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专题3.3 垂径定理
模块1：学习目标
1、掌握垂径定理及其推论；
2、利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明。
模块2：知识梳理
1、垂径定理
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图，几何语言为：
CD是直径
2）推论
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
注意：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
2、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
注意：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
模块3：核心考点与典例
考点1. 由垂径定理及其推论判断正误
例1．（2023·浙江九年级课时练习）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
【答案】A
【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【详解】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
变式1．（2023·福建厦门·九年级校考期中）如图，为直径，交弦于点E，若E点为中点，则说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据垂径定理的推论和垂径定理进行判断即可．
【详解】解：如图，连接，
∵为直径，点为中点，∴，
∴，，∴， 故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题关键是熟练运用垂径定理及推论进行证明推导．
变式2．（2023·广东·九年级专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
【答案】D
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
考点2. 根据垂径定理与勾股定理综合求值
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】连接，由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．
【详解】解：如图，连接，
直径，，
，，，．故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
变式1．（2023春·湖北襄阳·九年级统考开学考试）如图，是的一条弦，是的中点，连接交于点，若，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，设的半径为，则，，根据垂径定理求出，，根据勾股定理得出，求出，再求出即可．
【详解】解：连接，设的半径为，则，，
是的中点，过圆心，，，
，，由勾股定理得：，
，解得：，即的半径是，故选：D．
【点睛】本题考了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．
变式2．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【分析】设，根据垂径定理可得出，用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值, 进而得出的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设，则，∵，∴，
在中，，即，解得： ，即，
∵为的中位线，∴，
∵是的直径，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积，解题的关键是求出的长度属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出方程是关键．
考点3. 垂径定理的实际应用
例3．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【答案】A
【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，，
，，即的半径为．故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．
变式1．（2023春·广东·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】A
【分析】作于点，确定盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，进而结合垂径定理以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图所示，作于点，盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，
∵，∴根据垂径定理，，
∵，∴中，，∴，
∴盛水桶在水面以下的最大深度为2米，故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理的实际应用，理解圆的基本性质，熟练运用垂径定理是解题关键．
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，
∵∴，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
变式3．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，，
是半径，且，，
在中，，，解得：，故选B
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
考点4. 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
例4．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期中）如图，点、，半径为的经过、，则点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过A作于B，连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出，即可得出答案．
【详解】解：过A作于B，连接，∵过圆心A，∴，
∵半径为5的与y轴相交于、，
∴，，∴，，
由勾股定理得：，∴点A的坐标为，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键．
变式1．（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与轴交于点，，与轴交于，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，作于，于，连接，由题意知为中点，坐标为，在中，由勾股定理得，求出的值，进而得出的坐标，在中，由勾股定理求出的值，进而可得点坐标．
【详解】解：如图，作于，于，连接
由题意知为中点，坐标为
∵，在中，由勾股定理得
∵∴
在中，由勾股定理得∴故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于求出的坐标．
变式2
60．（2022·九年级单元测试）如图，以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的⊙P与平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N坐标为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，由垂径定理即可求得，易证得四边形是矩形，即可得，设,在中，由，可得方程，继而可求得答案．
【详解】解：过点P作于点A，如图所示：∴，
∵以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的与平行于y轴的直线交于两点．
∴，∴四边形是矩形，∴，
设,则PM=OP=a,∵点M的坐标是，∴，∴，
在中，，即，解得：，
∴，∴，∴，
∴点N的坐标为：．故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理等知识，注意掌握辅助线的作法，由勾股定理得出方程是解题的关键．
考点5. 利用垂径定理 求平行弦问题
例5．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．
【答案】5
【分析】设光盘的圆心为O，过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：设光盘的圆心为O，如图所示：
过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，∴，
∵刻度尺宽，∴，
在中，，即，解得：．故答案为：5．
【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
变式2．（2023·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
【答案】
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，∴OF=OB=，在△OHF中，勾股定理，得OH=，
∵四边形ABCD是矩形，∴四边形OADH也是矩形，∴AD=OH=，故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
变式2．（2020·浙江·统考中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
