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得到经过折叠能围成一个立方体的选项.
2．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：B中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故能围成三棱柱，是三棱柱的表面展开图.
其余选项不能围成三棱柱.
故答案为：B.
【分析】B中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，据此判断.
3．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，
选项B中面“v”与“＝”是对面，因此选项B不符合题意；
再根据上面“v”符号开口，可以判断选项D符合题意；选项A、C不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据正方体可得“v”与“＝”是相邻面，然后根据“v”的开口方向进行判断.
4．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由立方体的展开图可得与标注字母 的面相对的面上的字母为 ；
故答案为：A.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
5．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体.
故答案为：A.
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题.
6．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵的半径是2，
∴，
连接，根据题意知，，
在中，，
即扇形的对应半径，
弧长，
设圆锥底面圆半径为r，则有
，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据半径可得底面圆的面积，连接BC、AO，根据题意知BC⊥AO，AO=BO=2，由勾股定理可得AB的值，利用弧长公式求出弧长，然后根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出底面圆的半径.
7．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：五边形ABCDE是正五边形，
，
则弧BD的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为3，
故答案为：B.
【分析】根据正五边形的性质得∠BCD=108°，进而根据弧长计算公式算出弧BD的长，再根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长建立方程，求解即可.
8．【答案】C
【知识点】平面展开﹣最短路径问题；圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，
则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．
∵点B是母线PA的中点，，
∴，
∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，
又∵圆锥底面半径为1，
∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即，扇形的半径=圆锥的母线=PA=4，
由弧长公式可得：
∴扇形的圆心角，
在Rt△APB中，由勾股定理可得：，
所以 蚂蚁爬行的最短路程为.
故答案为：C.
【分析】将该圆锥展开可得一个扇形，则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离，根据中点的概念可得PB=2，根据圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长结合弧长公式可得扇形圆心角的度数，然后利用勾股定理求解即可.
9．【答案】C
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E,
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B=∠C=∠DEB=90°
∴四边形BCDE是矩形，
∴DE=BC=DC=BE=4,
∴AE=AB-BE=7-4=3,
在Rt△ADE中
把四边形ABCD绕AB旋转一周，该几何体的下面是半径为4，母线长为4的圆柱，上面是底面圆的半径为4，母线长是AD的圆锥，
∴此几何体的表面积=S圆锥侧+S圆柱底+S圆柱侧
此几何体的表面积=.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，易证四边形BCDE是矩形，由此可得到DE，AE的长，利用勾股定理求出AD的长，把四边形ABCD绕AB旋转一周，该几何体的下面是半径为4，母线长为4的圆柱，上面是底面圆的半径为4，母线长是AD的圆锥，底面是半径为4的圆，然后根据此几何体的表面积=S圆锥侧+S圆柱底+S圆柱侧，代入计算可求出此几何体的表面积。
10．【答案】C
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：∵圆柱的底面半径为h，图1水的表面积为：S1=2πh2+2πh h=3πh2．
对于图2，
上面的矩形的长是2h，宽是h．则面积是2h2．
曲面展开后的矩形长是πh，宽是h．则面积是πh2．
上下底面的面积的和是：π×h2．
图2水的表面积S2=（2+2π）h2．
显然S1＞S2．
故选：C．
【分析】直接求出图1的表面积，然后图2可以看出表面积是由一个矩形和一个曲面以及两个半圆组成，曲面展开图是一个矩形，两个半圆面积的和等于一个圆的面积的和．求出这两个矩形的面积的和即可．
11．【答案】400
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意得，甲型盒是由两个两个和1个焊接而成，乙型盒是由两个和3个焊接而成，
块.
故答案为：400.
【分析】根据题意得：甲型盒是由两个①、两个③和1个②焊接而成，乙型盒是由两个④和3个②焊接而成，据此求解.
12．【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得长方体的长为cm，宽为xcm，高为1.5cm，列方程为：
.
故答案为：.
【分析】观察长方体的展开图可知此长方体的长，宽，高，再利用长方体的容积为360cm3，可得到关于x的方程.
13．【答案】6
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由展开图可知与3号面相对的是6号面.
故答案为：6.
【分析】利用正方体的展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，观察图形，可得答案.
14．【答案】12π
【知识点】因式分解法解一元二次方程；圆锥的计算
【解析】【解答】解：x2-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0或x-4=0，
解之：x1=3，x2=4，
∴圆锥的底面半径和母线的长分别是3和4，
∴圆锥的侧面积为3×4π=12π.
