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2023年浙教版九年级相似三角形模型---母子型&射影定理
一、母子型相似
例1、如图，△ABC中，点D在AC边上．若△ABC∽△ADB，AB＝3，AC＝4，则AD的长为 ．
【分析】根据相似三角形的性质列式计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ADB，
∴，
即：AB2＝AD AC，
∵AB＝3，AC＝4，
∴32＝4AD，
∴AD＝，
故答案为：．
【点评】考查了相似三角形的性质，解题的关键是根据相似三角形列出比例式，难度较小．
变式1-1、如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】证明△ABC∽△DAC，得出＝，即可得出CD的长．
【解答】解：∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴＝，
∴AC2＝CD×BC，即82＝CD×16，
解得：CD＝4；
故选：A．
变式1-2、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，∠ABE＝∠AED，且AB＝6，AC＝9，则CE的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【分析】根据DE∥BC，可得∠AED＝∠C，从而得到∠ABE＝∠C，可证明△ABE∽△ACB，即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠ABE＝∠AED，
∴∠ABE＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
∵AB＝6，AC＝9，
∴，
解得：AE＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
例2、如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB； ③；④；其中能判断△APC∽△ACB的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：①∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可证△APC∽△ACB，故①符合题意；
②∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可证△APC∽△ACB，故②符合题意；
③，∠A＝∠A，可证△APC∽△ACB，故③符合题意；
④，∠A＝∠A，不能证明△APC∽△ACB，故④不符合题意；
故选：D．
变式2-1、如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
【解答】解：有三个．
①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：C．
变式2-2、如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（ ）
A．AB2＝BE BC B．CD AB＝AD AC
C．AE2＝CD BE D．AB AC＝BE CD
【分析】根据相似三角形的性质，由△ABE∽△CBA得到AB：BC＝BE：AB，则可对A选项进行判断；由△ABE∽△CBA得到∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，则证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质得CD：AC＝AD：AB，则可对B选项进行判断；证明△CAD∽△ABE得到AD：BE＝CD：AE，加上AD＝AE，则可对C选项进行判断；利用△CBA∽△ABE得到AB AC＝AE CB，由于AE2＝CD BE，AE≠CB，则可对D选项进行判断．
【解答】解：∵△ABE∽△CBA，
∴AB：BC＝BE：AB，
∴AB2＝BE BC，所以A选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，
∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，
∴∠ADE＝∠BAC，
∵∠ADC＝∠BAC，
∴△CAD∽△CBA，
∴CD：AC＝AD：AB，
即CD AB＝AD AC，所以B选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，
∴△CAD∽△ABE，
∴AD：BE＝CD：AE，
即AD AE＝CD BE，
∵AD＝AE，
∴AE2＝CD BE，所以C选项的结论正确；
∵△CBA∽△ABE，
∴AC：AE＝CB：AB，
∴AB AC＝AE CB，
∵AE2＝CD BE，AE≠CB，
∴AB AC≠BE CD，所以D选项的结论不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．也考查了相似三角形的判定．
例3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交弦BC于点E，CD＝4，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCB＝∠BAD，证明△DCE∽△DAC，根据相似三角形的性质求出AD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
由圆周角定理得，∠DCB＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠DCB，又∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∴＝，即＝，
解得，AD＝8，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
变式3-1、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝4，ED＝4，则AB的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】通过证明△ABE∽△ADB，可得，即可求AB的长．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠D，
∴∠ABC＝∠D，且∠BAE＝∠BAD，
∴△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB2＝AE AD＝4×（4+4）＝32，
∴AB＝4，
故选：C．
变式3-2、如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由圆周角定理及已知条件得出∠ABC＝∠D，由∠ECB＝∠BCD，得出△ECB∽△BCD，进而得出BC2＝CE CD，由CE＝2DE，设DE＝x，则CE＝2x，CD＝3x，得出方程（6）2＝2x 3x，解方程求出x的值，即可求出CE的长度．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠A＝∠BDC＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠D，
∵∠ECB＝∠BCD，
∴△ECB∽△BCD，
∴，
∴BC2＝CE CD，
∵CE＝2DE，
∴设DE＝x，则CE＝2x，CD＝3x，
∵BC＝6，
∴（6）2＝2x 3x，
解得：x＝2或﹣2（不符合题意，舍去），
∴CE＝2x＝2×2＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
变式3-3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为 ．
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出＝，可解得DE的长，由AE＝AD﹣DE求解即可得出答案．
【解答】解：如图，
连接BD、CD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝，
∴∠CBD＝∠DAB，
在△ABD和△BED中，
，
∴△ABD∽△BED，
∴＝，
即＝，
解得DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形相似的判定和性质，及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED，进一步利用性质解决问题．
变式3-4、如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径BD交于E，AF⊥BD于点F，延长AF交BC于点G，交⊙O于点H，下列结论：
①∠C＝∠BAH；
②BG：GC＝GH：AG；