【答案】3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．故答案为3．
【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
考点6. 利用垂径定理 求同心圆问题
例6．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________．
(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证．
【答案】(1)4(2)见解析
【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长；（2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证．
【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，∴，故答案为：
（2）过作，作，垂足分别为、，
∴，，，，
又∵，∴，连接、、、，
在和中，，
∴，∴，
在和中，，
∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．
变式1．（2023·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；
（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得 ∴ ∴
（2）解：连接，如图2，
∵，∴，
∴， ∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点．(1)求证：；(2)若，，求圆环的面积．
【答案】(1)见详解(2)
【分析】（1）过点作于点，利用垂径定理可得，，即可证明；
（2）连接、，由已知条件以及垂径定理可得，，再在和中，利用勾股定理可求得，，然后利用圆环面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如下图，过点作于点，
则，，∴，即；
（2）解：如下图，连接、，
∵，，∴，
又∵，∴，，
∴在中，，
在中，，
∴，即圆环的面积为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理以及求圆环的面积等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．
考点7. 利用垂径定理求整点
例7．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，的半径为5，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那么长度为整数值的弦的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别求出过点的最长的弦长和最短的弦长，进行判断即可．
【详解】解：①当过点的弦，过圆心时，弦为圆的直径，此时弦长最长，
∵的半径为5，
∴的直径为10，即此时的弦长为，
②当垂直于过点的弦时，此时弦长最短，由垂径定理，可得：弦长；
设过点的弦长为，则，
∴长度为整数值的弦的条数为5条；
故选C．
【点睛】本题考查圆中的弦长的取值范围．解题的关键是掌握直径是圆中最长的弦，以及利用垂径定理求值．
变式1．（2023·安徽安庆·统考一模）已知的直径是12，点P是内一点，，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】D
【分析】如图所示，过点P作交于A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案．．
【详解】解：如图所示，过点P作交于A、B，连接，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，∴过点P的弦的长，
∵，∴弦长是整数的弦只能是直径，∴弦长是整数的共有1条，故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧是解题关键．
变式2．（2023·浙江·九年级统考期中）的直径为10，弦，P是弦AB上一动点，满足线段OP的长为整数的点P有 处不同的位置．
【答案】3
【分析】当P为A B的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长，当P与A或B重台时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长．
【详解】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
如图所示：
在中，
即OP的最小值为3，
当P与A或B重合时，OP最长，此时0P=5，
则使线段OP的长度为整数的点P有4， 5，共3个．故答案为：3．
【点睛】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
考点8. 利用睡径定理求最值或取值范围
例9．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到．
【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接
∵，∴，∴，
∵，∴；
∵，G为的中点，∴，
∵，∴，
∴，∴当最小时，最大，即最大，
∵，∴，∴，即，
∴，∴．故选B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
变式1．（2023春·浙江九年级月考）半径为的内有一点，且，则过点的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．
【答案】 6 10
【分析】过点的最短的弦是垂直于的弦，过点的最长的弦是直径，利用勾股定理和垂径定理进行求解即可得到答案．
【详解】解：如图，在直径上，于点P，
过点的最短的弦是垂直于的弦，即的长
，，由勾股定理得：，
，过点的最短的弦长是6；
过点的最长的弦是直径，即的长，，．
过点的最长的弦长是10，故答案为：6；10．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接、、、，由垂径定理得到，，，，，由勾股定理得到，，当时，M、O、N三点共线时，当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，分别求解即可．
【详解】解：连接、、、，如图所示，
∵的直径为26，∴，∵点M、N分别是弦的中点，，，
∴，，，，
∴，，当时，M、O、N三点共线，
当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，
当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，
∴线段的长度的取值范围是，故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·山东九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
【答案】D
【分析】根据垂径定理及其推论，进行判断即可．
【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项错误；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项错误；
C、垂直于直径的弦被直径平分，选项错误；
D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项正确．故选D．
【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
2．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，是的外接圆，过点作于点，于点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据，，由垂径定理可得，，即可得到是的中位线，即可得到答案．
【详解】解：∵，，∴，，
即是的中位线，∴，故选：D．
【点睛】本题考查圆和三角形结合题，熟练掌握圆的垂径定理及中位线的性质是解题的关键．
3．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，是的直径，是弦，于点，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理及线段垂直平分线的性质可知，，进而即可解答．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，∴是的垂直平分线，∴，故项不符合题意；
∵是的直径，，∴，故项不符合题意；
∵是的直径，，∴，
∴是的垂直平分线，∴，故项不符合题意；
无法证明和的大小关系，故项符合题意；故选．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，掌握垂径定理是解题的关键．
4．（2023·浙江衢州·统考二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可．
【详解】设圆心为O，为纸条宽，连接，，
则，，∴，，设，则，
又∵，∴，即，
解得：，∴半径，即直径为，故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】垂径定理得到，三角形中位线定理得到，在中，设，则，，则，解得，则，，即可得到的长．
【详解】解：∵的半径弦于点C，连接并延长交于点E，
∴垂直平分，是的直径，∴，
∴是的中位线，∴，在中，设，则，
∵，∴，解得：，
即，，∴，故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，根据勾股定理得到是解题的关键．
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题关键.
