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2023九年级数学二次函数基础必刷题型
一．选择题（共15小题）
1．下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝3x2﹣2x C．y＝2x+1 D．y＝
2．抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，2） D．（﹣1，2）
3．把抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣4）2+4 D．y＝（x﹣4）2+2
4．二次函数y＝（x﹣2）2+3的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
5．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
6．抛物线y＝2x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝ B．直线x＝﹣ C．直线x＝2 D．直线x＝0
7．已知二次函数y＝ax2+4x﹣c，当x＝1时，函数值是﹣5，则下列关于a，c的关系式中，正确的是（ ）
A．a+c＝﹣1 B．a+c＝﹣9 C．a﹣c＝﹣9 D．a﹣c＝﹣1
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
9．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
10．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
11．关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
12．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
13．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≤1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
14．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣2，无最大值
B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5
C．有最小值﹣2，有最大值2
D．有最小值﹣1.5，有最大值2
15．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
二．填空题（共10小题）
16．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1配方成顶点式为 ．
17．二次函数y＝x2﹣2x，若点A（0，y1），B（1，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是 ．
18．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是 （y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．
19．二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）的最小值是 ．
20．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝24t﹣4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
21．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
22．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为 ．
23．已知抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+4的顶点在y轴上，则k的值是 ．
24．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为 ．
25．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 ．
三．解答题（共20小题）
26．已知抛物线y＝x2+4x﹣5；
（1）求出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求该抛物线与x轴、y轴的交点坐标．
27．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
28．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
（1）求抛物线解析式和抛物线的顶点坐标．
（2）当x取什么范围时，y随着x的增大而减小？
29．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．
30．根据下列条件，分别求二次函数的表达式
（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
（2）已知图象经过点（3，0），（2，﹣3），并以直线x＝0为的对称轴．
31．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（1，0），（﹣1，12）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法将（1）中的解析式化为原点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
32．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．
33．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
34．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点C（0，﹣3），与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）求A，B两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．
35．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+3都经过点A、点B，且A（1，0），
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求不等式x2+bx+3≥x+m的解集．（直接写出答案）
36．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围．
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
37．如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米．
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
38．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为36m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
39．投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为xm
（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若菜园面积为384m2，求x的值；
（3）求菜园的最大面积．
40．某商店把进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可以销售200件，现在采用提售价，尽量减少进货的办法增加利润．已知这种商品每涨价0.5元．其每天销售量就少10件．
（1）将售价定为多少元，使每天的利润为640元？
（2）将售价定为多少元，能使这天所获利润最大？最大利润是多少？
41．某公司分别在A，B两城生产同种产品，共80件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有二次函数关系，部分数据如表．B城生产产品的每件成本为50万元．
数量（件） 0 10 20
总成本（万元） 0 200 600
（1）A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x的函数关系式；
（2）记A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式；
（3）当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件．
42．国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： ；
（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）若每件小商品的售价不超过31元，求该商场每天销售此商品的最大利润．
