（B卷）第三章 投影与三视图-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·连江期末）如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其“锥体”面图的“锥角”是，已知舞台ABCD是边长为6的正方形，AC是正方形ABCD的对角线．要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵∠APC=60°，
∴∠PAC=∠PCA=60°，
∵ABCD是边长为6的正方形，
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】根据”锥体“画面的”锥角“是60°，得出是等边三角形；再根据它的计算方法和正方形的特点分别进行计算，得出OC的长，再利用含30°的直角三角形的性质即可求出答案.
2．（2020九上·洛宁月考）学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（ ）
A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得: AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米，
同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得
，
代入得：
解得：树高= 6米.
故答案为：C.
【分析】由题意画出图形，然后根据同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等可得比例式求解.
3．（2023·遂宁）生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．四棱锥
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
A、三视图都为正方形，A符合题意；
B、主视图是等腰三角形，左视图是等腰三角形，俯视图是圆，B不符合题意；
C、主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，C不符合题意；
D、主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是四边形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据三视图的定义对选项逐一进行判断即可求解。
4．（2023·双柏模拟）如图是由5个相同小正方体搭成的几何体，若将小正方体B放到小正方体A的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．以上三种视图都改变
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题知将小正方体B放到A的正上方，主视图、俯视图和左视图都发生变化。
故答案选B
【分析】由三视图定义求解即可
5．（2023·长丰模拟）如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】找到从几何体正面看所得到的图形即可
故答案为：B
【分析】找到从几何体正面看所得到的图形即可
6．（2023·城阳模拟）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：左视图有两列，左边一列有2个正方体，右边一列有3个正方体．
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
7．（2023·兴宁模拟）如图，把一个高分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了平方分米．原来这个圆柱的体积是立方分米．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，近似长方体比圆柱体的表面积增加的部分就是近似长方体的两个长方形侧面面积，
，
，
（立方分米），
故答案为：B.
【分析】观察图形可知，近似长方体比圆柱体的表面积多了两个长方形面积，由此可计算圆柱底面半径，然后计算圆柱体积.
8．（2023·五华模拟）如图所示，圆锥的侧面积是，底面直径是．一只电子昆虫以的速度先从圆锥的顶点P沿母线爬到点A，再沿底面圆周爬行一周后回到点A，然后从点A沿母线爬回点P．设它的运动时间为t（单位：s），它与点P的距离为y（单位：），则y关于t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥的计算；圆锥的特征
【解析】【解答】解：∵圆锥的侧面积是，底面直径是，
∴母线长为13，
∵一只电子昆虫以的速度先从圆锥的顶点P沿母线爬到点A，
∴t=13s，且第一阶段昆虫与P的距离等比例增加，
∵圆锥的母线都相等，
∴当昆虫沿底面圆周爬行一周后回到点A的过程中，昆虫与P的距离不变，
∵然后从点A沿母线爬回点P，
∴函数图象应为y与x等比例增加到13s，然后不变，最后y与x等比例下降，
故答案为：A.
【分析】先根据圆锥侧面积公式即可得到母线的长，再结合题意，运用圆锥的性质即可判断选项求解。
9．（2021七上·长顺月考）若干个相同的正方体组成一个几何体，从不同方向看可以得到如图所示的形状，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．18个
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：综合从正南方向看（主视图）与从正西方向看（左视图）可知，这个几何体有三行、三列，
即：
第一行第1列最多有2个,
第一行第2列最多有1个,
第一行第3列最多有2个;
第二行第1列最多有1个,
第二行第2列最多有1个,
第二行第3列最多有1个;
第三行第1列最多有2个,
第三行第2列最多有1个,
第三行第3列最多有2个;
所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(个).
故答案为：B.
【分析】通过题中的两个从不同方向看到的图形可知，此几何体有三行，三列，分别判断出各行各列最多有几个正方体组成即可得出答案.
10．（2019七上·中期中）图①是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图②所示，若骰子初始位置为图②所示的状态，将骰子向右翻滚 ，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连线完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3点；连续完成2019次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，
“2点”与“5点”是相对面，“3点”与“4点”是相对面，“1点”与“6点”是相对面，
∵ ，
∴完成2019次翻转为第505组的第三次翻转，
∴骰子朝下一面的点数是5．
故答案为：D．
【分析】根据正方体的表面展开图，可得各个面上的数字，由2019次翻转为第505组的第三次翻转，即可得到答案．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·渠县期末）一块直角三角形板，，，，测得边的中心投影长为，则长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：，，， ，
∴，
∵，
，
即，
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用已知可得到△ABC∽△A1B1C1，利用相似三角形的对应边成比例，可求出A1B1的长.
