浙教版七年级数学每日一题31-35数式规律探究问题（含答案）

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七年级每日一题31——数式规律探究问题
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31．求数列的和：
观察题目，我们发现式子里面后一项都是前一项的2倍．
假设原式总和为 ①
接下来我们来看一下是多少，
①： ②
然后②-①：
所以
(1)根据上面所学，请计算：．
(2)由此，请推导出这类数列求和的规律：．
(3)由你推导出的规律，请直接写出= ．
七年级每日一题32——数式规律探究问题
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32．材料1：一个多位正整数，将其首两位截去，若余下的数与这个首两位数的和能被11整除，则称这样的数为“双十一数”．如1221，截去首两位12，余下的数为21，21与12的和为33，能被11整除，则1221是“双十一数”．
材料2：一个各位数字均不为0的三位正整数m，将其各位上的数字重新排列得到新三位数，在所有重新排列的数中，当最大时，我们称此时的三位数为m的“自恋数”，并规定．例如123，重新排列可得132，213，231，312，321，1+2×3-3×2=1，2+2×1-3×3=-5，2+2×3-3×1=5，3+2×1-3×2=-1，3+2×2-3×1=4，5>4>1>-1>-5，∴231是123的“自恋数”，则，请回答下列问题：
(1)5665是 （填“是”或“不是”）“双十一数”；将任意一个“双十一数”的首两位数与余下的数交换得到一个新数，该新数 被11整除（填“能”或“不能”）；
(2)若一个三位“双十一数”，它的十位数字与个位数字之和是7，且十位数字大于个位数字，求所有这样的“双十一数”中的最大值．
七年级每日一题33——数式规律探究问题
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33．下列是用火柴棒拼出的一列图形．
(1)第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；
(2)第n个图形中共有_________根火柴(用含n的式子表示)
(3)若f(n)=2n 1（如f( 2)=2×( 2) 1，f(3)=2×3 1），求的值．
(4)请判断上组图形中前2021个图形火柴总数是2021的倍数吗，并说明理由
七年级每日一题34——数式规律探究问题
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34．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图 中的 ，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数（三边形数）；类似的，称图 中的 ，，，，，这样的数为正方形数（四边形数）．
(1)请你写出既是三角形数又是正方形数且大于 的最小正整数为 ．
(2)记第 个 边形数为 ．例如 ，，．
① ， ， ．
②通过进一步的研究发现，，，请你推测 的表达式，并由此计算 的值．
七年级每日一题35——数式规律探究问题
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35．一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，若正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，
例如：357满足＝5，233241满足．
(1)判断：468_____平衡数；314567_____平衡数（填“是”或“不是”）；
(2)证明任意一个三位平衡数一定能被3整除；
(3)若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为9的倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数．
七年级每日一题31答案
（1）设①
①的：②
②-①得：
即；
（2）设①，
①得：②，
②-①的：
当时，，
当时，；
（3）
设，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
七年级每日一题32答案
（1）∵5665截去首两位56，余下的数为65，65与56的和为121，能被11整除，
∴5665是“双十一数”；
设任意一个“双十一数”的首两位数为M，剩余的为N，则M+N能被11整除．
交换后的新数为100N+M，
∵100N+M =99N+(M+N)，且99N能被11整除，
∴交换后的新数能被11整除．故答案为：是，能；
（2）设t的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，
由题意可知y+z=7，
∵t为“双十一数”
∴10x+y+z=10x+7能被11整除，∴x=7．
∵十位数字大于个位数字，即y>z，
∴t为761或752或743．
①当t为761时，
重新排列后分别为：716，617，671，167，176
7+2×1-3×6=-9，6+2×1-3×7=-13，6+2×7-3×1=17，1+2×6-3×7=-8，1+2×7-3×6=-3，
∵17>-3>-8>-9>-13，
∴671是t的“自恋数”，
∴；
②当t为752时，
同理可求出572是t的“自恋数”，
∴；
③当t为743时，
同理可求出473是t的“自恋数”，
∴．
∵，
∴的最大值为．
七年级每日一题33答案
（1）根据图案可知，
第4个图案中有4×4+1=17根火柴
第6个图案中火柴有4×6+1=25，
故答案为：17、25；
（2）当n=1时，火柴的根数是4×1+1=5；
当n=2时，火柴的根数是4×2+1=9；
当n=3时，火柴的根数是4×3+1=13；
所以第n个图形中火柴有4n+1．
故答案为：4n+1；
（3）
f(1)=2×1 1=1，
f(2)=2×2 1=3，
f(3)=2×3 1=5，
=
=
=2021.
（4）
4×1+1+4×2+1+……+4×2021+1
=4×（1+2+ ……+2021）+1×2021
=4××（1+2021）×2021+2021
=2×（1+2021）×2021+2021
=4045×2021.
∴是2021倍数.
七年级每日一题34答案
（1）解：(1)根据三角形数的规律，可得，四边形数为，
所以三角形数为1 ，3，6，10，15，21，28，36， ；
四边形数为1 ，4，9，16，25，36， ，
故既是三角形数又是正方形数且大于 1 的最小正整数为36．
（2）解：(2) ① ；；
② ，
，
，
，
由此推断出 ，
．
七年级每日一题35答案
(1)∵＝6，∴468是平衡数；
∵＝49≠45，∴314567不是平衡数；
故答案为：是；不是；
(2)证明：设这个三位平衡数为：100a+10 +b，
∵100a+10 +b＝100a+5a+5b+b＝105a+6b＝3(35a+2b)，
∴100a+10 +b一定能被3整除，
即任意一个三位平衡数一定能被3整除；
(3)设这个三位平衡数为100x+10()+y，
∴10+y-x=9k，∴6y+4x＝9k，∴6y+4x满足被9整除，
又∵是整数，∴x+y是2的倍数，
∵三位数是偶数，∴y是偶数，
∵0＜x≤9，0≤y≤9，由于y为偶数，
则y可以取0，2，4，6，8，
y＝0时，x无满足条件值；
y＝2时，x＝6满足；
y＝4时，x无满足条件值；
y＝6时，x无满足条件值；
y＝8时，x＝6满足，
综上所述，三位数为642，678．
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