浙教版八年级上不等式（组）基础复习讲义
例1．若m＞n，则下列各式中错误的是（ ）
A．m+3＞n+3 B．﹣6m＞﹣6n C．5m＞5n D．
变式1．若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣3x＞﹣3y C．x+1＞y+1 D．＞
变式2．已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则（ ）
A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．＞
例2．若不等式组的解集为﹣1≤x≤3，则图中表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．一元一次不等式2（x+1）≥4的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（ ）
A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜ D．x＞
变式1．若不等式≥4x+6的解集为x≤﹣4，则a的值为 ．
变式2．关于x的不等式（3a﹣2）x＜2的解为x＞，则a的取值范围是 ．
变式3．若关于x的不等式ax﹣3＞0的解集为x＜﹣3，则关于y的方程ay+2018＝0的解为y＝ ．
变式4．已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．
例4．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2011＝ ．
变式．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a﹣3）（b+3）的值等于 ．
例5．已知不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b
变式1．若不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
变式2．若不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥4 B．m＞4 C．m＜4 D．m≤4
变式3．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞3
变式4．若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣6 B．m≤﹣6 C．m＞﹣6 D．m≥﹣6
变式5．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围为 ．
变式6．不等式组有解，m的取值范围是 ．
例6．解下列不等式（组）
（1）≤﹣1
（2）
变式1．解不等式组，并将其解集表示在数轴上．
变式2．解下列一元一次不等式（组）
（1）＜x+1
（2）并将其解集在数轴上表示出来．
变式3．解下列不等式：
（1）7x﹣2＜9x+4
（2）不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
变式4．解不等式（组）
（1）2（2x﹣1）≤5x+1
（2），并求出该不等式组的整数解．浙教版八年级上不等式（组）基础复习讲义
例1．若m＞n，则下列各式中错误的是（ ）
A．m+3＞n+3 B．﹣6m＞﹣6n C．5m＞5n D．
【分析】依据不等式的基本性质进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．不等式m＞n的两边都加上3，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意；
B．不等式m＞的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，原变形错误，故本选项符合题意；
C．不等式m＞n的两边都乘5，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意；
D．不等式m＞n的两边都除以2，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
变式1．若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣3x＞﹣3y C．x+1＞y+1 D．＞
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时减去1，不等式仍成立，即x﹣1＞y﹣1，故本选项不符合题意；
B、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣3，不等号方向发生改变，即﹣3x＜﹣3y，故本选项符合题意；
C、在不等式x＞y的两边同时加上1，不等式仍成立，即x+1＞y+1，故本选项不符合题意；
D、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍成立，即＞，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
变式2．已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则（ ）
A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．＞
【分析】直接利用等式的基本性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
例2．若不等式组的解集为﹣1≤x≤3，则图中表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可根据数轴的性质画出数轴：实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆点不包括该点用“＜”，“＞”表示，大于向右小于向左．
【解答】解：不等式组的解集为﹣1≤x≤3在数轴表示﹣1和3以及两者之间的部分：
故选：D．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
本题还可根据不等式解集可知x的夹在两个数之间的，由此可排除ABC，选D．
变式1．一元一次不等式2（x+1）≥4的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：由2（x+1）≥4得
x≥1，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
变式2．利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解x+2≤3得：x≤1；
解3x＞﹣9得：x＞﹣3，
故不等式的解集为：﹣3＜x≤1，
在数轴上表示为：
；
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．
例3．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（ ）
A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜ D．x＞
【分析】先解关于x的不等式mx﹣n＞0，得出解集，再根据不等式的解集是x＜，从而得出m与n的关系，选出答案即可．
【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，
∴m＜0，＝，
解得m＝5n，
∴n＜0，
∴解关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m得，x＜，
∴x＜＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，要熟练掌握不等式的性质3．
变式1．若不等式≥4x+6的解集为x≤﹣4，则a的值为 22 ．
【分析】先求出不等式的解集，根据已知得出关于a的方程，求出即可．
【解答】解：≥4x+6，
2x﹣a≥12x+18，
﹣10x≥18+a，
x≤，
∵不等式的解集为x≤﹣4，
∴＝﹣4，
解得：a＝22，
故答案为：22．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程，能得出关于a的方程是解此题的关键．
变式2．关于x的不等式（3a﹣2）x＜2的解为x＞，则a的取值范围是 a＜ ．
【分析】根据已知不等式的解集确定出a的范围即可．
【解答】解：∵关于x的不等式（3a﹣2）x＜2的解为x＞，
∴3a﹣2＜0，
解得：a＜，
故答案为：a＜
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式3．若关于x的不等式ax﹣3＞0的解集为x＜﹣3，则关于y的方程ay+2018＝0的解为y＝ 2018 ．
【分析】根据已知不等式解集确定出a的值，代入方程计算即可求出y的值．
【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣3＞0的解集为x＜﹣3，
∴a＝﹣1，
代入方程得：﹣y+2018＝0，
解得：y＝2018．