12．（2021·龙沙模拟）由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉 个小正方体后的几何体的主视图和左视图都是图2所示图形．
【答案】3、4、5
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】根据题意，拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，
所以最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，如图，
故答案为：3，4、5．
【分析】作图求出最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块即可。
13．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高13米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了侧得电线杆的高度，数学兴趣小组的同学进行了如下测量 某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为3米，落在地面上的影子BF的长为8米，而电信杆落在围墙上的影子GH的长度为 米，落在地面上的银子DH的长为6米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度是 米
【答案】11
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：过点E作 于M，过点G作 于N．
则 ， ， ， ．
所以 ，
由平行投影可知， ，
即 ，
解得 ，
即电线杆的高度为11米．
故答案为：11．
【分析】过点E作 于M，过点G作 于N．根据矩形的性质得出 ， ， ， ，根据平行投影的性质得出，根据比例式建立方程，求解即可。
14．（2017·市北区模拟）如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图．若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个长方体，至少还需要 个小立方块．最终搭成的长方体的表面积是 ．
【答案】26；66
【知识点】几何体的表面积；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由俯视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，
其小正方块分布情况如下：
那么共有7+2+1=10个几何体组成．
若搭成一个大长方体，共需3×4×3=36个小立方体，
所以还需36﹣10=26个小立方体，
最终搭成的长方体的表面积是3×4×2+3×3×2+3×4×2=66
故答案为：26，66．
【分析】可从俯视图入手，每摞小正方体个数结合主视图、左视图求出10个，求出共需小立方体36个，作差可求出还需26个.
15．（2022七上·西安期中）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ，最小是 ．
【答案】51；26
【知识点】几何体的展开图；推理与论证
【解析】【解答】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，
最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26，
故答案为：51，26．
故答案为：51，26．
【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4.5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值；要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值.
16．（2020·广西模拟）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为 .
【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：如图，连结AC交BD于点H，
∴AC是BD的垂直平分线，
∵∠A＝90°， AB=AD，
∴∠ABD=45°，
∴AB=BH，
设BH=k, 则AB=k,
∴上面圆锥的侧面积= ,
∴，
∵∠ABC＝105° ，
∴∠CBD＝∠ABC-∠ABD=105°-45°=60°，
∴BC=2BH=2k,
∵下面圆锥的侧面积= .
故答案为： .
【分析】连结AC交BD于点H，因为△ABD为等腰直角三角形，可设BH=k, AB=k, 根据扇形的面积公式列出上圆锥的侧面积表达式，由其面积为1得出，由于∠ABC为105°，可知△CBD为等边三角形，再求出下圆锥的侧面积的表达式，代入即可求出结果.
三、解答题（共9题，共66分）
17．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段 表示站立在广场上的小亮，线段 表示直立在广场上的灯杆，点 表示照明灯的位置．
（1）在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越 （用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在 处的影子 ；
（2）当小亮离开灯杆的距离 时，身高为 的小亮的影长为 ，
①灯杆的高度为多少 ？
②当小亮离开灯杆的距离 时，小亮的影长变为多少 ？
【答案】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示， 即为所求；
（2）解：①先设 米，则当 米时， 米，
∵AB//PO，
∴△AEB∽△PEO，
∴ ，即 ，
∴ ；
②当 时，设小亮的影长是 米，
∵CD//OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即小亮的影长是 米
