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专题3.5 圆周角
模块1：学习目标
1、理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征；
2、掌握圆周角定理和它的推理；
3、会运用圆周角定理和它的推理解决简单的几何问题。
模块2：知识梳理
1.圆周角定义：像图中∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
注意：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交；
（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中；
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。（如上图）
3）圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4）圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
模块3：核心考点与典例
考点1. 圆周角定理及其运用
例1．（2023·福建南平·校考模拟预测）如图，为的直径，点C，D在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求的度数，再根据直径所对的圆周角是，利用三角形内角和求解即可．
【详解】解：由题意得，
∵为的直径，∴，
∴．故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是”是解题的关键．
变式1．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，弦，若，则的度数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【分析】根据圆周角定理，得，由平行线性质，得．
【详解】解：如图，,
∵，∴．故选：B
【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质；由相关定理导出角之间的数量关系是解题的关键．
变式2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，是的两条直径，点是弧的中点，连接，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据圆周角定理可得，结合点是弧的中点，可得，再结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：连接，如图所示，
∵，∴，
∵点是弧的中点，∴，
∵，∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
变式3．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，是的内接三角形，，，则的半径长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据圆周角定理可得，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，∴，
∵∴，
即的半径长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
考点2. 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用
例2．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图，等边内接于，D是上的一点，，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】根据等边三角形的性质可得，结合已知条件，可得，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，
∵，∴.
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
变式1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，弦相交于点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理可求出的度数，根据与所对弧相同，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵与所对弧相同，∴，故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，同弧或等弧所对圆周角相等的知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．
【答案】4
【分析】连接并延长交于D，连接，得到，根据圆周角定理得到，根据含角直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于D，连接，
则，∵，∴，
∵，∴，故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，含角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
考点3. 直径所对的圆周角是90°的运用
例3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，是的直径，，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据是的直径，可得，结合，可设，则，在中，由勾股定理即可求出．
【详解】解：∵是的直径，∴，
∵，∴，设，则，
在中，由勾股定理得，
即，解得：，∴，故选：A．
【点睛】本题考查圆的求解问题，涉及到勾股定理、直径所对圆周角是直角等，灵活运用所学知识是关键．
变式1．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，内接于，是的直径，若，则等于（ ）
AI
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同弧所对圆周角相等得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形两锐角互余，得到．
【详解】∵，∴，
∵是的直径，∴，∴．故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键．
变式2．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，C、D是以线段为直径的上两点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质先求出，根据，再根据直径的性质得，由此即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，，
是直径，，，故选：B．
【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
考点4. 翻折中的圆周角的运用
例4．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．
【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴．同理：．
又∵F是劣弧BD的中点，∴．∴．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．
∴所在的范围是；故选：B．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
变式1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，
是直径，，，
，，
根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为，，
，，
．故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．
变式2．（203·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，将弧AB沿弦AB翻折过圆心O点，交弦AC于D，AD＝1，CD＝2，则AB长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出△CDB为等边三角形，求出BE和DE的长，求出AE，再根据勾股定理求出AB即可．
【详解】过点O作OF⊥AB于F，过点B作BE⊥AC于E，连接OA、OB、BD、BC，
∵OF＝OA，∴∠AOF＝∠BOF＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠CDB＝∠ACB＝60°，∴△CDB为等边三角形，
∵CD＝2，∴DE＝1，BE＝，
∴AB＝.故选D．
【点睛】考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
考点5. 圆周角与量角器的综合运用
例5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理、平角的定义求解．
【详解】由题意知，所对的圆心角为，所以所对的圆心角为，
∵是直角三角板的斜边，∴A,B,C,D四点共圆，∴．故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理；熟练运用圆周角定理是解题的关键．
变式1．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）将一个含角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，连接交于点，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接，由已知得出为的直径，，在上，进而得出，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，
∵，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，
∴为的直径，，在上，
∵∴
∵∴，故选：D．
【点睛】本题考查了直角所对的弦是直径，圆周角定理，三角形外角的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
变式2．（2023春·江西赣州·九年级统考期中）如图，的顶点C在量角器外圈的164°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和40°，则的度数是（ ）
A．16° B．20° C．25° D．40°
【答案】C
【分析】连接、，根据角之间的数量关系，得出，再根据同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，
点，所在位置对应的刻度分别为外圈和，
，．故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、量角器，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．
考点6. 圆周角中的证明
例6．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：
(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）首先证明，进而可得，即可得到解答；
（2）由（1）可知，，整理等式即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接，
∵是的中点，∴
在和中，∴，∴
∵，∴∴ ；
（2）证明：在中，，在中，，
由（1）可知， ，
∴
；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
变式1．（2023春·上海·九年级专题练习）已知为的直径，A、B为上两点，点C为劣弧中点，连接，且．
(1)求证：；(2)F、G分别为线段上两点，满足，连接，取中点H，连接，请猜测与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，可直接得出；
（2）过点O作交延长线于点P．由垂径定理可得，，结合题意即得出，即证明为等边三角形，从而可求．又可求出，．根据平行线分线段成比例可得出，从而可推出．即易证，推出．最后根据三角形中位线定理即可得出答案．
【详解】（1）∵，∴；
（2），理由如下：
如图，过点O作交延长线于点P．
∵点C为劣弧中点，为的直径，∴，．
∵，∴．
∵，∴为等边三角形，∴．
∵，∴．
∵H为中点，∴．
∵，∴，∴，∴．
在与中，∴，∴．
∵C为中点，H为中点，∴CH为中位线，∴，∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形全等的判定和性质以及三角形中位线定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
变式2．（2023春·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，的半径为1，点A，B，C是上的三个点，点P在劣弧上，，平分．求证：
(1)是等边三角形；(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，以及角平分线平分角，推出，即可得证；（2）在上截取，易得为等边三角形，证明，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，平分，∴，
∵，∴，
∴，∴是等边三角形；
（2）证明：在上截取，
∵，∴为等边三角形，
∴，，由（1）知为等边三角形，
∴，，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知同弧所对的圆周角相等，以及等边三角形的判定和性质．
考点7. 圆周角中的多结论问题
例7．（2022·广东·一模）如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，有下列结论：①；②；③平分；④；⑤； ⑥．其中一定成立的是（ ）.
