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专题3.4 圆心角
模块1：学习目标
1、掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算；
2、理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系。
模块2：知识梳理
1、圆心角与弧的定义
1）圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
注意：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB。
2）1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
注意：
（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
2、圆心角定理及推论
1）圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
注意：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等；
（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提。
2）圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等。
注意：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
模块3：核心考点与典例
考点1. 圆心角、弧、弦的概念
例1．（2022·江苏·九年级专题练习）下列说法中，不正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等
B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°
C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大
D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧
【答案】D
【分析】圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中发生的，因此在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，由此可知答案．
【详解】A. 在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等，此项说法正确，不符合题意；
B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，此项说法正确，不符合题意；
C. 在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大，此项说法正确，不符合题意；
D.在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆的有关概念和性质是解题关键，要特别注意题干的要求．
变式1．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断.
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；D、不是圆心角，故不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．
变式2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④
【答案】C
【分析】根据所学定理和推论可知．
【详解】解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确．
②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误．
③在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误．
④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，弦也不等；故④正确．故选C．
【点睛】本题考查了与圆有关的定理和推论，对于圆中的一些易混易错定理和推论应重点记忆和掌握．
考点2. 利用圆心角、弧、弦的关系求角度
例2．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．
【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．
变式1．（2023春·内蒙古·九年级校考期中）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
∵是劣弧的中点，即，∴，
∵，∴，
∵，∴，即．故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
变式2．（2023·广东江门·九年级校考阶段练习）如图，点A，B，C，D，E均在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，可得，由圆心角定理可得．
【详解】解：连接，如图，
∵，∴，
∵，∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
考点3. 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度
例3．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）如图，为圆O的直径，B为劣弧中点，，则的长为（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】A
【分析】连接，设与交于点E，可得，根据垂径定理可得，再由，可得是等腰直角三角形，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，设与交于点E，
∵B为劣弧中点，∴，∴，
∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，∴．故选：A
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出是解此题的关键．
变式1．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．
【答案】
【分析】过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：过D作于E，则，
∵点C是直径的三等分点（AC＜CB），直径，
∴，∴，
∵点D是弧的三等分点（弧＜弧），∴，∴，
∴,,
∴,∴,故答案为：．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理，能求出和半径的长度是解此题的关键．
变式2．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，是的两条互相垂直的弦，且，过点O作于点M，于点N．若，则的半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】利用垂径定理，弦、弦心距的关系求得，，证明四边形是正方形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，，∴，，
∵，，，∴四边形是矩形，
∵，∴矩形是正方形，连接，则．故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
考点4. 利用圆心角、弧、弦的关系求周长
例4．（2023秋·山东九年级课时练习）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．
【答案】12
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长．
【详解】解：连接，
∵C是的中点，∴，∵， ∴，
∵，∴和都是等边三角形，
∴， ∴四边形的周长等于为． 故答案为：．
【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键．
变式1．（2023 龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．
【解答】解：如图，连接OD、OC．∵（已知），
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；
∵AB是直径，∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；
∵OA＝OD（⊙O的半径），∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA；同理，得OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，∴AD＝CD＝BC＝OA，
∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；故选：B．
变式2．（2023 西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 ．
【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB
∵AB＝3cm，∴△AOB的周长为3+3+3＝9（cm）．故答案为：9cm．
变式3．（2022 江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为 ．
【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．
【解答】解：连接AB，AO，DO，
∵⊙O的弦AC＝BD，∴，∴，∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝3，∴⊙O的周长是2×π×3=6π， 故答案为6π．
考点5. 利用圆心角、弧、弦的关系求面积
例5.（2022 海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴S四边形AOBC＝．故选：D．
变式1．（2022 嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ ．
【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．
【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，
∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，∴S甲＝S乙＝S圆＝，故答案为：．
变式2．（2022秋 朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD＝OC＝1，
∴CD＝，∴△OCD的面积＝×OD×CD=，
同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE=，∴四边形DOEC的面积=．
考点6. 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数
例6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵，∴
∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
变式1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴．∴的度数20°．故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
变式2．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，则，
由折叠的性质得：，，是等边三角形，，
，，则弧的度数为，故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
考点7. 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小
例7．（2022 东台市校级月考）如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（ ）
A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB
【答案】C
【分析】由已知条件，得出点B是的中点，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AB=BC，又在△ABC中，根据三角形三边关系定理得出AB+BC＞AC.
【解析】解：连接BC ∵，∴弧AB=弧BC，∴AB=BC，
∵在△ABC中，AB+BC>AC，∴AC<2AB.故选C.
