浙教版八年级上专题1.4 全等三角形的证明及计算大题专项训练（含解析）

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全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）
1．（2021春 道里区期末）如图，点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．
2．（2021春 宁德期末）如图，AB，CD交于点O，AC＝DB，∠ACD＝∠DBA．
（1）说明△AOC≌△DOB的理由；
（2）若∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，求∠OCB的度数．
3．（2021春 沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，点E在BC边上，连接CD，DE．已知∠ACD＝∠BDE，CD＝DE．
（1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AD＝3，BD＝5，求CE的长．
4．（2021春 渝中区校级期末）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．
5．（2021春 北碚区校级期末）如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．
（1）求证：△ABC≌△DAE，
（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．
6．（2021春 莱芜区期末）如图，已知AD、BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．
（1）求证：△ABM≌△DCN；
（2）试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
7．（2021春 静安区期末）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
8．（2021春 沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
9．（2021春 铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
10．（2021 南岗区模拟）已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．
（1）如图1，求证：AC＝DE；
（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．
11．（2021 三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
12．（2021 广州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是　 　．
13．（2020春 越秀区校级期中）已知：△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠BAN＝∠CAM；
（2）∠ODA＝∠OEA．
14．（2020 江北区模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长．
15．（2020秋 萧山区月考）如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BD上一点，BF＝AC，G是CE延长线上一点，CG＝AB，连接AG，AF．
（1）试说明∠ABD＝∠ACE；
（2）探求线段AF，AG有什么关系？并请说明理由．
16．（2021 张家界模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）若CD＝1，试求△AED的面积．
17．（2020秋 台江区校级期中）如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD．
（1）求证：C是DE的中点；
（2）求证：AB＝2CF．
18．（2021春 铁岭月考）如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P．
（1）求证：△AOD≌△COB；
（2）求∠APC（用含α的式子表示）；
（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON的数量关系．
19．（2020秋 花都区月考）如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
20．（2020春 萍乡期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝∠1，∠DCE＝∠2．
（1）如图①，当点D在线段BC上移动时，试说明：∠1+∠2＝180°；
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上移动时，请猜测∠1与∠2有怎样的数量关系？并说明理由．
21．（2020春 揭阳期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．
22．（2020秋 淇滨区校级期中）（1）如图1所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．
（2）若△ECD绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．
23．（2020秋 蒙阴县期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时，
①找出图中一对全等三角形；
②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明．
24．（2020秋 环翠区期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为　 　．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【可借鉴第（1）问的解题经验】
25．（2021春 和平区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在边AB上，AB＝4BD，连接CD，点E，F在线段CD上，连接BF，AE，∠BFC＝∠AEC＝180°﹣∠ACB．
（1）①∠FBC与∠ECA相等吗？说明你的理由；
②△FBC与△ECA全等吗？说明你的理由；
（2）若AE＝11，EF＝8，则请直接写出BF的长为 　 　；
（3）若△ACE与△BDF的面积之和为12，则△ABC的面积为 　 　．
26．（2020 岱岳区一模）已知∠ABC＝90°，点D是直线AB边上的点，AD＝BC．
（1）如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC、DF、CF，试判断△CDF的形状并说明理由；
（2）如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，以上结论是否仍然成立？请说明理由．
27．如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．
（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．
（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．
28．（2021春 章丘区期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE　 　CF；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件 　 　，使①中的结论们然成立，并说明明理由；
