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浙教版2023-2024学年九上数学第1章二次函数 培优测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是5
D．当时，y随x的增大而增大
2．二次函数的图象与轴有两个交点，则满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．
3．将抛物线向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（ ）
A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点
C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小
6．已知，二次函数y=ax2+bx-1(a，b是常数，a≠0)的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1 C．最大值为 D．最小值为
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，下列结论中错误的是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0
（第7题） （第9题） （第10题）
8．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 将抛物线沿轴翻折， 翻折前后的两条抛物线构成一个新图象．若直线与这个新图象有3个公共点， 则的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或4 D．或4
10．如图，抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC＝180°时，点D的坐标为 （ ）
A．（﹣8，﹣3） B．（﹣7，﹣）
C．（﹣6，﹣7） D．（﹣5，﹣8）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 .
12．已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是 ．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
13．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的成绩是 m．
14．已知二次函数，当时，y的取值范围是 ．
15．已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M平移该抛物线，使点M平移后的对应点落在x轴上，点B平移后的对应点落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为 ．
16．设二次函数y1＝﹣mx2+nx﹣1，y2＝﹣x2﹣nx﹣m（m，n是实数，m≠0）的最大值分别是p，q，若p+q＝0，则p＝ ，q＝ .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，二次函数 的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上点 及点B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足 的x的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点.
（1）求的值.
（2）若二次函数的顶点为，求的最大值.
19．某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图1中的矩形．为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门．
（1）求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时与的长分别为多少米？
（2）如图2，在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内纵向、横向各修建2条、1条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米
20．二次函数的图像经过，两点.
（1）当时，判断与的大小.
（2）当时，求的取值范围.
（3）若此函数图象还经过点，且，求证：.
21．在平面直角坐标系中，设二次函数（）．
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标；
（3）抛物线上两点，若对于，都有在，求的取值范围．
22．“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值.
23．卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）.在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
材料 甲 乙
价格（元/米2） 60 30
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元.
（1）的长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由.
24．如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线上方的一个动点（不含A，B两点）.
（1）求a、m的值.
（2）连接、，若的面积是的面积的2倍，求点C的坐标.
（3）若直线、分别交该抛物线的对称轴于点D、E，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
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浙教版2023-2024学年九上数学第1章二次函数 培优测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是5
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】由可知：
，
开口向上，
A选项错误；
根据的顶点坐标为可知：
的顶点坐标为，
B选项错误；
图像开口向上，顶点坐标为，
在顶点坐标处由最小值5，
C选项错误；
图像开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
D选项正确.
故答案为：D.
2．二次函数的图象与轴有两个交点，则满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【解析】对于二次函数可知，
二次函数的图象与轴有两个交点，
，
且，
故答案为：C.
3．将抛物线向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
∴ 将抛物线向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为 .
故答案为：C
4．已知是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴该抛物线的开口向下，对称轴为：，
∴当时，函数取最大值，
∵点距离对称轴1个单位长度，点距离对称轴3个单位长度，
∴，
故答案为：B.
5．已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（ ）
A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1)
B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点
C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方
D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小
【答案】B
【解析】A、a=1时，y=x2-2x-1，
当x=-1时y=1+2-1=2，
∴此图象不经过（-1，1），故A不符合题意；
B、当a=-2时y=-2x2+4x-1，
∵b2-4ac=16-8=8＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，故B符合题意；
C、当a＜0时，
顶点的纵坐标为，
-1-a可能是0，也可能是正数，也可能是负数，
故C不符合题意；
D、若a＞0且x≥1，则y随x增大而增大，故D不符合题意；
故答案为：B
6．已知，二次函数y=ax2+bx-1(a，b是常数，a≠0)的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
【答案】C
【解析】∵当x=2时y=2-1=1，当x=4时y=4-1=3，
∴点A，B在直线y=x-1上，
∴点A或点B是抛物线的顶点，
∵ B(4，3)，C(4，-1) 的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过点B，C，
∴抛物线经过点A，C，
解之：，
∴二次函数解析式为，
∵平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，
∴抛物线向左，向下平移的距离相同，
∴平移后的抛物线的解析式为，
当x=0时，，
当m=1时y的最大值为.