③AF2＝BF FD；
④AB2＝BG BC，
正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】连接AD，由垂径定理得出，由圆周角定理证得∠C＝∠BAH，①正确；由相交弦定理得出②不正确；证明△ABF∽△DAF，得出对应边成比例，③正确；证得△ABG∽△CBA；由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2＝BG BC，④正确．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵BD是⊙O的直径，AF⊥BD，
∴，
∴∠C＝∠BAH，①正确；
由相交弦定理得：BG×GC＝GH×AG，②不正确；
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝90°＝∠BAD，
∴∠BAF+∠ABF＝∠ABF+∠D＝90°，
∴∠BAF＝∠D，
∴△ABF∽△DAF，
AF：DF＝BF：AF，
∴AF2＝BF FD，③正确；
∵∠ABG＝∠ABC，∠C＝∠BAH，
∴△ABG∽△CBA，
∴AB：CB＝BG：AB，
∴AB2＝BG BC，④正确；
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理、相交弦定理、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是掌握辅助线的作法，在圆中，构造直径所对的角是直角是常见辅助线，要熟练掌握．
例4、如图，在 ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，则BC的长是（ ）
A． B． C．6 D．
【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC，∠A＝∠C，结合已知得出△DFE∽△DEA，利用相似三角形的性质结合题意求出AD的长度，即可得出BC的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
∵∠DEF＝∠C，
∴∠DEF＝∠A，
∵∠EDF＝∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴，
∵DE＝4，AF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝AD﹣，
∴，
∴42＝（AD一） AD，
∴AD＝或AD＝﹣3（舍去），
∴BC的长是，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
变式4-1、如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E，F是BC延长线上一点，且CF＝CE，BE延长线交DF于G，则BG EG的值是 4﹣2 ．
【分析】由等腰三角形的判定与性质知BM是等腰三角形BDF的中垂线．根据相似三角形△BGF∽△DGE的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即GE GB＝GD2，最后在直角△DCF中利用勾股定理来求GD2的值．
【解答】解：∵BC＝2，四边形ABCD是正方形，
∴BD＝2．
又∵BE平分∠DBC交DF于G，BG⊥DF，
∴BD＝BF（等腰三角形“三合一”的性质），DG＝FG，
∴CF＝2﹣2．
在△BGF和△DGE中，
∠GBF＝∠GDE，∠BGF＝∠DGE＝90°，
∴△BGF∽△DGE，
∴，
∴，即GE GB＝GD2，
∵DC2+FC2＝（2DG）2，即22+（2﹣2）2＝4DG2，
∴DG2＝4﹣2，即GE GB＝4﹣2．
故答案为：4﹣2．
【点评】本题综合考查了正方形、相似三角形的有关知识．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
变式4-2、如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝ ．
【分析】利用勾股定理列式求出AC，设AD＝2x，得到AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
设AD＝2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，
∴AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，
∵DF⊥AB，∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴＝，
即＝，
解得DF＝x，
在Rt△DE1F中，E1F＝＝＝，
又∵BE1＝AB﹣AE1＝10﹣3x，△E1FA1∽△E1BF，
∴＝，
∴E1F2＝A1E1 BE1，
即（）2＝x（10﹣3x），
解得x＝，
∴AD的长为2×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
变式4-3、如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 36 度；的值等于 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，证出∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO＝∠BCO，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，证出∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，得出a2＝x（x+a），求出OE＝a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，
∴∠ECO＝∠BCO，
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，
∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，
∴∠CEB＝2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°；
∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，
∴△CEO∽△BEC，
∴，
∴CE2＝EO BE，
设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，
∴a2＝x（x+a），
解得，x＝a（负值舍去），
∴OE＝a，
∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴△BCE∽△DAE，
∴，
∴＝．
故答案为：36，．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
变式4-4、如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE GD．
【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAG＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；
（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；
（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE GD．
【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE GD．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
例5、从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD＝∠A＝48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．
（2）利用△BCD∽△BAC，得＝，可得结论．
【解答】解：（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
（2）结论：CD＝BD．
理由：∵△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝BD．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
变式5-1、定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，则称点P为△ABC的“理想点”．
（1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，请直接写出CD的长.