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1） 在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中， 投影线与地面的夹角越来越大， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 连接PA并延长交地面于点E，BE就是小亮的影子；
（2） ①先设 米，则当 米时， 米， 根据中心投影的性质得出 △AEB∽△PEO， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式建立方程，求解即可； ②当 时，设小亮的影长是 米， 根据中心投影的性质得出 △FCD∽△FPO， 根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
18．（2021九上·日照期中）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．求：
（1）剪掉后的剩余部分的面积；
（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？
【答案】（1）解：连接，
，，
米，，
，
（米，
则剪掉后的剩余部分的面积为：
（米；
（2）解：设该圆锥的底面半径是米，
用所剪得的扇形围成一个圆锥，底面圆的周长为：（米，
则，
解得：米，
该圆锥的底面半径是米；
（3）解：如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，不够用．
理由如下：
如图，剪掉的部分中③的面积最大．
连接并延长交于点，交于点，
则．
由（2）可知，能与扇形围成圆锥体的底面圆的直径（米，
又，即：围成圆锥体的底面圆的直径大于，
故不能围成圆锥体．
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接BC，利用锐角三角函数求出AB，再利用扇形面积公式求出答案；
（2）根据扇形弧长等于底面圆的周长，即可得出该圆锥的底面圆的半径；
（3）本题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径，然后进行比较即可。
19．（2022·德城模拟）为提高数学学习的兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动．已知旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心．
测量方法如下：在地面上找一点D，用测角仪测出看旗杆AB顶B的仰角为67.4°，沿DE方向走4.8米到达C地，再次测得看旗杆顶B的仰角为73.5°．
（1）求旗杆的高度．
（2）已知夏至日时该地的最大太阳高度约为78°，试问夏至日旗杆顶B的影子能不能落在台阶上？（太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角．结果精确到0.1m，参考数据：tan67.4°≈2.4，tan73.5°≈，tan22.6°≈，tan16.5°≈，tan12°≈0.21）
【答案】（1）解：设旗杆的高度为，则，
依题意，，
，
，
解得，
旗杆的高度为37.4米．
（2）解：旗杆的高度为37.4米，则杆顶B点到底面的高度为，
设旗杆在夏至日的影子长为，
，
解得米，
旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心，
，
不能．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）设旗杆长度为x，则EB=x+1，利用锐角三角函数计算即可
（2）设夏至日旗杆的影长为y，根据三角函数解y的值，进而可以解决问题
20．（2023·徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【知识点】圆的综合题；平行线分线段成比例；由三视图判断几何体；作图-线段垂直平分线；圆环的面积
【解析】【分析】（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为π×(32-12)，环的“肉”的面积为π×(32-1.52)，求出相应的值，然后求比值即可；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB、AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作DE的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解.
21．（2019七上·溧水期末）如图，是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体.
（1）该几何体的表面积（含下底面）是 cm2；
（2）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图.
（3）若使该几何体主视图、俯视图不发生改变，最多还可以在几何体上再堆放 个相同的小正方体.
【答案】（1）34
（2）解：如图所示：
（3）2
【知识点】几何体的表面积；由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（1）（6×2+5×2+6×2）×（1×1）
=（12+10+12）×1
=34×1
=34（cm2）
答：这个几何体的表面积为34cm2；
故答案为：34；
（ 3 ）若使该几何体主视图、俯视图不发生改变，可在从左数第2列前排小正方体上添加2个小正方体，
故答案为：2.
【分析】（1）将主视图、左视图、俯视图面积相加，再乘以2即可得；（2）根据三视图的概念求解可得；（3）若使该几何体主视图、俯视图不发生改变，可在从左数第2列前排小正方体上添加2个小正方体.
22．（2022七上·佛山期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：
（1）俯视图中b= ，a= ．
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成．
（3）能搭出满足条件的几何体共 ▲ 种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）．
【答案】（1）1；3
（2）9
（3）解：7；当d=2，e=2，f=2时小立方块最多.
