（第一次学期单元测试）第1章 有理数—2023-2024学年浙教版七年级数学
一、选择题
1．（2023七上·东方期末）大于-1且小于2的整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】有理数大小比较；有理数及其分类
【解析】【解答】解：大于-1且小于2的整数有0、1，共2个.
故答案为：B.
【分析】根据有理数比较大小的方法进行解答.
2．（2023·宁夏）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：根据绝对值的定义可知，.
故答案为：.
【分析】 根据绝对值的定义即可得出答案.
3．（2023八下·龙湖期末）的相反数是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-的相反数为.
故答案为：C.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
4．数轴上表示﹣5的点到原点的距离为（ ）
A．5 B．-5 C． D．-
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为|a|，
∴数轴上表示﹣5的点到原点的距离为|﹣5|=5．
故选：A．
【分析】根据数轴上各点到原点距离的定义进行解答即可．
5．（2023七上·渭滨期末）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果向北走步记作步，那么向南走步记作（ ）
A．步 B．步 C． D．步
【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：向北走步记作步，那么向南走步记作步，
故答案为：B.
【分析】正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，若规定向北走为正，则向南走为负，据此解答.
6．（2023·昆明模拟）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若小文同学通过微信抢红包“收入”元，记作“元”，则他用微信消费元应记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：∵小文同学通过微信抢红包“收入”元，记作“元”，
∴消费元应记作元，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数的认识即可求解。
7．（2023九下·黄石港月考）若a－|a|＝－20，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧
C．原点右侧 D．原点或原点右侧
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
，
故答案为：A.
【分析】对a的取值范围进行分类讨论是本题的解题关键，然后化简整式得出结果.
8．（2019七上·简阳期末）若lal=3，lbl=5，a与b异号，则|a-b|的值为（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．2或8
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵lal=3，lbl=5，
∴a=±3，b=±5，
又∵a、b异号，
∴a=3，b=-5；a=-3，b=5，
当a=3，b=-5时，；
当a=-3，b=5时，。
故答案为：C
【分析】根据绝对值的意义可得a、b的所有取值，结合a、b异号可得a、b的取值有两种组合，据此代入计算即可。
9．（2023七上·青田期末）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在到之间的产品都属于合格产品.现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：由题意得：合格范围为：到，
而，，
∴A，C，D都不合格，
∵
∴B选项是合格品，
故答案为：B.
【分析】根据正数与负数所表示的意义，利用有理数的加减法算出加工轴的合格尺寸范围，然后将四个选项所给的数值一一判断即可得出答案.
10．（2023·重庆）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，……．
下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
③所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
①∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴在“绝对操作”后，x和y前的符号不会发生变化，而z、n、m前的符号有可能发生变化，
∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；
③由题意得，再进行“绝对操作”时，可能会产生：
；
；
；
；
；
∴一共可以产生5种运算结果，故③错误；
故答案为：C
【分析】根据“绝对操作”的定义，运用绝对值的性质即可求解。
二、填空题
11．（2023七下·衡阳期末）2023的相反数是 ．
【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2023的相反数是-2023，
故答案为：-2023.
【分析】根据相反数定义即可得出答案。
12．（2023·滨州）计算的结果为 ．
【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得2-3=-1，
故答案为：-1
【分析】根据绝对值进行运算即可求解。
13．（2023·哈尔滨月考）在数轴上，点表示的数为，点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动经过 秒，点与原点的距离为6个单位长度.
【答案】3或7
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：设运动时间为x秒，
当点M在原点左边时，由题意，得3x-15=-6，解得x=3，
当点M在原点右边时，由题意，得3x-15=6，解得x=7，
所以点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右运动经过3或7秒，点M与原点的距离为6个单位长度.
故答案为：3或7.
【分析】设运动时间为x秒，分当点M在原点左边时与点M在原点右边时，根据OM=6，分别列出方程，求解可得答案.
14．（2023·连云）如图，数轴上的点分别对应实数，则 0.（用“>”“<”或“=”填空）
【答案】＜
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】有数轴可知，a为负数，b为正数，且|a|＞|b|，因此a+b＜0.
故答案是：＜.
【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，以及两者的绝对值关系，从而可以判断a+b与0的大小关系.