【分析】（1）由已知可得，从而△ACD∽△ABC，∠ACD＝∠B，可证点D是△ABC的“理想点”；
（2）由D是△ABC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求CD长度；当D在AC上时，△BDC∽△ABC，对应边成比例即可求CD长度；D不可能在BC上．
【解答】解：（1）点D是△ABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB＝2，
∴AD＝BD＝1，AD AB＝2，
∵AC＝，
∴AC2＝2，
∴AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC的“理想点”；
（2）①D在AB上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD＝∠A时，同理可证∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵S△ABC＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝，
②∵AC＝4，BC＝3，
∴AC＞BC，
∴∠B＞∠A，
∴“理想点”D不可能在BC边上，
③D在AC边上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠DBC＝∠A，
又∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
∴CD＝，
综上所述，点D是△ABC的“理想点”，CD的长为或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
变式5-2、已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）若AD是∠BAC的角平分线，AD交边BC于点D，经过D点作DE⊥AB于点E（如图（1）．请求出BE的长及tan的值．
（2）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B与AC交于点G．若BC＝CF，如图2，请证明：△ABC∽△BGC．
（3）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B与AC交于点G．若A′F＝A′G，如图3，请求出的值（可以直接利用第（1）题求得的结论）．
【分析】（1）证明△ADE≌△ADC（AAS），可得CD＝DE，AE＝AC＝8，推出BE＝AB﹣AE＝2，设CD＝DE＝x，则BD＝6﹣x，再根据勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
（3）如图3中，作A′H⊥AC于H．利用相似三角形的性质求出A′G，GB即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵AD是角平分线，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴CD＝DE，AE＝AC＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝2，设CD＝DE＝x，则BD＝6﹣x，
∵∠DEB＝90°，
∴（6﹣x）2＝22+x2，
∴x＝，
∴tan＝tan∠DAC＝＝＝．
（2）如图2中，
∵BC＝CF，∠C＝90°，
∴∠BFC＝∠CBF＝45°，
∴∠A+∠ABF＝∠BFC＝∠CBF＝∠FBG+∠GBC，
由对称的性质可知：∠ABF＝∠GBF，
∴∠GBC＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BGC．
（3）如图3中，作A′H⊥AC于H．
∵A′F＝A′G，A′H⊥FG，
∴FH＝GH，∠HA′G＝∠FA′G＝∠A＝∠DAC，
∴tan∠HA′G＝tan∠DAC＝，
∵∠HA′G＝∠C＝90°，又∵∠HGA′＝∠CGB，
∴△HGA′∽△CGB，
∴∠CBG＝∠GA′H＝∠A，且＝，tan∠CBG＝tan∠A＝，
∵BC＝6，∠C＝90°，
∴CG＝2，AG＝6，设FH＝GH＝x，
∵tan∠HA′G＝，
∴A′H＝3x，AF＝A′G＝x，
∴x+2x＝6，
∴x＝﹣2，
∴HG＝FH＝﹣2，BG＝2
∴A′G＝A′B﹣BG＝AB﹣BG＝10﹣2，
∴＝＝．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
例6、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，△ABC的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：△DBC是等腰三角形．
（2）若DA＝DF．
①求证：BC2＝DC BF．
②若⊙O的半径为5，BC＝6，求的值．
【分析】（1）由题意易得∠BCD+∠BAD＝180°，则有∠EAD＝∠BCD，进而可得∠EAD＝∠DAC，则∠BCD＝∠CBD，然后问题可求证；
（2）①由题意易证△DAF∽△DBC，则有∠ADF＝∠BDC，进而可得∠DFA＝∠DCB，再由相似三角形的判定得出△FBC∽△BCD，利用其性质即可证明；
②连接DO交BC于G，由题意易得D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，进而可得DO⊥BC且BG＝GC＝3，则有DG＝4+OD＝9，由①得，根据相似三角形的性质得出，再由相似三角形的判定得出△AFD∽△BFC，利用其性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠DAB+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠BCD＝∠CBD，
∴DB＝DC，
∴△DBC是等腰三角形；
（2）①证明：∵DA＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠DFA＝∠CBD＝∠BCD，
∴△DAF∽△DBC，
∴∠ADF＝∠BDC，
∴∠DFA＝∠DCB，
∵∠DBC＝∠FBC，
∴△FBC∽△BCD，
∴，
∴BC2＝BD BF，
∵DB＝DC，
∴BC2＝DC BF；
②解：连接DO交BC于G，
∵BD＝DC，OB＝OC，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴DO⊥BC且BG＝GC＝3，
∵OB＝5，
∴在Rt△BOG中，OG＝4，
∴DG＝4+OD＝9，
∴在Rt△BDG中，，
∵△FBC∽△BCD，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠BFC，
∴△AFD∽△BFC，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
变式6-1、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：DB＝DC．
（2）若DA＝DF，
①当∠ABC＝α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）．