（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，a＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
29．（2020春 南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
30．（2021春 揭东区期末）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，求证：△ACE≌△DCB．
（2）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝　 　；如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　 　；
（3）如图3，若∠ACD＝β，则∠AFB＝　 　（用含β的式子表示）并说明理由．
全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）
1．（2021春 道里区期末）如图，点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．
【解题思路】（1）利用ASA证明△ADE≌△CBF即可；
（2）根据△ADE≌△CBF即可得图中所有相等的线段．
【解答过程】（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
∵DE∥BF，
∴∠E＝∠F，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
（2）∵△ADE≌△CBF，
∴ED＝FB，DA＝BC，EC＝FA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA（SAS），
∴AB＝CD；
∴图中所有相等的线段有：ED＝FB，DA＝BC，AB＝CD，EC＝FA．
2．（2021春 宁德期末）如图，AB，CD交于点O，AC＝DB，∠ACD＝∠DBA．
（1）说明△AOC≌△DOB的理由；
（2）若∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，求∠OCB的度数．
【解题思路】（1）直接利用AAS即可证明△AOC≌△DOB；
（2）利用三角形外角的性质得到∠COB，再根据△AOC≌△DOB得到OC＝OB，即可求得∠OCB．
【解答过程】解：（1）在△AOC和△DOB中，
，
∴△AOC≌△DOB（AAS）；
（2）∵∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，
∴∠COB＝∠ACD+∠CAO＝122°，
∵△AOC≌△DOB，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝（180°﹣122°）÷2＝29°．
3．（2021春 沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，点E在BC边上，连接CD，DE．已知∠ACD＝∠BDE，CD＝DE．
（1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AD＝3，BD＝5，求CE的长．
【解题思路】（1）利用AAS证明△ADC≌△BED，即可得结论；
（2）结合△ADC≌△BED，可得AC＝BD＝5，BE＝AD＝3，进而可得CE的长．
【解答过程】解：（1）AC＝BD，理由如下：
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（AAS），
∴AC＝BD；
（2）由（1）知：△ADC≌△BED，
∴AC＝BD＝5，BE＝AD＝3，
∴BC＝AC＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝2．
4．（2021春 渝中区校级期末）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．
【解题思路】（1）根据平行线的性质得到∠ADF＝∠C，等量代换得到∠ABF＝∠ADF，由角平分线的定义得到∠BAF＝∠CAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝8，BF＝DF，由线段的和差得到DE＝AD＝AE＝8﹣5＝3，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答过程】解：（1）∵FD∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠ABF＝∠C，
∴∠ABF＝∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（AAS）；
（2）∵△ABF≌△ADF，
∴AD＝AB＝8，BF＝DF，
∵AE＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3，
∴△EFD的周长＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝7+3＝10．
5．（2021春 北碚区校级期末）如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．
（1）求证：△ABC≌△DAE，
（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．
【解题思路】（1）根据SSS证明三角形全等即可．
（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【解答过程】（1）证明：∵DE＝AB+DC，AB＝AD，
∴DE＝AD+DC＝AC，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DAE，
∴∠EAD＝∠B，
∴∠B+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝∠EAB＝125°，
∴∠DCB＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣125°＝55°．
6．（2021春 莱芜区期末）如图，已知AD、BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．
（1）求证：△ABM≌△DCN；
（2）试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
【解题思路】（1）根据HL可证明：△ABM≌△DCN；
（2）根据AAS证明△AMO≌△DNO可得结论．
【解答过程】（1）证明：∵BN＝CM，
∴BN+MN＝MN+CM，
即CN＝BM，
∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠AMB＝∠DNC＝90°，
在Rt△ABM和Rt△DCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）；
（2）解：OA＝OD，理由如下：
∵Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴AM＝DN，
在△AMO和△DNO中，
，
∴△AMO≌△DNO（AAS），
∴OA＝OD．
7．（2021春 静安区期末）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
【解题思路】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△ABD与△CDB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△EFB与△CDB全等，进而解答即可．
【解答过程】解：（1）AD＝CB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，理由如下：
