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浙教版2023-2024学年九上数学第1章二次函数 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
【答案】C
【解析】A、∵，∴开口向下，错误； B、抛物线的顶点坐标是，错误；
C、对称轴为直线，正确； D、当时，，错误.
故答案为：C.
2．已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】A
【解析】 二次函数的图像与 轴无交点，
∴
答案为：A
3．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为.
故答案为：C.
4．二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵二次函数的解析式为，，
∴函数图象开口向下，对称轴为，
∴，，到对称轴的距离分别为：3，1，2.
∵函数图象开口向下，
∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，即函数值越小，
∴.
故答案为：C.
5．二次函数中当时随的增大而增大，则一次项系数满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵二次函数中当时随的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为直线，
b≥-2.
故答案为：B
6．若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【解析】由函数图象可知，不等式的解集为或，
∵二次函数是由二次函数向右平移2个单位长度得到的，
∴不等式的解集为或，
故答案为：D.
7．二次函数y＝ax2+4ax＋c（a<0）的图象过A（﹣6，y1），B（0，y2），C（-3，y3），D（1，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
【答案】B
【解析】∵ y＝ax2+4ax＋c，∴对称轴为直线，
∵a＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵二次函数y＝ax2+4ax＋c（a<0）的图象过A（﹣6，y1），B（0，y2），C（-3，y3），D（1，y4）四个点，
∴到对称轴的距离从大到小依次是点A，D，B，C，
∴y1＞y4＞y2＞y3，
A、 若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，故A不符合题意；
B、若y1y4＞0，则y2y3＞0，故B符合题意；
C、若y2y4＜0，则y1y3＜0或 y1y3＜0，故C不符合题意；
D、若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，故D不符合题意；
故答案为：B
8．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】观察二次函数图象得∶抛物线开口向下，对称轴在y轴右边，抛物线交y轴与正半轴，
∴， a、b异号，，
∴， ，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故答案为：B
9．已知，点，在抛物线上，若，存在一个正数m，当时，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】∵抛物线解析式为，
∴对称轴为，由二次函数的对称性可知，
当和时，函数值y相等，
当和时，函数值y相等，
即当满足和的函数值相同，
当，存在一个正数m，当时，都有，
∴或，解得或；
故答案为：D.
10．已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（ ）
A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0
B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0
C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0
D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0
【答案】D
【解析】∵二次函数y＝（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，
∴当m＝1时，
y＝（x+1）（x-3）+n＝x2-2x-3+n＝（x-1）2-4+n
∴二次函数的最小值为y＝-4+n，
∴①当m＝1，n＞4时，-4+n＞0，
∴B选项不符合题意；
∴②当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝-4+n＜0，
∴D选项符合题意；
当m＞1，n＜0时，
若m＝2，则y＝x（x-2）+n＝x2-2x+n＝（x-1）2-1+n，
∴此时二次函数的最小值为-1+n，小于0，
故A选项不符合题意；
当m＜1，n＞0时，
若m＝0，则y＝（x+2）（x-4）+n＝x2-2x-8+n＝（x-1）2-9+n，
∴此时二次函数的最小值为-9+n，
∴当0＜n＜9时，-9+n＜0，
∴C选项不符合题意.
故答案为：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个对称轴为y轴，且过的二次函数的解析式 ．
【答案】（答不唯一）
12．用配方法将抛物线化成顶点式得 ．
【答案】
【解析】由题意得：
故答案为：
13．二次函数的图象经过原点，则k的值为 ．
【答案】-2
【解析】由题意得：
，
解得：，
又∵是二次函数，
∴，即：，
∴；
故答案为：-2．
14．当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是 ．
【答案】-2＜m≤1或m=-3
【解析】∵抛物线y=（x-2）2-3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）
当x=0时y=1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时（x-2）2-3=0，
解之：，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
当x=1时y=-2，当x=4时y=1，
二次函数图象如下
由图象可知直线y=m与抛物线y=（x-2）2-3在1≤x≤4内图象有一个交点，
∴m的取值范围为-2＜m≤1或者m=-3.
故答案为-2＜m≤1或m=-3
15．在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝ax2－4ax＋c(a为常数，且a＜0)的图象沿着y轴向下平移，交x轴于O，A两点，则OA的长为 ．
【答案】4
【解析】∵y＝ax2－4ax＋c，
∴抛物线的对称轴为直线
∵将二次函数y＝ax2－4ax＋c(a为常数，且a＜0)的图象沿着y轴向下平移，交x轴于O，A两点，
∴点A和点O关于直线x=2对称，
∴AO=2×2=4.
故答案为：4
16．已知顶点为的抛物线与顶点为的抛物线交于，，则四边形的周长为 .
【答案】
【解析】由题意可知，，则，对称轴都是，
两个抛物线的值是相反的，
四边形是菱形，
抛物线的值确定，抛物线的形状固定，的长度固定，则菱形的形状固定，
直接算菱形的边长比较麻烦，可以将整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是的中点在原点，
此时对称轴为轴，，
，
则，，
将代入可得：，解得，
则，
，
则四边形的周长为.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数 ．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△= ，∴m＞﹣1；
（2）解：∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m，∴m=3，∴二次函数的解析式为： ，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为： ，∴ ，解得： ，∴直线AB的解析式为： ，∵抛物线 的对称轴为：x=1，∴ ，解得： ，∴P（1，2）．
18．已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与x轴只有一个交点（-1，0）．当a≠0时，
依题意得方程ax2+x+1=0有两等实数根．∴△=b2-4ac=1-4a=0，∴a= ．
∴当a=0或a= 时函数图象与x轴恰有一个交点
（2）解：依题意有 ，根据分式值是正值的性质可知：
当 4a＞0，解得a＞ ；当 ，解得a＜0．∴a＞ 或a＜0．
当a＞ 或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方．
19．用长为8米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米.