此时，左视图为：
【知识点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】（1）b=1，a=3；
（2）1+1+2+1+1+3=9个；
【分析】（1）由主识图可知，第二列小立方体的个数均为1，第三列小立方体的个数为3，即可得出a、b的值；
（2）第一列小立方体的个数最少为2+1+1，那么加上其他两列小立方体的个数即可；
（3）由（2）可知，这个几何体最少由9个小立方块搭成，第一列小立方体的个数最多为2+2+2，那么最多由11个小立方块搭成，所以共有7种情况；小立方块最多时几何体的左视图有三列，每列小正方形数目分别为3，2，2。
23．（2020七上·成都月考）用棱长为 的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层， ，第 层（ 为正整数)
（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ．
（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积．
（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂 需要油漆0.2克，求喷涂第20个几何体，共需要多少克油漆？
【答案】（1）30
（2）解：第②个几何体的三视图如下：
由题意，每个小正方形的面积为 ，
则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为 ；
第③个几何体的三视图如下：
则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为
（3）解：第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为 ，
则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为 ，
因此，共需要油漆的克数为 （克），
答：共需要992克油漆
【知识点】作图﹣三视图；探索图形规律
【解析】【解答】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1，
搭建第②个几何体的小立方体的个数为 ，
搭建第③个几何体的小立方体的个数为 ，
归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ，
故答案为：30；
【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得；（2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得；（3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以 即可得．
24．（2020九上·蓬莱期末）如图所示，一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q．此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸见下图所示请解决下列问题：
（1）CQ与BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm：
（2）求液体的体积；（提示：直棱柱体积＝底面积×高）
（3）若容器底部的倾斜角∠CBE＝α，求α的度数．（参考数据：sin49°＝cos41°＝ ，tan37°＝ ）
【答案】（1）平行；3
（2）解：V液＝ ×3×4×4＝24（dm3）．
（3）解：∵CQ∥BE，
∴∠CBE＝∠BCQ，
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝ ＝ ，
∴∠BCQ＝37°，
∴α＝∠BCQ＝37°．
【知识点】解直角三角形；简单几何体的三视图
【解析】【解答】（1）CQ∥BE，BQ＝ ＝3dm．
【分析】（1）如图可直接得到CQ与BE的位置关系，再由勾股定理求BQ的长；（2）根据三视图得到直三棱柱的边长，再由直棱柱体积＝底面积×高，即可求得；（3）根据两直线平行内错角相等和三角函数值，即可求得 .
25．（2020七上·射阳月考）在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为acm的正方体模型，小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体模型（如图2）
（1）用含a的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是 ；
（2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ，求a的值；
（3）在（2）的条件下，
①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度.
②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是 ▲ cm；请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形.
【答案】（1）12a
（2）解：小高的模型的棱长之和为12acm，
小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱，故小刘的模型的棱长之和为： ，
根据题意可列
解得：
（3）解：①如下图
②72；如下图，
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：（1）12×a=12acm；
故答案为：12a；
（3）②如下图，
此时展开图的周长
故答案为：72.
【分析】（1）正方体有12条棱，据此可得各棱长度之和；
（2）小高的模型的棱长之和为12acm，小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱， 据此算出小刘的模型的棱长之和，进而根据“ 小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ”列出方程，据此解答；
（3）①根据正方体展开图的特点进行解答；
②画出图形，进而求出展开图的周长.
1 / 1（B卷）第三章 投影与三视图-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·连江期末）如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其“锥体”面图的“锥角”是，已知舞台ABCD是边长为6的正方形，AC是正方形ABCD的对角线．要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂高度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·洛宁月考）学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（ ）
A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米
3．（2023·遂宁）生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．四棱锥
4．（2023·双柏模拟）如图是由5个相同小正方体搭成的几何体，若将小正方体B放到小正方体A的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．以上三种视图都改变
5．（2023·长丰模拟）如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·城阳模拟）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·兴宁模拟）如图，把一个高分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了平方分米．原来这个圆柱的体积是立方分米．（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·五华模拟）如图所示，圆锥的侧面积是，底面直径是．一只电子昆虫以的速度先从圆锥的顶点P沿母线爬到点A，再沿底面圆周爬行一周后回到点A，然后从点A沿母线爬回点P．设它的运动时间为t（单位：s），它与点P的距离为y（单位：），则y关于t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021七上·长顺月考）若干个相同的正方体组成一个几何体，从不同方向看可以得到如图所示的形状，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．18个
10．（2019七上·中期中）图①是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图②所示，若骰子初始位置为图②所示的状态，将骰子向右翻滚 ，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连线完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3点；连续完成2019次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·渠县期末）一块直角三角形板，，，，测得边的中心投影长为，则长为 .
12．（2021·龙沙模拟）由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉 个小正方体后的几何体的主视图和左视图都是图2所示图形．
13．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高13米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了侧得电线杆的高度，数学兴趣小组的同学进行了如下测量 某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为3米，落在地面上的影子BF的长为8米，而电信杆落在围墙上的影子GH的长度为 米，落在地面上的银子DH的长为6米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度是 米
14．（2017·市北区模拟）如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图．若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个长方体，至少还需要 个小立方块．最终搭成的长方体的表面积是 ．
15．（2022七上·西安期中）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ，最小是 ．
16．（2020·广西模拟）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为 .