∵AD＝CB，BE＝AD，
∴BC＝BE，
∵∠DEF＝∠ADC，
∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，
，
∴△EFB≌△CDB（ASA），
∴FB＝DB．
8．（2021春 沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
【解题思路】（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数．
【解答过程】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，
∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE＝FA；
（2）解：∵△AEB≌△FAC，
∴∠E＝∠CAF，
∵∠E+∠EAG＝90°，
∴∠CAF+∠EAG＝90°，
即∠EAF＝90°．
9．（2021春 铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
【解题思路】（1）直接根据全等三角形的判定可得答案；
（2）先根据SAS证得△ABF≌△ACF，再根据ASA证得△BDF≌△CEF，然后根据全等三角形的性质可得结论．
【解答过程】解：（1）△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，△ADF≌△AEF，△ADC≌△AEB；
（2）证明：在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠C，BF＝CF．
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴BD＝CE，
∴AB﹣BD＝AC﹣CE，
∴AD＝AE．
10．（2021 南岗区模拟）已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．
（1）如图1，求证：AC＝DE；
（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．
【解题思路】（1）根据SAS证明△ABC与△DBE全等，利用全等三角形的性质解答即可．
（2）根据全等三角形的判定解答即可．
【解答过程】证明：（1）∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝DE；
（2）由（1）得△ABC≌△DBE，
∴∠A＝∠D，∠C＝∠E，AB＝DB，BC＝BE，
∴AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝∠E，
在△ABG与△EBH中，
，
∴△ABG≌△EBH（ASA），
∴BG＝BH，
在△DBH与△CBG中，
，
∴△DBH≌△CBG（SAS），
∴∠D＝∠C，
∵DB＝CB，BG＝BH，
∴DG＝CH，
在△DFG与△CFH中，
，
∴△DFG≌△CFH（AAS）．
11．（2021 三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
【解题思路】（1）由HL证明△AMB≌△CNA即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．
【解答过程】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
12．（2021 广州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是　30　．
【解题思路】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；
（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；
【解答过程】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）解：∵：△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，
∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．
∴由勾股定理得：AC＝13，
∴△ACD的周长为：5+12+13＝30，
故答案为：30．
13．（2020春 越秀区校级期中）已知：△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠BAN＝∠CAM；
（2）∠ODA＝∠OEA．
【解题思路】（1）由∠1＝∠2，则∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，即∠BAN＝∠CAM；
（2）先证△ACM≌△ABN（SAS），得∠M＝∠N，再证△ADN≌△AEM（ASA），即可得出结论．
【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，
即∠BAN＝∠CAM；
（2）在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（SAS），
∴∠M＝∠N，
在△ADN和△AEM中，
，
∴△ADN≌△AEM（ASA），
∴∠NDA＝∠MEA，
即∠ODA＝∠OEA．
14．（2020 江北区模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长．
【解题思路】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝1，求得AB＝AE+BE＝3，于是得到结论．
【解答过程】证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝1，
∴AB＝AE+BE＝2+1＝3，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3．
15．（2020秋 萧山区月考）如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BD上一点，BF＝AC，G是CE延长线上一点，CG＝AB，连接AG，AF．
（1）试说明∠ABD＝∠ACE；
（2）探求线段AF，AG有什么关系？并请说明理由．
【解题思路】（1）根据的等角的余角相等，即可证明∠ACG＝∠ABF；
（2）根据SAS推出△ABF≌△GCA即可解决问题；
【解答过程】（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABF+∠BAD＝90°，∠GCA+∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝∠GCA，
（2）结论：AF＝AG，AF⊥AG．理由如下：
在△ABF和△GCA中，
，
∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF＝AG，∠GAC＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠ADB+∠FAD，∠GAC＝∠GAF+∠FAD，
∴∠GAF＝∠ADF，
∵∠ADF＝90°，
∴∠GAF＝90°，
∴AG⊥AF，AG＝AF．
16．（2021 张家界模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）若CD＝1，试求△AED的面积．
【解题思路】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出BE＝CD＝1，求出CE＝BC﹣BE＝1，得出CE＝CD，△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积，即可得出答案．
【解答过程】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中，，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD；
