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专题3.3 一元一次不等式
模块1：学习目标
1、理解一元一次不等式、一元一次不等式的解的概念；
2、掌握解一元一次不等式的一般步骤，会解一元一次不等式；
3、会在数轴上表示一元一次不等式的解；
4、会用一元一次不等式解决简单的实际问题。
模块2：知识梳理
1、一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。注意：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1。(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式。
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向。
2、解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。
3、一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x＜a（或x＞a）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：1)去分母；2)去括号；3)移项；4)化为（或）的形式（其中）；5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集。
4、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
5、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集。
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
5、不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8。
（2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解。
如图所示：
注意：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
模块3：核心考点与典例
考点1. 一元一次不等式的辨别
例1．（2023·杭州市八年级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项正确；
B、中含有两个未知数，故本选项错误；C、中不含有未知数，故本选项错误；
D、中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于1，不是一元一次不等式，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
变式1．（2022·浙江·八年级专题练习）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义：形如或或或（其中a是不等于0的常数，b为常数），由此进行判断即可．
【详解】解：（1）即是一元一次不等式；（2）是二元二次整式，不是不等式；（3）是二元一次不等式（4）不是一元一次不等式；（5）是一元一次不等式 ；（6）不是一元一次不等式，故选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次不等式的定义．
变式2．（2023·江苏南京市八年级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是( )．
A．x2＋3x＞1 B． C． D．
【答案】D
【详解】A选项：未知数x的次数是2，不是一元一次不等式，故本选项错误；
B选项：，是二元一次不等式，故本选项错误；
C选项：分母中含有未知数x，不是一元一次不等式，故本选项错误；
D选项：是一元一次不等式，正确．故选D．
考点2. 根据一元一次不等式得概念求参数
例1．（2022·湖南·八年级期末）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式即可确定m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：∵（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|﹣1＝1且m＋2≠0，解得m＝2.故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式，注意：未知数的系数不能为0．
变式1．（2023·黑龙江·八年级期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为______．
【答案】1
【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，求解即可．
【详解】解：根据一元一次不等式的定义可得：且解得答案为1
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念．
变式2．（2022·广西上思·八年级期末）若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝_____．
【答案】-1
【分析】根据题意，x系数不为0，指数为1
【详解】根据一元一次不等式的定义可知：
解得：故答案为：-1
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，理解定义是解题的关键．
考点3. 求一元一次不等式的解集
例1．（2023·浙江·八年级期中）小明解不等式的过程如图．
解：去分母得： ①去括号得 ②移项得 ③合并同类项得 ④两边都除以-1得 ⑤
（1）请指出他解答过程中从第___________（填序号）步开始出现错误；
（2）写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2）见详解
【分析】（1）运用不等式性质、去括号法则、移项法则，合并同类项法则逐步检查，发现错误；
（2）据解一元一次不等式的一般步骤和相关法则求解．
【详解】（1）第①步给两边乘以6时，给不等式的右边没有乘，所以从第①步开始出现错误；
（2）解：
去分母得
去括号得
移项得
合并同类项得
化未知数的系数为1得
∴原不等式的解为．
【点睛】此题考查解一元一次不等式．其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去分母时两边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向．
变式1．（2022·成都市·八年级专题练习）（1）解不等式3（2y﹣1）＞1﹣2（y+3）；
（2）解不等式≥+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）y＞﹣；（2）x≥，数轴见解析
【分析】（1）根据一元一次不等式的性质，先去括号，再移项并合并同类项，通过计算即可得到答案；（2）根据一元一次不等式的性质，先去分母，再去括号，最后移项并合并同类项，结合数轴的性质作图，即可得到答案．
【详解】（1）去括号，得：6y﹣3＞1﹣2y﹣6，
移项，得：6y+2y＞1﹣6+3，
合并同类项，得：8y＞﹣2，
系数化成1得：y＞﹣；
（2）去分母，得：﹣2（2x﹣1）≥﹣3（2x+1）+6，
去括号，得：﹣4x+2≥﹣6x﹣3+6，
移项，得：﹣4x+6x≥﹣3+6﹣2，
合并同类项，得：2x≥1，
系数化为1得：x≥
数轴表示如下：
．
【点睛】本题考查了数轴、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解．
变式2．（2023·江苏苏州市·七年级月考）解下列不等式：
（1）；（2）．
【答案】（1）x≤ 3（2）x＞ 1．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解．
【详解】（1）
去括号，得3 3x≥2x＋18，
移项，得 3x 2x≥18 3，
合并同类项，得 5x≥15，
系数化成1得：x≤ 3．
（2）
去分母，得10 2（2 3x）＞5（1＋x），
去括号，得10 4＋6x＞5＋5x，
移项，得6x 5x＞5 10＋4，
合并同类项，得x＞ 1．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，解题的关键是熟知不等式的性质．
考点4. 在数轴上表示一元一次不等式的解集