15．（2023七上·临湘期末）若火箭发射点火前5秒记作-5秒，则火箭发射点火后10秒应记作 .
【答案】+10秒
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：若火箭发射点火前5秒记为-5秒，则点火后为正；那么火箭发射点火后10秒应记为+10秒.
故答案为：+10秒.
【分析】根据正数与负数可以表示具有相反意义的一对量，故弄清楚了负数所表示的量，即可得出答案.
16．（2023七上·西安期末）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的所有整数的和是 .
【答案】
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由图可知，左边盖住的整数是，，，；
右边盖住的整数是1，2，3，4；
所以他们的和是，
故答案为：.
【分析】根据题中已知的数轴可知：左边盖住的整数是，，，；右边盖住的整数是1，2，3，4；再求和即可.
三、解答题
17．（2022七上·招远期末）把下列各数填入相应的集合里：
0.236，，，0，，，2023，-0.030030003…
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
【答案】解：正数集合：{0.236，，，2023，…}；
负数集合：{，，-0.030030003……}；
有理数集合：{0.236，，0，，，2023…}；
无理数集合：{ ， -0.030030003…}．
【知识点】有理数及其分类
【解析】【分析】根据有理数的分类求解即可。
18．（2022七上·定南期中）把下列各数表示到数轴上．
， 0 ， ，，
【答案】解： ；；；
把， 0 ， ，，表示在数轴上如图：
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【分析】先化简，，，再根据数轴的特点将各数分别表示即可.
19．（2021七上·东莞期末）一天，某出租车被安排以A地为出发地，只在东西方向道路上营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10．假设该出租车每次乘客下车后，都在停车地等待下一个乘客，直到下一个乘客上车再出发．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地何处？
（2）若每千米的价格为3元，司机当天的营业额是多少
【答案】（1）解：∵行车里程依先后次序记录：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10，
∴将最后一名乘客送到目的地出租车在A地位置：
(+9) + (-3) +(-5)+ (+4)+(-8) + (+6) +(-7)+ (-6) +(-4)+ (+10) =-4，
∴出租车在A地的西边，距离A地4km ；
（2）解：出租车当天所行驶的总路程为：|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-7|+|-6|+|-4|+|+10|= 62km，
∴司机当天的营业额为： 62×3=186 (元).
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【分析】（1）由有理数的和差计算得距离4km，方向位于A地的西边；
（2）由绝对值的几何意义求出路程62km，再由单价、数量和总价的关系求出司机当天的营业额是186元。
20．（2019七上·平遥月考）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就点C是(A，B)的美好点例如：如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是(A，B)的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是〔A，B)的美好点，但点D是(B，A)的美好点。
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为-7，点N所表示的数为2.
（1）点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是(M，N)美好点的是 ； 写出(N，M)美好点H所表示的数是 。
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点
【答案】（1）G；-4或-16
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，酬N=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，
当M=2N时，NP=27，点P对应的数为2-27=-25，因此t=13.5秒
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN=2MP时，NP=135，点P对应的数为2-13.5=-1.5，因此t=6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，
当MN=时，NP=45，点P对应的数为2-4.5=-2.5，因此t=2.25秒；
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【分析】首先通过阅读，要理解美好点。CA=2CB，即C是AB的美好点；
CB=2CA，即C是BA的美好点。
然后再进行分类讨论：
P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间；
P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间；
P为【N，M】的美好点，点P在M左侧；
M为【P，N】的美好点，点P在M左侧；
M为【N，P】的美好点，点P在M左侧；
M为【N，P】的美好点，点P在M、N左侧
21．（2023七上·金东期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合.
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 ；
（2）图中点所表示的数是 ，点所表示的数是 ；
（3）受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄.