②设⊙O的半径为5，BC＝6，求AD的长．
【分析】（1）由圆内接四边形的对角互补及在同一个圆内，相等的圆周角所对的弦相等可得；
（2）①由DA＝DF，结合DA平分∠EAC，可得∠ADB＝∠ACB，则AB＝BC，△ABC是等腰三角形，可表示∠BAC的度数，∠DFC是△DAB的外角，则可表示∠DFC的度数；
②连接DO，并延长，交BC于点H，连接BO，CO，可证得△DOB≌△DOC，由对称性可得DH⊥BC，可求出BD的长；由等弦所对的圆周角相等，可得出∠BCF＝∠BDC，则△BCF∽△BDC，可求出BF的长，进而可求出DF的长，即可得到AD的长．
【解答】解：（1）如图，由题意可得，AD平分∠EAC，
∴∠DAE＝∠CAD，
∵∠DAE＝∠BCD，∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴CD＝BD．
（2）①如图，设∠DAE＝∠CAD＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAE﹣∠CAD＝180°﹣2β，
∵DA＝DF，
∴∠DFA＝∠CAD＝β，
∴∠ADF＝180°﹣∠DFA﹣∠CAD＝180°﹣2β，
∴∠BAC＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝α，
∴∠BAC＝∠ACB＝＝90°﹣，
∴∠ADF＝∠ACB＝90°﹣，
∴∠DAF＝∠DFA＝＝45°+，
∴∠DFC＝180°﹣（45°+）＝135°﹣．
②如图，连接DO，并延长，交BC于点H，连接BO，CO，
则△DOB≌△DOC（SSS），
∴∠BDH＝∠CDH，
∴DH⊥BC，且BH＝CH＝3，
又CO＝5，
∴OH＝4，
∴DH＝9，BD＝＝3，
∵∠BCF＝∠BDC，
∴△BCF∽△BDC，
∴BC2＝BD BF，即BF＝，
∴DF＝BD﹣BF＝，
∴AD＝DF＝．
法二、由（1）得DB＝DC，
∴，
由圆的对称性可得，
DH⊥BC；
以下同上．
法三、连接OB、OC，OB交AC于点G，
∵，
则OB⊥AC，AB＝BC＝6，
设OG＝a，则BG＝5﹣a，
则CG2＝52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2，解得OG＝，BG＝，
则CG＝＝＝AG，
∵DA＝DF，
∴∠ADC＝∠DFA，
∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠BFC，
∴∠DBC＝∠BFC，
∴FC＝BC＝6，
∴FG＝6﹣＝，
∴﹣＝，BF＝＝，
∵∠ADF＝∠BCF，∠DFA＝∠BFC，
∴△ADF∽△BCF，
∴，即，
解得AD＝．
【点评】本题主要考查圆的相关性质定理，相似三角形的性质与判定，熟记圆的相关性质，构造辅助线是解题关键．
变式6-2、如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
【分析】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；
（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA BE，再根据AB＝2BO，BE＝BG，可证BC2＝BG BO；
（3）设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．
【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠D＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCD，
在△BCE和△GCE中，
，
∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴GE＝BE＝1；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴BC2＝BA BE，
由（1）知GE＝BE，
∴BE＝BG，
∵AB＝2BO，
∴BC2＝BA BE＝2BO BG＝BG BO；
（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：
如图，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠CAE，
设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，
则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，
∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，
∴β+α＝90°，
∴α＝90°﹣β，
∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，
∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，
∴∠COF＝∠AOF，
在△COF和△AOF中，
，
∴△COF≌△AOF（SAS），
∴∠OCF＝∠OAF，
即90°﹣3α＝α，
∴α＝22.5°，
∴∠CAD＝2a＝45°．
【点评】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．
例7、如图，已知菱形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM，MN与AC相交于点E．以下四个结论：
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是2；
③若BM＝3时，CE＝；
④当OM⊥BC时，OA2＝DN AB．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由四边形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN，得AM＝AN，而∠MAN＝60°，则△AMN是等边三角形，可判断①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2可求得MA＝AM＝，可判断②正确；
证明△ABM∽△CME，求得CE，可判断③正确；
由CB＝CD，BM＝CN得CM＝DN，再证明△OCM∽△BCO，得，所以OC2＝CM CB，即OA2＝DN AB，可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∵AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝4，
∴MN＝AM＝AB sin60°＝4×＝2，
∴MN的最小值是 2，故②正确；
∵BM＝3，
∴CM＝4﹣3＝1，
∵∠AMN＝∠ABM＝∠MCE＝60°，
∴∠AMB+∠BAM＝∠AMB+∠CME＝120°，
∴∠BAM＝∠CME，
∴△ABM∽△CME，
∴，即，
∴CE＝，故③正确；
∵CB＝CD，BM＝CN，
∴CB﹣BM＝CD﹣CN，
∴CM＝DN，
∵OM⊥BC，
∴∠CMO＝∠COB＝90°，
∵∠OCM＝∠BCO，
∴△OCM∽△BCO，
∴，
∴OC2＝CM CB，