例4．（2023·广西·八年级期末）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【分析】根据一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1，即可得到的范围，再把所得的的范围在数轴上表示出来即可．
【详解】，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得．
在数轴上表示此不等式的解集如图：
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，解题关键是明确不等式的性质，两边同时除以一个负数不等号的方向要改变，在数轴上表示不等式的解集时“”，“”向右画，“”，“”向左画，“”，“”用实心点，“”，“”用空心圆．
变式1．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）已知不等式：，（1）解此不等式并把解集在数轴上表示出来；（2）试判断x=是否为此不等式的解．
【答案】（1）x数轴表示见解析；（2）x=不是这个不等式的解．
【分析】（1）解一元一次不等式的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等，注意负号的作用；在数轴上表示解集时，注意找准点，找准方向，区别实心点与空心点；
（2）估算的值，再与比较大小，即可解题．
【详解】（1）解：去分母：
去括号：
移项：
合并同类项：
化系数为1：
原不等式的解集为：，
表示在数轴上为：
（2）不是此不等式的解，理由如下:
，不等式的解集为，不是此不等式的解．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集、不等式的解、估算无理数的大小等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式2．（2022·江苏吴中·七年级期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】x＞，数轴见解析
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：去分母，得：3（x﹣1）＜2（4x﹣5）﹣6，
去括号，得：3x﹣3＜8x﹣10﹣6，
移项，得：3x﹣8x＜﹣10﹣6+3，
合并同类项，得：﹣5x＜﹣13，
系数化为1，得：x＞，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式的基本步骤是解题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
考点5. 一元一次不等式的整数解
例5．（2023·四川甘孜州·八年级期末）不等式的最大正整数解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据不等式的解法求出不等式的解集，再找出不等式的最大整数解即可．
【详解】移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
则不等式的最大正整数解是3，故选C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
变式1．（2023·渝中区·八年级开学考试）关于的不等式的非负整数解共有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】不等式移项后，将系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
【详解】解：不等式，解得：，则不等式的非负整数解为0，1，2．，3共4个．故选：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式2．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）解不等式，并写出它的所有非负整数解．
【答案】，非负整数解有0，1，2
【分析】先求解不等式，即可找到所有非负整数解．
【详解】解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
∴非负整数解有0，1，2
【点睛】本题考查求一元一次不等式的整数解．正确求解不等式是解题关键．
考点6. 含参数的一元一次不等式
例6．（2023·河南八年级期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集，
解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，；
当，即时，此不等式为无解．
请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式．
【答案】或或无解．
【分析】按照题中的思路解不等式即可．
【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，
当即时，此不等式为无解．
【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键．
变式1．（2022春·陕西商洛·七年级校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为 ，求关于的一元一次不等式的解集．
【答案】
【分析】结合题意，根据不等式的性质，得a＜-3b，2a+3b＝0；根据代数式的性质，得a＞0，b＜0，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵关于的不等式的解集为
∴a+3b＜0， ∴a＜-3b，8a＝-12b，即2a+3b＝0
∵a+3b＜0， ，∴a＞0，b＜0
∴的解集为： 故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解．
变式2．（2022秋·广东江门·八年级江门市福泉奥林匹克学校校考开学考试）已知、为有理数，不等式的解集是，求不等式的解集．
【答案】
【分析】根据已知条件得出、之间的关系式，代入后面不等式求解．
【详解】解：∵∴，
，且．，
将代入得，，即，故．
关于的不等式可化为．
，，．
【点睛】此题考查关于字母系数的一元一次不等式的解法，难度较大．
考点7. 含绝对值的不等式
例7．（2023·重庆市七年级月考）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时：
解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即时，
解这个不等式，得：
由条件，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：
（1）； （2）．
【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．
【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得；
（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得．
【详解】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，
解这个不等式，得：x≤1 由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；
②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2 解这个不等式，得：x≥-3
由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1 ∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．
（2）|x-2|≥1 ①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；
②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，由条件x＜2，有：x≤1，
∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键．
变式1．（2023·山东八年级课时练习）解不等式：（1） （2）
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；
（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.
