浙教版八年级上专题1.6 尺规作图-重难点题型（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
尺规作图4大题型
【题型1 作一个角等于已知角】
【例1】（2021春 华龙区期末）画图题（要求：保留作图痕迹，不需要写作法）
如图，已知∠AOB和OB上一点C．
（1）作∠AOB的对顶角∠EOF；
（2）在射线OB的下方，作∠OCD，使∠OCD＝∠AOB．
【变式1-1】（2021春 中原区校级期中）如图，已知∠1，∠2（∠1＞∠2），求作∠ABC，使∠ABC＝∠1﹣∠2．不写作法，保留作图痕迹．
【变式1-2】（2021春 碑林区校级月考）伊顿公馆东区天然气的管道出现了故障，秦华天然气公司工作人员已确定故障点C在道路AB的右侧，且在线路BD方向上，如图所示．又测得∠BAC＝∠α（α为如图中的已知角），请你用尺规作图法在下面的示意图中确定出故障点C的位置．（不写作法，只保留作图痕迹）
【变式1-3】（2021春 茂南区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）尺规作图：在∠ACB的内部作∠ACD，使∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠BDC的度数．
【题型2 作一条线段的垂直平分线】
【例2】（2021春 碑林区校级期中）在△ABC中，∠C＞∠B、请用尺规作图法，在AB上找一点P，使∠PCB＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法．）
【变式2-1】（2021 碑林区校级模拟）尺规作图：如图，已知△ABC．请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2-2】（2021春 长安区期末）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．
（1）请用尺规在图上找出点P；
（2）请说明你作图的依据．
【变式2-3】（2020秋 金川区校级期末）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图）
【题型3 过已知直线外一点作该直线的垂直平分线】
【例3】（2020秋 川汇区期中）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线MN和直线外一点P．
求作：MN的垂线，使它经过点P．
（1）分步骤写出作图过程；
（2）说出所作直线就是求作垂线的理由．
【变式3-1】（2021春 碑林区校级期中）尺规作图：在△ABC的边AB上作出点D，使得线段CD最短．
【变式3-2】（2020春 黑河期中）对于下面每个三角形，过顶点A画出中线和高．（用尺规规范画图，否则不计分）
【变式3-3】（2021春 重庆期中）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝52°，EF平分∠AED交AB于点F．
（1）过点F作FG⊥CD，垂足为G．（要求：按尺规作图方法在答题卡上完成作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求∠AFE的度数．
【题型4 作三角形】
【例4】（2021春 沙坪坝区校级期末）作图题（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．已知：∠α，∠β，线段c（如图所示）．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝2c．
【变式4-1】（2021春 和平区期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠BAC＝∠α．
【变式4-2】（2020春 市北区期末）已知：线段a，直线l及l外一点A．求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，且顶点B、C在直线l上，斜边AB＝a．
【变式4-3】（2020秋 曹县期末）如图，已知线段a和∠α，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，BC＝a，∠ABC∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）．
尺规作图-重难点题型
【题型1 作一个角等于已知角】
【例1】（2021春 华龙区期末）画图题（要求：保留作图痕迹，不需要写作法）
如图，已知∠AOB和OB上一点C．
（1）作∠AOB的对顶角∠EOF；
（2）在射线OB的下方，作∠OCD，使∠OCD＝∠AOB．
【分析】（1）分别延长AO、BO得到它的对顶角；
（2）利用基本作图作∠OCD＝∠AOB．
【解答】解：（1）如图，∠EOF为所作；
（2）如图，∠OCD为所作．
【变式1-1】（2021春 中原区校级期中）如图，已知∠1，∠2（∠1＞∠2），求作∠ABC，使∠ABC＝∠1﹣∠2．不写作法，保留作图痕迹．
【分析】先作∠ABD＝∠1，再作∠COD＝∠2，则∠ABC满足条件．
【解答】解：如图，∠ABC为所作．
【变式1-2】（2021春 碑林区校级月考）伊顿公馆东区天然气的管道出现了故障，秦华天然气公司工作人员已确定故障点C在道路AB的右侧，且在线路BD方向上，如图所示．又测得∠BAC＝∠α（α为如图中的已知角），请你用尺规作图法在下面的示意图中确定出故障点C的位置．（不写作法，只保留作图痕迹）
【分析】作∠BAC＝α，射线AC交BD于C，点C即为所求作．
【解答】解：如图，点C即为所求作．
【变式1-3】（2021春 茂南区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）尺规作图：在∠ACB的内部作∠ACD，使∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠BDC的度数．
【分析】（1）利用基本作图，作∠ACD＝∠B即可；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ACB的度数，再根据角平分线的定义得到∠ACD的度数，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数．
【解答】解：（1）如图，∠ACD为所作；
（2）∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD∠ACB＝40°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°+40°＝100°．
