课件10张PPT。
第5章 特殊平行四边形
5．1 矩形
第1课时 矩形的性质
得分________ 卷后分________ 评价________
CA2．(4分)如图所示，矩形ABCD中，点E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．53．(4分)将矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠，折痕为BD，此时△ABD和△EBD在BD的同一侧，已知∠CBD＝20°，则∠ABE等于( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．(4分)四边形ABCD为矩形，已知点A(1，1)，B(3，1)，C(3，5)，那么D点坐标为( )
A．(1，3) B．(1，5)
C．(5，3) D．(5，1)5．(4分)在下列图形的性质中，矩形不一定具有的是( )
A．两条对角线互相平分
B．两条对角线相等
C．两条对角线垂直
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形DBC6．(4分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是( )
A．2 B．47．(4分)若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是( )
A．20° B．40° C．80° D．100°8．(4分)如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α＝____度．9．(8分)如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点．求证：∠EBC＝∠ECB.第8题图证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.∴△ABE≌△DCE.
∴BE＝CE.
∴△BEC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB.
?BC2510．(10分)如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
求证：BE＝CF.证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，则BO＝CO.
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°.
∵∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF.∴BE＝CF.
?
11．(4分)如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC＝2，OA＝4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( )
A．(2，4) B．(－2，4)
C．(4，2) D．(2，－4)12．(4分)如图，把两个大小完全相同的矩形拼成一个“L”形图案，则∠FCA＝____度．C4513．(10分)如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF，DE交于点O.求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)△AOD是等腰三角形．证明：(1)在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵BE＝CF，BF＝BC－FC，CE＝BC－BE，∴BF＝CE.∴△ABF≌△DCE(SAS)
(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠BAF＝∠EDC，∵∠DAF＝90°－∠BAF，∠EDA＝90°－∠EDC，∴∠DAF＝∠EDA，∴△AOD是等腰三角形．14．(10分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠CED＝90°
∵∠CED＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.
又∵EF＝EC，∴△AEF≌△DCE.
∴AE＝DC，DE＝AF.
∵矩形ABCD的周长为32 cm，DE＝4 cm
∴2AE＋4＝16，即AE的长为6 cm.15．(10分)已知，如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD相交于点O，且BE∶ED＝1∶3，若AD＝6 cm，求AE的长．解：∵矩形ABCD
∴AO＝BO，BD＝2BO，
∠BAD＝90°，
∵BE∶ED＝1∶3，∴ED＝3BE，
∴BD＝BE＋ED＝4BE，BO＝2BE，
∵AE⊥BD，∴AE垂直平分BO，
∴AB＝AO，∴AB＝AO＝BO，即△ABO为等边三角形
∴∠ABD＝60°，∠ADB＝90°－∠ABD＝30°，【综合运用】
16．(12分)把一张矩形ABCD纸片按如图所示方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG.
(1)求证：△BHE≌△DGF；
(2)若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求线段FG的长．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，
AB＝CD.
∴∠ABD＝∠CDB.