【答案】（1）9
（2）12；21
（3）解：由题意可知：当爷爷像小明这样大时，小明为（ 37）岁，
所以爷爷与小明的年龄差为[119 （ 37）]÷3＝52岁，
所以现在小明的年龄为119 52 52＝15（岁），
爷爷的年龄为119-52=67（岁）.答爷爷的年龄为67岁，小明的年龄为15岁.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：（1）观察数轴可知三根这样长的木棒长为30 3＝27（cm），
则这根木棒的长为27÷3＝9（cm），
故答案为：9；
（2）由（1）可知这根木棒的长为9cm，
所以A点表示3＋9＝12，B点表示的数是3＋9＋9＝21；
故答案为：12，21；
【分析】（1）由图可知3倍的AB长为30 3＝27（cm），即可求AB的长度；
（2）A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A点右侧，距离A点有9个单位长度，故B点为21；
（3）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爷爷的年龄，则木棒的长表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出．
22．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（ ， ），B→C（ ， ），C→ （+1，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？
【答案】（1）+3；+4；+2；0；D
（2）解：P点位置如图1所示；
（3）解：如图2，
根据已知条件可知：
A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10
（4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
故答案为：（+3，+4），（+2，0），D；
【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可；
（2）根据所给的路线确定点的位置即可；
（3）根据表示的路线确定长度相加可得结果；
（4）观察点的变化情况，根据（1）即可确定点走了格数，从而确定结论.
23．（2020七上·东台期中）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化.
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.
（ 1 ）|x﹣3|＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x表示的点到3的距离等于4
∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1
（ 2 ）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5.∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7
材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值.
由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值.
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位.
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5.
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为 ；
（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值.
（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围.
【答案】（1）5
（2）解：|x+3|+|x﹣10|的最小值为13，
∵|x+3|+|x﹣10|＝15，
∴x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11，
∵|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|表示数轴上表示y到﹣2，3，5之间的距离和最小，
∴当y＝3时，有最小值7，
∴x﹣y＝﹣7或x﹣y＝8；
（3）解：|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小，
当n是奇数时，中间的点为 ，
∴当x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝ ，
∴最小值为 ；
当n是偶数时，中间的两个点相同为 ，
∴当x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝ ，
∴最小值为 .
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（1）由阅读材料可得：|x﹣3|+|x+2|的最小值为5，
故答案为5
【分析】（1）利用阅读材料直接解答即可；
（2）由已知得x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11， 从而得出当y＝3时，|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|有最小值7，分别代入求出x-y的值即可；
（3）当n是奇数时，中间的点为 ，当n是偶数时，中间的两个点相同为
1 / 1（第一次学期单元测试）第1章 有理数—2023-2024学年浙教版七年级数学
一、选择题
1．（2023七上·东方期末）大于-1且小于2的整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·宁夏）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·龙湖期末）的相反数是（ ）
A． B．3 C． D．
4．数轴上表示﹣5的点到原点的距离为（ ）
A．5 B．-5 C． D．-
5．（2023七上·渭滨期末）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果向北走步记作步，那么向南走步记作（ ）
A．步 B．步 C． D．步
6．（2023·昆明模拟）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若小文同学通过微信抢红包“收入”元，记作“元”，则他用微信消费元应记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
7．（2023九下·黄石港月考）若a－|a|＝－20，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧
C．原点右侧 D．原点或原点右侧
8．（2019七上·简阳期末）若lal=3，lbl=5，a与b异号，则|a-b|的值为（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．2或8
9．（2023七上·青田期末）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在到之间的产品都属于合格产品.现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·重庆）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，……．
下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
③所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023七下·衡阳期末）2023的相反数是 ．
12．（2023·滨州）计算的结果为 ．
13．（2023·哈尔滨月考）在数轴上，点表示的数为，点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动经过 秒，点与原点的距离为6个单位长度.
14．（2023·连云）如图，数轴上的点分别对应实数，则 0.（用“>”“<”或“=”填空）
15．（2023七上·临湘期末）若火箭发射点火前5秒记作-5秒，则火箭发射点火后10秒应记作 .
16．（2023七上·西安期末）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的所有整数的和是 .
三、解答题
17．（2022七上·招远期末）把下列各数填入相应的集合里：
0.236，，，0，，，2023，-0.030030003…
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
18．（2022七上·定南期中）把下列各数表示到数轴上．
， 0 ， ，，
19．（2021七上·东莞期末）一天，某出租车被安排以A地为出发地，只在东西方向道路上营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10．假设该出租车每次乘客下车后，都在停车地等待下一个乘客，直到下一个乘客上车再出发．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地何处？
（2）若每千米的价格为3元，司机当天的营业额是多少
20．（2019七上·平遥月考）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就点C是(A，B)的美好点例如：如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是(A，B)的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是〔A，B)的美好点，但点D是(B，A)的美好点。
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为-7，点N所表示的数为2.
