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专题3.1 圆
模块1：学习目标
1、在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；
2、了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；
3、掌握不在一条直线上的三点确定一个圆，掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法；
4、能画出三角形的外接圆，了解三角形的外心。
模块2：知识梳理
1、圆的定义
圆的描述概念：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
圆的集合概念：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合。
注意：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面。
2、与圆有关的概念
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径（特殊的弦）：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
半圆（特殊的弧）：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。
注意：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等。
同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。
注意：同圆或等圆的半径相等。
3、点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r.
注意：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
4、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心。
外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。
注意：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”。
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。
模块3：核心考点与典例
考点1. 圆的有关概念辨析
例1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆；
（3）半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据弦和直径的定义可得判断（1）；根据弧的定义可以判断（2）；根据等圆的定义可以判断（3）；根据优弧、劣弧的定义可以判断（4）；从而得到答案．
【详解】解：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，
直径是弦，但弦不一定是直径，故（1）说法正确，符合题意；
圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，但弧不一定是半圆，故（2）说法正确，符合题意；
半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆，
半径相等且圆心不同的两个圆是等圆，故（3）说法正确，符合题意；
弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，一条直径把圆分成两个半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半径的弧叫做优弧，直径把圆分成两段弧，既不是优弧也不是劣弧，故（4）说法正确，不符合题意；
综上所述，正确的个数3个，故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，判断命题的真假，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．
变式1．（2022 金沙县九年级一模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心
【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．
【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；
C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．
变式2．（2022 远安县九年级期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可．
【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．
③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．
④弧是圆的一部分，正确．故选：B．
变式3．（2023·浙江九年级课时练习）有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，符合题意；
②弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，原说法正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，原说法正确，符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
考点2. 圆中弦的条数与最长弦
例2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有，共2条．故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
变式1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义求解即可．
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，故选：B．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
变式2．（2023春·山东九年级课时练习）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据直径是最长的弦即可求解．
【详解】解：∵若的直径长为，点，在上，∴的长不可能是，故选：D．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．
变式3．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm
【答案】B
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】解：圆的直径为圆中最长的弦，中最长的弦长为．故选：B．
【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
考点3. 确定圆的条件
例3．（2022 绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．
变式1．（2022春 射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．
变式2．（2022 西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．
变式3．（2023·江西·统考中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
考点4. 点与圆的位置关系
例4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）在中，，，．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点B在圆上 D．点B在圆外
【答案】C
【分析】先由勾股定理求得，再由和，的大小关系即可判断点和点与的位置关系．
【详解】解：，，．，
，，，可得点在内，点在上．故选：C．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，勾股定理．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