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出AB=BC是解题的关键．
变式1．（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，，故答案是：．
【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
变式2．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系逐一分析即可．
【解析】①若，则，正确；②若，则，故不正确；
③由不能得到，故不正确；
④若，则，故不正确；故选A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者之间的关系是解本题的关键．
变式3．（2022秋 顺义区期末）如图，在⊙O中，如果，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC
【分析】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则，由已知条件，得出，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC．
【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则，
∵，∴，∴AD＝BD＝AC．
在△ABD中，AD+BD＞AB，∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．故选：D．
考点9. 圆心角、弧、弦的的倍数关系
例9．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．
求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据垂线平分线的定义与性质得出，然后根据等边三角形的判定与性质得出，从而可得，最后根据圆心角定理即可得证．
【详解】如图，连接OE、CE
∵∴
又∵D是OC中点∴DE是OC的垂直平分线∴
∴是等边三角形
∴
∴∴．
【点睛】本题考查了圆心角定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，根据圆心角定理，将所要证问题转化为证明相应的圆心角之间的等量关系是解题关键．
变式1．（2023·北京·九年级校考阶段练习）已知：∠BAC．
（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，OA为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作线段DE的垂线交⊙O于点P；
（4）连接AP，DP和PE．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①△ADE是⊙O的内接三角形；② ；③ DE=2PE； ④ AP平分∠BAC．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④
【分析】①按照圆的内接三角形的定义判断即可，三顶点都在一个圆周上的三角形，叫做这个圆周的内接三角形；② 利用垂径定理得到弧长之间的关系即可；③设OP与DE交于点M，利用垂径定理可得DE⊥OP，DE=2ME，再利用直角三角形中斜边长大于直角边，找到PE与与ME的关系，进一步可以得到DE与PE的关系；④根据 ，即可得到∠DAP=∠PAE，则AP平分∠BAC．
【详解】解：①点A、D、E三点均在⊙O上，所以△ADE是⊙O的内接三角形，此项正确；
② ∵DE⊥DE交⊙O于点P ∴
并不能证明与、关系，∴不正确；
③设OP与DE交于点M
∵DE⊥DE交⊙O于点P∴DE⊥OP， ME=DE（垂径定理）
∴△PME是直角三角形∴ME＜PE ∴＜PE∴DE＜2PE故此项错误.
④∵ （已证）∴∠DAP=∠PAE（同弧所对的圆周角相等）
∴AP平分∠BAC．故此项正确.故正确的序号为：①④
【点睛】本题考查了圆中内接三角形定义、垂径定理与圆周角定理的应用，熟练掌握定理是解决此题的关键.
变式2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，弦与弦相交于点，，，延长至点，连接，设，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】连接，根据可得到，再根据三角形的内角和定理求得，然后根据三角形的外角性质得到可得到结论．
【详解】解：连接，
∵，∴，∵，，
∴，∴，∵是的一个外角，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查弧、弦、圆周角的关系、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握弧与圆周角的关系以及三角形的外角性质是解答的关键．
变式3．（2022 铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到ODOE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到ODBC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，∴ODOE，
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，
∵OA＝OB，∴ODBC，∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，∴，故选：A．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·浙江九年级月考）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆心角的定义作答即可．
【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．
2．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，可得结论．
【详解】解：∵的度数为，∴，∴的度数为，故选D．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题关键是理解圆心角的度数与所对的弧的度数相等．
3．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）如图， 在中， ， 则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】圆心角的度数等于它所对的弧的度数，再得出答案即可．
【详解】解：∵圆心角，∴弧的度数为，故选：C．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，能熟记圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解此题关键．
4．（2023秋·湖北·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
【答案】B
【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．
【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；
C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；
D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．
5．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得．
【详解】由题意知∴
∵量角器为半圆∴∴∴故选D．
【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数．
6．（2022春·浙江九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．
∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°，∴∠COD=∠BOT，∴，∴CD=BT=4，
∵AT是直径，AT=6，∴∠ABT=90°，∴AB==，故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径将一个圆分成三个大小相同扇形，其中是的角平分线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知易得，从而可得，然后根据已知可求出，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：∵半径将一个圆分成三个大小相同扇形，
∴，∴，
∵是的角平分线，∴，
∵，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
8．（2023·广东·九年级专题练习）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．
【详解】解：A、∵点A是中点，∴，∴，无法得出，故选项A错误；
B、如图：连接，∵，∴，∵，∴，
∴，故此选项正确；
C、∵，∴，故选项C错误；
D、无法得出，故选项D错误．故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．
9．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．5
【答案】D
【分析】，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值
∵的度数为，点是弧的中点，∴的度数为，
又，∴是等边三角形，∵∴，故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．
10．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【分析】根据，，三角形三边关系得到，①错误；根据同圆中等弦对等弧得到，．推出，得到，②正确；连接，，，，，，，根据同圆中等弦所对圆心角相等得到，，得到，得到，③正确；根据同圆的半径相等，等边对等角得到，，，，，根据，，推出，，得到，④正确．
【详解】解：∵，，，∴．∴①错误；
∵，，∴，．
∴，∴，∴②正确；
连接，，，，，，，如图，
∵，，∴，，
∴；∴③正确；
∵，∴．
同理可得：，，．
∵，，∴，，
∴．∴④正确．∴正确的序号为：②③④．故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦之间是关系，三角形三边的关系，等腰三角形的性质．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 .
