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浙教版2023-2024学年九上数学第1章二次函数 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知抛物线与轴所围成的封闭区域内含边界，横、纵坐标均为整数的点有且只有7个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数，.直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．0
（第5题） （第6题）
6．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．二次函数（a，c为常数且）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当时，二次函数的最大值为c，则.其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点.若，则ab的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数（a为常数），当时，y随x增大而增大．是该函数图象上的两点，对任意的和，总满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与x轴重合，顶点 A、D在抛物线上．若抛物线的顶点到x轴的距离比长4，则c的值为 ．
（第11题） （第16题）
12．已知二次函数y1＝2x2﹣8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
13．二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为 .
14．已知函数y＝x2+x+4与y轴交于点C，顶点为D，直线CD交x轴于点E，点F在直线CD上，且横坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点，抛物线向上最多可以平移 个单位长度，向下最多可以平移 个单位长度．
15．定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当、两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，的取值范围为 ．
16．如图，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象与该图象相交于两个不同的点、点，设，的平均数为，点也是二次函数的图象上一点，现有下列结论：（1）；（2）点可能是二次函数的图象顶点；（3）；（4）.其中正确的结论是 .（填序号）
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题8分，第19～22题每题9分，第23、24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
18．已知二次函数（m是实数）.
（1）小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
（2）已知点，都在该二次函数图象上，求证：.
19．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元.
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
20．在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围。
21．设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若，求二次函数的表达式；
（2）写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
22．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在的“美好函数”．
（1）函数①；②；③．其中函数 是在上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数：．
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
（3）已知函数：，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．
24．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，.这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数的函数图象上分别有A，B两点，其中，A，B分别在对称轴的异侧，C是中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题：
（1） 概念理解：
如图1，若，求出C，D的坐标.
（2） 解决问题：
如图2，点A是B关于y轴的对称点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.试判断F是否在x轴上，并说明理由.
（3） 拓展探究：
如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点，抛物线上任意一点H，连接，，直接写出的最小值.
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浙教版2023-2024学年九上数学第1章二次函数 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知抛物线与轴所围成的封闭区域内含边界，横、纵坐标均为整数的点有且只有7个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：7个整点的分别为，，，，，，且，
，
解得.
故答案为：D.
2．已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵二次函数的对称轴为，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵
∴，
故答案为：D.
3．设函数，.直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】∵直线的图象与函数，的图象分别交于点，，
A. 若，如图所示，
则
B. 若，如图所示，
则
则，
故B选项不合题意，
C. 若，如图所示，
∴，故C选项正确，D选项不正确；
故答案为：C.
4．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】∵函数，且，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图象的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：D.
5．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．0
【答案】C
【解析】当运动到点上的时候，的横坐标的最大值为2.5，此时B点坐标为，此时点坐标为，
，，
故此时点坐标为：，
当点运动到点时，的横坐标最小，
此时的坐标为：，
∴点坐标为
故答案为：C.
6．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】抛物线与轴有2个交点，
，
，故①正确；
当时，，
，故②错误；
抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，故③正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，
即，
，故④正确.
故答案为：C.
7．二次函数（a，c为常数且）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当时，二次函数的最大值为c，则.其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵，
∴，
把代入得，，
则，
∴，
∵，
，
故①正确；
∵，
∴，
∴ ，
，
故②正确；
∵二次函数（a，c为常数且）经过，且对称轴 ，
根据轴对称的性质可知抛物线必过，如图，
∵关于x的方程（）可化为：，
方程的整数解有，，0，
当时，，
当时，，
当时，，
∴或
故符合条件的p值有两个，③不正确；
当时，，即函数与y轴交点为，
∵抛物线的对称轴为，
∴函数经过，
∵当时，二次函数的最大值为c，
∴或，
∵，
∴，
故④正确，
综上所述，①②④正确.
故答案为：C.
8．已知满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
得：，
，
得：，
，
∴，
∴，
如图：
当时，，
当时，t有最小值3，
当，，
∵，
∴，
故答案为：B.