三、解答题（共9题，共66分）
17．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段 表示站立在广场上的小亮，线段 表示直立在广场上的灯杆，点 表示照明灯的位置．
（1）在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越 （用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在 处的影子 ；
（2）当小亮离开灯杆的距离 时，身高为 的小亮的影长为 ，
①灯杆的高度为多少 ？
②当小亮离开灯杆的距离 时，小亮的影长变为多少 ？
18．（2021九上·日照期中）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．求：
（1）剪掉后的剩余部分的面积；
（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？
19．（2022·德城模拟）为提高数学学习的兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动．已知旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心．
测量方法如下：在地面上找一点D，用测角仪测出看旗杆AB顶B的仰角为67.4°，沿DE方向走4.8米到达C地，再次测得看旗杆顶B的仰角为73.5°．
（1）求旗杆的高度．
（2）已知夏至日时该地的最大太阳高度约为78°，试问夏至日旗杆顶B的影子能不能落在台阶上？（太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角．结果精确到0.1m，参考数据：tan67.4°≈2.4，tan73.5°≈，tan22.6°≈，tan16.5°≈，tan12°≈0.21）
20．（2023·徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
21．（2019七上·溧水期末）如图，是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体.
（1）该几何体的表面积（含下底面）是 cm2；
（2）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图.
（3）若使该几何体主视图、俯视图不发生改变，最多还可以在几何体上再堆放 个相同的小正方体.
22．（2022七上·佛山期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：
（1）俯视图中b= ，a= ．
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成．
（3）能搭出满足条件的几何体共 ▲ 种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）．
23．（2020七上·成都月考）用棱长为 的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层， ，第 层（ 为正整数)
（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ．
（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积．
（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂 需要油漆0.2克，求喷涂第20个几何体，共需要多少克油漆？
24．（2020九上·蓬莱期末）如图所示，一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q．此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸见下图所示请解决下列问题：
（1）CQ与BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm：
（2）求液体的体积；（提示：直棱柱体积＝底面积×高）
（3）若容器底部的倾斜角∠CBE＝α，求α的度数．（参考数据：sin49°＝cos41°＝ ，tan37°＝ ）
25．（2020七上·射阳月考）在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为acm的正方体模型，小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体模型（如图2）
（1）用含a的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是 ；
（2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ，求a的值；
（3）在（2）的条件下，
①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度.
②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是 ▲ cm；请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵∠APC=60°，
∴∠PAC=∠PCA=60°，
∵ABCD是边长为6的正方形，
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】根据”锥体“画面的”锥角“是60°，得出是等边三角形；再根据它的计算方法和正方形的特点分别进行计算，得出OC的长，再利用含30°的直角三角形的性质即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得: AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米，
同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得
，
代入得：
解得：树高= 6米.
故答案为：C.
【分析】由题意画出图形，然后根据同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等可得比例式求解.
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
A、三视图都为正方形，A符合题意；
B、主视图是等腰三角形，左视图是等腰三角形，俯视图是圆，B不符合题意；
C、主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，C不符合题意；
D、主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是四边形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据三视图的定义对选项逐一进行判断即可求解。
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题知将小正方体B放到A的正上方，主视图、俯视图和左视图都发生变化。
故答案选B
【分析】由三视图定义求解即可
5．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】找到从几何体正面看所得到的图形即可
故答案为：B
【分析】找到从几何体正面看所得到的图形即可
6．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：左视图有两列，左边一列有2个正方体，右边一列有3个正方体．
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
7．【答案】B
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，近似长方体比圆柱体的表面积增加的部分就是近似长方体的两个长方形侧面面积，
，
，
（立方分米），
故答案为：B.
【分析】观察图形可知，近似长方体比圆柱体的表面积多了两个长方形面积，由此可计算圆柱底面半径，然后计算圆柱体积.
8．【答案】A
【知识点】圆锥的计算；圆锥的特征
【解析】【解答】解：∵圆锥的侧面积是，底面直径是，
∴母线长为13，
∵一只电子昆虫以的速度先从圆锥的顶点P沿母线爬到点A，
∴t=13s，且第一阶段昆虫与P的距离等比例增加，
∵圆锥的母线都相等，
∴当昆虫沿底面圆周爬行一周后回到点A的过程中，昆虫与P的距离不变，
∵然后从点A沿母线爬回点P，
∴函数图象应为y与x等比例增加到13s，然后不变，最后y与x等比例下降，
故答案为：A.