变式1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为），有个点，，，，，，以为圆心，为半径作圆，则在外的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据格点的特点，勾股定理，分别计算出的值，与圆的半径进行比较，即可求解．
【详解】解：在的正方形网格中小正方形的边长为，
∴，，，，
∵的半径为，，，，∴在外的点是，故选：．
【点睛】本题主要考查圆与点的位置关系，掌握圆的基础知识，格点中勾股定理的运用等知识是解题的关键．
变式2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（ ）
A．的内部 B．的外部 C．上或的内部 D．上或的外部
【答案】A
【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若，则点P在的外部，若，则点P在的内部，若，则点P在上，即可解答．
【详解】解：解方程可得，，，
∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根，
∴，∴点P在的内部，故选A
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键．
变式3．（2022·浙江宁波·九年级校考期中）已知的半径为4cm，点P在上，则的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm
【答案】B
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解即可．
【详解】解：∵的半径为4cm，点P在上，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外时，；点P在圆上时，；点P在圆内时，．
考点5. 圆中角度的计算
例5．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据已知可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由，可得，等量代换可得，进而根据三角形的外角的性质可得．
【详解】解：连接，如图，
，，，，
，，而，，
，，．故选：B．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
变式1．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，A、B是圆上的两点，已知，直径，连接，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，，∴，
∵，，∴，，
则，故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、圆的基本知识，熟练掌握等边对等角是解答的关键．
变式2．（2023秋·浙江九年级课时练习）如图，是的直径，弦的延长线与的延长线交于点．若，，则 ．
【答案】28
【分析】设，根据等腰三角形的性质，由得，再根据三角形外角性质得，则，然后根据三角形外角性质得，解得，最后利用三角形内角和定理计算的度数．
【详解】解：设，∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，解得，
∴．故答案为：28．
【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
考点6. 圆中线段长度的计算
例6．（2023春·海南儋州·八年级校考期中）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】由垂直的定义得到，根据勾股定理得到，得到，即可得到结论．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∴，∴．故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
变式1．（2022 海港区校级自主招生）如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB＝ 2 ．（用数字表示）
【分析】根据圆的周长公式得到OD＝2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O的周长为4π，∴OD＝2，
∵OC＝OD，∴∠C＝∠D，∵BE∥OC，∴∠EBD＝∠C，
∴∠EBD＝∠D，∴BE＝DE，∴EO+EB＝OD＝2，故答案为：2．
变式2．（2022秋 邗江区期中）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
【分析】连接OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．
【解答】解：连接OD．∵OC⊥AB DE⊥OC，DF⊥OA，∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，
∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．
考点7. 求一点到圆上点的距离的最值
例1．（2023·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（ ）
A．2 B．5 C．1 D．5或1
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：①当点在圆外时；②当点在圆内时，分别求解即可得到答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图1，当点在圆外时，此时，，此圆的半径为；
②如图2，当点在圆内时，此时，，此圆的半径为；
综上可知，此圆的半径为1或5，故选：D．
【点睛】本题考查了求一点到圆上点距离的最值，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
变式1．（2022·广东湛江·校联考一模）一个圆的半径为，则此圆的最大弦长为 ．
【答案】
【分析】根据圆的基础知识可得，圆的最大弦长即直径，由此即可求解．
【详解】解：圆的直径是过圆心的弦，∴圆的直径的长是圆的最大弦长，
∵圆的半径为，∴圆的直径为，即最大弦长为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的弦与直径的关系是解题的关键．
变式2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点M（，）和直线（其中A，B不全为0），则点M到直线的距离d可用公式．如图，若点P是为圆心上的任意一点，点A，B为直线上的两点，且，请求出面积的取值范围 ；
【答案】
【分析】求出圆心到直线的距离，求出上点到直线的距离的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：由图可知，的半径为1，
点到直线的距离，
上点到直线的距离的最大值为，最小值为，
的最大值，的最小值，
即的取值范围是，故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为的形式，会求圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．半圆是弧
C．已知圆O的半径为，P为平面内一点，且，则点P在圆O外
D．如果圆A的周长是圆B周长的2倍，那么圆A的面积是圆B面积的2倍
【答案】D
【分析】分别根据直径的定义、弧的定义、点与圆的位置关系、周长与面积公式逐项判断即可．
【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，故选项不符合题意；
B、半圆是弧，说法正确，故选项不符合题意；
C、已知圆O的半径为，P为平面内一点，且，,则点P在圆O外，说法正确，故选项不符合题意；D、圆A的周长是圆B周长的2倍，则圆A的半径是圆B半径的2倍，那么圆A的面积是圆B面积的4倍，说法错误，故选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识、点与圆的位置关系，解题的关键是熟记圆的相关定义并灵活运用．
2．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）下列命题中，是真命题的个数有（ ）
直径是弦；弦是直径；半圆是弧；弧是半圆．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可．
【详解】解：直径是弦，是真命题；弦是直径，是假命题；
半圆是弧，是真命题；弧是半圆，是假命题；故选：．
【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念．