A．②④⑤⑥ B．①③④⑤ C．②③④⑥ D．①③⑤⑥
【答案】B
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可判断①；根据三角形内角和定理可判断②；根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠OBC=∠DBC，进而可判断③；根据平行线的性质和垂径定理的推论可判断④；根据结论④和三角形的中位线性质可判断⑤；由于无法得到两个三角形的对应边相等，故可判断⑥．
【详解】解：①是的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，故①一定成立；
②△AFO和△CFE中，∵∠AFO=∠CFE=90°，但∠A与∠C不一定相等，
∴∠AOC与∠AEC不一定相等，故②不一定成立；
③∵OC∥BD，∴∠DBC=∠OCB，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③一定成立；
④∵OC∥BD，AD⊥BD，∴OC⊥AD，又OC是半径，F为垂足，∴AF=DF，故④一定成立；
⑤∵AF=DF，OA=OB，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，故⑤一定成立；
⑥∵△CEF和△BED中，无法判断相等的边，∴△CEF与△BED不一定全等，故⑥不一定成立，
综上，结论一定成立的是①③④⑤，故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、平行线的性质、三角形的中位线性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解答的关键．
变式1．（2022秋·福建厦门·九年级统考期末）在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > AB；④AB < DE < AB．
【答案】②④
【分析】将所给四个条件逐一判断即可得出结论．
【详解】解：在中，
①当∠BAC > 60°时，若时，点E与点A重合，不符合题意，故①不满足；
②当∠ABC时，点E与点A重合，不符合题意，当∠ABC时，点E与点O不关于AD对称，当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，
所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故②满足条件；
③当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故③不满足条件；
④当AB < DE < AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故④满足条件；
所以，要使得与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或AB < DE < AB 故答案为②④
【点睛】本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．
变式2．（2023·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在⊙O中，是⊙O的直径，，点是点关于的对称点，是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10．上述结论中正确的个数是 ．
【答案】3
【分析】①根据点是点关于的对称点可知，进而可得；
②根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得结论；
③根据等弧对等角，可知只有当和重合时，，；
④作点关于的对称点，连接，DF，此时的值最短，等于的长，然后证明DF是的直径即可得到结论．
【详解】解：，点是点关于的对称点，，
，①正确；，∴②正确；的度数是60°，的度数是120°，∴只有当和重合时，，
∴只有和重合时，，③错误；
作关于的对称点，连接，交于点，连接交于点，此时的值最短，等于的长．连接，并且弧的度数都是60°，
是的直径，即，
∴当点与点重合时，的值最小，最小值是10，∴④正确．故答案为：3．
【点睛】本题考查了圆的综合知识，涉及圆周角、圆心角、弧、弦的关系、最短距离的确定等，掌握圆的基本性质并灵活运用是解题关键．
考点8. 利用圆周角求最值或范围
例8．（2022秋·河南开封·九年级金明中小学校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4 B．4＋a C．2＋a D．3＋a
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质得到：点N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即△PMN周长的最小，利用圆的对称性进行计算即可．
【详解】解：如图，作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即PM+PN＝MN′，连接,
∵点N是的中点，∠BAM＝20°，∴
∴＝＝，∴∠BON′＝=20°，∴∠MON′＝60°，
∵∴△MON′是正三角形，∴OM＝ON′＝MN′＝AB＝4，
∵MN＝a，△PMN周长=
∴△PMN周长的最小值为4+a，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
变式1．（2023·山西太原·校考三模）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】取BC的中点G，连接BH，HG，DG．首先利用矩形的性质和勾股定理求出DG的长度，然后利用圆周角定理和直角三角形的性质求出HG的长度，最后利用DH≥DG﹣HG求最小值即可.