（1）点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是(M，N)美好点的是 ； 写出(N，M)美好点H所表示的数是 。
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点
21．（2023七上·金东期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合.
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 ；
（2）图中点所表示的数是 ，点所表示的数是 ；
（3）受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄.
22．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（ ， ），B→C（ ， ），C→ （+1，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？
23．（2020七上·东台期中）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化.
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.
（ 1 ）|x﹣3|＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x表示的点到3的距离等于4
∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1
（ 2 ）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5.∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7
材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值.
由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值.
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位.
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5.
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为 ；
（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值.
（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数大小比较；有理数及其分类
【解析】【解答】解：大于-1且小于2的整数有0、1，共2个.
故答案为：B.
【分析】根据有理数比较大小的方法进行解答.
2．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：根据绝对值的定义可知，.
故答案为：.
【分析】 根据绝对值的定义即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-的相反数为.
故答案为：C.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
4．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为|a|，
∴数轴上表示﹣5的点到原点的距离为|﹣5|=5．
故选：A．
【分析】根据数轴上各点到原点距离的定义进行解答即可．
5．【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：向北走步记作步，那么向南走步记作步，
故答案为：B.
【分析】正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，若规定向北走为正，则向南走为负，据此解答.
6．【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：∵小文同学通过微信抢红包“收入”元，记作“元”，
∴消费元应记作元，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数的认识即可求解。
7．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
，
故答案为：A.
【分析】对a的取值范围进行分类讨论是本题的解题关键，然后化简整式得出结果.
8．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵lal=3，lbl=5，
∴a=±3，b=±5，
又∵a、b异号，
∴a=3，b=-5；a=-3，b=5，
当a=3，b=-5时，；
当a=-3，b=5时，。
故答案为：C
【分析】根据绝对值的意义可得a、b的所有取值，结合a、b异号可得a、b的取值有两种组合，据此代入计算即可。
9．【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：由题意得：合格范围为：到，
而，，
∴A，C，D都不合格，
∵
∴B选项是合格品，
故答案为：B.
【分析】根据正数与负数所表示的意义，利用有理数的加减法算出加工轴的合格尺寸范围，然后将四个选项所给的数值一一判断即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
①∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴在“绝对操作”后，x和y前的符号不会发生变化，而z、n、m前的符号有可能发生变化，
∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；
③由题意得，再进行“绝对操作”时，可能会产生：
；
；
；
；
；
∴一共可以产生5种运算结果，故③错误；
故答案为：C
【分析】根据“绝对操作”的定义，运用绝对值的性质即可求解。
11．【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2023的相反数是-2023，
故答案为：-2023.
【分析】根据相反数定义即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得2-3=-1，
故答案为：-1
【分析】根据绝对值进行运算即可求解。
13．【答案】3或7
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：设运动时间为x秒，
当点M在原点左边时，由题意，得3x-15=-6，解得x=3，
当点M在原点右边时，由题意，得3x-15=6，解得x=7，
所以点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右运动经过3或7秒，点M与原点的距离为6个单位长度.
故答案为：3或7.
【分析】设运动时间为x秒，分当点M在原点左边时与点M在原点右边时，根据OM=6，分别列出方程，求解可得答案.
14．【答案】＜
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】有数轴可知，a为负数，b为正数，且|a|＞|b|，因此a+b＜0.
故答案是：＜.
【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，以及两者的绝对值关系，从而可以判断a+b与0的大小关系.
15．【答案】+10秒
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：若火箭发射点火前5秒记为-5秒，则点火后为正；那么火箭发射点火后10秒应记为+10秒.
故答案为：+10秒.
【分析】根据正数与负数可以表示具有相反意义的一对量，故弄清楚了负数所表示的量，即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由图可知，左边盖住的整数是，，，；
右边盖住的整数是1，2，3，4；
所以他们的和是，
故答案为：.
【分析】根据题中已知的数轴可知：左边盖住的整数是，，，；右边盖住的整数是1，2，3，4；再求和即可.
