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专题3.1 认识不等式+专题3.2 不等式的基本性质
模块1：学习目标
1、根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并会根据给定条件列不等式；
2、了解不等号的意义，会用数轴表示简单不等式；
3、理解不等式的三个基本性质；
4、会运用不等式的基本性质进行不等式的变形.。
模块2：知识梳理
1、不等式的概念：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
注意：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立。
2、不等式的性质
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或
性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或
性质4 不等式的传递性 若a>b，b>c，则a > c
注：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
模块3：核心考点与典例
考点1. 不等式的辨别（概念）
例1．（2023·浙江八年级期中）在 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，属于不等式的有 ( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】用不等号连接而成的式子叫不等式，根据不等式的定义即可完成．
【详解】①是等式；③是代数式；②④⑤是不等式；即属于不等式的有3个故选：C
【点睛】本题考查了不等式的概念，理解不等式的概念是关键．
变式1．（2022·浙江·八年级练习）下列：①1﹣x：②4x+5>0；③x<3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】主要依据不等式的定义：用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】根据不等式的定义可知，所有式子中是不等式的是②4x+5>0； ③x<3，有2个．故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义，用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．
变式2．（2023·黑龙江·哈尔滨七年级期中）下列式子①；②1>2；③3m-1≤4；④a+2≠a-2中，不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式”分析即可．
【详解】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析可知，上述四个式子都是不等式．故选D．
【点睛】本题考查了不等式的定义，理解不等式的定义是解题的关键．
考点2. 根据题意列不等式
例2．（2023·北京市七年级期中）2020年，一直活跃在全球公众视线中的新冠疫苗，成为人类对抗新冠疫情的“关键先生”．然而，研发只是迈出了第一步，疫苗运输的第一关考验，在于温度．作为生物制品，疫苗对温度极其敏感．一般来说，疫苗冷链按照温度的不同，有如下分类：
类型 深度冷链 冻链 冷藏链
温度（t℃） t≤﹣70 ﹣70＜t≤﹣20 2≤t≤8
常见疫苗 埃博拉疫苗 水痘、带状疱疹疫苗 流感疫苗
我国研制的新型冠状病毒灭活疫苗，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于以下哪种冷链运输（ ）
A．深度冷链 B．冻链 C．冷藏链 D．普通运输
【答案】C
【分析】直接根据不等式的定义，观察表中t的范围可得答案．
【详解】解：根据图表中 的取值范围得：冷链运输和储存需要在2℃—8℃范围内，属于冷藏链运输．故选：C．
【点睛】此题考查的是不等式的概念，掌握不等式的概念：用“>”或“<”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“ ”号表示不等关系的式子也是不等式是解决此题关键．
变式1．（2022·成都市·八年级）某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33
【答案】D
【分析】已知某市最高气温和最低气温，可知该市的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温．
【详解】由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间，
∴该市气温t（℃）的变化范围是：24≤t≤33；故选：D．
【点睛】本题的关键在于准确理解题意，理解到当天的气温的变化范围应在最低气温和最低气温之间．
变式2．（2023·浙江余杭·八年级阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．不是负数，表示为 B．不大于3，表示为
C．与4的差是负数，表示为 D．不等于，表示为
【答案】C
【分析】由题意先根据非负数、负数及各选项的语言表述列出不等式，再与选项中所表示的进行比较即可得出答案．
【详解】解：．不是负数，可表示成，故本选项不符合题意；
．不大于3，可表示成，故本选项不符合题意；
．与4的差是负数，可表示成，故本选项符合题意；
．不等于，表示为，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查不等式定义，解决本题关键是理解负数是小于0的数，不大于用数学符号表示是“≤”．
考点3.不等式的解集
例3.（2022·山西忻州·八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
【详解】解：A、不等式x 3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
变式1.（2022·湖北·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【答案】A
【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；
B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；
C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；
D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．
变式2.（2023·广东·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个 D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