43．如图中曲线是抛物线的一部分，我们建立如图所示的平面直角坐标系，OA＝1.5，抛物线最高点的坐标为（1，2）．
（1）求图中曲线对应的函数关系式；
（2）求此部分图象的自变量x的取值范围．
44．如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的解析式为．
（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆卡车是否可以通过？
45．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，3）和B（3，0）．
（1）求c的值及a，b满足的关系式．
（2）结合函数图象判断抛物线能否同时经过点M（﹣1+m，n），N（5﹣m，n）．若能，写出符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由．
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2023九年级数学二次函数基础必刷题型
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝3x2﹣2x C．y＝2x+1 D．y＝
【分析】原点坐标为（0，0），所以应把原点坐标代入所给函数，适合的便一定经过原点．
【解答】解：把点（0，0）分别代入下列选项得
A、左边＝0，右边＝﹣1，左边≠右边，所以y＝x2﹣1不经过原点；
B、左边＝0，右边＝0，左边＝右边，所以y＝3x2﹣2x经过原点；
C、左边＝0，右边＝1，左边≠右边，所以y＝2x+1不经过原点；
D、左边＝0，右边无意义，所以y＝不经过原点．
故选：B．
【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．
2．抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，2） D．（﹣1，2）
【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
3．把抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣4）2+4 D．y＝（x﹣4）2+2
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为y＝（x﹣1﹣3）2+3+1，即y＝（x﹣4）2+4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
4．二次函数y＝（x﹣2）2+3的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+3，
当x＝2时，最小值是3，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．
6．抛物线y＝2x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝ B．直线x＝﹣ C．直线x＝2 D．直线x＝0
【分析】根据抛物线的顶点式即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，即直线x＝0，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
7．已知二次函数y＝ax2+4x﹣c，当x＝1时，函数值是﹣5，则下列关于a，c的关系式中，正确的是（ ）
A．a+c＝﹣1 B．a+c＝﹣9 C．a﹣c＝﹣9 D．a﹣c＝﹣1
【分析】把x，y对应的值代入二次函数解析式即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x﹣c，当x＝1时，函数值是﹣5，
∴﹣5＝a+4﹣c，
即a﹣c＝﹣9，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是把x，y对应的值代入二次函数解析式中．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由图象可知抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵图象与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，关键是要能根据对称轴的范围求出a与b的符号关系．
9．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为2、﹣2和﹣5所对应的函数值，然后比较函数的大小即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣x2+6x+c＝﹣1﹣6+c＝﹣7+c；
当x＝2时，y2＝﹣x2+6x+c＝﹣4+12+c＝8+c；
当x＝5时，y3＝﹣x2+6x+c＝﹣25+30+c＝5+c，
所以y2＞y3＞y1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：∵y＝2x2+8x﹣1＝2（x+2）2﹣9，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3），在抛物线y＝2（x+2）2﹣9上，而点C（﹣4，y3）到对称轴的距离最远，B（﹣2，y2）在对称轴上，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
11．关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
12．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【分析】利用kx2﹣6x+3＝0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，
即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．
故选：D．
【点评】考查二次函数与一元二次方程的关系．
13．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≤1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
【分析】根据二次函数的定义得到k≠0；根据一元二次方程kx2﹣2x﹣l＝0的根的判别式的符号列出不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣l与x轴有交点，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0，且k≠0，
解得k≥﹣1且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的定义．注意二次函数解析式与一元二次方程间的关系．
14．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣2，无最大值
B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5
C．有最小值﹣2，有最大值2
D．有最小值﹣1.5，有最大值2
【分析】根据图象及x的取值范围，求出最大值和最小值即可．
【解答】解：根据图象及x的取值范围，
当x＝1时，y取最小值为﹣2，
当x＝1+2，y取最大值为2，
∴该函数有最小值﹣2，有最大值2，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象，关键是要能根据图象确定函数的最大值和最小值，函数所对的最低点的y值为最小值，最高点的y值为最大值．
15．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则﹣x2+x＝0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
二．填空题（共10小题）
16．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1配方成顶点式为 y＝（x﹣1）2﹣2 ．
【分析】由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝（x2﹣2x+1）﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
故选答案为y＝（x﹣1）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
17．二次函数y＝x2﹣2x，若点A（0，y1），B（1，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是 y1＞y2 ．
【分析】分别计算出自变量为0和1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x＝0时，y1＝x2﹣2x＝0；当x＝1时，y2＝x2﹣2x＝1﹣2＝﹣1，
所以y1＞y2．
故答案为y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
18．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是 y1＜y2 （y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，
∴y1＝﹣29，y2＝1．