∴OA2＝DN AB，
故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．
变式7-1、如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH PC
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°，
∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不相似；故③错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH PC，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
二、射影定理
例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD BD
C．AC BC＝AB CD D．BC2＝AD AB
【分析】根据同角的余角相等判断A；根据射影定理判断B、D；根据三角形的面积公式判断C．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD BD，B正确，不符合题意；
由三角形的面积公式得， AC BC＝AB CD，
∴AC BC＝AB CD，C正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴BC2＝BD AB，D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键．
变式1-1、已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【解答】解：A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
故选：B．
变式1-2、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 6 ．
【分析】根据射影定理得到AD2＝CD BD，代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD2＝CD BD＝36，
∴AD＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
变式1-3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝3，CD＝4，则BD的长为 ．
【分析】根据射影定理代入计算即可．
【解答】解：由射影定理得，CD2＝AD BD，
∴BD＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是射影定理，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．
变式1-4、如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于点F，过点F作FG∥AB交AE于点G．
求证：（1）AE＝BE；
（2）AG2＝AF FC．
【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BCE即可．
（2）在Rt△ABC中，BF⊥AC，根据射影定理可得BF2＝AF FC，所以只需证得BF＝AG即可；由于E是CD中点，易证得△DAE≌△CBE，得AE＝BE，由于GF∥AB，则△EGF也是等腰三角形，得EG＝EF，进而可得AG＝BF，由此得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠BCE＝90°，
∵E是CD的中点，
∵DE＝EC，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE．
（2）∵E是CD中点，
∴DE＝CE；
在△DEA和△CEB中，
，
∴△DEA≌△CEB（SAS），即AE＝BE；
∵GF∥AB，
∴＝，即＝，
∵AE＝BE，则AG＝BF；
在Rt△ABC中，BF⊥AC，
则△ABF∽△BCF，
∴BF2＝AF FC，即AG2＝AF FC．
【点评】此题主要考查的是全等三角形、相似三角形的判定和性质，能够发现AG、BF的等量关系是解答此题的关键．
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，则DE的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【分析】证明△ACD∽△CBD，可得CD2＝AD BD，根据EG＝BD，S1+S2＝16，可得CD的长，进而可得DE的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝AD BD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE，
∵△AEG面积＝S1＝AE EG，△CBD面积＝S2＝BD CD，且EG＝BD，
∴S1+S2＝AE EG+BD CD＝BD （AE+CD）＝BD （AE+ED）＝BD AD＝CD2＝16，
∴CD2＝32，
∴CD＝4．
∴DE＝CD＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到△ACD∽△CBD．
变式2-1、如图，在矩形ABCD中，AD＝4AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G，则＝ ．
【分析】由矩形及折叠的性质得∠MNC＝∠PNM＝90°，CN＝DM＝2DC＝2MN，由∠PME＝∠AME，∠CME＝∠DME，可推导出∠PMC＝90°，则∠MCN＝∠PMN＝90°﹣∠CMN，即可证明△MNC∽△PNM，得＝＝2，即可证明PN＝PC，再证明∠FMP＝∠AMP＝∠FPM，∠FMC＝∠DMC＝∠FCM，则PF＝MF＝CF＝PC，所以NF＝PF﹣PN＝PC，即可求得＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠D＝∠DCN＝90°，AD∥BC，
∴AD＝4AB＝4DC，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN，
∴DM＝AM＝AD＝×4DC＝2DC，∠MNC＝∠PNM＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴DC＝MN，
∴CN＝DM＝2DC＝2MN，
∴∠PME＝∠PMA＝∠AME，∠CME＝∠CMD＝∠DME，
∴∠PMC＝∠PME+∠CME＝（∠AME+∠DME）＝×180°＝90°，
∴∠MCN＝∠PMN＝90°﹣∠CMN，
∴△MNC∽△PNM，
∴＝＝2，
∴MN＝2PN，CN＝2MN，
∴CN＝4PN，
∴PN＝PC，
∵∠FMP＝∠AMP＝∠FPM，∠FMC＝∠DMC＝∠FCM，
∴PF＝MF＝CF＝PC，
∴NF＝PF﹣PN＝PC﹣PC＝PC，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明∠PMC＝90°及△MNC∽△PNM是解题的关键．