3．（2022图木舒克九年级月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）
A．1 B．4 C．10 D．11
【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可．
【解答】解：∵一个圆的半径为5，∴圆中最长的弦是10，∴弦长不可能为11，故选：D．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦共3条，
故选C．
【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键．
5．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）点是的外心，则点是的（ ）
A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
6．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图中外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，分别作垂直平分线，交点为外心，再过外心分别向轴，轴的垂线，确定坐标．
【详解】解：外接圆圆心的坐标为．故选C．
【点睛】本题考查三角形的外接圆的定义．本题解题的关键是作图找出三角形的外心．
7.（2022 潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A． B．8 C．6 D．5
【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．
【解答】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，∴CDAB×10＝5．故选：D．
8．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，，，
当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．
9．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可．
【详解】解：连接交于，如图，
在中，由勾股定理得：，则，
，，
与相交，且点在外，必须，即只有选项B符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键．
10．（2023·山东泰安·统考三模）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段PA的中点，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】连接，如图，先解方程得，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心C时，最小，如图，点P运动到位置时，最小，然后计算出即可得到线段的最小值．
【详解】解：连接，如图，
当时，，解得，∴，
∵Q是线段的中点，∴为的中位线，∴，
当最小时，最小，而过圆心C时，最小，如图，点P运动到位置时，最小，
∵，∴，∴线段的最小值是．故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．确定位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
【答案】（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径．故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．
12．（2023秋·广东九年级课时练习）若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用直径是圆内最长的弦即可求解．
【详解】解：的半径为3，
的弦的长度的取值范围为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键．
13．（2023·湖北襄阳·统考二模）在中，，则这个三角形的外接圆半径为 ．
【答案】或
【分析】根据直角三角形外接圆的性质，其圆心是直角三角形斜边中点，从而利用勾股定理求出斜边长即可得到答案，注意题中并没有指明具体的直角，需要分类讨论求解．
【详解】解：在中，，则分三种情况：
①当，如图所示：
这个三角形的外接圆半径为；
②当，如图所示：
，这个三角形的外接圆半径为；
③当，，
由于直角三角形中斜边大于直角边，则该情况不存在；
综上所述，这个三角形的外接圆半径为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查三角形外接圆的性质，设计勾股定理，根据题意，分类讨论求解是解决问题的关键．
14．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
【答案】3
【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可．
【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，故答案为3．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线．
15.（2022 金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝ ．
【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵OD＝OC，∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，∴∠A=（180°﹣84°）＝48°，
又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝48°．故答案为：48°．
16．（2023·浙江·九年级假期作业）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为 ．最长距离为 ．
【答案】 / /
【分析】连接，与圆交于点，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为，再求出，结合圆半径可得结果．
【详解】解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接，与圆交于点，可知：点和圆上点之间的连线最短，
，，，圆的半径为，，
点到以原点为圆心，以为半径的圆的最短距离为，最长距离为
故答案为：；．
【点睛】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题．
17.（2022 广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A上的一个动点，则m2+n2的最大值为 ．
【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA＝5，OP，这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，然后求出此时的PO长即可．
【解答】解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，
∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），
∴OA=5，OP，∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，
∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，
此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．故答案为：36．
18.（2022秋 金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO的中点为C，则线段AC的最小值为 ．
【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BD∥AC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长．
【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，
∵C是OB的中点，∴OA＝AD，∴AC=BD，∴当BD取最小值时，AC最小，
由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，∵A（3，0），∴D（6，0），