故答案为：C
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，下列结论中错误的是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0
【答案】D
【解析】A、由抛物线开口向下，可得a＜0，
由抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，
由抛物线的对称轴为x＝1，可得﹣＞0，则b＞0，
∴abc＜0，故A不符合题意；
B、由抛物线的对称轴为x＝1，可得﹣＝1，则2a+b＝0，故B不符合题意；
C、由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故C不符合题意；
D、当x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，故D符合题意，
故答案为：D．
8．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，，得，由直线可知，，但一次函数的图象与x轴的交点为，二次函数的图象与x轴的交点为原点和点，两个图象交x轴同一点，C不可能，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，且一次函数的图象与x轴的交点为，二次函数的图象与x轴的交点为原点和点，两个图象交x轴同一点，故本选项符合题意.
故答案为：D.
9．如图， 将抛物线沿轴翻折， 翻折前后的两条抛物线构成一个新图象．若直线与这个新图象有3个公共点， 则的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或4 D．或4
【答案】B
【解析】∵抛物线解析式为，
∴翻折后得到的一个新抛物线解析式为，
∴翻折前后的两条抛物线与y轴的交点都为，
∵直线与这个新图象有3个公共点，
∴存在两种情况：当直线恰好经过时，当直线与抛物线恰好只有一个交点时，
当直线恰好经过时，则，
当直线与抛物线恰好只有一个交点时，
联立得，
∴，
∴，
综上所述，若直线与这个新图象有3个公共点， 则的值为或2，
故答案为：B．
10．如图，抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC＝180°时，点D的坐标为 （ ）
A．（﹣8，﹣3） B．（﹣7，﹣）
C．（﹣6，﹣7） D．（﹣5，﹣8）
【答案】B
【解析】∵抛物线 y＝x2+x﹣3 与x轴交于点A和点B两点，
∴当y＝0时， y＝x2+x﹣3 ＝0，
解之：x1＝ 9，x2=1，
∴A（ 9，0），B（1，0），
∴AB＝10，
当x＝0时，y＝ 3，
∴C（0， 3），
∵AC2＝92＋32＝90，BC2＝12＋32＝10，AB2＝100，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
∴2∠BAC＋2∠ABC＝180°，
∵∠ACD＋2∠ABC＝180°
∴2∠BAC＝∠ACD，
作AE⊥x轴，交CD的延长线与E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，
∴CF∥AB，
∴CF⊥AE，
∴AF＝EF＝BC＝3，
∴E（ 9， 6），
设直线CD的解析式为y＝kx 3，
把E的坐标代入得， 6＝ 9k 3，
∴k＝，
∴直线CD的解析式为y＝x 3，
∴x 3= x2+x﹣3，
解之：x1=-7，x2=0（舍去）
∴y＝×（-7） 3=，
∴点D （﹣7，﹣）.
故答案为：B
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 .
【答案】或
【解析】∵二次函数的顶点坐标为，
∴可设这个二次函数的解析式为，
∵二次函数图象的形状与抛物线相同，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为或.
故答案为：或.
12．已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是 ．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
【答案】（3，0）
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图像与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
13．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的成绩是 m．
【答案】10
【解析】当时，则
，
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：10
14．已知二次函数，当时，y的取值范围是 ．
【答案】0≤y≤36
【解析】二次函数化为顶点式为，
∵，
∴二次函数有最小值为，此时，
当时，，
当时，，
∴该函数在的取值范围内，y的取值范围内是0≤y≤36，
故答案为：0≤y≤36
15．已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M平移该抛物线，使点M平移后的对应点落在x轴上，点B平移后的对应点落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为 ．
【答案】
【解析】当y=0，则，
∴，
解得：，，
∴，，
∵，
∴M点坐标为：，
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点落在x轴上，点B平移后的对应点落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，如图，
∴平移后的解析式为：．
故答案为：．
16．设二次函数y1＝﹣mx2+nx﹣1，y2＝﹣x2﹣nx﹣m（m，n是实数，m≠0）的最大值分别是p，q，若p+q＝0，则p＝ ，q＝ .
