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第2课时 平行线间的线段
得分________ 卷后分________ 评价________
BA1．(5分)如图，已知l1∥l2，AB∥CD，AD＝CE，DE，FG都垂直于l2，点E，G分别为垂足，则下列选项中，一定成立的是( )
A．AB＝CD B．CE＝FG
C．BC＝EG D．S四边形ABCD＞S四边形DEGF2．(5分)平行线之间的距离是指( )
A．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度3．(5分)如图所示，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，若∠B＝45°，则?ABCD的面积为( )
A．8 B．12
C．16 D．244．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为( )
A．24 B．36 C．40 D．48BD5．(5分)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则点C的坐标是( )
A．(8，2) B．(5，3)
C．(7，3) D．(3，7)6．(5分)如图所示，设P点是?ABCD边AB上任意一点，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则( )
A．S3＝S1＋S2 B．S3＞S1＋S2
C．S3＜S1＋S2 CA7 ．(5分)如图，l1∥l2，点D是BC的中点，若S△ABC＝8 cm2，则S△BDE＝____cm2.8．(5分)如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别为BC，AD边上的点，要使BF＝DE需添加一个条件：_ _4BE＝DF(答案不唯一) ．9．(10分)已知：点E，F分别是平行四边形ABCD的对边AB，CD的中点，求证：DE＝FB.证明：∵ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
AB＝DC，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝CF，在△DAE与△BCF中，
AD＝BC，∠A＝∠C，AE＝CF，
∴△DAE≌△BCF(SAS)，∴DE＝BF.
?10．(6分)两个长、宽各为a米、b米的矩形花圃，都修建了形状不同的一条宽为c米的小路，问：这两条小路的面积____(填“相等”或“不相等”)，若相等，面积是____m2.11．(10分)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF＝AB.求证：△AEF≌△DFC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠D＝∠EAF，
∵AF＝AB，BE＝AD，
∴AF＝CD，AD－AF＝BE－AB，即DF＝AE，
在△AEF和△DFC中，AE＝DF，∠EAF＝∠D，
AF＝DC，∴△AEF≌△DFC(SAS)相等bc12．(10分)如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，EC＝2，CF＝1.求?ABCD的周长及∠B的度数．解：∵∠EAF＝60°，∴∠C＝360°－∠AEC－∠AFC－∠EAF＝120°，
∴∠B＝∠D＝180°－∠C＝60°
设AB＝CD＝2x，则BE＝x，BC＝x＋2，?
13．(12分)如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条弯曲的小路EFG.现在想把它改为经过点E的直路，要求小路的两侧土地面积不变，请在图中画出改动后的小路，并说明理由．解：连接EG，过点F作MN∥EG，交AD于点M，交BC于点N，连接EM，则EM就是所求的路．
理由：因为MN∥GE，所以S△EGF＝S△EGM，所以S五边形ABEFG＝S四边形ABEG＋S△EGF＝S四边形ABEG＋S△EGM＝S四边形ABEM，
即路左侧面积未变，则右侧面积也未变。14．(12分)在平行四边形ABCD中，
(1)当E点是AB上一点，F是CD上一点，且AE＝CF时，如图①所示，求证：AF＝CE，∠ECF＝∠EAF；
(2)当E点变为BA延长线上一点，F变为DC延长线上一点，且AE＝CF时，如图②所示，问(1)中的结论是否仍成立？解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵AE＝CF，∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF.