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，、，半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过A作于B，连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出，即可得出答案．
【详解】解：过A作于B，连接，
∵过圆心A，∴，
∵半径为5的与y轴相交于、，
∴，，∴，，
由勾股定理得：，∴点A的坐标为，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键．
8．（2023·四川自贡·九年级校考期中）如图，的半径为5，弦的长为8，是弦上的一个动点，则线段可取的整数值有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小，从而确定OM的取值范围即可解决问题．
【详解】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，
∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，
∵AB=8，OA=5，∴AM′=×8=4，∴在Rt△OAM′中，OM′==3，
∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．所以，OM的取值范围是：3≤OM≤5，
故线段长的整数值为3，4，5，共3个．故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．
9．（2023·辽宁朝阳·一模）如图，的半径为5，是圆上任意两点，且，以为边作正方形（点在直线两侧）．若边绕点旋转一周，则边扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接PD，过点作于点，延长PF交于点，则CD边扫过的面积为以PD为外圆半径、PE为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出AF=BF，进而可得出DE=CE=3，再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出CD边扫过的面积．
【详解】连接，过点作于点，延长PF交于点，则边扫过的面积为以为外圆半径、为内圆半径的圆环面积，如图所示，
∵，∴，又∵为的弦，∴，
又四边形ABCD是正方形，∴，
∴CD边扫过的面积为π（PD2-PE2）=π DE2=9π，故选D.
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，结合AB边的旋转，找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键．
10．（2023·江苏无锡·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】轴于C，交于D，作于E，连接，由于，，易得D点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】作轴于C，交于D，作于E，连接，如图，
∵的圆心坐标是， ∴，，
把代入得，∴D点坐标为，∴，
∴为等腰直角三角形，∴也为等腰直角三角形，
∵，∴，
在中，，∴，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．求出P到x轴的距离、求得D点的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江九年级课时练习）垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 ．
【答案】 垂直于弦 两条弧
【分析】根据垂径定理的推论的内容直接得出答案．
【详解】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
故答案为：垂直于弦，垂直于弦．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，解答时熟悉垂径定理的推论的内容是关键．
12．（2023·陕西西安·校考一模）《九章算术》是西汉以前许多数学家研究的结晶，全书共分九章，共搜集了246个数学问题的解法．其中记载了当时世界上最先进的分数四则和比例运算法，还有各种面积、体积的算法和利用勾股定理进行测量的问题，以及开平方、开立方的方法，特别是在世界数学史上第一次记载了负数概念和正负数的加减法运算法则．因此，它是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢）．弧田由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．
【答案】10
【分析】根据垂径定理得到米，由勾股定理得到米，求得米，根据弧田面积（弦×矢+矢2）即可得到结论．
【详解】解：∵弦米，，∴米，
∴（米），∴米，
∴弧田面积（弦×矢+矢2）（平方米），故答案为：10．
【点睛】此题考查了新定义，垂径定理，以及勾股定理，关键是理解新定义的含义．
13．（2022 邗江区校级月考）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD＝4，BD＝，则AB的长为 ．
【思路点拨】连接OC，如图，设⊙O的半径为r，利用垂径定理得CH＝DH＝2，再利用勾股定理计算出BH＝1，接着在Rt△OCH中利用勾股定理得到22+（r﹣1）2＝r2，然后解方程求出r即可得到直径AB的长．
【答案】解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，∵AB⊥CD，∴CH＝DH＝2，
在Rt△BDH中，BH＝＝1，在Rt△OCH中，OH＝r﹣1，OC＝r，
∵22+（r﹣1）2＝r2，∴r＝，∴AB＝5．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
14．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，已知中，弦，是上一点，，，则 ；
【答案】
【分析】如图所述，过点作于点，可得，在中，根据勾股定理可求出的长，在中，可求出的长，根据，由此即可求解．
【详解】解：如图所述，过点作于点，
∵是弦，，∴，
∵是半径，，，
∴在中，，
在中，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理的性质，勾股定理求边长是解题的关键．
15．（2022春·重庆九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
【答案】
【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，∴，，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得：，
即PA＋PC的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．
16．（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ．
【答案】
【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．
【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝＝4，FC＝FD，
∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），
设P（2，m），则F（0，m），连接PC、PA，
在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，
∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝（舍正），
∴F（0，），∴CF＝DF＝＝，
∴OD＝OF+DF＝＝4，∴D（0，﹣4），故答案为：（0，﹣4）．
【点睛】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．
17．（2022春·江苏九年级课时练习）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【答案】 3 12
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=×10=5，∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题关键．
18．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为4，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．
【答案】