【详解】解：（1）∵，∴．
（2）∵，原不等式变形为：或，解得：或．
【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.
变式2．（2023春·山西忻州·七年级统考期末）阅读与思考
阅读以下例题：解不等式：．解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得．．②当时，即，原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据）．③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解．所以不等式的解为或．
任务：(1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________．
(2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：．
【答案】(1)不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变(2)或
【分析】（1）根据不等式的基本性质3可得答案；（2）分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去掉绝对值符号，再解不等式即可．
【详解】（1）解：上述解答过程中的“依据”是指：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
（2）解：①当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，；
②当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得， ，
③当，即时，
原不等式可化为，不成立，此时不等式无解．
所以不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质和分类思想的应用是解题的关键．
考点8. 用一元一次不等式解决实际问题
例8．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
【答案】（1）18天；（2）7年
【分析】（1）设这个月晴天的天数为x，根据“某月（按30天计）共发电600度”列出关于x的方程，解之可得；（2）设需要y年才能收回成本，据家庭共投资3.5万元列出关于y的不等式，解之可得．
【详解】解：（1）设这个月晴天的天数为x，由题意得：30x+5（30-x）=600，
解得x=18，∴这个月晴天的天数为18．
（2）设需要y年才能收回成本，由题意得
（600-150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，5238y≥35 000，y≥6.7，
∵y取整数，∴至少需要7年才能收回成本．
【点睛】本题考查一元一次不等式、一元一次方程等知识，熟练应用方程或不等式解决实际问题是解题的关键，属于中考常考题型．
变式1．（2022·山东济宁市·八年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
【答案】B
【分析】设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，根据速度×时间=路程结合要在18分钟内到达，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，
根据题意得：210x+90（18-x）≥2100，解得：x≥4，
答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
变式2．（2022·广东佛山市·八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（ ）
A．100分钟 B．150分钟 C．200分钟 D．250分钟
【答案】D
【分析】由题意易得，然后进行求解排除选项即可．
【详解】解：设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，由题意得：，
解得：，∴只有D选项符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
变式3．（2022·宁波市八年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
【答案】17
【分析】设小聪答对了x道题，根据“答对题数×5 答错题数×2＞80分”列出不等式，解之可得．
【详解】设小聪答对了x道题，根据题意，得：5x 2（19 x）＞80，解得x＞16，
∵x为整数，∴x＝17，即小聪至少答对了17道题，故答案为：17．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
考点9. 用一元一次不等式解决几何问题
例9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
【答案】(1)a=50-2b，15．(2)
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可；（2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b
当时，．解得．
（2）解：∵，，
∴解这个不等式组得：．
答：矩形花园宽的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键．
变式1．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解．
【详解】解：由三角形内角和可得：，
∵，
∴当与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有；
当大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有．故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键．
变式2．（2023·湖北青山·八年级期中）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n，n+2．（n为正整数）
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，直接写出n的最大值为 ．
【答案】（1）它的三边长分别为；（2）7．
【分析】（1）分①和②两种情况，分别解方程求出的值，再根据三角形的三边关系定理即可得出答案；（2）先根据和可得和，再分，和三种情况，分别根据三角形的三边关系定理，结合为正整数即可得．
【详解】解：（1）由题意，分以下两种情况：
①当，即时，这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为，
，满足三角形的三边关系定理，符合题意；
②当，即时，这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为，
，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
综上，它的三边长分别为；
（2）这个三角形的三条边都不相等，和，解得和，
①当时，长为的边是最长边，由三角形的三边关系定理得：，
解得，不符题设，舍去；
②当时，长为的边是最长边，由三角形的三边关系定理得：，
解得，则此时的取值范围是，