【分析】先根据圆锥侧面积公式即可得到母线的长，再结合题意，运用圆锥的性质即可判断选项求解。
9．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：综合从正南方向看（主视图）与从正西方向看（左视图）可知，这个几何体有三行、三列，
即：
第一行第1列最多有2个,
第一行第2列最多有1个,
第一行第3列最多有2个;
第二行第1列最多有1个,
第二行第2列最多有1个,
第二行第3列最多有1个;
第三行第1列最多有2个,
第三行第2列最多有1个,
第三行第3列最多有2个;
所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(个).
故答案为：B.
【分析】通过题中的两个从不同方向看到的图形可知，此几何体有三行，三列，分别判断出各行各列最多有几个正方体组成即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，
“2点”与“5点”是相对面，“3点”与“4点”是相对面，“1点”与“6点”是相对面，
∵ ，
∴完成2019次翻转为第505组的第三次翻转，
∴骰子朝下一面的点数是5．
故答案为：D．
【分析】根据正方体的表面展开图，可得各个面上的数字，由2019次翻转为第505组的第三次翻转，即可得到答案．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：，，， ，
∴，
∵，
，
即，
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用已知可得到△ABC∽△A1B1C1，利用相似三角形的对应边成比例，可求出A1B1的长.
12．【答案】3、4、5
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】根据题意，拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，
所以最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，如图，
故答案为：3，4、5．
【分析】作图求出最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块即可。
13．【答案】11
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：过点E作 于M，过点G作 于N．
则 ， ， ， ．
所以 ，
由平行投影可知， ，
即 ，
解得 ，
即电线杆的高度为11米．
故答案为：11．
【分析】过点E作 于M，过点G作 于N．根据矩形的性质得出 ， ， ， ，根据平行投影的性质得出，根据比例式建立方程，求解即可。
14．【答案】26；66
【知识点】几何体的表面积；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由俯视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，
其小正方块分布情况如下：
那么共有7+2+1=10个几何体组成．
若搭成一个大长方体，共需3×4×3=36个小立方体，
所以还需36﹣10=26个小立方体，
最终搭成的长方体的表面积是3×4×2+3×3×2+3×4×2=66
故答案为：26，66．
【分析】可从俯视图入手，每摞小正方体个数结合主视图、左视图求出10个，求出共需小立方体36个，作差可求出还需26个.
15．【答案】51；26
【知识点】几何体的展开图；推理与论证
【解析】【解答】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，
最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26，
故答案为：51，26．
故答案为：51，26．
【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4.5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值；要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值.
16．【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：如图，连结AC交BD于点H，
∴AC是BD的垂直平分线，
∵∠A＝90°， AB=AD，
∴∠ABD=45°，
∴AB=BH，
设BH=k, 则AB=k,
∴上面圆锥的侧面积= ,
∴，
∵∠ABC＝105° ，
∴∠CBD＝∠ABC-∠ABD=105°-45°=60°，
∴BC=2BH=2k,
∵下面圆锥的侧面积= .
故答案为： .
【分析】连结AC交BD于点H，因为△ABD为等腰直角三角形，可设BH=k, AB=k, 根据扇形的面积公式列出上圆锥的侧面积表达式，由其面积为1得出，由于∠ABC为105°，可知△CBD为等边三角形，再求出下圆锥的侧面积的表达式，代入即可求出结果.
17．【答案】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示， 即为所求；
（2）解：①先设 米，则当 米时， 米，
∵AB//PO，
∴△AEB∽△PEO，
∴ ，即 ，
∴ ；
②当 时，设小亮的影长是 米，
∵CD//OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即小亮的影长是 米
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1） 在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中， 投影线与地面的夹角越来越大， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 连接PA并延长交地面于点E，BE就是小亮的影子；
（2） ①先设 米，则当 米时， 米， 根据中心投影的性质得出 △AEB∽△PEO， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式建立方程，求解即可； ②当 时，设小亮的影长是 米， 根据中心投影的性质得出 △FCD∽△FPO， 根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
18．【答案】（1）解：连接，
，，
米，，
，
（米，
则剪掉后的剩余部分的面积为：
（米；
（2）解：设该圆锥的底面半径是米，
用所剪得的扇形围成一个圆锥，底面圆的周长为：（米，
则，
解得：米，
该圆锥的底面半径是米；
（3）解：如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，不够用．
理由如下：
如图，剪掉的部分中③的面积最大．
连接并延长交于点，交于点，
则．
由（2）可知，能与扇形围成圆锥体的底面圆的直径（米，
又，即：围成圆锥体的底面圆的直径大于，
故不能围成圆锥体．
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接BC，利用锐角三角函数求出AB，再利用扇形面积公式求出答案；
（2）根据扇形弧长等于底面圆的周长，即可得出该圆锥的底面圆的半径；
（3）本题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径，然后进行比较即可。
19．【答案】（1）解：设旗杆的高度为，则，
依题意，，
，
，
解得，
旗杆的高度为37.4米．
（2）解：旗杆的高度为37.4米，则杆顶B点到底面的高度为，
设旗杆在夏至日的影子长为，
，
解得米，
旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心，
，
不能．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）设旗杆长度为x，则EB=x+1，利用锐角三角函数计算即可
（2）设夏至日旗杆的影长为y，根据三角函数解y的值，进而可以解决问题
20．【答案】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【知识点】圆的综合题；平行线分线段成比例；由三视图判断几何体；作图-线段垂直平分线；圆环的面积
【解析】【分析】（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为π×(32-12)，环的“肉”的面积为π×(32-1.52)，求出相应的值，然后求比值即可；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB、AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作DE的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解.