【答案】B
【分析】先求解不等式，然后根据不等式解集的定义进行判断．
【详解】A、小于5的整数有无数个，正确；B、不等式﹣2x＜8的解集是x＞﹣4，错误；
C、不等式x＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；
D、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，因而﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解，正确．故选B．
【点睛】本题考查不等式的解集，求出不等式的解集是解题的关键．
考点4. 根据不等式的解（集）确定参数
例4.（2023·湖南·永州市八年级阶段练习）关于x的不等式（m－1）x＞m－1可变成形为x＜1，则（ ）
A．m＜－1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜1
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质3求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（m-1）x>m-1的解集为x<1，∴m-1<0，则m<1，故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．
变式1.（2022·山东·模拟预测）如果关于的不等式的解集是，那么数应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的解可得，由此即可得出答案．
【详解】解：关于的不等式的解集是，，解得，故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
变式2.（2022·浙江义乌·八年级期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意解不等式，根据不等式的解确定解集的范围即可．
【详解】解：∵ 是不等式的一个解，∴故选A
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解的定义，掌握不等式的解的定义是解题的关键．
考点5.在数轴上表示不等式的解集
例5．（2022·浙江柯桥·八年级期末）不等式的解在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】先算出不等式的解集，由解集可知解集内不包括1对应的点，故在1对应的点处应为空心，线的方向向左，根据选项作出判断即可．
【详解】解：不等式的解集为：，
根据解集知，解集内不包括1对应的点，故在1对应的点处应为空心，线的方向向左，故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示一元一次不等式的解集，在数轴上表示解集时搞清线的延伸方向是关键．
变式1．（2022·浙江西湖·八年级期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“大小小大中间取”和不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
【详解】解：该数轴表示的不等式的解集为1＜x＜2．故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线，解题关键是掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法．
变式2．（2023·重庆八年级期末）某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀至多3岁．”而孟孟说：“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由至多得到小于等于，结合大于得到答案．
【详解】解：由题意得，攀攀的年龄大于1且小于等于3，故选：C．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握大于、大于等于、小于等于的不同表示方法是解题的关键．
考点6.不等式的基本性质
例6．（2023·浙江杭州市·八年级期末）若x+2021>y+2021， 则( )
A．x+2【答案】D
【分析】根据不等式的性质依次判断即可．
【详解】解：∵x+2021>y+2021，两边同时减去2019得x+2>y+2，故A选项计算错误；
两边同时减去2023得x-2>y-2，故B选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以2得2x＞2y，，故C选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以-2得－2x<－2y，故D选项计算正确；故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质．熟记不等式的性质，并能正确运用是解题关键．
变式1．（2022·江苏·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．
【详解】解：、若，则，时不成立，此选项错误，符合题意；
B、若，则，此选项正确，不符合题意；
C、若，则，此选项正确，不符合题意；
D、若，则，此选项正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质：性质、不等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质、不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．性质、不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号方向改变．
变式2．（2022·湖南汉寿·八年级期末）下列不等式变形中不正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，比较每一个选项变形是否符合不等式的性质，选出正确答案即可．
【详解】A、，得，根据不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式仍然正确，可知A正确，不符合题意；B、由，得，根据不等两边同时乘一个负数，不等号方向改变，可知B正确，不符合题意；C、由，得，根据不等两边同时乘一个正数，不等号方向不变，可知C正确，不符合题意；D、由，得，根据不等两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可知D错误，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
变式3．（2023春·湖北襄阳·七年级统考阶段练习）（1）如果那么_____；