∵﹣29＜1，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．
19．二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）的最小值是 ﹣1 ．
【分析】通过二次函数图象的特点可知函数有最小值，在顶点处取到，直接代值求解即可．
【解答】﹣解：∵y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴对称轴所在的直线为，
∵a＝1＞0，
∴二次函数有最小值，在顶点处取到，
即当x＝2时，ymin＝（2﹣1）（2﹣3）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查二次函数的最值，解题关键求出二次函数的顶点坐标．
20．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝24t﹣4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 6 s．
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】解：依题意，令h＝0得：0＝24t﹣4t2，
解得t＝0或t＝6，
小球从飞出到落地所用的时间为6﹣0＝6s．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单．
21．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 2 s时，小球达到最高点．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为 9 ．
【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．
【解答】解：∵OD为14，
∴令14＝x2+5，
解得x＝±，
∴A（﹣，14），C（，14），
∴AC＝﹣（﹣）＝9，
故答案为：9．
【点评】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键．
23．已知抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+4的顶点在y轴上，则k的值是 ﹣1 ．
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点横坐标为k+1，当抛物线的顶点在y轴上时，顶点横坐标为0，解方程求k的值．
【解答】解：根据顶点横坐标公式得x＝k+1，
抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+16的顶点横坐标为k+1，
∵抛物线的顶点在y轴上时，
∴顶点横坐标为0，即k+1＝0，
解得k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标的运用．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，）．
24．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为 ﹣3或1 ．
【分析】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣3，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，求根即可．
【解答】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣3，0），所以该点适合方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得
（﹣3）2+2×（﹣3）+m＝0
解得，m＝3 ①
把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得
﹣x2﹣2x+3＝0，②
解②，得
x1＝﹣3，x2＝1
∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1
故答案为﹣3或1．
【点评】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．
25．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 x1＝1，x2＝2 ．
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．
【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x＝．
又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．
故答案为：x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根．
三．解答题（共20小题）
26．已知抛物线y＝x2+4x﹣5；
（1）求出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求该抛物线与x轴、y轴的交点坐标．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）令x＝0求出相应的y的值，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到该抛物线与x轴、y轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9）；
（2）∵抛物线y＝x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1），
∴当x＝0时，y＝﹣5，
当y＝0时，x＝﹣5或x＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
27．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
（2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．
28．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
（1）求抛物线解析式和抛物线的顶点坐标．
（2）当x取什么范围时，y随着x的增大而减小？
【分析】（1）待定系数法求解可得抛物线解析式，再将其配方成顶点式可得；
（2）利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣6x+5，
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣3）2﹣4，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．在设二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件来设其解析式方程．
29．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．
【分析】（1）解方程x2﹣x﹣2＝0可得A，B两点的坐标；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，解得m1＝0，m2＝1，
∴m的值为0或1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
30．根据下列条件，分别求二次函数的表达式
（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
（2）已知图象经过点（3，0），（2，﹣3），并以直线x＝0为的对称轴．
【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线顶点式，把（0，﹣6）代入求出a的值，即可确定出解析式；
（2）根据抛物线以直线x＝0为对称轴，设出抛物线解析式，把已知两点坐标代入求出a与c的值，即可求出解析式．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣8，
把（0，﹣6）代入得：﹣6＝a﹣8，即a＝2，
则二次函数解析式为y＝2（x+1）2﹣8＝2x2+4x﹣6；
（2）根据题意设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把（3，0）与（2，﹣3）代入得：，
解得：a＝，c＝﹣，
则抛物线解析式为y＝x2﹣．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
31．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（1，0），（﹣1，12）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法将（1）中的解析式化为原点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
【分析】（1）把两个已知点的坐标分别代入y＝ax2+bx+5中得到关于a、b的方程组，然后解方程组得到抛物线解析式；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）把（1，0），（﹣1，12）分别代入y＝ax2+bx+5得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）y＝x2﹣6x+5＝y＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