∵△BHE，△DGF分别是由△BHA，△DGC折叠所得，
∴BE＝AB，DF＝CD，
∠HEB＝∠A，∠GFD＝∠C，课件9张PPT。
5．2 菱形
第1课时 菱形的性质
得分________ 卷后分________ 评价________
CA1．(4分)如图，菱形ABCD的周长是16，∠A＝60°，则对角线BD的长度为( )A．22．(4分)如图所示，菱形ABCD中，P，Q分别是AD，AC的中点，如果PQ＝3，那么菱形ABCD的周长是( )
A．6 B．18 C．24 D．303．(4分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补C4．(4分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC5．(4分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )
A．25 B．20 C．15 D．106．(5分)如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( )
A．24 B．16 BBC7．(5分)若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是____．8．(5分)如图，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为____cm2.9．(5分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝____．3210．(10分)如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在边CD，DA上，且CE＝AF.求证：BE＝BF.证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∠A＝∠C，
∵在△ABF和△CBE中，
AF＝CE，∠A＝∠C，AB＝CB，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴BE＝BFB311．(5分)如图所示的是根据平行四边形的不稳定性制成的活动衣架，已知菱形ABCD的边长为20 cm，当AE＝EF＝20 cm时，∠AOF等于( )
A．30 B. 60° C. 90° D. 120°12．(5分)如图，P为菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF＝3 cm，则P点到AB的距离是____cm.13．(5分)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为__( ， )__．14．(5分)如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2 015厘米后停下，则这只蚂蚁停在____点．15．(8分)如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E，证明：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°
∴∠ACB＝∠ACD＝∠DCE＝60°，
∵DE∥AC，∴∠E＝60°，
∴∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE＝BC，
又∵BE＝BC＋CE，G16．(10分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.证明：∵四边形ABCD是菱形．
∴OD＝OB，∠COD＝90°，
∵DH⊥AB于H，
∴OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO【综合运用】
17．(12分)菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图①所示，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②所示，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．证明：(1)连接AC，∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°－∠B＝120°，∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，
∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，
∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠ECF＝180°－30°－120°＝30°，
∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF，∴BE＝DF(2)连接AC，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠ACF＝60°，∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝ 60°＋∠FAD，
∠AFC＝∠D＋∠FAD＝60°＋∠FAD，
∴∠AEB＝∠AFC.
∴△ABE≌△ACF(AAS)，∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．课件10张PPT。专题七 菱形的判定技巧
?教材母题?(教材P123作业题第3题)已知：如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H依次是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是菱形．【思想方法】 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．变形1 已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．证明：(1)在?ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵OB＝OD，∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF.(2)当∠DOE＝90°时，四边形BFDE为菱形．
∵△DOE≌△BOF，
∴OE＝OF.
∵OB＝OD，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∵∠DOE＝90°，∴EF⊥BD，
∴?BFDE为菱形．变形2 如图，在?ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵DF＝BF，∴四边形DEBF为菱形．变形3 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB.
(1)求证：∠ABE＝∠EAD；
(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．证明：(1)在平行四边形ABCD中，
AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，
∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠EAD.(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE，
∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，
∴∠ABE＝2∠ADB，
∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．变形4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，并且DE＝DF.
求证：(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，又∵DE＝DF，
∴△AED≌△CFD(AAS)(2)∵△AED≌△CFD，
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．变形5 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．证明：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE.∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，DB＝DC，∴AF＝DC变形6 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F，EH⊥AB于H，连接FH.求证：四边形CFHE是菱形．证明：∵
∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE＝EH，∵AE＝AE，∴AC＝AH，
∵AE平分∠CAB，∴∠CAF＝∠HAF，
∴△CAF≌△HAF(SAS)，
∴∠ACD＝∠AHF，∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠CDA＝∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝∠AHF，∴FH∥CE，∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF∥EH，∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE＝EH，∴四边形CFHE是菱形．变形7 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．(2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．课件9张PPT。
第2课时 正方形的性质
得分________ 卷后分________ 评价_______
CCC1．(5分)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．172．(5分)正方形具有而一般菱形不具有的性质是( )
A．四条边都相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等
D．每一条对角线平分一组对3．(5分)如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，则图中等腰直角三角形有( )
A．4个 B．6个 C．8个 D．104．(5分)如图所示，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°5．(5分)如图，延长正方形ABCD的边BC至点E，使CE＝AC，则∠AFC＝____度．6．(5分)如图所示，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，则图中阴影部分的面积之和为_ _C112.5a27．(10分)如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；
(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．解：(1)四边形ACED是平行四边形．
理由：四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，即AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形8．(10分)如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC中点．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)求△AEF的面积．C-19．(6分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( )10．(6分)如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝____．11．(12分)如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F.在线段AG上取点H，使得AG＝DE＋HG，连接BH.求证：∠ABH＝∠CDE.证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABG＝∠DAF＝90°，∵DE⊥AG，∴∠2＋∠EAD＝90°，又∵∠1＋∠EAD＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABG和△DAF中，∠1＝∠2，AB＝AD，∠ABG＝∠DAF＝90°，∴△ABG≌△DAF(ASA)∴AF＝BG，AG＝DF，∠AFD＝∠BGA，∵AG＝DE＋HG，AG＝DE＋EF，∴EF＝HG，在△AEF和△BHG中，AF＝BG，∠AFD＝∠BGH，EF＝HG，∴△AEF≌△BHG(SAS)，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵∠2＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∠3＋∠ABH＝∠ABC＝90°，∴∠ABH＝∠CDE.12．(12分)如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证：AM＝EF.证明：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂直AB，垂足为P，四边形ABCD是正方形，∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，∴AP＝QM＝DF＝MF，PM＝PB＝ME，【综合运用】
13．(14分)如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.