为正整数，此时；
③当时，长为的边是最长边，由三角形的三边关系定理得：，
解得，则此时的取值范围是，
为正整数，此时的所有可能取值是；
综上，符合条件的的所有可能取值是，则所求的的最大值是7，故答案为：7．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理、一元一次不等式的应用等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·杭州八年级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项正确；B、中含有两个未知数，故本选项错误；
C、中不含有未知数，故本选项错误；D、中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于1，不是一元一次不等式，故本选项错误．故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2．（2022 平阴县期末）在数轴上表示不等式3x+1≤﹣5的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】先解一元一次不等式不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表述出来即可的得出答案．
【答案】解：解不等式3x+1≤﹣5，解得x≤﹣2．
所以不等式的解集在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键．
3．（2023·辽宁·七年级期末）对于任意实数、，定义一种运算：．例如，，请根据上述的定义解决问题，若不等式，则该不等式的正整数解是（ ）
A．1 B．1,2 C．2 D．不存在
【答案】B
【分析】根据新定义可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
【详解】解：，，为正整数，、2．故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，解题的关键是通过解不等式求得不等式的解集．
4．（2022·扬州市八年级期中）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意是不等式的解，所以把代入原不等式求出此时的取值范围，同时不是这个不等式的解，所以把代入不等式
，求出此时的取值范围即可求解；
【详解】 是不等式的解 解得：
不是这个不等式的解 解得： 故选：D.
【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，熟练掌握不等式解的含义是求解本题的关键.
5．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案．
【详解】解：根据题意可得：．故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．
6．（2022 秦都区月考）关于x的方程3x+2（3a+1）＝6x+a的解大于1，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞ D．a＜
【思路点拨】解方程表示出x，由题意得出不等式即可求出a的范围．
【答案】解：由3x+2（3a+1）＝6x+a，得到x＝，
根据题意得：＞1，解得：a＞．故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
7．（2023春·福建宁德·八年级统考期中）小红读一本300页的书，计划10天内读完，前5天因各种原因只读了100页，为了按计划读完，从第六天起平均每天至少要读多少页？设第六天起平均每天要读x页，根据题意列不等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得不等关系：100页+后5天读的页数≥300，根据不等关系即可列出不等式．
【详解】由题意得：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．
8．（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．
【详解】解：①当，即时，原式可化为：，解得：，；
②当，即时，原式可化为：，解得：，，
综上，该不等式的解集是 故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键．
9．（2022春 合肥期中）若关于x的不等式2x﹣a≤0只有2个正整数解，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜6 B．4≤a＜6 C．4≤a≤6 D．4＜a≤6
【思路点拨】首先解关于x的不等式，然后根据不等式2x﹣a≤0只有2个正整数解即可得到一个关于a的不等式组，从而求解．
【答案】解：解不等式2x﹣a≤0得：x≤，
根据题意得：2≤＜3，解得：4≤a＜6．故选：B．
【点睛】考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．解不等式时要根据不等式的基本性质．
10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可；
【详解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°，第二次翻折后3a+∠BDC=180°，
第三次翻折后4a+∠BDE=180°，第四次翻折后5a+∠BDC=180°，
若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°，
若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°，
当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上，∴30°＜a＜36° 故选：D；
【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏·镇江八年级阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
【答案】x＞2
【分析】先根据一元一次不等式的概念得出k的值，代入不等式，解之可得答案．
【详解】解：∵（k-2）x|k|-1+2＜k-4是关于x的一元一次不等式，
∴k-2≠0且|k|-1=1，解得k=-2，则不等式为-4x+2＜-6，解得x＞2．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤．
12．（2022·浙江嘉兴·八年级期中）如果一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集是_________．
【答案】x>1
【分析】根据数轴表分别表示两个不等式组的解集，确定公共部分即可求解．
【详解】解：由图示可看出，从-2出发向右画出的线且1处是空心圆，表示x＞-2；
从1出发向右画出的线且3处是空心圆，表示x>1，所以这个不等式组的解为：x>1，故答案为： x>1．
【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），再确定公共部分即为不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
13．（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）不等式的正整数解共有 个．