例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD AB，
又∵AC＝3，AB＝6，
∴32＝6AD，则AD＝．
故选：A．
【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
变式3-1、如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝ 2 ．
【分析】先利用勾股定理得到BD2＝180，设BE＝9x，EC＝2x，利用射影定理得到BD2＝BE BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，于是CD2＝CE CB＝2x 11x＝40，从而得到CD的长．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，
设BE＝9x，EC＝2x，
∵DE⊥BC，
∴BD2＝BE BC，
即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，
∵CD2＝CE CB＝2x 11x＝22×＝40，
∴CD＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
变式3-2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点F在⊙O上．
（1）求证：∠ACD＝∠BCO；
（2）若OC⊥AF，CD＝BE＝8，求CF的长．
【分析】（1）根据垂径定理得出＝，根据圆周角定理得出∠ABC＝∠ACD，根据圆的性质结合等腰三角形的性质得出∠BCO＝∠ABC，等量代换即可得解；
（2）根据垂径定理得出CE＝DE＝CD＝4，根据勾股定理得出BC＝4，根据直角三角形的性质得出∠CAE＝∠BCE，∠AEC＝∠BEC＝90°，即可判定△ACE∽△CBE，根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACD，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠ACD＝∠BCO；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝BE＝8，
∴CE＝DE＝CD＝4，
∴BC＝＝＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝，
∴AC＝＝＝2，
∵OC⊥AF，
∴CF＝AC＝2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
例4、如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD＝CF，则＝ ．
【分析】由于AD∥BC，易得△AEF∽△CBF，那么AE：BC＝AF：FC，因此只需求得AF、FC的比例关系即可．可设AF＝a，FC＝b；在Rt△ABC中，由射影定理可知AB2＝AF AC，联立CD＝CF＝AB，即可求得AF、FC的比例关系，由此得解．
【解答】解：设AF＝a，FC＝b；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN；
∴△AEF∽△CBF；
∴AE：BC＝AF：FC＝a：b；
Rt△ABC中，BF⊥AC，由射影定理，得：
AB2＝AF AC＝a（a+b）；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，CD⊥AM，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝CF＝b；
∴b2＝a（a+b），即a2+ab﹣b2＝0，（）2+（）﹣1＝0
解得＝（负值舍去）；
∴＝＝．
【点评】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形及相似三角形的性质．能够正确的在Rt△ABC中求得AF、FC的比例关系是解答此题的关键．
变式4-1、如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ 2 ，BE＝ ﹣1 ．
【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，根据折叠的性质得到CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，根据全等三角形的性质得到DF＝AE＝2；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴CF＝AD，∠CFD＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCF，
∴△ADE≌△FCD（ASA），
∴DF＝AE＝2；
∵∠AFE＝∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DAE＝90°，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴＝，
∴EF＝﹣1（负值舍去），
∴BE＝EF＝﹣1，
方法二：∵AB∥CD，
∴S△ACD＝S△DCE，
∴S△ACD﹣S△DCF＝S△DCE﹣S△DCF，
∴S△ADF＝S△ECF，
由题意知，BC＝CF，S△ACD＝S△ABC，S△ECF＝S△BCE，
∴S△ACD﹣S△ADF＝S△ABC﹣S△CEF＝S△ABC﹣S△BCE，
∴S△DCF＝S△ACE，
∴×DF CF＝AE BC，
∵CF＝BC，
∴DF＝AE＝2，
设BE＝x，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝﹣1（负值舍去 ），
∴BE＝﹣1．
故答案为：2，﹣1．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
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2023年浙教版九年级相似三角形模型---母子型&射影定理
一、母子型相似
例1、如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
变式1-1、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，∠ABE＝∠AED，且AB＝6，AC＝9，则CE的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
例2、如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB； ③；④；其中能判断△APC∽△ACB的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
变式2-1、如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2-2、如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（ ）
A．AB2＝BE BC B．CD AB＝AD AC
C．AE2＝CD BE D．AB AC＝BE CD