∵M（3，4），∴DM==5，∴BD＝5﹣1＝4，
∴AC=BD＝2，即线段AC的最小值为2；故答案为：2．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
【答案】见解析
【分析】连接、，由直角三角形斜边上的中线定理得，则可得出结论．
【详解】证明：连接，，
∵，AB的中点为O，
∴，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
20．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）如图所示，为的直径，是的弦，，的延长线交于点，已知，．求的度数．
【答案】
【分析】连接．由，可得，根据“等边对等角”得到，从而．又，得到，进而求得．
【详解】连接．
，，，
，．
，，．
【点睛】本题主要考查圆的直径与半径关系，等腰三角形的性质，三角形的外角，熟练运用等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键．
21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长．”试分析这个观点是否正确．
甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长．
乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长．
请你判断谁的说法正确？
【答案】乙的观点正确
【分析】根据圆的基本概念进行分析即可．
【详解】解：弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行．∴乙的观点正确．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，掌握在等圆或同圆中，优弧大于劣弧的概念是解题的关键．
22．（2023·福建三明·校考一模）如图，在中，，两点在弦上，且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据圆的概念，得出，再根据等边对等角，得出，即，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．
【详解】证明：∵是的弦，∴点在上，∴，
∴，即，
又∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了圆的基本概念、等边对等角、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在得出．
23．（2023·福建·九年级专题练习）如图，已知．
(1)求作一点O，使得绕点O不论旋转多少度，得到的也内接于的外接圆（尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求证：关于点O的中心对称图形也内接于的外接圆．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据题意作出的外心点，即可求解；
（2）根据圆的半径处处相等，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线交于点，点即为所求，
（2）解：如图所示，是关于点O的中心对称图形，
证明：∵是关于点O的中心对称图形，
设的半径为，∴，
∴关于点O的中心对称图形也内接于的外接圆．
【点睛】本题考查了作三角形的外心，中心对称的性质，掌握基本作图是解题的关键．
24．（2023·浙江衢州·校考一模）如图，为圆O的直径，点C，D在圆O上，与交于点E，，，连接，．求证：
(1)；(2)四边形是菱形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）由已知条件根据全的三角形的判定即可证明；
（2）首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】（1）证明：在和中，
∵，∴；
（2）∵为的直径，∴，
∵，∴，，
∴，，∴四边形是平行四边形．
∵，∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定、圆的性质，掌握全等三角形的判定和特殊平行四边形的判定是解题的关键．
25．（2023·山西晋城·统考一模）阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点和为定点，点为动点，且为定长（令），可得线段的长度为定值．我们探究和两条定长线段，的数量关系及其最大值和最小值：当动点不在直线上时，如图，由背景知识，可得结论，．
当动点在直线上时，出现图和图两种情况．在图中，线段取最小值为；在图中，线段取最大值为．
模型建立：在同一平面内，点和为定点，点为动点，且，为定长（），则有结论≥，．当且仅当点运动至，，三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：(1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 ；（填选项）
A．方程思想 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想
(2)已知线段，点为任意一点，那么线段和的长度的和的最小是 ；
(3)已知的直径为，点为上一点，点为平面内任意一点，且，则的最大值是 ；
(4)如图4，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变．其中，．运动过程中，求点到点的最大距离．
【答案】(1)C(2)10(3)2(4)
【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现了分类讨论思想；（2）根据两点之间线段最短可得出答案；（3）由点和圆的位置关系可知点在圆上，由直径的定义可得出答案；
（4）取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点时最大．
【详解】（1）解：上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有分类讨论思想，
故答案为：C；
（2）解：如图所示：线段与的和最小是．
故答案为：；
（3）解：∵的直径为，，∴点在圆上，
∵点为上一点，∴直径时，有最大值，即，故答案为：2；
（4）解：如图，取的中点，连接、、，
∵，，∴，
∵，四边形是矩形，∴，
∴，根据三角形的三边关系，，
∴当过点时，等号成立，的值最大，最大值为．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，点和圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．
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专题3.1 圆
模块1：学习目标
1、在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；
2、了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；
3、掌握不在一条直线上的三点确定一个圆，掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法；
4、能画出三角形的外接圆，了解三角形的外心。
模块2：知识梳理
1、圆的定义
圆的描述概念：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
圆的集合概念：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合。
注意：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面。
2、与圆有关的概念
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径（特殊的弦）：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
半圆（特殊的弧）：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。
注意：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等。
同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。
注意：同圆或等圆的半径相等。
3、点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r.