【答案】
【分析】先解不等式，再找不等式的正整数解即可．
【详解】解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
故正整数解有：，，，，，共个．故答案为：．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式的整数解，求出一元一次不等式的解集是解答本题的关键．
14．（2022·湖南省新田第一中学九年级月考）已知关于x的不等式的解集是，那么m的值是________．
【答案】．
【分析】先移项合并，然后根据不等式的解集得形式可得出关于m的方程，解出即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
∵不等式的解为，∴，解得：．故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式的知识，有一定的难度，注意先表示出不等式的解得形式，然后运用方程思想解答．
15．（2022 浦东新区期末）已知不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集为，则不等式ax＞b的解集为 ．
【思路点拨】根据已知条件得出a、b之间的关系式，代入后面不等式求解．
【答案】解：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，
移项得：（2a﹣b）x＜﹣3a+4b，
由已知解集为，得到2a﹣b＜0，
变形得：x＞，
可得：＝，整理得：7a＝8b，∴b＝a，
∵2a﹣b＜0，∴a＜0，
不等式ax＞b两边同时除以a得：x＜，
解得：x＜．故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，利用不等式的性质解答．
16．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯正如火如荼地进行着，其小组赛赛制为：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某强队想要在小组赛中确保出线，就必须在3场中保持不败并且积分不少于7分，则该队至少胜多少场？设该队胜x场，则列出的不等式为 ．
【答案】
【分析】设该队至少胜x场，则平场，根据题意列不等式即可．
【详解】解：设该队至少胜x场，则平场，
由题意得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是关键．
17．（2022 顺庆区校级期末）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，则该不等式的解集是 ．
【思路点拨】根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可．
【答案】解：根据题意得2x﹣（3﹣x）＞0，
去括号，得：2x﹣3+x＞0，
移项、合并，得：3x＞3，
系数化为1，得：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
【答案】≤m≤6
【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【详解】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0 x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．故答案为：≤m≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）解不等式：
(1)，并把解集在下列的数轴上表示出来．
(2)解不等式，并写出它的正整数解．
【答案】(1)，图见解析 (2)，正整数解为：1，2．
【分析】（1）首先去括号，再合并同类项，移项，再把的系数化为1即可求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
（2）移项、合并同类项、系数化成1，即可得出答案．
【详解】（1）解：
去括号得：，
合并同类项得：，
移项得：，
把的系数化为1得：，
在数轴上表示为：
．
（2）
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：．
正整数解为：1，2．
【点睛】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生能否正确解一元一次不等式，注意：不等式的两边都除以（或乘以）同一个负数，不等式的符号方向要改变．
20．（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：．
解：去分母，得…………第一步
去括号，得…………第二步
移项，得…………第三步
合并同类项，得…………第四步
系数化为1，得…………第五步
任务一：以上解题过程中，第______步出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______；
任务三：请根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】任务一：五，不等式两边同时除以，没有改变不等号的方向；任务二：；任务三：见解析
【分析】任务一：观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可；
任务二：写出不等式正确解集即可；
任务三：写出一条建议，符合题意即可．
【详解】解：任务一：以上解题过程中，第五步开始出现错误，这一步错误的原因是，不等式的两边同除以时，没有改变不等号的方向；
故答案为：五，不等式的两边同除以时，没有改变不等号的方向；
任务二：不等式的正确解集为；
故答案为：；
任务三：建议：不等式左右两边同乘一个负数时，不等号方向要改变．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
21．（2023春·江西宜春·七年级校考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来，并求出其符合条件的非正整数x的值．
【答案】，画图见解析，不等式的非正整数解为，0．
【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化1，再在数轴上表示不等式的解集，从而可得其非正整数解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：；
在数轴上表示不等式的解集如下：
∴不等式的非正整数解为，0．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的方法与步骤是解本题的关键．
22．（2023·上海青浦·七年级校联考期末）暑假即将开始，为了丰富假期生活，某学校要组织部分优秀学生和家长代表参加夏令营活动．有两家旅行社进行了报价，单人的基准价格都相同，但是两家给出的优惠不同（如图）．
(1)如果参加活动的大人和学生人数一样多，选择_________旅行社比较合算；
(2)如果参加活动的总人数为60人，经计算发现无论选择哪一家旅行社总费用都一样，求参加活动的学生人数；(3)如果设大人有m个，学生有n个，当m和n满足什么关系式时选择甲旅行社比较合算？请直接写出结论．
【答案】(1)乙；(2)参加活动的学生是40人；(3)当n＞2m时，选择甲旅行社比较合算．