∴△BCE≌△DAF(SAS)．
∴AF＝CE，∠BCE＝∠DAF，
∴∠BAD－∠DAF＝∠BCD－∠BCE，
即∠EAF＝∠ECF (2)成立课件8张PPT。检测内容：4.1－4.2
得分________ 卷后分________ 评价________
?DA1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是( )
A．12 B．11 C．10 D．9
2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD
C．AB＝CD D．AC⊥BD3．如图所示，?ABCD的对角线AC，BD相交于O点，下列式子中，一定成立的是( )
A．AC⊥BD B．OA＝OC
C．AC＝BD D．OA＝OD4．?ABCD中，∠C－∠D＝40°，则∠A，∠B的度数分别为( )
A．∠A＝120°，∠B＝80°
B．∠A＝80°，∠B＝120°
C．∠A＝110°，∠B＝70°
D．∠A＝70°，∠B＝1105．已知?ABCD的周长为48，且AB∶BC＝1∶3.则AB的长度为( )
A．6 B．12 C．18 D．36BCA6．如图所示，?ABCD的对角线AC，BD相交于O点，如果AD＝8 cm. AB＝3 cm，则△AOD的周长与△AOB的周长之差为( )7．在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(4，2)，则顶点D的坐标为( )
A．(7，2) B．(5，4)
C．(1，2) D．(2，1)
8．若正n边形的一个内角与正2n边形的一个内角的和等于270°，则n为( )
A．7 B．6 C．5 D．4BCB二、填空题(每小题4分，共28分)
9．已知?ABCD的周长为32，且AB＝6，则BC＝____．
10．若一个多边形的内角和等于1260°，则该多边形的边数是____．
11．已知平行四边形ABCD的面积为4，对角线AC，BD相交于O点，则△AOB的面积为____．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，在AD上取DE＝EC，则∠ECB的度数是____．13．已知平行四边形的周长为30 cm，一条对角线分平行四边形所成的两个三角形的周长都是20 cm，则这条对角线的长度为___cm.109180°514．在?ABCD中，若∠A∶∠B＝2∶3，则∠C＝__，∠D＝____
15．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF＝____.三、解答题(共40分)
16．(8分)某平行四边形的周长为28 cm，两条邻边的长度之差为4 cm，求平行四边形各边的长度．72°108°217．(10分)如图所示，?ABCD的周长是36，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝4，DF＝5，求这个平行四边形的面积．解：∵?ABCD的周长是36，∴AD＋AB＝36÷2＝18，设AD＝x，则AB＝18－x，∵DE⊥AB，DF⊥BC，且DE＝4，DF＝5，∴5x＝4(18－x) 解得x＝8 ∴平行四边形的面积为8×5＝40
?
?18．(10分)如图所示，在平行四边形ABCD中，过A点任意作一条直线交CD于E点，延长CD到F点，使EF＝AB.求证：AF∥BE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＋∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠C，又∵EF＝AB，∴EF＝CD，EF－DE＝CD－DE即DF＝CE，∴△ADF≌△BCE(SAS) ∴∠F＝∠BEC，∴AF∥BE
?19．(12分)在一次数学探究活动中，小王用两条直线把?ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．
(1)根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有____组；
(2)请你在如图所示的平行四边形中画出满足小王分割方法的直线；(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？解：(1)无数(2)作图时要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点任画一条直线即可，作图略(3)这两条直线都过平行四边形四边相同的等分点，且都经过对角线的交点课件8张PPT。
4．4 平行四边形的判定定理
第1课时 利用边的条件判定平行四边形
得分________ 卷后分________ 评价________
BB1．(5分)下面不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
2．(5分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则下列四个条件中可以增加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AC＝BD
D．∠ABC＋∠BAD＝1803．(5分)如图所示，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．梯形4．(5分)已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有( )
A．6种 B．5种
C．4种 D．3种AC5．(5分)如图所示，在?ABCD中，EF∥BC，则四边形AEFD是____四边形，这说明两组对边__ __的四边形是平行四边形．6．(5分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是_ _．7．(10分)如图，在?ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF＝CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF＝CE
?平行平行且相等AB＝CD(答案不唯一)8．(10分)如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠B＝∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥CD，
∵∠B＝∠D，∠B＋∠BAC＋∠ACB＝∠D＋∠ACD＋∠DAC＝180°，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形．
?
19．(6分)如图，?ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝ ，则AB的长是____．10．(10分)如图所示，已知AD是△ABC的中线，DE∥AB，且DE＝AB，连接AE，EC.求证：四边形ADCE是平行四边形．证明：∵DE∥AB，DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE∥BC，AE＝BD
∵AD是△ABC的中线．
∴BD＝CD，∴AE＝CD.
∴四边形ADCE是平行四边形11．(10分)如图，在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE，EH，HF，FG.求证：四边形GEHF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠GBE＝∠HDF.
又AG＝CH，∴BG＝DH，
又BE＝DF，∴△GBE≌△HDF.
∴GE＝HF，∠GEB＝∠HFD.
∴∠GEF＝∠HFE.∴GE∥HF.