（2）如果那么_____；（3）如果那么_____；
（4）请比较与的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；（2）根据不等式的性质即可解答；
（3）根据不等式的性质即可解答；（4）可以通过作差，利用（1）（2）（3）中的结论即可解答．
【详解】解：（1）如果那么；
（2）如果那么；
（3）如果那么；
（4），，，．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
考点7.不等式的基本性质的实际应用
例7．（2023·浙江·八年级期中）甲在集市上先买了只羊，平均每只元，稍后又买了2只，平均每只羊元，后来他以每只 元的价格把羊全卖给了乙，结果甲发现赚了钱，赚钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与大小无关
【答案】C
【分析】分别求出买5只羊的总费用和卖掉5只羊的总收入，再利用不等式的性质比较大小即可
【详解】解：由题意，甲买羊共付出（）元，卖羊的共收入元，
∵甲赚了钱，∴＜，解得：，故选：C．
【点睛】本题考查列代数式、不等式的基本性质，理解题意，正确列出代数式和不等式是解答的关键．
变式1．（2023春·河北保定·八年级统考期中）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，相同物体的质量相同．现用天平称了两次，情况如图所示，则在■，●，▲中，质量最小的是（ ）
A．■ B．● C．▲ D．无法确定
【答案】B
【分析】据题意设■的质量为，●的质量为，▲的质量为，可列不等式关系，解不等式即可求解．
【详解】解：根据题意得，设■的质量为，●的质量为，▲的质量为，
∴，由①得，，则；由②得，，即，
∴，∴最小的是●的质量，故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式的运用，理解图示，掌握不等式的性质是解题的关键．
变式2．（2022·山东高新区·八年级期末）如图，A、B、M、N四人去公园玩跷跷板．设M和N两人的体重分别为m、n，则m、n的大小关系为（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【答案】A
【分析】设A，B两人的体重分别为a，b，根据题意列出等式和不等式，即可得出答案．
【详解】解：设A，B两人的体重分别为a，b，根据题意得：a+m＝n+b，a＞b，∴m＜n，故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，根据题意列出等式和不等式是解题的关键．
考点8. 利用不等式的基本性质解简单不等式
例8．（2023·浙江八年级月考）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．
（1）． （2）． （3）． （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上，再两边同除以即可求解；（3）利用不等式的性质先将两边减去，再两边同除以即可求解；
（3）利用不等式的性质将两边同除以-即可求解；
【详解】（1），
两边加上得：，
解得：；
（2），
两边加上得：，即，
两边除以得：；
（3），
两边减去得：，即，
两边除以得：；
（4），
两边除以得：．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
变式1．（2022·山东·八年级期中）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）据不等式的性质1解答即可；（2）先据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答；（3）先据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答；（4）据不等式的性质3解答即可；
【解析】(1)解：，
两边加上得：，
解得：；
(2)解：，
两边加上得：，即，
两边除以得：；
(3)解：，
两边减去得：，即，
两边除以得：；
(4)解：，
两边除以得：．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江宁波·八年级期中）有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解析】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①；②；⑤，⑥共有4个．答案：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，并能准确运用定义进行判断．
2．（2023春·河北沧州·七年级统考期末）甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由“橘子的质量不少于25克且不够35克”，可得出x的取值范围．
【详解】解：由题意得，．故选B．
【点睛】本题考查了列不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式(不等式中可以含有未知数，也可以不含．)．
3．（2022·宁波市八年级期中）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】根据数轴图像即可求出解集．
【详解】根据数轴可知表示的解集为，即数轴上表示的是不等式组的解集
故选B．
【点睛】本题考查在数轴表示不等式组的解集，解答本题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
5．（2022·浙江缙云·八年级期末）若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵，且，∴a-3<0，∴a<3，故选A．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6．（2022 罗湖区期中）关于不等式，下列说法错误的是（ ）
A．x的3倍与4的和是正数 B．x的3倍与4的和是非负数
C．x的3倍与4的和是不小于0 D．x的3倍与4的和大于等于0
【答案】A
【分析】A．正数不包含零；B．非负数即是包含正数、0；C．不小于0，即大于或等于0；D．大于等于，即为符号．
【解析】A．用不等式表示为：，故A.错误；
B．用不等式表示为：，故B.正确；C．用不等式表示为：，故C．正确；
D．用不等式表示为：，故D．正确．故选:A
【点睛】本题考查不等式的概念，其中涉及非负数、正数、不小于、大于等于等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．（2022 无为市月考）下列解集中，不包括﹣4的是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣4 C．x≤﹣5 D．x≥﹣6