故答案为：12π
【分析】利用因式分解法求出求出一元二次方程的解，可得到圆锥的底面半径和母线的长；然后利用圆锥的侧面积等于πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径）.-
15．【答案】36π或24π
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；圆锥的计算
【解析】【解答】解：以3为旋转轴时，
所得圆锥的底面半径为4，高为3，母线长为，
所以旋转后成为圆锥的表面积为；
以4为旋转轴时，所得圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为，
所以旋转后成为圆锥的的表面积为；
综上，所以旋转后围成的几何体的表面积为36π或24π
故答案为：36π或24π.
【分析】分类讨论：①以3为旋转轴时，所得圆锥的底面半径为4，高为3，②以4为旋转轴时，所得圆锥的底面半径为3，高为4，用勾股定理算出母线长，根据旋转后的几何体是圆锥，其表面积=底面积+侧面积，进而结合扇形面积计算公式，分别计算即可.
16．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥体的切面如图所示，
在RtΔABC，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，
∴利用勾股定理可知，BC=3cm，
∴圆锥体底部圆的半径r=BC=3cm，
∴底部圆的周长，
∴则侧面展开后扇形的弧长为l，
∵AB=5cm，
∴侧面展开图扇形所在圆的半径R=AB=5cm，
∴侧面展开图扇形所在圆的周长，面积，
∴扇形面积与其所在圆的面积的比率，
∴圆锥侧面面积.
故答案为：.
【分析】画出圆锥体的切面，利用勾股定理可得BC=3cm，则圆锥体底部圆的半径为3cm，求出底面圆的周长，然后根据底面圆的周长等于侧面展开后扇形的弧长为l可得侧面展开图扇形所在圆的周长，根据圆的面积公式可得面积，然后求出扇形面积与其所在圆的面积的比率，据此解答.
17．【答案】（1）解：如图所示：扇形CEF为所求作的图形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC＝16cm，
∴AB＝16 cm，
由(1)可知CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，
∴CD＝8 cm，
设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr＝ ，
∴r＝2 cm，
答：所制作圆锥底面的半径长为2 cm
【知识点】切线的性质；圆锥的计算；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）当扇形的弧与等腰直角三角形ABC的斜边AB相切的时候，该扇形面积最大，利用尺规作图法作出∠ACB的角平分线，该线交AB于点D，根据等腰直角三角形的性质可知CD垂直于AB于点D，然后以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交AC于点F，交BC于点E，扇形CEF就是所求的扇形；
（2）根据勾股定理算出AB的长，根据等腰直角三角形的性质得出 CD⊥AB， 且CD=， 设圆锥底面的半径长为r ，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面扇形的弧长即可列出方程算出答案。
18．【答案】（1）解：
（2）①解：
答：需要 平方米油毡.
②解：
答：最多可以存放 立方米粮食.
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算；简单组合体的三视图
【解析】【分析】（1）根据三视图的画法画图即可.(2)根据圆锥侧面积计算公式即可解答.(3)根据圆柱体积计算公式即可解答.
19．【答案】（1）A
（2）解：如图：
侧面展开后 ， 两点之间的距离为 ，
， 两点之间的距离为 ，
该长度最短的金属丝的长=
所以该长度最短的金属丝的长为 .
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：（1）因圆柱的展开图为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，A选项符合要求.
故答案为：A.
【分析】（1）圆柱的展开图为长方形，由题意"点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝"根据两点之间线段最短可知AC展开应该是两条线段，结合各选项可求解；
（2）由（1）的结论可得：长度最短的金属丝的长就是线段AC+A C=2AC的值；在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的值，则AC+A C=2AC可求解.
20．【答案】（1）（-2，0）
（2）解：圆D的半径长= = ，AC= = .
∵AD2+CD2=20+20=40，AC2=40，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°.
设圆锥的底面圆的半径长为r，
则2πr= ，
解得： r= .
所以该圆锥底面圆的半径长为
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；圆锥的计算；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，可知点D的坐标为（-2，0）.
【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，就可确定出圆心D的位置，从而可得到圆心D的坐标。
（2）利用勾股定理求出DC，AC，的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，可得到展开的扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆的周长等于展开的扇形的弧长，建立关于r的方程，解方程求出r的值。
21．【答案】（1）解：根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，
由勾股定理可得：MG＝GN＝ x，MN＝ 2x
∵正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120
∴x+2x+x＝120，解得：x＝30，
∴正方体的底面边长a＝30 ，
∴V＝a3＝ ＝5400 （cm3）；
答：这个工艺盒的体积是5400 cm3；
（2）解：设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，
则a＝ x，h＝ ＝ （60﹣x），
∴S＝4ah＝4 x （60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，
∵0＜x＜60，
∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2.