21．【答案】（1）34
（2）解：如图所示：
（3）2
【知识点】几何体的表面积；由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（1）（6×2+5×2+6×2）×（1×1）
=（12+10+12）×1
=34×1
=34（cm2）
答：这个几何体的表面积为34cm2；
故答案为：34；
（ 3 ）若使该几何体主视图、俯视图不发生改变，可在从左数第2列前排小正方体上添加2个小正方体，
故答案为：2.
【分析】（1）将主视图、左视图、俯视图面积相加，再乘以2即可得；（2）根据三视图的概念求解可得；（3）若使该几何体主视图、俯视图不发生改变，可在从左数第2列前排小正方体上添加2个小正方体.
22．【答案】（1）1；3
（2）9
（3）解：7；当d=2，e=2，f=2时小立方块最多.
此时，左视图为：
【知识点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】（1）b=1，a=3；
（2）1+1+2+1+1+3=9个；
【分析】（1）由主识图可知，第二列小立方体的个数均为1，第三列小立方体的个数为3，即可得出a、b的值；
（2）第一列小立方体的个数最少为2+1+1，那么加上其他两列小立方体的个数即可；
（3）由（2）可知，这个几何体最少由9个小立方块搭成，第一列小立方体的个数最多为2+2+2，那么最多由11个小立方块搭成，所以共有7种情况；小立方块最多时几何体的左视图有三列，每列小正方形数目分别为3，2，2。
23．【答案】（1）30
（2）解：第②个几何体的三视图如下：
由题意，每个小正方形的面积为 ，
则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为 ；
第③个几何体的三视图如下：
则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为
（3）解：第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为 ，
则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为 ，
因此，共需要油漆的克数为 （克），
答：共需要992克油漆
【知识点】作图﹣三视图；探索图形规律
【解析】【解答】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1，
搭建第②个几何体的小立方体的个数为 ，
搭建第③个几何体的小立方体的个数为 ，
归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ，
故答案为：30；
【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得；（2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得；（3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以 即可得．
24．【答案】（1）平行；3
（2）解：V液＝ ×3×4×4＝24（dm3）．
（3）解：∵CQ∥BE，
∴∠CBE＝∠BCQ，
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝ ＝ ，
∴∠BCQ＝37°，
∴α＝∠BCQ＝37°．
【知识点】解直角三角形；简单几何体的三视图
【解析】【解答】（1）CQ∥BE，BQ＝ ＝3dm．
【分析】（1）如图可直接得到CQ与BE的位置关系，再由勾股定理求BQ的长；（2）根据三视图得到直三棱柱的边长，再由直棱柱体积＝底面积×高，即可求得；（3）根据两直线平行内错角相等和三角函数值，即可求得 .
25．【答案】（1）12a
（2）解：小高的模型的棱长之和为12acm，
小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱，故小刘的模型的棱长之和为： ，
根据题意可列
解得：
（3）解：①如下图
②72；如下图，
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：（1）12×a=12acm；
故答案为：12a；
（3）②如下图，
此时展开图的周长
故答案为：72.
【分析】（1）正方体有12条棱，据此可得各棱长度之和；
（2）小高的模型的棱长之和为12acm，小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱， 据此算出小刘的模型的棱长之和，进而根据“ 小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ”列出方程，据此解答；
（3）①根据正方体展开图的特点进行解答；
②画出图形，进而求出展开图的周长.
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