（1）请用含的代数式表示的长.
（2）设矩形的面积为，出于实际考虑，我们要求窗框的高度()至少为1米，宽度()至少为1.5米，则当取何值时，透光面积最大，并求出面积的最大值.
【答案】（1）解：设，则，
∴
解得：
∴
（2）解：
，
解得
∵对称轴为直线，
∴当时，随增大而减小，
∴当时，
答：当时，透光面积最大，最大面积为.
20．在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网.小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点与障碍平台之间的距离为，障碍平台高为，若小冲此次训练时足球正好在前方的点处达到最高点，离地面最高距离为，以地面所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求过O，C，B三点的抛物线表达式；
（2）此时障碍平台与球门之间的距离为，已知球门高为，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门.
【答案】（1）解：依题意得，，，
设抛物线表达式为，
∴，解得，
∴抛物线表达式为
（2）解：抛物线的对称轴为，
点B到对称轴的距离为，
∴第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x轴的正方向平移8个单位长度，
∴第二段抛物线的表达式为，
当时，，
因此，不能顺利射入球门.
21．在直角坐标系中，设函数（，且m，n为实数），
（1）求函数图象的对称轴.
（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.
（3）已知当时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：.
【答案】（1）解：∵函数（，且m，n为实数），
函数图象的对称轴为
（2）证明：令，则，
即，
m，n异号，
∴，
一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）证明：由题可知
，
.
22．已知函数（b，c为常数）的图像经过点，.
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
【答案】（1）解：把，代入可得∶
，解得：
（2）解：由（1）得：该函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵
∴抛物线开口向上，
又∵，
∴当时，y有最小值为；时，y有最小值为3
∴y的最大值与最小值之差为
（3）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当时，即
∴当时，y有最小值为，y有最大值为
∵
∴；
①当时，即
∴当时，y有最小值为
当时，y有最大值为
∴，解得
∵与矛盾
∴不符合题意.
综上，.
23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C.
（1）求b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m.当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值.
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
则有，
解得，
∴y＝x+3，
过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，
由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），
∴S△PBC＝×3×（﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，
∵－3＜m＜0，－＜0，
∴当m＝﹣时，S△PBC有最大值，
此时P（﹣，）；
（3）存在，M坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，）
【解析】（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
将抛物线向左平移2个单位长度，则y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5，
联立得：﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5，
∴x＝﹣2，
∴D（﹣2，3），
∵B（﹣3，0），
∴BD＝，
∵M点在直线BC上，
设M（t，t+3），
当四边形BDMN为菱形时，如图1，
∴DB＝DM，
∴10＝（t+2）2+t2，
∴t＝1或t＝﹣3（舍），
∴M（1，4）；
当四边形BDNM为菱形时，如图2，
∴BD＝BM，
∴10＝（t+3）2+（t+3）2，
∴t＝﹣3或t＝﹣﹣3，
∴M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）；
当四边形BMDN为菱形时，如图3，
设BD的中点为G，则G（﹣，），
∵GM⊥BD，
∴BM2＝BG2+GM2，
∴2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2，
∴t＝﹣，
∴M（﹣，）；
综上所述：M点的坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，）.
24．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.我们规定；抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点.
（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果抛物线经过（1，3）.
①求a的值
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的坐标；
（3）如果抛物线在“G区域”内有4个整点，求a的取值范围，
【答案】（1）解：∵，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：①∵抛物线经过，
∴，解得；
②由①得：，
令得，，
解得，，
∴点，点.
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
（3）解：
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为.
当时，如图1所示，
此时有，解得；
当时，如图2所示，
此时有，解得；
综上，如果“G区域”内仅有4个整点时，则a的取值范围为或.
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年九上数学第1章二次函数 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
2．已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
3．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数中当时随的增大而增大，则一次项系数满足（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
（第6题） （第8题）
7．二次函数y＝ax2+4ax＋c（a<0）的图象过A（﹣6，y1），B（0，y2），C（-3，y3），D（1，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
8．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，点，在抛物线上，若，存在一个正数m，当时，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（ ）
A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0
B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0
C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0
D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个对称轴为y轴，且过的二次函数的解析式 ．
12．用配方法将抛物线化成顶点式得 ．
13．二次函数的图象经过原点，则k的值为 ．
14．当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝ax2－4ax＋c(a为常数，且a＜0)的图象沿着y轴向下平移，交x轴于O，A两点，则OA的长为 ．
16．已知顶点为的抛物线与顶点为的抛物线交于，，则四边形的周长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数 ．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
18．已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．
19．用长为8米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米.
（1）请用含的代数式表示的长.
（2）设矩形的面积为，出于实际考虑，我们要求窗框的高度()至少为1米，宽度()至少为1.5米，则当取何值时，透光面积最大，并求出面积的最大值.
20．在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网.小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点与障碍平台之间的距离为，障碍平台高为，若小冲此次训练时足球正好在前方的点处达到最高点，离地面最高距离为，以地面所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求过O，C，B三点的抛物线表达式；
（2）此时障碍平台与球门之间的距离为，已知球门高为，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门.
21．在直角坐标系中，设函数（，且m，n为实数），
（1）求函数图象的对称轴.
（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.
（3）已知当时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：.
22．已知函数（b，c为常数）的图像经过点，.
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C.
（1）求b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m.当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值.
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
24．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.我们规定；抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点.
（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果抛物线经过（1，3）.
①求a的值
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的坐标；
（3）如果抛物线在“G区域”内有4个整点，求a的取值范围，
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