【分析】（1）设参加活动的大人和学生人数都是a人，单人的基准价格是t元，分别表示出两个旅行社的费用，比较可得选择乙旅行社比较合算；
（2）设参加活动的学生人数是x人，则参加活动的大人是（60-x）人，单人的基准价格是t元，可得：0.9（60-x）t+0.6xt=0.7t×60，即可解得参加活动的学生是40人；
（3）设单人的基准价格是t元，根据题意得：0.9tm+0.6tn＜0.7t（m+n），可解得当n＞2m时，选择甲旅行社比较合算．
【详解】（1）解：设参加活动的大人和学生人数都是a人，单人的基准价格是t元，
甲旅行社费用为0.9at+0.6at=1.5at（元），
乙旅行社费用为0.7at+0.7at=1.4at（元），
∵a是正整数，t是正数，∴1.5at＞1.4at，
∴选择乙旅行社比较合算；故答案为：乙；
（2）解：设参加活动的学生人数是x人，则参加活动的大人是（60-x）人，单人的基准价格是t元，
根据题意得：0.9（60-x）t+0.6xt=0.7t×60，解得x=40，
答：参加活动的学生是40人；
（3）解：设单人的基准价格是t元，
根据题意得：0.9tm+0.6tn＜0.7t（m+n），∴n＞2m，
答：当n＞2m时，选择甲旅行社比较合算．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程．
23．（2022 高新区期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）在不等式①2x﹣1＜0，②x≤2，③x﹣（3x﹣1）＜﹣5中，不等式x≥2的“云不等式”是 ；（填序号）
（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+m的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3≥a与不等式ax﹣1＜a﹣x互为“云不等式”，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）根据云不等式的定义即可求解；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣3＜x+m得x＜m+3，再根据云不等式的定义可得﹣2m＞m+3，解不等式即可求解；
（3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可．
【答案】解：（1）不等式不等式2x﹣1＜0和x≥2没有公共解，故①不是不等式x≥2的“云不等式”；不等式不等式x≤2和x≥2有公共解，故②是不等式x≥2的“云不等式”；
不等式不等式x﹣（3x﹣1）＜﹣5和x≥2有公共解，故③是不等式x≥2的“云不等式”；
故答案为：②③；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣3＜x+m得x＜m+3，
∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+m的“云不等式”，
∴﹣2m≥m+3，解得m≤﹣1，故m的取值范围是m≤﹣1；
（3）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，依题意有a﹣3＜1，即a＜4，故﹣1＜a＜4；
②当a+1＜0时，即a＜﹣1时，始终符合题意，故a＜﹣1；
综上，a的取值范围为a＜﹣1或﹣1＜a＜4．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
24．（2023·山西朔州·八年级统考期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
平面内有一锐角，现用等长的小棒依次向右摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，其中为第1根小棒，且．
(1)用含的式子填空：放入第1根小棒后，得到外角______，放入第2根小棒后，得到外角______；放入第3根小棒后，得到外角______．
(2)若放入9根小棒后发现第10根无法放入，求的取值范围．
【答案】(1)，，；(2)．
【分析】（1）根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质，即可推出，从而求解；（2）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出的取值范围，即可得出正确答案．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∴，
∴，同理，，
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，摆第根时：（），
能摆第9根，则，不能摆第10根，则，
即：，解得：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键在于找到等量关系，求相关角的度数等．
25．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）某企业在生产过程中产生大量的污水，为了保护环境，该企业决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型
价格（万元/台） 12 10
处理污水量（吨/月） 240 200
经预算，该企业购买污水处理设备的资金不多于107万元，设购买A型设备x台（）．
(1)请你为该企业设计出所有的购买方案；
(2)若该企业每月产生的污水量为2060吨，为了能够及时处理掉每月所产生的污水量，同时也尽可能减少购买设备的资金，应选择哪种购买方案？为什么？
【答案】(1)共有三种购买方案：方案一：购买A型号设备1台，B型号设备9台；方案二：购买A型号设备2台，B型号设备8台；方案三：购买A型号设备3台，B型号设备7台
(2)应选择购买A型号设备2台，B型号设备8台，理由见解析
【分析】（1）根据购买10台污水处理设备的资金不多于107万元，列出不等式，求出x的取值范围，进而可得答案；
（2）分别求出三种方案的污水处理量，再求出购买设备的资金，然后可得答案．
【详解】（1）解：设购买A型设备x台，
由题意得：，解得：，
∴或2或3，∴共有三种购买方案：
方案一：购买A型号设备1台，B型号设备9台；
方案二：购买A型号设备2台，B型号设备8台；
方案三：购买A型号设备3台，B型号设备7台；
（2）方案一的污水处理量为：，不符合要求；
方案二的污水处理量为：，符合要求，费用为（万元）；
方案三的污水处理量为：，符合要求，费用为（万元）；
∴为了能够及时处理掉每月所产生的污水量，同时也尽可能减少购买设备的资金，应选择方案二：购买A型号设备2台，B型号设备8台．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找出合适的不等关系，正确列出不等式是解题的关键．
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专题3.3 一元一次不等式
模块1：学习目标
1、理解一元一次不等式、一元一次不等式的解的概念；
2、掌握解一元一次不等式的一般步骤，会解一元一次不等式；
3、会在数轴上表示一元一次不等式的解；
4、会用一元一次不等式解决简单的实际问题。
模块2：知识梳理
1、一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。注意：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1。(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式。