【答案】
【分析】的度数即为所对圆心角的度数；
【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数；∴ 故答案为：
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键．
12．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，，，则 ．
【答案】/60度
【分析】根据弧、弦、圆心角关系定理，得出，再根据“有一个内角为的等腰三角形是等边三角形”即可得出答案．
【详解】解：，，是等腰三角形，
又，为等边三角形，．故答案为：．
【点睛】此题考查了弧、弦、圆心角关系定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理与性质是解此题的关键．
13．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为 度．
【答案】60
【分析】先判定△POQ是等边三角形，然后根据圆心角的度数与它所对的弧的度数相等求解即可．
【详解】解：∵PQ=PO，PO=OQ，∴PQ=PO=OQ，∴△POQ是等边三角形，∴∠POQ=60°，
∴的度数为60度 故答案为：60．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数相等是解答本题的关键．
14．（2022·广东湛江·一模）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．
【答案】
【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解．
【详解】解：如图，连接，，
根据题意得，，，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键．
15．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在直径为10的中，两条弦，分别位于圆心的异侧，，且，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】过作于，交于，反向延长交于点，交于点，则，连接，则为的直径．根据平行线的性质得到推出．根据勾股定理即可计算答案．
【详解】解：过作于，交于，反向延长交于点，交于点，如图所示：
则，连接，则为的直径，
，，，，∴∴，
在中，，，
在中，，，故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．
【答案】
【分析】过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过D作于E，则，
∵点C是直径的三等分点，直径，
∴，，，∴，
∵点D是弧的三等分点，∴，
∴，∴，，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出和半径的长度是解此题的关键．
17．（2022·浙江·九年级专题练习）在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是 ．
【答案】1﹣≤CM＜
【分析】如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE为等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，则OM＝DE＝；由C点在弧DE上，则0≤∠COM＜45°，根据三角形的性质，∠COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OM≤CM＜ME；
【详解】解：如图，连接OD、OC，
∵AB为直径，∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵D、E分别是、的中点，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，
∵M是弦DE的中点，∴OM＝DE＝，∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，
△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，
∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；
∴CM≥1﹣，当C点在A点或B点时，CM＝，
∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜．
【点睛】本题考查圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．
18．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）如图，在中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是，弦CD所对的圆心角度数是．若，则
①；②若，则；③若B为弧AD的中点，则；
④．上述选项中正确的是 ．（填写所有正确选项的序号）
【答案】①②④．
【分析】根据圆等弧对等角、等腰三角形的性质、勾股定理逐项判断即可．
【详解】①∵，
∴∴故①正确；
∵∴∴是等边三角形，
∴根据特殊三角函数可得∴，故②正确；
③延长CO，交圆于点E
∵B为弧AD的中点，∴ ∵∴
假设，根据等腰三角形得性质可得
∴ 只有当才能成立，故③不一定正确；
④延长CO，交圆于点E，连接DE
∵，∴，∴，
∵CE是直径∴ 根据勾股定理可得
∴ 故④正确 故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键熟悉圆的性质并会应用．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东河源·九年级校考期中）如图，点在上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，进而可得，即可得证．
【详解】证明：， ，
，即，．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20．（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，求弧DE的度数．
【答案】
【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角计算出，再利用得到，然后根据三角形外角性质计算出，从而得到弧的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴弧的度数为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系：圆心角的度数等于它所弧的度数，掌握以上知识是解题的关键．
21．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知 的半径 ，， 在 上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的判定定理可得，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．
【详解】证明：∵，，，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明是解题关键．
22．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．证明：是的中点．
【答案】证明见解析
【分析】先利用垂径定理证得，进而证得是等边三角形，则，根据含30度角的直角三角形的性质得到即可证得结论．
【详解】证明：连接，如图，
∵直径垂直于弦于点，∴，∴，
∵过圆心的，∴∴，∴．
则是等边三角形，又，∴，
∴在中，，∴，∴点为的中点．
【点睛】本题考查垂径定理、等弧所对的弦相等、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理和等边三角形的判定与性质是解答的关键．
23．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D，(1)求的度数；(2)当点D恰好为的中点时，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据，，得 ，所以，由为圆O的直径，得，所以；
（2）设，得，，，在中，根据勾股定理得，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵ ，，
∴， ∴ ， ∴，
∵为圆O的直径， ∴， ∴； 故答案为：60°；
（2）解：设， ∵点D恰好为的中点， ∴，
在中，， ∴，，
在中，根据勾股定理得，，
∵圆O半径为，则，∴，
解得（舍去 ）， ∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题．
24．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E，连接交于点G，连接．
(1)求证：；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）利用AAS证明；
（2）连接，根据得到，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）∵为直径，∴平分
∵C为的中点∴∴
∵∴
（2）连接
∵∴∴
∵∴∴
∵∴，
【点睛】本题考查圆的相关知识、垂径定理以及全等三角形的判定和勾股定理，解一元二次方程等知识,解决问题的关键在圆内通过等弧进行角或边的转换．
25．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．(1)求证：．(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据即可证明；（2）作于点H，求出，再根据得,从而可得结论．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，
∵D为的中点，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴
（2）作于点H，
∵，∴.