(1)求证：AF＝BE；
(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∠ABE＝∠DAF，AB＝AD，∠BAE＝∠D，∴△ABE≌△DAF(ASA)，∴AF＝BE2)MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与(1)的情况完全相同．课件10张PPT。检测内容：第5章
得分________ 卷后分________ 评价________
?DB1．矩形是轴对称图形，它的对称轴共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为( )
A．10 B．8 C．6 D．53．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是( )
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．AC＝BD且AC⊥BD D．AB＝ADAC5．如图所示，是一个经过改造后的台球桌面示意图，图中四个角上阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是( )
A．1号袋 B．2号袋
C．3号袋 D．4号袋B6．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M，N的坐标分别是( )
A．M(5，0)，N(8，4) B．M(4，0)，N(8，4)
C．M(5，0)，N(7，4) D．M(4，0)，N(7，4)AC二、填空题(每小题4分，共20分)
8．矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为____．10．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为____．61∶2162011．如图所示，边长为1的正方形ABCD中，CE＝CD，EF⊥AC，则DF＝ .12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝24，BD＝18，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离等于____．三、解答题(共52分)
13．(12分)如图，已知两个菱形ABCD，CEFG，其中点A，C，F在同一直线上，连接BE，DG.
(1)在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；
(2)证明：BE＝DG.解：(1)△ADC≌△ABC，
△GFC≌△EFC.(2)证明：∵四边形ABCD，CEFG是菱形，
∴DC＝BC，CG＝CE，∠DCA＝∠BCA，∠GCF＝∠ECF，
∵∠ACF＝180°，
∴∠DCG＝∠BCE，14．(14分)如图，已知E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，∴∠ABE＝∠ECF，
又∵E为BC的中点，∴BE＝CE
∴△ABE≌△FCE(ASA)(2)∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，又AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∴BE＝EC，AE＝EF，
又∵∠AEC＝2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB，∴∠ABC＝∠EAB，
∴AE＝BE，∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC，
则四边形ABFC为矩形．15．(12分)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？试说明理由．证明：∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形CFDE是矩形，
过D点作DG⊥AB，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴DF＝DG，DE＝DG，
∴DF＝DE.
∴四边形CFDE是正方形．16．(14分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝8 cm，CD＝24 cm，AB＝26 cm，点P从C出发，以1 cm/s的速度向D运动，点Q从A出发，以3 cm/s的速度向B运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动．从运动开始：
(1)经过多长时间，四边形AQPD是平行四边形？
(2)在运动过程中，P，Q，B，C四点有可能构成正方形吗？为什么？解：设P，Q运动了t秒，则PC＝t cm，AQ＝3t cm，
(1)当DP＝AQ时，四边形AQPD是平行四边形，即24－t＝3t，解得t＝6，
答：经过6秒四边形AQPD是平行四边形．(2)不可能构成正方形．
理由：若能构成正方形．则PC＝BC＝8 cm，
此时t＝8，而QB＝26－3t＝2 cm，
即QB≠PC，所以不能构成正方形．