（3）解：∵△ABE≌△BCD，
∴BE＝CD＝1，
∵AB＝BC＝2CD＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∴CE＝CD，
∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积（1+2）×22×11×1．
17．（2020秋 台江区校级期中）如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD．
（1）求证：C是DE的中点；
（2）求证：AB＝2CF．
【解题思路】（1）过D作DH⊥AC的延长线与H，根据全等三角形的判定证得△AEF≌△BDH，得到EF＝DH，再证得△EFC≌△DHC得到CE＝CD，即可证得即可证得结论；
（2）由（1）得，△AEF≌△BDH，△EFC≌△DHC，根据全等三角形的性质得到AF＝BH，CF＝CH，再根据线段的和差即可证得结论．
【解答过程】证明：（1）过D作DH⊥AC的延长线与H，
∴∠EFC＝∠DHC＝90°，
在△AEF和△BDH中，
，
∴△AEF≌△BDH（AAS），
∴EF＝DH，
在△EFC和△DHC中，
，
∴△EFC≌△DHC（AAS），
∴CE＝CD，
∴C是DE的中点；
（2）由（1）得，△AEF≌△BDH，△EFC≌△DHC，
∴AF＝BH，CF＝CH，
∴AB+BF＝BF+FH，FH＝2FC，
∴AB＝FH，
∴AB＝2CF．
18．（2021春 铁岭月考）如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P．
（1）求证：△AOD≌△COB；
（2）求∠APC（用含α的式子表示）；
（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON的数量关系．
【解题思路】（1）由∠AOC＝∠BOD，可得∠AOD＝∠COB，然后根据SAS可得结论；
（2）根据全等三角形的性质得∠OAD＝∠OCB，再根据三角形外角性质可得答案；
（3）根据全等三角形的性质得∠MAO＝∠NCO，由垂直定义得∠AMO＝∠CNO，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【解答过程】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，
∴∠AOD＝∠COB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SAS）；
（2）由（1）可知△AOD≌△COB，
∴∠OAD＝∠OCB，
令AD与OC交于点E，
则∠AEC＝∠OAD+∠AOC＝∠OCB+∠APC，
∴∠AOC＝∠APC，
∵∠AOC＝α，
∴∠APC＝α；
（3）∵△AOD≌△COB，
∴∠PAP＝∠BCO，即∠MAO＝∠NCO，
∵OM⊥AD，ON⊥BC，
∴∠AMO＝∠CNO＝90°，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴OM＝ON．
19．（2020秋 花都区月考）如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
【解题思路】（1）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB≌△QAC，可得结论；
（2）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB≌△QAC，可得结论．
【解答过程】（1）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
而∠DAP+∠P＝90°，
∴∠DAP+∠QAC＝90°，
即∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP；
即AP＝AQ，AP⊥AQ；
（2）上述结论成立，理由如下：
如图所示：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，
∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
∵∠PDA＝90°，
∴∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
∴∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP，
即AP＝AQ，AP⊥AQ．
20．（2020春 萍乡期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝∠1，∠DCE＝∠2．
（1）如图①，当点D在线段BC上移动时，试说明：∠1+∠2＝180°；
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上移动时，请猜测∠1与∠2有怎样的数量关系？并说明理由．
【解题思路】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠ABD，由三角形的内角和定理可得结论；
（2）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠ABD，由三角形的内角和定理和平角的定义可得结论．
【解答过程】证明：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ACE＝∠BAC+∠BCE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）∠1＝∠2，
理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∠ACE+∠ACB+∠DCE＝180°，
∴∠1＝∠2．
21．（2020春 揭阳期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．
【解题思路】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到∠EBCABC，∠ECBACB，于是得到结论；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论．
【解答过程】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，
∴∠BAC+∠BEC＝180°；
（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBCABC，∠ECBACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BEC＝90°BAC＝120°，
∴∠FEB＝∠DEC＝60°，
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM＝60°，
在△FBE与△EBM中，
，
∴△FBE≌△EBM（ASA），
∴EF＝EM，同理DE＝EM，
∴EF＝DE．
22．（2020秋 淇滨区校级期中）（1）如图1所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．
（2）若△ECD绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【解题思路】（1）根据SAS推出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得出∠CAE＝∠DBC，根据∠ACB＝90°求出∠CAE+∠AEC＝90°，求出∠DBC+∠BEF＝90°，根据三角形内角和定理求出∠BFE＝90°即可；
（2）根据SAS推出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得出∠CAE＝∠DBC，根据∠ACB＝90°求出∠CAE+∠AOC＝90°，求出∠DBC+∠BOE＝90°，根据三角形内角和定理求出∠BFO＝90°即可．