【题型2 作一条线段的垂直平分线】
【例2】（2021春 碑林区校级期中）在△ABC中，∠C＞∠B、请用尺规作图法，在AB上找一点P，使∠PCB＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法．）
【分析】作线段BC的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求作．
【解答】解：如图，点P即为所求作．
【变式2-1】（2021 碑林区校级模拟）尺规作图：如图，已知△ABC．请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD即可．
【解答】解：如图，点D即为所求作．
【变式2-2】（2021春 长安区期末）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．
（1）请用尺规在图上找出点P；
（2）请说明你作图的依据．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线MN交直线m于点P，连接PA，PB．
（2）根据线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴PA＝PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．
【变式2-3】（2020秋 金川区校级期末）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图）
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得答案．
【解答】解：作∠mon的角平分线，作AB的垂直平分线，得
，
∠mon的角平分线与AB的垂直平分线的交点C即为所求得点．
【题型3 过已知直线外一点作该直线的垂直平分线】
【例3】（2020秋 川汇区期中）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线MN和直线外一点P．
求作：MN的垂线，使它经过点P．
（1）分步骤写出作图过程；
（2）说出所作直线就是求作垂线的理由．
【分析】（1）首先根据题意写出已知求作，进而根据过直线外一点向直线作垂线即可．
（2）只要证明直线PF是线段DE的垂直平分线即可；
【解答】解：（1）作法：①任意取一点K，使K和P在AB的两旁．
②以P为圆心，PK的长为半径作弧，交MN于点D和E．
③分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
④作直线PF．
直线PF就是所求的垂线．
（2）理由：由作图可知：PD＝PE，DF＝EF，
∴直线PF是线段DE的垂直平分线．
∴PF⊥MN．
【变式3-1】（2021春 碑林区校级期中）尺规作图：在△ABC的边AB上作出点D，使得线段CD最短．
【分析】根据垂线段最短过点C作CD⊥AB于点D即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
所以点D即为所求．
【变式3-2】（2020春 黑河期中）对于下面每个三角形，过顶点A画出中线和高．（用尺规规范画图，否则不计分）
【分析】根据尺规作图即可过每个三角形的顶点A画出中线和高．
【解答】解：如图，
线段AD、线段AE是每个三角形的高和中线．
AD、AE即为所求．
【变式3-3】（2021春 重庆期中）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝52°，EF平分∠AED交AB于点F．
（1）过点F作FG⊥CD，垂足为G．（要求：按尺规作图方法在答题卡上完成作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求∠AFE的度数．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）求出∠DEF，利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，直线FG即为所求作．
（2）∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF（180°﹣∠AEC）＝64°，
∵CD∥AB，
∴∠AFE＝∠DEF＝64°．
【题型4 作三角形】
【例4】（2021春 沙坪坝区校级期末）作图题（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．已知：∠α，∠β，线段c（如图所示）．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝2c．
【分析】作射线AM，在射线AM上截取AB，使得AB＝2c，在AB的上方作∠EAB＝α，∠FBA＝β，AE交BF于点C．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
【变式4-1】（2021春 和平区期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠BAC＝∠α．
【分析】作∠MAN＝α，在射线AM上截取AB，使得AB＝c，以B为圆心，c为半径作弧交AN于C，C′，连接BC，BC′，△ABC或△ABC′即为所求．
【解答】解：如图，△ABC或△ABC′即为所求．
【变式4-2】（2020春 市北区期末）已知：线段a，直线l及l外一点A．求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，且顶点B、C在直线l上，斜边AB＝a．
【分析】先过点A作直线l的垂线，垂足为C，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧交直线l于点B，即可得Rt△ABC．
【解答】解：如图，Rt△ABC即为所求．
【变式4-3】（2020秋 曹县期末）如图，已知线段a和∠α，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，BC＝a，∠ABC∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）．
【分析】根据已知条件先作∠C＝90°，BC＝a，再作∠ABC∠α即可．
【解答】解：如图所示，
Rt△ABC即为所求．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)