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向。
2、解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。
3、一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x＜a（或x＞a）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：1)去分母；2)去括号；3)移项；4)化为（或）的形式（其中）；5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集。
4、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
5、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集。
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
5、不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8。
（2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解。
如图所示：
注意：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
模块3：核心考点与典例
考点1. 一元一次不等式的辨别
例1．（2023·杭州市八年级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·浙江·八年级专题练习）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2023·江苏南京市八年级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是( )．
A．x2＋3x＞1 B． C． D．
考点2. 根据一元一次不等式得概念求参数
例1．（2022·湖南·八年级期末）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
变式1．（2023·黑龙江·八年级期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为______．
变式2．（2022·广西上思·八年级期末）若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝_____．
考点3. 求一元一次不等式的解集
例1．（2023·浙江·八年级期中）小明解不等式的过程如图．
解：去分母得： ①去括号得 ②移项得 ③合并同类项得 ④两边都除以-1得 ⑤
（1）请指出他解答过程中从第___________（填序号）步开始出现错误；
（2）写出正确的解答过程．
变式1．（2022·成都市·八年级专题练习）（1）解不等式3（2y﹣1）＞1﹣2（y+3）；
（2）解不等式≥+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
变式2．（2023·江苏苏州市·七年级月考）解下列不等式：
（1）；（2）．
考点4. 在数轴上表示一元一次不等式的解集
例4．（2023·广西·八年级期末）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
变式1．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）已知不等式：，（1）解此不等式并把解集在数轴上表示出来；（2）试判断x=是否为此不等式的解．
变式2．（2022·江苏吴中·七年级期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点5. 一元一次不等式的整数解
例5．（2023·四川甘孜州·八年级期末）不等式的最大正整数解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（2023·渝中区·八年级开学考试）关于的不等式的非负整数解共有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
变式2．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）解不等式，并写出它的所有非负整数解．
考点6. 含参数的一元一次不等式
例6．（2023·河南八年级期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集，
解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，；
当，即时，此不等式为无解．
请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式．
变式1．（2022春·陕西商洛·七年级校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为 ，求关于的一元一次不等式的解集．
变式2．（2022秋·广东江门·八年级校考开学考试）已知、为有理数，不等式的解集是，求不等式的解集．
考点7. 含绝对值的不等式
例7．（2023·重庆市七年级月考）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时：
解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即时，
解这个不等式，得：
由条件，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：
（1）； （2）．
变式1．（2023·山东八年级课时练习）解不等式：（1） （2）
变式2．（2023春·山西忻州·七年级统考期末）阅读与思考
阅读以下例题：解不等式：．解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得．．②当时，即，原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据）．③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解．所以不等式的解为或．
任务：(1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________．
(2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：．
考点8. 用一元一次不等式解决实际问题
例8．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
变式1．（2022·山东济宁市·八年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
变式2．（2022·广东佛山市·八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（ ）
A．100分钟 B．150分钟 C．200分钟 D．250分钟
变式3．（2022·宁波市八年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
考点9. 用一元一次不等式解决几何问题