故答案为：2018．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法以及一元一次方程的解法，正确确定a的值是关键．
变式4．已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．
【分析】首先根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得m﹣1＜0，所以m＜1；然后判断出2﹣m的正负，求出|m﹣1|﹣|2﹣m|的值是多少即可．
【解答】解：因为（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜，
所以m﹣1＜0，m＜1，
所以2﹣m＞0，
所以|m﹣1|﹣|2﹣m|
＝（1﹣m）﹣（2﹣m）
＝1﹣m﹣2+m
＝﹣1
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出m﹣1＜0．
例4．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2011＝ ﹣1 ．
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集﹣1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2011次方，可得最终答案．
【解答】解：由不等式得x＞a+2，x＜b，
因为﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，b＝1
所以a＝﹣3，b＝2，
因此（a+b）2011＝（﹣1）2011＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
变式．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a﹣3）（b+3）的值等于 ﹣2 ．
【分析】先用字母a，b表示出不等式组的解集2b+3＜x＜，然后再根据已知解集是﹣1＜x＜1，对应得到相等关系2b+3＝﹣1，＝1，求出a，b的值再代入所求代数式中即可求解．
【解答】解：解不等式组的解集为2b+3＜x＜，
因为不等式组的解集为﹣1＜x＜1，所以2b+3＝﹣1，＝1，
解得a＝1，b＝﹣2代入（a﹣3）（b+3）＝﹣2×1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代数式中即可求解．
例5．已知不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b
【分析】根据不等式组的解集可列出关于a、b的不等式，根据不等式的基本性质求出a、b的关系即可．
【解答】解：∵不等式组的解为x≥﹣b，
∴﹣a＜﹣b，
∴a＞b，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式组的解集，解答此题的关键是熟知解一元一次不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
变式1．若不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m的取值范围．
【解答】解：
由①得，x＞2，
又因为不等式组无解，
所以m≤2．
故选：D．
【点评】此题的实质是考查不等式组的求法，求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
变式2．若不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥4 B．m＞4 C．m＜4 D．m≤4
【分析】先解第一个不等式得到x＞4，由于不等式组的解集是x＞4，然后根据同大取大得到m的范围．
【解答】解：，
解①得x＞4，
∵不等式组的解集是x＞4，
∴m≤4．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
变式3．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞3
【分析】原不等式组无解，即组成不等式组的两个不等式的解集没有交集．
【解答】解：∵关于x的不等式组无解，
∴a≤3．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解集．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
变式4．若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣6 B．m≤﹣6 C．m＞﹣6 D．m≥﹣6
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≤，
解不等式②得：x＞﹣3，
又∵关于x的一元一次不等式组有解，
∴﹣3＜，
解得：m＞﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集的应用，能根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解此题的关键．
变式5．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围为 m≤0 ．
【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组无解即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：，
解①得x＜2，
解②得x＞2﹣m，
根据题意得：2≤2﹣m，
解得：m≤0．
故答案为：m≤0．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
变式6．不等式组有解，m的取值范围是 m＜8 ．
【分析】根据不等式的解集是小大大小中间找，可得答案．
【解答】解：由有解，得m＜8．
故答案为：m＜8．
【点评】本题考查了不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
例6．解下列不等式（组）
（1）≤﹣1
（2）
【分析】（1）先去分母，再去括号、移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：（1）去分母得，2（2x+1）﹣3（5x﹣1）≤﹣6，
去括号得，4x+2﹣15x+3≤﹣6，
移项合并同类项得，﹣11x≤﹣11，
系数化为1得，x≥1；
（2），
解①得，x≥﹣3，
解②得，x＜2，
解集为﹣3≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
变式1．解不等式组，并将其解集表示在数轴上．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
变式2．解下列一元一次不等式（组）
（1）＜x+1
（2）并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）依据解不等式的基本步骤依次去分母、移项、合并同类项即可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：3x﹣1＜2x+2，
移项，得：3x﹣2x＜2+1，
合并同类项，得：x＜3；
（2）解不等式3x﹣2＞4x，得：x＜﹣2，
解不等式3﹣5x＞3x﹣5，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜﹣2，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
变式3．解下列不等式：
（1）7x﹣2＜9x+4
（2）不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）根据解不等式的基本步骤依次计算可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）7x﹣9x＜4+2，
﹣2x＜6，
x＞﹣3；
（2）解不等式①x＞﹣6；
解不等式②x＜6，
则不等式组的解集为﹣6＜x＜6，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
变式4．解不等式（组）
（1）2（2x﹣1）≤5x+1
（2），并求出该不等式组的整数解．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤，先去括号，移项合并，系数化为1即可．
（2）分别解两个不等式，然后取得这两个不等式解的公共部分即可得出答案，最后求其整数解．
【解答】解：（1）4x﹣2≤5x+1，
﹣x≤3，
x≥﹣3，
（2），
∴，
∴，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为3，4．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及不等式组的知识，要掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