【分析】连接，作于点，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如下图，连接，作于点，
∵，∴，∴，
∴点的运动轨迹为以为直径的，，
连接，当点在的延长线上时，的值最大，
∵，∴，
又∵，∴在中，，
∵，∴，，
∴，∴在中，，
∴的最大值为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、含角的直角三角形、垂径定理的推论等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，于点D，圆心O在上，，，求的半径．
【答案】
【分析】连接，垂径定理，得到，勾股定理求出的长，设圆的半径是R，在中，根据勾股定理可以得到：，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵是的高．∴，
在中，．
设圆的半径是R．则．
在中，根据勾股定理可以得到：，
解得：．∴的半径为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
20．（2023春·天津·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接．
（1） ；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点P在圆上，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 作图见解析；连接交于点，连接交圆于点，连接即可．
【分析】（1）先作出圆心，再根据勾股定理求解；（2）根据网格线的特点和垂径定理求解．
【详解】解：（1）找出圆的圆心，连接，根据勾股定理得：；
（2）即为所求；
连接交于点，连接交圆于点，连接即可．
【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键．
21．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．
(1)求的长；(2)若大圆半径为，求小圆的半径．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）作，垂足为E，根据垂径定理得到，，即可得到的长；（2）连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到即可．
【详解】（1）解：作，垂足为E，
由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点，
∴，，∴；
（2）连接，∵在中，，
∴．
在中，∵，
∴．即小圆的半径为．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
22．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；（2）若，且，求弦的长；
【答案】（1）7；（2）8
【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长；（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．
【详解】解：（1）连接AO和DO，
∵，且EF过圆心，∴，
∵，∴，
∵，∴，同理，
，∴；
（2）如图，连接BO和DO，
∵，∴，∴，
设，则，在中，，
，解得，（舍去），∴，∴．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．
23．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．(2)若，，求．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出，进而得出，再根据“弧，弦，圆心角之间的关系”得出，然后结合平行线的性质得出，最后根据“等角对等边”得出答案；（2）作，可知，根据“弦，弧，圆心角之间的关系”得，进而得出，设，表示，，再表示，然后根据勾股定理得，再根据平行线的性质得，结合，根据得出比例式，并求出a值，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为的直径，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴，∴，∴；
（2）过点O作，垂足为点M．
则，∵，∴，∴．
∵，∴，∵，
可设，则，，
∵为的直径，，∴，
由勾股定理可得．
∵，， ∴，．
∴，即，解得，
∴．
【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，解直角三角形，两直线平行，同位角相等，构造辅助线是解题的关键．
24．（2023·广东深圳·二模）如图，是的直径，C是上的一点．
(1)实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)推理与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的半径．
【答案】(1)详见解析(2)5
【分析】（1）根据题意进行尺规作图，使得P为的中点；
（2）连接交AC于点D，由（1）可知P为的中点，则，由，得，，由勾股定理求得，设的半径为r，列出方程求解即可．
【详解】（1）如图所示，P为的中点．（以下是作图参考）
（2）连接交AC于点D，
由（1）可知P为的中点，则，
∵，∴，，
在中，设的半径为r，
在中， 解得：即⊙O的半径为5．
【点睛】本题考查复杂作图，垂径定理及勾股等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（2023·陕西西安·校考二模）【问题提出】（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；
【问题解决】（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．
【答案】（1）；（2）；（3）小明的说法正确，见解析，
【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与DE的长，两者相加即可解题．（2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的半径，即可解答．（3）作辅助线如图，证明，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在上，当通过勾股定理求出半径的长度，再算出的长，即可解答．
【详解】解：（1）
如图，连接BD交AC于点E ，
是等腰直角三角形，为等边三角形，，,
在与中， ，，
，，根据三线合一，可得垂直平分，
，，，
，，．
（2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大．
在上取一点异于点D的点，连接、．在中，，
，，即．最大
在等腰直角中，，O为AC的中点，且．
．．点B、D之间的最大距离为．
（3）小明的说法正确．如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F．
点E为BC中点，，所在的圆的圆心O在直线DF上．
设圆O半径为r，连接BO．在中，，
且，，得．
连接AO并延长交于点，则为最大距离．
在中，，且， 小明的说法正确．
在中，．
．．
点A到的最大距离为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
AE=BE
CD⊥AB
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专题3.3 垂径定理
模块1：学习目标
1、掌握垂径定理及其推论；
2、利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明。
模块2：知识梳理
1、垂径定理
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图，几何语言为：
CD是直径
2）推论
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
注意：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
2、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
注意：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
模块3：核心考点与典例
考点1. 由垂径定理及其推论判断正误
例1．（2023·浙江九年级课时练习）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
变式1．（2023·福建厦门·九年级校考期中）如图，为直径，交弦于点E，若E点为中点，则说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·广东·九年级专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