例3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交弦BC于点E，CD＝4，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式3-1、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝4，ED＝4，则AB的长为（ ）
A．4 B． C． D．
变式3-2、如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3-3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为 ．
变式3-4、如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径BD交于E，AF⊥BD于点F，延长AF交BC于点G，交⊙O于点H，下列结论：
①∠C＝∠BAH；
②BG：GC＝GH：AG；
③AF2＝BF FD；
④AB2＝BG BC，
正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
例4、如图，在 ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，则BC的长是（ ）
A． B． C．6 D．
变式4-1、如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E，F是BC延长线上一点，且CF＝CE，BE延长线交DF于G，则BG EG的值是 ．
变式4-2、如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝ ．
变式4-3、如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 度；的值等于 ．
变式4-4、如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE GD．
例5、从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
变式5-1、定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，则称点P为△ABC的“理想点”．
（1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，请直接写出CD的长.
变式5-2、已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）若AD是∠BAC的角平分线，AD交边BC于点D，经过D点作DE⊥AB于点E（如图（1）．请求出BE的长及tan的值．
（2）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B与AC交于点G．若BC＝CF，如图2，请证明：△ABC∽△BGC．
（3）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B与AC交于点G．若A′F＝A′G，如图3，请求出的值（可以直接利用第（1）题求得的结论）．
例6、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，△ABC的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：△DBC是等腰三角形．
（2）若DA＝DF．
①求证：BC2＝DC BF．
②若⊙O的半径为5，BC＝6，求的值．
变式6-1、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：DB＝DC．
（2）若DA＝DF，
①当∠ABC＝α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）．
②设⊙O的半径为5，BC＝6，求AD的长．
变式6-2、如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
例7、如图，已知菱形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM，MN与AC相交于点E．以下四个结论：
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是2；
③若BM＝3时，CE＝；
④当OM⊥BC时，OA2＝DN AB．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式7-1、如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH PC
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、射影定理
例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD BD
C．AC BC＝AB CD D．BC2＝AD AB
变式1-1、已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（ ）
A． B．
C． D．
变式1-2、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 ．
变式1-3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝3，CD＝4，则BD的长为 ．
变式1-4、如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于点F，过点F作FG∥AB交AE于点G．
求证：（1）AE＝BE；
（2）AG2＝AF FC．
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，则DE的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
变式2-1、如图，在矩形ABCD中，AD＝4AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G，则＝ ．
例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
变式3-1、如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝ ．
变式3-2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点F在⊙O上．
（1）求证：∠ACD＝∠BCO；
（2）若OC⊥AF，CD＝BE＝8，求CF的长．
例4、如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD＝CF，则＝ ．
变式4-1、如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，BE＝ ．
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