注意：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
4、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心。
外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。
注意：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”。
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。
模块3：核心考点与典例
考点1. 圆的有关概念辨析
例1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆；
（3）半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2022 金沙县九年级一模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心
变式2．（2022 远安县九年级期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（2023·浙江九年级课时练习）有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2. 圆中弦的条数与最长弦
例2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
变式1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式2．（2023春·山东九年级课时练习）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式3．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm
考点3. 确定圆的条件
例3．（2022 绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
变式1．（2022春 射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
变式2．（2022 西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
变式3．（2023·江西·统考中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
考点4. 点与圆的位置关系
例4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）在中，，，．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点B在圆上 D．点B在圆外
变式1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为），有个点，，，，，，以为圆心，为半径作圆，则在外的点是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（ ）
A．的内部 B．的外部 C．上或的内部 D．上或的外部
变式3．（2022·浙江宁波·九年级校考期中）已知的半径为4cm，点P在上，则的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm
考点5. 圆中角度的计算
例5．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于( )
A． B． C． D．
变式1．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，A、B是圆上的两点，已知，直径，连接，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·浙江九年级课时练习）如图，是的直径，弦的延长线与的延长线交于点．若，，则 ．
考点6. 圆中线段长度的计算
例6．（2023春·海南儋州·八年级校考期中）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
变式1．（2022 海港区校级自主招生）如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB＝ ．（用数字表示）
变式2．（2022秋 邗江区期中）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
考点7. 求一点到圆上点的距离的最值
例1．（2023·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（ ）
A．2 B．5 C．1 D．5或1
变式1．（2022·广东湛江·校联考一模）一个圆的半径为，则此圆的最大弦长为 ．
变式2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点M（，）和直线（其中A，B不全为0），则点M到直线的距离d可用公式．如图，若点P是为圆心上的任意一点，点A，B为直线上的两点，且，请求出面积的取值范围 ；
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．半圆是弧
C．已知圆O的半径为，P为平面内一点，且，则点P在圆O外
D．如果圆A的周长是圆B周长的2倍，那么圆A的面积是圆B面积的2倍
2．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）下列命题中，是真命题的个数有（ ）
直径是弦；弦是直径；半圆是弧；弧是半圆．
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2022图木舒克九年级月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）
A．1 B．4 C．10 D．11
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）点是的外心，则点是的（ ）
A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点
6．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图中外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
7.（2022 潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A． B．8 C．6 D．5
8．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
9．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山东泰安·统考三模）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段PA的中点，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
12．（2023秋·广东九年级课时练习）若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ．
13．（2023·湖北襄阳·统考二模）在中，，则这个三角形的外接圆半径为 ．
14．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
15.（2022 金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝ ．
16．（2023·浙江·九年级假期作业）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为 ．最长距离为 ．
17.（2022 广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A上的一个动点，则m2+n2的最大值为 ．
18.（2022秋 金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO的中点为C，则线段AC的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
20．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）如图所示，为的直径，是的弦，，的延长线交于点，已知，．求的度数．
21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长．”试分析这个观点是否正确．
甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长．
乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长．
请你判断谁的说法正确？
22．（2023·福建三明·校考一模）如图，在中，，两点在弦上，且，求证：．
23．（2023·福建·九年级专题练习）如图，已知．
(1)求作一点O，使得绕点O不论旋转多少度，得到的也内接于的外接圆（尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求证：关于点O的中心对称图形也内接于的外接圆．
24．（2023·浙江衢州·校考一模）如图，为圆O的直径，点C，D在圆O上，与交于点E，，，连接，．求证：(1)；(2)四边形是菱形．
25．（2023·山西晋城·统考一模）阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点和为定点，点为动点，且为定长（令），可得线段的长度为定值．我们探究和两条定长线段，的数量关系及其最大值和最小值：当动点不在直线上时，如图，由背景知识，可得结论，．
当动点在直线上时，出现图和图两种情况．在图中，线段取最小值为；在图中，线段取最大值为．
模型建立：在同一平面内，点和为定点，点为动点，且，为定长（），则有结论≥，．当且仅当点运动至，，三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：(1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 ；（填选项）
A．方程思想 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想
(2)已知线段，点为任意一点，那么线段和的长度的和的最小是 ；
(3)已知的直径为，点为上一点，点为平面内任意一点，且，则的最大值是 ；
(4)如图4，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变．其中，．运动过程中，求点到点的最大距离。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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