∵，∴，，
在中，
∵，∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
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专题3.4 圆心角
模块1：学习目标
1、掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算；
2、理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系。
模块2：知识梳理
1、圆心角与弧的定义
1）圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
注意：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB。
2）1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
注意：
（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
2、圆心角定理及推论
1）圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
注意：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等；
（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提。
2）圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等。
注意：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
模块3：核心考点与典例
考点1. 圆心角、弧、弦的概念
例1．（2022·江苏·九年级专题练习）下列说法中，不正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等
B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°
C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大
D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧
变式1．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④
考点2. 利用圆心角、弧、弦的关系求角度
例2．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
变式1．（2023春·内蒙古·九年级校考期中）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·广东江门·九年级校考阶段练习）如图，点A，B，C，D，E均在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点3. 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度
例3．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）如图，为圆O的直径，B为劣弧中点，，则的长为（ ）
A． B． C．8 D．16
变式1．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．
变式2．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，是的两条互相垂直的弦，且，过点O作于点M，于点N．若，则的半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
考点4. 利用圆心角、弧、弦的关系求周长
例4．（2023秋·山东九年级课时练习）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．
变式1．（2023 龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
变式2．（2023 西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 ．
变式3．（2022 江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为 ．
考点5. 利用圆心角、弧、弦的关系求面积
例5.（2022 海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
变式1．（2022 嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ ．
变式2．（2022秋 朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
考点6. 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数
例6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
变式2．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ．
考点7. 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小
例7．（2022 东台市校级月考）如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（ ）
A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB
变式1．（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ．
变式2．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（2022秋 顺义区期末）如图，在⊙O中，如果，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC
考点9. 圆心角、弧、弦的的倍数关系
例9．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．
求证：．
变式1．（2023·北京·九年级校考阶段练习）已知：∠BAC．
（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，OA为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作线段DE的垂线交⊙O于点P；
（4）连接AP，DP和PE．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①△ADE是⊙O的内接三角形；② ；③ DE=2PE； ④ AP平分∠BAC．
所有正确结论的序号是 ．
变式2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，弦与弦相交于点，，，延长至点，连接，设，则的取值范围是 ．
变式3．（2022 铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·浙江九年级月考）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）如图， 在中， ， 则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·湖北·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
5．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·浙江九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径将一个圆分成三个大小相同扇形，其中是的角平分线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广东·九年级专题练习）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．5
10．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 .
12．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，，，则 ．
13．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为 度．
14．（2022·广东湛江·一模）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．
15．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在直径为10的中，两条弦，分别位于圆心的异侧，，且，若，则的长为 ．
16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．
17．（2022·浙江·九年级专题练习）在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是 ．
18．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）如图，在中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是，弦CD所对的圆心角度数是．若，则
①；②若，则；③若B为弧AD的中点，则；
④．上述选项中正确的是 ．（填写所有正确选项的序号）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东河源·九年级校考期中）如图，点在上，．求证：．
20．（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，求弧DE的度数．
21．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知 的半径 ，， 在 上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：．
22．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．证明：是的中点．
23．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D，(1)求的度数；(2)当点D恰好为的中点时，求的值．
24．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E，连接交于点G，连接．
(1)求证：；(2)若，求的长．
25．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．(1)求证：．(2)若，求的长．
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