9．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点.若，则ab的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知二次项系数等于1的一个二次函数，
其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），
所以可设交点式y=（x-m）（x-n），
分别代入，，
∴
∵0＜m＜n＜3，
∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，
∵m＜n，
∴ab不能取16 ，
∴0＜ab＜16 ，
故答案为：D
10．已知函数（a为常数），当时，y随x增大而增大．是该函数图象上的两点，对任意的和，总满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的对称轴为，
当时，y随x增大而增大．
∵，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴，解得，
对任意的和，总满足，
∵，
∴差的最大值是上的最大值与最小值的差，
把抛物线配方得：，
在区间内，
抛物线的最小值为y2=，
抛物线的最大值为，x=5时，y1=，
∵总满足，
∴-，
解得，
∴实数a的取值范围是，
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与x轴重合，顶点 A、D在抛物线上．若抛物线的顶点到x轴的距离比长4，则c的值为 ．
【答案】6
【解析】 抛物线
∴
∴顶点坐标（0，c）
∵抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4 ，ABCD是正方形
∴D的坐标可表示为（，c-4）
把D点坐标代入解析式
∴
解得c=6或c=2（不符题意舍去）
故答案为：6
12．已知二次函数y1＝2x2﹣8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
【答案】 或
【解析】当x=0时y=3，
∴点A（0，3），
∵ 过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），
∴b=3，
∴y2＝kx+3，
∴即kx+3=2x2﹣8x+3
解之：x1=0，，
∵点B在点A的右侧，
∴xB＞xA＞0，
∴
解之：k＞-8；
∵y1=2（x-2）2-5，
∴抛物线的顶点坐标为（2，5），
∴n的最小值为-5，
∵n的最大值与最小值的和为1，
∴n的最大值为6，
∵6＞3，
∴点B在抛物线的图象上高于点A，
∴k＞0，
当y=6时，2（x-2）2-5=6
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为；
当点P在点A处取得最大值时，当n=3时即n的最小值为-2，
∴当y=-2时，2（x-2）2-5=-2
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为 或
13．二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为 .
【答案】b≤1或b≥2
【解析】∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：b≤1或b≥2.
故答案为：b≤1或b≥2.
14．已知函数y＝x2+x+4与y轴交于点C，顶点为D，直线CD交x轴于点E，点F在直线CD上，且横坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点，抛物线向上最多可以平移 个单位长度，向下最多可以平移 个单位长度．
【答案】36；
【解析】当x=0时y=4，
∴点C（0，4），
∵，
∴点D（1，），
设CD的函数解析式为y=kx+b，
∴
解之：，
∴CD的函数解析式为，
∵直线CD交x轴于点E，点F在直线CD上，且横坐标为4，
∴当y=0时，
解之：x=-8，
∴点E（-8，0）
当x=4时y=6，
∴点F（4，6）；
若将抛物线向下平移m个单位，
∴y＝x2+x+4-m
∴x2+x+4-m=x+4
∴
∴，
解之：，
∴向下最多平移个单位；
若向上平移m个单位，
∴y＝x2+x+4+m，
当x=-8时y=-36+m，
当x=4时y=m，
∵使抛物线与线段EF总有公共点，
∴-36+m≤0，
∴0＜m≤36，
∴抛物线向上最多可以平移36个单位.
故答案为：36，
15．定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当、两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，的取值范围为 ．
【答案】或-1＜m＜2
【解析】令，解得：
所以，函数的图像上有两个“等值点”（-1，-1）或（2，2）
（1）当时，W1，W2两部分组成的图像上必有2个“等值点”（-1，-1）或（2，2）
W1：
W2：
令，整理得：
因为W2的图像上不存在“等值点”
所以
所以，解得：
（2）当m=-1时，有3个“等值点”（-2，-2）、（-1，-1）、（2，2）
（3）当时， W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”
（4）当m=2时，W1，W2两部分组成的图像上恰有1个“等值点”（2，2）
（5）当m>2时，W1，W2两部分组成的图像上没有“等值点”
综上所述，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时
或
故答案为 或
16．如图，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象与该图象相交于两个不同的点、点，设，的平均数为，点也是二次函数的图象上一点，现有下列结论：（1）；（2）点可能是二次函数的图象顶点；（3）；（4）.其中正确的结论是 .（填序号）
【答案】①②③④
【解析】①抛物线的开口向上，，故①正确；
②∵，的平均数为，
∴，
当点、点，关于对称轴对称时，
为抛物线的对称轴，
此时点为抛物线的顶点；故②正确；
③，
∵，
∴
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴；故③正确；
④∵，
∴
，
∵，
∴；故④正确；
综上，正确的是：①②③④；
故答案为：①②③④.