【思路点拨】根据不等式的解集的含义判断各选项即可．
【答案】解：A选项，﹣3以及比﹣3小包括﹣4，不合题意；
B选项，可以等于﹣4，不合题意；
C选项，﹣5以及比﹣5小的数不包括﹣4，符合题意；
D选项，﹣6以及比﹣6大的数包括﹣4，不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查不等式的解集，准确理解不等式的解集的含义是解题的关键，注意画图有助于理解．
8．（2022·广东揭阳·初二期末）对于实数中，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中真命题有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值的方法对每个选项逐一验证选项，确定正确选项即可．
【详解】解：①若，则；故①正确． ②若，当时，则； 故②错误．③若，则；故③正确．④若，当c=0时；故④错误． 故选：B
【点睛】本题主要考查命题的真假，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，排除错误选项，是此类问题常用的思维方法，属于中档题．
9．（2022 南海区期末）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3得x＞15
C．由﹣2x＜4得x＜﹣2 D．由＞0得y＞0
【思路点拨】根据不等式的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案．
【答案】解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由5x＞3得x＞，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由＞0得y＞0，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质是：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
10．（2022 雨花区期末）若a＞b，则ac＜bc成立，那么c应该满足的条件是（ ）
A．c＞0 B．c＜0 C．c≥0 D．c≤0
【思路点拨】由于原来是“＞”，后来变成了“＜”，说明不等号方向改变，那么可判断利用了不等式性质（3），从而可知c＜0．
【答案】解：∵a＞b，∴ac＜bc，∴不等号的反方向改变，
∴利用了不等式性质（3），∴c＜0．故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）如果一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集是_________．
【答案】x>1
【分析】根据数轴表分别表示两个不等式组的解集，确定公共部分即可求解．
【详解】解：由图示可看出，从-2出发向右画出的线且1处是空心圆，表示x＞-2；
从1出发向右画出的线且3处是空心圆，表示x>1，所以这个不等式组的解为：x>1，故答案为： x>1．
【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），再确定公共部分即为不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
12．（2022 漳州期末）若2x﹣5＜2y﹣5，则x y．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【思路点拨】根据不等式的基本性质变形即可得出结论．
【答案】解：∵2x﹣5＜2y﹣5，∴2x＜2y，∴x＜y，故答案为：＜．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，注意不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为
【答案】（答案不唯一）
【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可．
【详解】解：由，2均小于2可得，所以符合条件的不等式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
14．（2022 濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b） b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
【思路点拨】根据不等式的性质进行解答．
【答案】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴a（a﹣b）＞b（a﹣b）．故答案是：＞．
【点睛】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质是：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
15．（2022·江苏泰州市·八年级期中）已知的最小值为a，的最大值为b，则a-b=________．
【答案】-7
【分析】解答此题要理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．
【详解】因为的最小值是a，a=-3；的最大值是b，则b=4；则a-b=-3-4=-7，
故答案为：-7．
【点睛】此题考查不等式的定义，解题关键在于掌握时，x可以等于-3；时，x可以等于4．
16．（2022 巴州区期末）小明在一次检测中，数学和英语的平均分是83分，且语文、数学、英语三科的平均分不低于80分，则语文分数x应满足的关系式为 ．
【思路点拨】利用英语和数学的总分再加上语文成绩分，然后再求三科平均分，再根据“三科的平均分不低于80分”进而可得不等式．
【答案】解：由题意得：（83×2+x）×≥80，
故答案为：（83×2+x）×≥80．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．
17．（2022 东阳市期末）有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为 ．
【思路点拨】一次服用剂量a＝，故可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可．
【答案】解：由题意，当每日用量90mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小为＝30mg；
当每日用量120mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大为＝60mg；
故一次服用这种药品的剂量范围是30mg～60mg．故答案为：30≤a≤60．