所以抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
32．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．
【分析】（1）把（1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到点（0，﹣3）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），然后利用函数图象写出函数值大于﹣3对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＞﹣3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
33．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把点A和点C的坐标代入y＝ax2+bx+c得两个方程，再加上对称轴方程，可得三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，得到二次函数的关系式，配成顶点式就可以的顶点坐标；
（2）令y＝3得，一元二次方程3＝﹣（x﹣1）2+4，解出方程的两个解，再根据y＜3，写出x的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，．
∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标（1，4）．
（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，
解得，x1＝0或x2＝2，
∵y＜3，
∴x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的关系式、也考查二次函数的性质，掌握代入法列三元一次方程组，求出a、b、c的值，配成顶点式是求顶点的关键．
34．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点C（0，﹣3），与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）求A，B两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）将点C的坐标代入二次函数y＝x2﹣2x+c，求出c＝﹣3，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标；
（2）令y＝0，求出x＝﹣1或x＝3，则可求出A，B的坐标，由图象可求出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）将C（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c得，
c＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）令y＝0得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴当y＞0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点，解题的关键是确定函数图象与x轴的交点．
35．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+3都经过点A、点B，且A（1，0），
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求不等式x2+bx+3≥x+m的解集．（直接写出答案）
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，同理解得：b＝﹣4，联立①②即可求解；
（2）从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，
解得：m＝﹣1，
故直线的表达式为：y＝x﹣1…①；
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝1+b+3，解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…②，
联立①②并解得：x＝1或4，
故点B（4，3）；
（2）从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
36．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围．
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）根据BC＝（栅栏总长﹣2AB），再利用矩形面积公式即可求出；
（2）根据配方法法求出二次函数最值即可；
【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（80﹣2x）m，
∴S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
∵，
∴，
∴，
∴15≤x＜40
∴S＝﹣2x2+80x，（15≤x＜40）；
（2）∵S＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵15≤x＜40，
∴当x＝20时，S有最大值为800，
∴即当AB＝20m，BC＝40m时，面积S有最大值为800m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键；易错点是根据栅栏长得到矩形长的代数式．
37．如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米．
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
【分析】（1）设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米，根据隔离区面积为10平方米，列出方程并解答．
（2）由（1）可知隔离区的面积表达式，配方后再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米．
依题意，得x （8﹣x+1）＝10，
解得x1＝5，x2＝4．
当x＝5时，5＞4.5（舍去），
当x＝4时，（8﹣x+1）＝2.5（米）＜4.5米．
∴若面积为10平方米，隔离区的长为4米，宽为2.5米．
（2）隔离区有最大面积，理由如下：
由（1）知，隔离区的面积为x （8﹣x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，隔离区有最大面积，最大面积为平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程及二次函数表达式．
38．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为36m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（24﹣3x），利用长方体的面积公式，可求出关系式．
（2）将s＝36m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．
（3）将（1）中所求的解析式配方变为顶点式，再根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积．
【解答】解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，
又∵0＜24﹣3x≤9，
∴5≤x＜8；
（2）根据题意，设AB长为x，则BC长为24﹣3x
∴﹣3x2+24x＝36．
整理，得x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或6，
当x＝2时，BC＝24﹣6＝19＞9不成立，
当x＝6时，BC＝24﹣18＝6＜9成立，
∴AB长为6m；
（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48
∵墙的最大可用长度为9m，0≤BC＝24﹣3x≤9，
∴5≤x＜8，
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝5m，有最大面积的花圃．
即：x＝5m，
最大面积＝24×5﹣3×52＝45m2．
【点评】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．
39．投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为xm
（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若菜园面积为384m2，求x的值；
（3）求菜园的最大面积．
【分析】（1）根据“垂直于墙的长度＝÷2”可得函数解析式；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；