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设CM＝DN＝x（cm），根据折成的工艺盒恰好是个正方体，利用勾股定理表示出MG，MN的长，根据正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到正方形的底面边长，然后求出这个工艺盒的体积；
（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，用含x的代数式表示出a，h，再列出S与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质可求出结果.
22．【答案】（1）y=x(3-x)2；0＜x＜3
（2）解：为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：
①列表：请你补充表格中的数据；
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y 4 2
②描点：请你把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
③连线：请你用光滑的曲线顺次连接各点.
（3）4；解：②由图象可知：0.27＜x＜2 因为a=6-2x， 所以2＜a＜5.46
【知识点】函数解析式；函数的图象；几何体的展开图；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由题意可知无盖糖果的高为：，a=6-2x，
∴底面正三角形的面积为；
∴，
自变量x的取值范围是0＜x＜3.
故答案为： y=x(3-x)2； 0＜x＜3.
【分析】（1）观察图形，分别求出无盖糖果的高和底面正三角形的面积，由此可求出y与x的函数解析式，同时求出自变量x的取值范围。
（2）①分别将x=1和x=2代入函数解析式求出对应的y的值，②将表中x，y的对应值在平面直角坐标系中描出相应的点；③用圆滑的曲线连接，画出函数图象。
（3）①观察图像可知当x=1时函数值最大，由此可得到该糖果盒的最大容积；②根据该糖果盒的容积超过2 dm3，结合函数图象可求出a的取值范围。
23．【答案】（1）A
（2）解：立方体表面展开图如图所示：
（3）解：将其表面展开图画在方格图中如图所示：
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A，
故答案为：A.
【分析】（1）有“田”字格的展开图都不能围成正方体，据此可排除B，从而得出答案；
（2）可利用“1、3、2”作图（答案不唯一）；
（3）根据裁剪线裁剪，再展开.
24．【答案】解：任务一：4- 2r；
任务二：由题意，可得= 16%，
解得h=1.6
由h=4- 2r，得4- 2r= 1.6
得r=1.2；
任务三：设两个圆柱的底面半径分别为r和R，则有2r+4=2R+2
得R=r+1
由题意，得4rπr2=2π(r+1)2
解得r1=1+，r2=1- (不合题意，舍去)
答：第一个圆柱体的底面半径为1+．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；等腰直角三角形；圆柱的体积
【解析】【解答】解：任务一：
在等腰直角△AOG中，
2AO2=AG2=32，
解之：AO=4，
∵OF=DE=CE=r，EF=h，
∴2r+h=4，
∴h=4-2r.
故答案为：4-2r
【分析】任务一：根据图形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AO的长，同时可证得OF=DE=CE=r，EF=h，即可得到h与r的关系.
任务二：根据已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%，可得到关于h的方程，解方程求出h的值，然后根据h=4-2r，代入计算求出h的值.
任务三：两个圆柱的底面半径分别为r和R，可得到R与r之间的关系式，再根据这两个圆柱体的体积恰好相等，可得到关于r的方程，解方程求出符合题意r的值.
25．【答案】（1）解：①根据“两点之间，线段最短”可知：
线段A′B为最近路线，如图1所示．
②（i）．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．
在Rt△A′B′C中，
∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，
∴AC= = =20 ．
(ii)．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．
在Rt△A′C′C中，
∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，
∴A′C= = =10 ．
∵ ＜ ，
∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近
（2）解：过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．
∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′=60dm，
∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，
根据勾股定理可得AM= = = ，
MB= = = ，
∴50≤MP≤ ．
∵⊙M与PQ相切于点Q，
∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，
∴PQ= = ．
当MP=50时，PQ= =20 ；
当MP= 时，PQ= =55．
∴PQ长度的范围是20 dm≤PQ≤55dm
【知识点】几何体的展开图；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线；
②(i)．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①，运用勾股定理求出AC长；(ii)．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②，运用勾股定理求出A′C长，然后将两个长度进行比较，就可解决问题；（2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．由⊙M与PQ相切于点Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根据勾股定理可得PQ= = ．要求PQ的取值范围，只需先求出MP的取值范围，就可解决问题．
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