【解答过程】（1）AE⊥BD．
证明：在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠DBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵∠CAE＝∠DBC，∠AEC＝∠BEF，
∴∠DBC+∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BD；
（2）解：结论还成立，
理由是：∵∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠DBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AOC＝90°，
∵∠CAE＝∠DBC，∠AOC＝∠BOE，
∴∠DBC+∠BOE＝90°，
∴∠BFO＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BD．
23．（2020秋 蒙阴县期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时，
①找出图中一对全等三角形；
②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明．
【解题思路】（1）根据余角和补角的性质易证得∠DAC＝∠ECB，已知∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝CB，根据全等三角形的判定AAS即可证明△ADC≌△CEB，根据各边的相等关系即可得DE＝AD+BE．
（2）同理可证得△ADC≌△CEB，再根据各边的相等关系可得DE＝AD﹣BE．
【解答过程】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB；
在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC＝CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS）①，（7分）
∴DC＝EB，AD＝CE，
∴DE＝AD+BE．（9分）
（2）解：同理可得△ADC≌△CEB①；（11分）
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝AD﹣BE②．（14分）
24．（2018秋 环翠区期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为　BE+DF＝EF　．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【可借鉴第（1）问的解题经验】
【解题思路】（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF＝EF．如图1中，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论：EF+DF＝BE．如图2中，在BE上截取BM＝DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF（SAS），推出AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，再证明△AEM≌△AEF（SAS），可得结论．
【解答过程】解：（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF＝EF．
如图1，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF∠BAD，
∴∠4+∠4＝∠EAF，
∴∠GAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
故答案为：BE+DF＝EF．
（2）结论：EF+DF＝BE．
理由：在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AEM与△AEF中，
，
∴△AEM≌△AEF（SAS），
∴EM＝EF，
即BE﹣BM＝EF，
即BE﹣DF＝EF，
∴EF+DF＝BE．
25．（2021春 和平区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在边AB上，AB＝4BD，连接CD，点E，F在线段CD上，连接BF，AE，∠BFC＝∠AEC＝180°﹣∠ACB．
（1）①∠FBC与∠ECA相等吗？说明你的理由；
②△FBC与△ECA全等吗？说明你的理由；
（2）若AE＝11，EF＝8，则请直接写出BF的长为 　3　；
（3）若△ACE与△BDF的面积之和为12，则△ABC的面积为 　48　．
【解题思路】（1）①连接BC，由已知及∠AEC＝180°﹣∠AED，可得到∠ACB＝∠AED．再证明∠CAE＝∠BCF，由三角形内角和定理可得∠FBC＝∠ECA；②利用“ASA”证明△FBC≌△ECA；
（2）由（1）中全等三角形的结论及已知可得到BF的长；
（3）由（1）中结论可得S△FBC＝S△ECA，所以S△ECA+S△BDF＝12＝S△FBC+S△BDF＝S△DBC，根据AB＝4BD，可得到S△DBCS△ABC＝12，从而可得△ABC的面积．
【解答过程】解：（1）①∠FBC＝∠ECA，理由如下：
连接BC，如右图．
∵∠BFC＝∠AEC＝180°﹣∠ACB，且∠AEC＝180°﹣∠AED，
∴∠ACB＝∠AED．
由外角定理可得∠AED＝∠ACD+∠CAE，
又∠ACB＝∠ACD+∠BCF，
∴∠CAE＝∠BCF，
由三角形内角和定理可得∠FBC＝∠ECA．
②△FBC与△ECA全等，理由如下：
在△FBC和△ECA中，
，
∴△FBC≌△ECA（ASA）．
（2）由（1）中②可知，FC＝AE＝11，BF＝CE，
又EF＝8，
∴CE＝FC﹣EF＝11﹣8＝3，
∴BF＝3，
故答案为：3．
（3）由（1）中结论可知S△FBC＝S△ECA，
∴S△ECA+S△BDF＝12＝S△FBC+S△BDF＝S△DBC，
又AB＝4BD，
∴S△DBCS△ABC＝12，
∴S△ABC＝48．
故答案为：48．
26．（2020 岱岳区一模）已知∠ABC＝90°，点D是直线AB边上的点，AD＝BC．
（1）如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC、DF、CF，试判断△CDF的形状并说明理由；
（2）如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，以上结论是否仍然成立？请说明理由．
【解题思路】（1）利用SAS证明△FAD≌△DBC，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，即可判断三角形的形状；
（2）利用SAS证明△FAD和△DBC全等，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，∠FDC＝90°，即可得出结论．
【解答过程】（1）△CDF是等腰直角三角形，
理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠A＝90°，
在△FAD和△DBC中，
∵，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴∠ADF＝∠BCD，DF＝DC，
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
∴∠FDC＝180°﹣90°＝90°，
又∵DF＝DC，
∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）仍然成立，
理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠A＝90°，
在△FAD和△DBC中，
∵，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴∠ADF＝∠BCD，DF＝DC，