【点睛】本题考查了有理数的除法．由实际问题中的不等关系列出不等式，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
18．（2022·湖南娄底市·八年级期末）若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
【答案】
【分析】由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可．
【解析】，,,同理可得,
又,,,即．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）用适当的符号表示下列关系：
(1)x的与x的2倍的和是非正数；(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；(4)明天下雨的可能性不小于；
(5)小明的身体不比小刚轻．
【答案】(1)；(2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有
(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有
(4)用P表示明天下雨的可能性，则有
(5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有
【分析】（1）非正数用“”表示；
（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；
（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．
【详解】（1）；（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有；
（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有．
【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)是不等式(2)是不等式(3)是不等式(4)是等式(5)是代数式(6)是不等式
【分析】根据不等式的定义对各小题进行逐一判断即可．
【详解】（1）是不等式；
（2）是不等式；
（3）是不等式；
（4）是等式；
（5）是代数式；
（6）是不等式；
综上，（1）、（2）、（3）、（6）是不等式，（4）是等式．
【点睛】本题考查的是不等式的定义，熟知用不等号连接的式子叫不等式是解答此题的关键．
21．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）学习了不等式的相关性质后，八年级的同学在课下组织了数学小组，对“不等式的性质”进行了进一步的探究，下面是两个小组同学的结论．
第一组：∵，，，∴
因此可以断定：如果，，那么
第二组：∵，，，∴
因此可以断定：如果，，那么
你认为这两个小组的结论正确吗？若正确，请你说明理由，若不正确，请你举出一个反例．
【答案】第一组的结论正确，第二组的结论错误，理由见解析
【分析】根据不等式的性质判断第一组正确，再举反例判断第二组错误．
【详解】解：第一组的结论正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
第二组的结论不正确，
如：，，，，
而，
∴此时，故第二组结论错误．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质证明结论．
22．（2023春·广东茂名·八年级校考期中）比较大小
(1)①如果，那么a b；
②如果，那么a b；
③如果，那么a b；
(2)用（1）的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程．
【答案】(1)①；②；③ (2)能，比较过程见解析
【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；
（2）运用作差法解答即可．
【详解】（1）解：①如果，那么，即，故答案为；
②如果，那么，即，故答案为；
③如果，那么，即，故答案为．
（2）解：能，比较过程如下：
，，
所以．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质、整式的大小比较等知识点，掌握不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变是解答本题的关键．
23．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）阅读下列解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故．③
(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②(2)错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变(3)见解析
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别解答（1）（2）（3）即可．
【详解】（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误，故答案为：②；
（2）原因是：错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）正确的解题过程如下：
因为，所以，
故．
【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质．
24．（2022 滨州月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x﹣2＜3；（2）6x＜5x﹣1；（3）x＞5；（4）﹣4x＞3．
【思路点拨】（1）根据不等式的性质1求出答案即可；
（2）根据不等式的性质1求出答案即可；
（3）根据不等式的性质2求出答案即可；
（4）根据不等式的性质3求出答案即可．
【答案】解：（1）∵x﹣2＜3，
∴x﹣2+2＜3+2，
∴x＜5；
（2）∵6x＜5x﹣1，
∴6x﹣5x＜5x﹣1﹣5x，
∴x＜﹣1；
（3）∵x＞5，
∴x 2＞5×2，
∴x＞10；
（4）∵﹣4x＞3，
∴＜，
∴x＜﹣．
【点睛】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
25．（2022 浙江八年级月考）阅读下列材料：
解答“已知，且，，确定的取值范围”有如下解，
解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，①
同理得：．②
由①②得．
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
（）已知，且，，求的取值范围．
（）已知，，若，且，求得取值范围（结果用含的式子表示）．
【答案】(1) 1＜x+y＜5;(2) a+2＜x+y＜-a-2.