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题8分，第19～22题每题9分，第23、24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
18．已知二次函数（m是实数）.
（1）小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
（2）已知点，都在该二次函数图象上，求证：.
【答案】（1）解：小明的说法正确，理由如下，
设二次函数 的顶点坐标为 ，
∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴ ，
由①得， ，
将③代入②中，可得， ，
整理可得， ，
∴当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线 上运动，小明的说法正确.
（2）证明：∵点 ， 都在该二次函数图象上，
又∵点 ， 的纵坐标相等，
二次函数 的对称轴为直线 ，
∴ ，
即 ，
整理得， ，
∴点 ， ，
∵点 在二次函数 的图象上，
∴ ，
∴ .
19．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元.
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）30
（2）解：
，
∴w与x的函数关系式为：；
（3）解：，
∵，
∴当时，w有最大值，w最大值为200，
∴销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
【解析】（1）将销售单价代入，得，
∴如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是30个；
故答案为：30；
20．在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围。
【答案】（1）解：将代入中得到，解得，
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，解得．
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合，舍去）
综上所述．
（3）解：关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且，
解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，解得
综上所述或.
21．设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若，求二次函数的表达式；
（2）写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】（1）解：把（-1，4），（2，1）代入y=ax2+bx+1，得
，
解得：，
∴；
（2）解：∵（0，1），（2，1）在y=ax2+bx+1图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当a＞0时，则x＜1时，y随x的增大而减小，
当a＜0时，则x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）解：把（2，1）代入y=ax2+bx+1，得
，
∴
∴，
把（-1，m）代入y=ax2-2ax+1得，，
把（1，n）代入y=ax2-2ax+1得，，
把（3，p）代入y=ax2-2ax+1得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，
解得：．
22．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
23．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在的“美好函数”．
（1）函数①；②；③．其中函数 是在上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数：．
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
（3）已知函数：，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．
【答案】（1）①
（2）解：①函数的对称轴为直线，
当时，，当时，，
若，则当时，随的增大而增大，
，
，
若，则当时，随的增大而减小，
，
，
综上所述，或；
②或
（3）解：二次函数的对称轴为直线，
又，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，
，
，为整数，且，
即的值为，
又，
，
．
【解析】【解答】 解：（1）① ，∴当 时， ，当 时， ，
，符合题意；
② ，当 时， ，当 时， ，
，不符合题意；
③ ，当 时， ，当 时， ，
，不符合题意；
故答案为：①．
（2）②当 时，二次函数 为 ，对称轴为直线 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
若 ，则 ，解得 （舍去）；
若 ，则 ，解得 （舍去）， ；
若 ，则 ，解得 ， （舍去）；
若 ，则 ，解得 （舍去）；
综上所述， 或 ．
24．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，.这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数的函数图象上分别有A，B两点，其中，A，B分别在对称轴的异侧，C是中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题：
（1） 概念理解：
如图1，若，求出C，D的坐标.
（2） 解决问题：
如图2，点A是B关于y轴的对称点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.试判断F是否在x轴上，并说明理由.
（3） 拓展探究：
如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点，抛物线上任意一点H，连接，，直接写出的最小值.
【答案】（1）解：∵，，C是中点，
∴，，
；
，，D是中点
，，
；
（2）解：F是在x轴上，理由如下：
，点A是B关于y轴的对称点，
，
是中点，D是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，，
，，
轴，且，
是在x轴上；
（3）解：①，，C是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点E，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点E.延长至F，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，，
，
轴，，
即，，，
综上是一个定值；
②
【解析】（3）②∵是y轴上一点，H是抛物线上任意一点，，
∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最小，最小值为，
此时，最小为，
故的最小值为.
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