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠BDC＝90°，即∠FDC＝90°，
又∵DF＝DC，
∴△CDF是等腰直角三角形．
27．如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．
（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．
（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．
【解题思路】（1）延长AE，BF交于点F，即可求证△ADE≌△FCE，即可求得CF＝AD，AB＝BF，即可求得AB＝AD+BC；
（2）不成立，新的结论为：AB+BC＝AD．延长AE，BF交于点F，可证△ADE≌△FCE和AB＝BF，即可解题．
【解答过程】解：（1）延长AE，BF交于点F，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴AB＝BF，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD，
∵BF＝BC+CF，
∴AB＝BC+AD；
（2）不成立，新结论为：AB＝AD﹣BC．
延长AE，BF交于点F，
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴AB＝BF，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD，
∵BF+BC＝CF，
∴AB+BC＝AD．
28．（2021春 章丘区期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE　＝　CF；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件 　α+∠BCA＝180°　，使①中的结论们然成立，并说明明理由；
（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，a＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
【解题思路】（1）由∠BCA＝90°，∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，可得∠CBE＝∠ACF，从而可证△BCE≌△CAF，故BE＝CF．
（2）若BE＝CF，则可使得△BCE≌△CAF．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，△BCE≌△CAF便可得证．
（3）题干已知条件可证△BCE≌△CAF，故BE＝CF，EC＝FA，从而可证明EF＝BE+AF．
【解答过程】解：（1）∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°．
又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（2）α+∠BCA＝180°，理由如下：
∵∠BEC＝∠CFA＝α，
∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α．
又∵α+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°﹣α．
∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（3）EF＝BE+AF，理由如下：
∵∠BCA＝α，
∴∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α．
又∵∠BEC＝α，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BEC和△CFA中，
∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA．
∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．
29．（2020春 南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【解题思路】（1）根据题目中的条件和∠BED＝∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE＝DF；
（2）作辅助线，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE＝DG，BE＝CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF＝GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．
【解答过程】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，
理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠CDF＝60°．
∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF＝FC+CG＝FC+BE．
30．（2021春 揭东区期末）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，求证：△ACE≌△DCB．
（2）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝　120°　；如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　90°　；
（3）如图3，若∠ACD＝β，则∠AFB＝　180°﹣β　（用含β的式子表示）并说明理由．
【解题思路】（1）求出∠ACE＝∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形性质得出∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，求出∠EAB+∠DBA＝∠ACD，∠AFB＝180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可；
（3）根据全等三角形性质得出∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，求出∠EAB+∠DBA＝∠ACD，∠AFB＝180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可．
【解答过程】（1）证明：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中
∵，
∴△ACE≌△DCB；
（2）解：∵∠ACD＝60°，
∴∠CDB+∠DBC＝∠ACD＝60°，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，
∴∠CAE+∠DBC＝60°，
∴∠AFB＝180°﹣60°＝120°；
当∠ACD＝90°时，
∵∠ACD＝90°，
∴∠CDB+∠DBC＝∠ACD＝90°，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，
∴∠CAE+∠DBC＝90°，
∴∠AFB＝180°﹣90°＝90°；
故答案为：120°，90°；
（3）解：当∠ACD＝β时，∠AFB＝180°﹣β，理由是：
∵∠ACD＝β，
∴∠CDB+∠DBC＝∠ACD＝β，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，
∴∠CAE+∠DBC＝β，
∴∠AFB＝180°﹣（∠CAE+∠DBC）＝180°﹣β；
故答案为：180°﹣β．
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