整体分析：（1）先分别确定x，y的取值范围，再根据等式的性质确定x+y的范围；（2）先分别用含a的式子确定x，y的取值范围，再根据等式的性质用含a的式子确定x+y的范围；
【解析】解：（1）∵x-y=3，∴x=y+3.
∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞-1.
∵y＜1，∴-1＜y＜1.…①
同理得：2＜x＜4.…②
由①+②得-1+2＜y+x＜1+4，
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5.
（2）∵x-y=a，∴x=y+a.
∵x＜-1，∴y+a＜-1，∴y＜-a-1.
∵y＞1，∴1＜y＜-a-1.…①
同理得：a+1＜x＜-1.…②
由①+②得1+a+1＜y+x＜-a-1+(-1)，
∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜-a-2.
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专题3.1 认识不等式+专题3.2 不等式的基本性质
模块1：学习目标
1、根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并会根据给定条件列不等式；
2、了解不等号的意义，会用数轴表示简单不等式；
3、理解不等式的三个基本性质；
4、会运用不等式的基本性质进行不等式的变形.。
模块2：知识梳理
1、不等式的概念：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
注意：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立。
2、不等式的性质
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或
性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或
性质4 不等式的传递性 若a>b，b>c，则a > c
注：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
模块3：核心考点与典例
考点1. 不等式的辨别（概念）
例1．（2023·浙江八年级期中）在 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，属于不等式的有 ( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
变式1．（2022·浙江·八年级练习）下列：①1﹣x：②4x+5>0；③x<3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023·黑龙江·哈尔滨七年级期中）下列式子①；②1>2；③3m-1≤4；④a+2≠a-2中，不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2. 根据题意列不等式
例2．（2023·北京市七年级期中）2020年，一直活跃在全球公众视线中的新冠疫苗，成为人类对抗新冠疫情的“关键先生”．然而，研发只是迈出了第一步，疫苗运输的第一关考验，在于温度．作为生物制品，疫苗对温度极其敏感．一般来说，疫苗冷链按照温度的不同，有如下分类：
类型 深度冷链 冻链 冷藏链
温度（t℃） t≤﹣70 ﹣70＜t≤﹣20 2≤t≤8
常见疫苗 埃博拉疫苗 水痘、带状疱疹疫苗 流感疫苗
我国研制的新型冠状病毒灭活疫苗，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于以下哪种冷链运输（ ）
A．深度冷链 B．冻链 C．冷藏链 D．普通运输
变式1．（2022·成都市·八年级）某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33
变式2．（2023·浙江余杭·八年级阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．不是负数，表示为 B．不大于3，表示为
C．与4的差是负数，表示为 D．不等于，表示为
考点3.不等式的解集
例3.（2022·山西忻州·八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
变式1.（2022·湖北·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
变式2.（2023·广东·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个 D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
考点4. 根据不等式的解（集）确定参数
例4.（2023·湖南·永州市八年级阶段练习）关于x的不等式（m－1）x＞m－1可变成形为x＜1，则（ ）
A．m＜－1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜1
变式1.（2022·山东·模拟预测）如果关于的不等式的解集是，那么数应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2022·浙江义乌·八年级期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点5.在数轴上表示不等式的解集
例5．（2022·浙江柯桥·八年级期末）不等式的解在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
变式1．（2022·浙江西湖·八年级期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·重庆八年级期末）某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀至多3岁．”而孟孟说：“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
考点6.不等式的基本性质
例6．（2023·浙江杭州市·八年级期末）若x+2021>y+2021， 则( )
A．x+2变式1．（2022·江苏·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
变式2．（2022·湖南汉寿·八年级期末）下列不等式变形中不正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
变式3．（2023春·湖北襄阳·七年级统考阶段练习）（1）如果那么_____；
（2）如果那么_____；（3）如果那么_____；
（4）请比较与的大小．
考点7.不等式的基本性质的实际应用
例7．（2023·浙江·八年级期中）甲在集市上先买了只羊，平均每只元，稍后又买了2只，平均每只羊元，后来他以每只 元的价格把羊全卖给了乙，结果甲发现赚了钱，赚钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与大小无关