例9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
变式1．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
变式2．（2023·湖北青山·八年级期中）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n，n+2．（n为正整数）。（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，直接写出n的最大值为 ．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·杭州八年级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022 平阴县期末）在数轴上表示不等式3x+1≤﹣5的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·辽宁·七年级期末）对于任意实数、，定义一种运算：．例如，，请根据上述的定义解决问题，若不等式，则该不等式的正整数解是（ ）
A．1 B．1,2 C．2 D．不存在
4．（2022·扬州市八年级期中）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022 秦都区月考）关于x的方程3x+2（3a+1）＝6x+a的解大于1，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞ D．a＜
7．（2023春·福建宁德·八年级统考期中）小红读一本300页的书，计划10天内读完，前5天因各种原因只读了100页，为了按计划读完，从第六天起平均每天至少要读多少页？设第六天起平均每天要读x页，根据题意列不等式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
9．（2022春 合肥期中）若关于x的不等式2x﹣a≤0只有2个正整数解，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜6 B．4≤a＜6 C．4≤a≤6 D．4＜a≤6
10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏·镇江八年级阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
12．（2022·浙江嘉兴·八年级期中）如果一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集是_________．
13．（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）不等式的正整数解共有 个．
14．（2022·湖南省新田第一中学九年级月考）已知关于x的不等式的解集是，那么m的值是________．
15．（2022 浦东新区期末）已知不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集为，则不等式ax＞b的解集为 ．
16．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯正如火如荼地进行着，其小组赛赛制为：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某强队想要在小组赛中确保出线，就必须在3场中保持不败并且积分不少于7分，则该队至少胜多少场？设该队胜x场，则列出的不等式为 ．
17．（2022 顺庆区校级期末）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，则该不等式的解集是 ．
18．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）解不等式：
(1)，并把解集在下列的数轴上表示出来．
(2)解不等式，并写出它的正整数解．
20．（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：．
解：去分母，得…………第一步
去括号，得…………第二步
移项，得…………第三步
合并同类项，得…………第四步
系数化为1，得…………第五步
任务一：以上解题过程中，第______步出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______；
任务三：请根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议．
21．（2023春·江西宜春·七年级校考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来，并求出其符合条件的非正整数x的值．
22．（2023·上海青浦·七年级校联考期末）暑假即将开始，为了丰富假期生活，某学校要组织部分优秀学生和家长代表参加夏令营活动．有两家旅行社进行了报价，单人的基准价格都相同，但是两家给出的优惠不同（如图）．
(1)如果参加活动的大人和学生人数一样多，选择_________旅行社比较合算；
(2)如果参加活动的总人数为60人，经计算发现无论选择哪一家旅行社总费用都一样，求参加活动的学生人数；(3)如果设大人有m个，学生有n个，当m和n满足什么关系式时选择甲旅行社比较合算？请直接写出结论．
23．（2022 高新区期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）在不等式①2x﹣1＜0，②x≤2，③x﹣（3x﹣1）＜﹣5中，不等式x≥2的“云不等式”是 ；（填序号）
（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+m的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3≥a与不等式ax﹣1＜a﹣x互为“云不等式”，求a的取值范围．
24．（2023·山西朔州·八年级统考期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
平面内有一锐角，现用等长的小棒依次向右摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，其中为第1根小棒，且．
(1)用含的式子填空：放入第1根小棒后，得到外角______，放入第2根小棒后，得到外角______；放入第3根小棒后，得到外角______．
(2)若放入9根小棒后发现第10根无法放入，求的取值范围．
25．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）某企业在生产过程中产生大量的污水，为了保护环境，该企业决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型
价格（万元/台） 12 10
处理污水量（吨/月） 240 200
经预算，该企业购买污水处理设备的资金不多于107万元，设购买A型设备x台（）．
(1)请你为该企业设计出所有的购买方案；
(2)若该企业每月产生的污水量为2060吨，为了能够及时处理掉每月所产生的污水量，同时也尽可能减少购买设备的资金，应选择哪种购买方案？为什么？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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