考点2. 根据垂径定理与勾股定理综合求值
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（2023春·湖北襄阳·九年级统考开学考试）如图，是的一条弦，是的中点，连接交于点，若，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
考点3. 垂径定理的实际应用
例3．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
变式1．（2023春·广东·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
考点4. 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
例4．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期中）如图，点、，半径为的经过、，则点坐标为( )
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与轴交于点，，与轴交于，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2022·九年级单元测试）如图，以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的⊙P与平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N坐标为 ．
考点5. 利用垂径定理 求平行弦问题
例5．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．
变式2．（2023·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
变式2．（2020·浙江·统考中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
考点6. 利用垂径定理 求同心圆问题
例6．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________．
(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证．
变式1．（2023·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点．(1)求证：；(2)若，，求圆环的面积．
考点7. 利用垂径定理求整点
例7．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，的半径为5，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那么长度为整数值的弦的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
变式1．（2023·安徽安庆·统考一模）已知的直径是12，点P是内一点，，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
变式2．（2023·浙江·九年级统考期中）的直径为10，弦，P是弦AB上一动点，满足线段OP的长为整数的点P有 处不同的位置．
考点8. 利用睡径定理求最值或取值范围
例9．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·浙江九年级月考）半径为的内有一点，且，则过点的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·山东九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
2．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，是的外接圆，过点作于点，于点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
3．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，是的直径，是弦，于点，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江衢州·统考二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，、，半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川自贡·九年级校考期中）如图，的半径为5，弦的长为8，是弦上的一个动点，则线段可取的整数值有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023·辽宁朝阳·一模）如图，的半径为5，是圆上任意两点，且，以为边作正方形（点在直线两侧）．若边绕点旋转一周，则边扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江苏无锡·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江九年级课时练习）垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 ．
12．（2023·陕西西安·校考一模）《九章算术》是西汉以前许多数学家研究的结晶，全书共分九章，共搜集了246个数学问题的解法．其中记载了当时世界上最先进的分数四则和比例运算法，还有各种面积、体积的算法和利用勾股定理进行测量的问题，以及开平方、开立方的方法，特别是在世界数学史上第一次记载了负数概念和正负数的加减法运算法则．因此，它是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢）．弧田由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．
13．（2022 邗江区校级月考）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD＝4，BD＝，则AB的长为 ．
14．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，已知中，弦，是上一点，，，则 ；
15．（2022春·重庆九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
16．（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ．
17．（2022春·江苏九年级课时练习）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
18．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为4，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，于点D，圆心O在上，，，求的半径．
20．（2023春·天津·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接．
（1） ；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点P在圆上，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
21．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．(1)求的长；(2)若大圆半径为，求小圆的半径．
22．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；（2）若，且，求弦的长；
23．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．(2)若，，求．
24．（2023·广东深圳·二模）如图，是的直径，C是上的一点．
(1)实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)推理与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的半径．
25．（2023·陕西西安·校考二模）【问题提出】（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；
【问题解决】（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．
AE=BE
CD⊥AB
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