17．【答案】解：正数集合：{0.236，，，2023，…}；
负数集合：{，，-0.030030003……}；
有理数集合：{0.236，，0，，，2023…}；
无理数集合：{ ， -0.030030003…}．
【知识点】有理数及其分类
【解析】【分析】根据有理数的分类求解即可。
18．【答案】解： ；；；
把， 0 ， ，，表示在数轴上如图：
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【分析】先化简，，，再根据数轴的特点将各数分别表示即可.
19．【答案】（1）解：∵行车里程依先后次序记录：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10，
∴将最后一名乘客送到目的地出租车在A地位置：
(+9) + (-3) +(-5)+ (+4)+(-8) + (+6) +(-7)+ (-6) +(-4)+ (+10) =-4，
∴出租车在A地的西边，距离A地4km ；
（2）解：出租车当天所行驶的总路程为：|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-7|+|-6|+|-4|+|+10|= 62km，
∴司机当天的营业额为： 62×3=186 (元).
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【分析】（1）由有理数的和差计算得距离4km，方向位于A地的西边；
（2）由绝对值的几何意义求出路程62km，再由单价、数量和总价的关系求出司机当天的营业额是186元。
20．【答案】（1）G；-4或-16
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，酬N=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，
当M=2N时，NP=27，点P对应的数为2-27=-25，因此t=13.5秒
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN=2MP时，NP=135，点P对应的数为2-13.5=-1.5，因此t=6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，
当MN=时，NP=45，点P对应的数为2-4.5=-2.5，因此t=2.25秒；
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【分析】首先通过阅读，要理解美好点。CA=2CB，即C是AB的美好点；
CB=2CA，即C是BA的美好点。
然后再进行分类讨论：
P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间；
P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间；
P为【N，M】的美好点，点P在M左侧；
M为【P，N】的美好点，点P在M左侧；
M为【N，P】的美好点，点P在M左侧；
M为【N，P】的美好点，点P在M、N左侧
21．【答案】（1）9
（2）12；21
（3）解：由题意可知：当爷爷像小明这样大时，小明为（ 37）岁，
所以爷爷与小明的年龄差为[119 （ 37）]÷3＝52岁，
所以现在小明的年龄为119 52 52＝15（岁），
爷爷的年龄为119-52=67（岁）.答爷爷的年龄为67岁，小明的年龄为15岁.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：（1）观察数轴可知三根这样长的木棒长为30 3＝27（cm），
则这根木棒的长为27÷3＝9（cm），
故答案为：9；
（2）由（1）可知这根木棒的长为9cm，
所以A点表示3＋9＝12，B点表示的数是3＋9＋9＝21；
故答案为：12，21；
【分析】（1）由图可知3倍的AB长为30 3＝27（cm），即可求AB的长度；
（2）A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A点右侧，距离A点有9个单位长度，故B点为21；
（3）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爷爷的年龄，则木棒的长表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出．
22．【答案】（1）+3；+4；+2；0；D
（2）解：P点位置如图1所示；
（3）解：如图2，
根据已知条件可知：
A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10
（4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
故答案为：（+3，+4），（+2，0），D；
【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可；
（2）根据所给的路线确定点的位置即可；
（3）根据表示的路线确定长度相加可得结果；
（4）观察点的变化情况，根据（1）即可确定点走了格数，从而确定结论.
23．【答案】（1）5
（2）解：|x+3|+|x﹣10|的最小值为13，
∵|x+3|+|x﹣10|＝15，
∴x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11，
∵|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|表示数轴上表示y到﹣2，3，5之间的距离和最小，
∴当y＝3时，有最小值7，
∴x﹣y＝﹣7或x﹣y＝8；
（3）解：|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小，
当n是奇数时，中间的点为 ，
∴当x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝ ，
∴最小值为 ；
当n是偶数时，中间的两个点相同为 ，
∴当x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝ ，
∴最小值为 .
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（1）由阅读材料可得：|x﹣3|+|x+2|的最小值为5，
故答案为5
【分析】（1）利用阅读材料直接解答即可；
（2）由已知得x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11， 从而得出当y＝3时，|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|有最小值7，分别代入求出x-y的值即可；
（3）当n是奇数时，中间的点为 ，当n是偶数时，中间的两个点相同为
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