【答案】0；0
【解析】由两函数表达式可知，
函数y1的对称轴 为x＝﹣，
函数y2的对称轴为x＝﹣，且两函数图象均开口向下，
即a<0，否则不存在最大值，两函数均在对称轴上取到最大值，
则有，，
若p+q＝0，则有，
解得：n2＝4m或m＝﹣1（舍去），
将n2＝4m代入p，q得：p＝q＝0.
故答案为：0，0.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，二次函数 的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上点 及点B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足 的x的取值范围．
【答案】（1）解： 抛物线 经过点 ，
，
，
抛物线解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ，
点C坐标 ，
对称轴为直线 ，B、C关于对称轴对称，
点B坐标 ，
由图象可知，满足 的x的取值范围为 ．
18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点.
（1）求的值.
（2）若二次函数的顶点为，求的最大值.
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴
（2）解：∵二次函数的顶点为，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为-3
19．某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图1中的矩形．为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门．
（1）求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时与的长分别为多少米？
（2）如图2，在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内纵向、横向各修建2条、1条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米
【答案】（1）解：设AB为x米（x＞0），则AD为米，根据题意得：
由题意得，解得
∴当x＝8时，S有最大值，
∴AB＝8，
（2）解：设小路宽为m米，根据题意得：
解得（舍），m＝1
答：最大面积为96平方米，此时AD＝12米，AB＝8米．小路的宽为1米．
20．二次函数的图像经过，两点.
（1）当时，判断与的大小.
（2）当时，求的取值范围.
（3）若此函数图象还经过点，且，求证：.
【答案】（1）解：当时，
，
，
（2）解：，
又，
，
；
（3）证明：二次函数的对称轴为直线，
二次函数经过两点，
，即，
，
21．在平面直角坐标系中，设二次函数（）．
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标；
（3）抛物线上两点，若对于，都有在，求的取值范围．
【答案】（1）解：
对称轴是：．
（2）解：∵，
根据二次函数图象的性质可得，
当时，取最大值4，
把代入二次函数可得，
，
解得：，（舍去），
∴顶点坐标为．
（3）解：∵，，对于，都有在，
∴，不关于对称，
∴，
∴
即，，
∴或．
22．“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值.
【答案】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，
设，把，，，代入可得：
，解得：，
∴y关于x的函数表达式为；
设，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴z与x之间的函数关系式为：
（2）解：设总利润为元，则
；
当时，取得最大值，
所以，第15天利润最大，最大值为：（元）.
（3）解：由题意可得：第20天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，
设此时利润为：元，则
当时，取得最大值，
最大值为：；
当最大值为时，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
综上：第天时，取得最大值，当利润为元时，.
23．卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）.在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
材料 甲 乙
价格（元/米2） 60 30
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元.
（1）的长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由.
【答案】（1）(4-2x)
（2）解：每个矩形阴影部分面积为，
中心区正方形的面积为，
，
由题可知，，解得，
（3）解：够用，理由如下，
，对称轴为，
中心区的边长不小于3，
，
，
当时，y随x增大而增大，
即时，，
1万幅作品消耗的费用为690万；
，
当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用.
【解析】（1），，四个阴影部分是四个全等的矩形，
，，
，
故答案为：(4-2x)；
24．如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线上方的一个动点（不含A，B两点）.
（1）求a、m的值.
（2）连接、，若的面积是的面积的2倍，求点C的坐标.
（3）若直线、分别交该抛物线的对称轴于点D、E，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：将点代入，解得，即，
令，代入，解得.
∴，.
（2）解：根据题意得，，直线的表达式：，
如图所示，过点C作轴交于，交x轴于D，
∵点C在二次函数图象上，
∴设点C的坐标为，且，则点，
∵，∴，即，解得，，
∴点C的坐标为或.
（3）解：为定值，
由（2）可知，直线的表达式为：，
令，则点E的坐标为
∴，
同理可得：点D的坐标为
∴，∴，即.
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