（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）根据题意知，y＝＝﹣x+（0＜x≤24）；
（2）根据题意，得：（﹣x+）x＝384，
解得：x＝18或x＝32，
∵墙的长度为24m，
∴x＝18；
（3）设菜园的面积是S，
则S＝（﹣x+）x
＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣25）2+
∵﹣＜0，
∴当x＜25时，S随x的增大而增大，
∵x≤24，
∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416，
答：菜园的最大面积为416m2．
【点评】本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题．
40．某商店把进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可以销售200件，现在采用提售价，尽量减少进货的办法增加利润．已知这种商品每涨价0.5元．其每天销售量就少10件．
（1）将售价定为多少元，使每天的利润为640元？
（2）将售价定为多少元，能使这天所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设售价定为m元，可得：（m﹣8）（200﹣×10）＝640，即可解得答案；
（2）设售价定为x元，这天所获利润是W元，可得W＝（x﹣8）（200﹣×10）＝﹣20（x﹣14）2+720，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设售价定为m元，每天的利润为640元，
根据题意得：（m﹣8）（200﹣×10）＝640，
解得m＝16或m＝12，
∴售价定为16元或12元，每天的利润为640元；
（2）设售价定为x元，这天所获利润是W元，
W＝（x﹣8）（200﹣×10）＝﹣20x2+560x﹣3200＝﹣20（x﹣14）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当x＝14时，W取最大值，最大值是720元，
答：将售价定为14元，能使这天所获利润最大，最大利润是720元．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程和函数关系式．
41．某公司分别在A，B两城生产同种产品，共80件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有二次函数关系，部分数据如表．B城生产产品的每件成本为50万元．
数量（件） 0 10 20
总成本（万元） 0 200 600
（1）A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x的函数关系式；
（2）记A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式；
（3）当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；
（2）根据已知，把A城成本加B城成本即可得到总成本，从而列出求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式；
（3）结合（2）的结论根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴y＝x2+10x；
（2）根据题意得：w＝x2+10x+50（80﹣x）＝x2﹣40x+4000，
∴w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式为w＝x2﹣40x+4000；
（3）∵w＝x2﹣40x+4000＝（x﹣20）2+3600，
∵1＞0，
∴当x＝20时，w取得最小值，最小值为3600万元，此时80﹣20＝60，
答：A城生产20件，B城生产60件．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
42．国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： y＝﹣10x2+640x﹣8800 ；
（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）若每件小商品的售价不超过31元，求该商场每天销售此商品的最大利润．
【分析】（1）根据销售问题的数量关系单件利润乘以销售量等于月利润即可求解；
（2）根据（1）中求得的函数解析式，代入1400，利用一元二次方程即可求解；
（3）根据销售单价不超过31元确定自变量的取值进而求得最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得
y＝（x﹣20）[200﹣10（x﹣24）]
＝﹣10x2+640x﹣8800．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+640x﹣8800；
故答案为：y＝﹣10x2+640x﹣8800；
（2）当y＝1400时，1400＝﹣10x2+640x﹣8800．
解得x1＝34，x2＝30．
答：该商品的销售单价应定为每件34元或30元．
（3）y＝﹣10x2+640x﹣8800；
＝﹣10（x﹣32）2+1440，
因为商品的销售单价不超过31元，
∴当x＝31时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1430；
答：该商场每天销售此商品的最大利润为1430元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题中的数量关系．
43．如图中曲线是抛物线的一部分，我们建立如图所示的平面直角坐标系，OA＝1.5，抛物线最高点的坐标为（1，2）．
（1）求图中曲线对应的函数关系式；
（2）求此部分图象的自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据OA＝1.5，抛物线最高点的坐标为（1，2），可以得到点A的坐标，设出抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入，即可求得图中曲线对应的函数关系式；
②令y＝0求出x的值，再对照图象，即可写出x的取值范围；
【解答】解：（1）∵OA＝1.5，
∴点A的坐标为（0，1.5），
∵抛物线最高点的坐标为（1，2），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
∵点A在此抛物线上，
∴1.5＝a（0﹣1）2+2，解得a＝﹣，
∴图中曲线对应的函数关系式是y＝﹣（x﹣1）2+2；
（2）令﹣（x﹣1）2+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴自变量x的取值范围是0≤x≤3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点、二次函数的图象和性质，解答本题的关键是求得二次函数的解析式．
44．如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的解析式为．
（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆卡车是否可以通过？
【分析】（1）根据抛物线的对称性当x＝1时代入抛物线的解析式，求出y的值再进行比较就可以求出结论；
（2）根据抛物线的对称性当x＝2.2时代入抛物线的解析式，求出y的值再进行比较就可以求出结论；
【解答】解：（1）由题意，得
当x＝1时，，
∵3.75+2＝5.75＞4，
∴能通过．
（2）由题意，得
当x＝2.2时，，
∵2.79+2＝4.79＞4，
∴能通过．
【点评】本题考查了抛物线的图象对称性的运用，有理数大小的比较的运用，由自变量的值求函数值的运用．
45．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，3）和B（3，0）．
（1）求c的值及a，b满足的关系式．
（2）结合函数图象判断抛物线能否同时经过点M（﹣1+m，n），N（5﹣m，n）．若能，写出符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由．
【分析】（1）直接将AB两点代入解析式可求C，以及a，b之间的关系式．
（2）先假设抛物线能同时经过点M（﹣1+m，n）、N（5﹣m，n）得出抛物线对称轴是直线x＝2，由抛物线对称性质可知，经过A点（0，3）和B（3，0），也必经过（4，3）和（1，0），利用待定系数法即可求得符合要求的抛物线的表达式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，3）和B（3，0）．
∴，
∴c＝3，3a+b+1＝0．
（2）能．
理由：若抛物线同时经过点M（﹣1+m，n）、N（5﹣m，n）．则对称轴为：x＝＝2，
∵抛物线经过点A（0，3）和B（3，0），
∴抛物线经过（1，0），
设抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把A的坐标代入得，3＝3a，解得a＝1，
∴符合要求的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，灵活利用抛物线对称轴的公式是解题的关键．
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