∴四边形GEHF是平行四边形．
?12．(10分)如图所示，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.求证：四边形DAEF是平行四边形．证明：∵△ABD，△ACE，
△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＝60°－∠FBA＝∠ABC
而DB＝AB，BF＝BC，
∴△DBF≌△ABC，∴DF＝AC＝AE
同理可证DA＝FE，∴四边形DAFE是平行四边形．【综合运用】
13．(14分)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6厘米，AD＝9厘米．点P，Q分别从A，C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由A向D运动，点Q以2厘米/秒的速度由C向B运动．
(1)几秒钟时四边形ABQP为平行四边形？
(2)几秒钟时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？解：(1)2秒时四边形ABQP为平行四边形．
(2)当P，Q两点运动2秒或3秒时各截出一个平行四边形．
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课件9张PPT。专题五 与平行四边形的判定有关的证明教材母题?(教材P97作业题第3题)已知：如图，在?ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AF，CE分别与对角线BD交于点F，E.
求证：四边形AFCE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD.
∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD.
∴∠BAF＝∠DCE.
∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.
∴△ABF≌△CDE(AAS)
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∵∠AFE＝180°－∠AFB，
∠CEF＝180°－∠CED，
∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE.
∴四边形AFCE是平行四边形．思想方法】 平行四边形的判定主要从三个方面看：
(1)从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(2)从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(3)从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．变形1 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.
求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△ABO与△CDO中，∴△ABO≌△CDO(ASA)
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
?变形2 在平面直角坐标系内，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－3，－2)，B(0，3)，C(3，2)，D(0，－3)，四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明．解：四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵A(－3，－2)，B(0，3)，C(3，2)，D(0，－3)，变形3 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)，
∴AD＝BC，∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形变形4 如图，已知?ABCD，过A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，又∵AM⊥BC，
∴AM⊥AD，∵CN⊥AD，
∴AM∥CN，∴AE∥CF，
又由平行得∠ADE＝∠CBD，
在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形．变形5 如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题．
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果……那么……”的形式)解：(1)以①②作为条件构成的命题是真命题．
证明：∵AB∥CD
∴∠OAB＝∠OCD，又∵AO＝CO，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，另一组对边相等，那么四边形是平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于点O，且OA＝OC，AD＝BC，那么这个四边形是平行四边形，根据已知不能推出OB＝OD，或AD＝BC或AB＝DC，而四边形不是平行四边形．
?变形6 如图，BD是?ABCD的一条对角线，CM⊥BD，AN⊥BD，垂足分别为M，N.四边形AMCN是平行四边形吗？你有几种判别方法？解：四边形AMCN是平行四边形．
方法一：证明AN綊CM；
方法二：证明AN∥CM，AM∥CN；
方法三：证明AN＝CM，AM＝CN；
方法四：连接AC交BD于点O，证明OA＝OC，OM＝ON.变形7 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接DE.
(1)证明：DE∥CB；
(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．(1)证明：连接CE，
∵点E是Rt△ACB的斜边AB的中点．
∴CE＝AB＝AE.
∵△ACD是等边三角形，∴AD＝CD.
在△ADE与△CDE中，AD＝CD，
DE＝DE，AE＝CE，∴△ADE≌△CDE(SSS)．
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∵∠DCB＝150°，
∴∠EDC＋∠DCB＝180°.∴DE∥CB.(2)解：∵∠DCB＝150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB＋∠B＝180°.∴∠B＝30°，即当AC＝AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形．课件5张PPT。专题六 与中点有关的辅助线作法教材母题?(教材P99例题)已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：见教材P99页
?【思想方法】 (1)连接对角线，把四边形转化为三角形体现了转化思想．
(2)遇到中点找中点，这种方法常用于解决三角形和四边形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线．因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连接两个中点，即可构造三角形的中位线．
(3)遇到中点作中线，这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线的性质．因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线．变形1 如图，在锐角三角形ABC中，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABM，ACN，已知D，E，F分别是BM，BC，CN的中点，连接DE，EF.求证：DE＝EF.证明：延长AF交直线BC于点M，延长AG交直线BC于点N.∵BD平分∠ABM，∴∠ABF＝∠MBF.∵AF⊥BD，∴∠AFB＝∠MFB.∵BF＝BF，∴△AFB≌△MFB.∴AF＝MF，AB＝BM.同理可证AG＝NG，AC＝CN.∴FG是△AMN的中位线．变形3如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N分别是BC，AD的中点．求证：∠BEM＝∠CFM.证明：如图，连接AC，取AC中点G，连接NG，MG.∵M，N分别是BC，AD的中点，∴NG是△ACD的中位线，