变式1．（2023春·河北保定·八年级统考期中）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，相同物体的质量相同．现用天平称了两次，情况如图所示，则在■，●，▲中，质量最小的是（ ）
A．■ B．● C．▲ D．无法确定
变式2．（2022·山东高新区·八年级期末）如图，A、B、M、N四人去公园玩跷跷板．设M和N两人的体重分别为m、n，则m、n的大小关系为（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
考点8. 利用不等式的基本性质解简单不等式
例8．（2023·浙江八年级月考）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．
（1）． （2）． （3）． （4）．
变式1．（2022·山东·八年级期中）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
(1)； (2)； (3)； (4)．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江宁波·八年级期中）有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023春·河北沧州·七年级统考期末）甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁波市八年级期中）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A． B． C． D．或
4．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
5．（2022·浙江缙云·八年级期末）若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022 罗湖区期中）关于不等式，下列说法错误的是（ ）
A．x的3倍与4的和是正数 B．x的3倍与4的和是非负数
C．x的3倍与4的和是不小于0 D．x的3倍与4的和大于等于0
7．（2022 无为市月考）下列解集中，不包括﹣4的是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣4 C．x≤﹣5 D．x≥﹣6
8．（2022·广东揭阳·初二期末）对于实数中，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中真命题有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
9．（2022 南海区期末）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3得x＞15 C．由﹣2x＜4得x＜﹣2 D．由＞0得y＞0
10．（2022 雨花区期末）若a＞b，则ac＜bc成立，那么c应该满足的条件是（ ）
A．c＞0 B．c＜0 C．c≥0 D．c≤0
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）如果一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集是_________．
12．（2022 漳州期末）若2x﹣5＜2y﹣5，则x y．（填“＞”，“＝”或“＜”）
13．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为
14．（2022 濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b） b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
15．（2022·江苏泰州市·八年级期中）已知的最小值为a，的最大值为b，则a-b=________．
16．（2022 巴州区期末）小明在一次检测中，数学和英语的平均分是83分，且语文、数学、英语三科的平均分不低于80分，则语文分数x应满足的关系式为 ．
17．（2022 东阳市期末）有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为 ．
18．（2022·湖南娄底市·八年级期末）若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）用适当的符号表示下列关系：
(1)x的与x的2倍的和是非正数；(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；(4)明天下雨的可能性不小于；
(5)小明的身体不比小刚轻．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)．
21．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）学习了不等式的相关性质后，八年级的同学在课下组织了数学小组，对“不等式的性质”进行了进一步的探究，下面是两个小组同学的结论．
第一组：∵，，，∴
因此可以断定：如果，，那么
第二组：∵，，，∴
因此可以断定：如果，，那么
你认为这两个小组的结论正确吗？若正确，请你说明理由，若不正确，请你举出一个反例．
22．（2023春·广东茂名·八年级校考期中）比较大小
(1)①如果，那么a b；
②如果，那么a b；
③如果，那么a b；
(2)用（1）的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程．
23．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）阅读下列解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故．③
(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误；(2)错误的原因是什么？(3)请写出正确的解题过程．
24．（2022 滨州月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x﹣2＜3；（2）6x＜5x﹣1；（3）x＞5；（4）﹣4x＞3．
25．（2022 浙江八年级月考）阅读下列材料：
解答“已知，且，，确定的取值范围”有如下解，
解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，①
同理得：．②
由①②得．
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
（）已知，且，，求的取值范围．
（）已知，，若，且，求得取值范围（结果用含的式子表示）．
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