【详解】解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，BC＝AB2＝，∠DCG＝90°，
∵CG＝BG＝，∴DG＝
∵BE是直径，∴∠BHE＝∠BHC＝90°，∵BG＝GC，∴HG＝BC＝，
∵DH≥DG﹣HG，∴DH≥∴DH的最小值为．故答案为
【点睛】本题主要考查勾股定理，圆周角定理的推论和直角三角形的性质，能够找到DH≥DG﹣HG是解题的关键.
变式2．（2023·广东江门·统考一模）如图，是的直径，，点C在上，，D为的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】作出D关于AB的对称点D′，则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解．
【详解】解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．
又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，即，
∴∠BAD′=∠CAB=15°．∴∠CAD′=45°．
∴∠COD′=90°．则△COD′是等腰直角三角形．
∵OC=OD′=AB=5，∴CD′=．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．
变式3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图，中，，，，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，由题意当AD⊥BC时，的半径最小，因为∠EAF=60°，是定值，所以此时EF的值最小．
【详解】解：如图，
∵∠ABC=45°，∠ACB=75°，∴∠BAC=180°-75°-45°=60°，
由题意当AD⊥BC时，的半径最小，
∵∠EAF=60°，是定值，∴此时EF的值最小，
过OD的中点K作MN⊥AD交于M、N，连接ON、AN、AM，则ΔAMN是等边三角形，在中，∠ABC=45°，AB=4，∴AD=BD=，∴OK=KD=，ON=，
在中，NK=KM=，∴MN=，
∴∠EAF=∠MAN=60°，∴，∴EF=MN=，
∴EF的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，解题的关键是理解AD⊥BC时，EF的值最小，属于中考常考题型．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【详解】解：根据圆周角定义：可得是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D．故选B．
【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
2．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）已知命题“同圆中，相等角所对的弦相等”，在如图所示的图形中找出一个反例，可以判断该命题错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角的定义、圆周角定理判断即可．
【详解】解：A、当时，，不能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项不符合题意；
B、当时，，不能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项不符合题意；
C、当时，，不能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项不符合题意；
D、当时，，能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，圆周角定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接和，证明为等边三角形，得到的度数，再利用圆周角定理得出．
【详解】解：连接和，
∵半径为，，∴，∴为等边三角形，
∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
4．（2022·河北保定·校考一模）如图，E，F，G 为圆上的三点，，P 点可能是圆心的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断．
【详解】解：，若P点圆心，．故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等边对等角求得的度数，然后利用三角形内角和定理求得的度数，再根据圆周角定理求得的度数，继而求得的度数．
【详解】解：，，，
是的直径，，，
，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理及等腰三角形的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
6．（2022秋·吉林白城·九年级校考阶段练习）如图，在中，弦、相交于点，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同弧所对圆周角相等可得，，根据三角形的外角和的性质可得，，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，在中，与所对弧相同，∴，
∵是的外角，即，∴，故选：．
【点睛】本题主要考查圆周角的定理，三角形外角和的性质，掌握圆的基础知识，三角形外角和的性质等知识是解题的关键．
7．（2023·吉林长春·校联考三模）如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（ ）度
A．64 B．26 C．52 D．32
【答案】C
【分析】连接，根据，可得点C在点O为圆心的圆上，从而得到，再求出的度数，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，∴点C在点O为圆心的圆上，∴，
∵，∴，∴，
即点P在量角器上显示的读数为．故选：C
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据题意得到点C在点O为圆心的圆上是解题的关键．
8．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为( )
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】连接，作于，连接并延长交于，连接，可由推出，进而求得，，，，，再在中列方程求得．
【详解】解：如图，
连接，作于，连接并延长交于，连接，
，，，，
在中，，，，
在中，，，，
根据对称性可得，，，
在中，，，，设，
在中，由勾股定理得，，故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，得出
9．（2022秋·山东临沂·九年级校考期中）如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质及圆的对称性找到C关于的对称点，连接交于一点即为最小距离和的点，连接，，，根据圆周角定理及，即可得到，根据勾股定理即可得到最小值．
【详解】作C关于的对称点，连接交于一点，即为最小距离点，连接，，，
∵为弧的中点，∴弧弧，∵是C关于的对称点，∴弧弧，
∵，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，在中，根据勾股定理可得，
，∴的最小值为，故选B，．
【点睛】本题考查轴对称最短距离问题，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是找到最小距离点及证得．
10．（2023秋·湖北·九年级专题练习）如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．
【详解】解：∵AB=CD，∴，∴，∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着，∴∠BOD=2∠BAD，故②正确；
∵，∴AC=BD，故③正确；
∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着，∴∠CAB=∠BDC，故④正确； 即正确的个数是4个，故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，是的直径，点，在上．若，则 ．
【答案】40
【分析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余算出，从而得到的度数．
【详解】解：为的直径，，
，，．故答案为：40．
【点睛】本题考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．熟记定理内容是解题关键．
12．（2023秋·广东九年级课时练习）如图，是的直径，弦于点，则的半径是 ．
【答案】2
【分析】连接，由圆周角定理和垂径定理得出，，由直角三角形的性质得出，，，得出，，求出即可．
【详解】解：连接，如图所示：
是的直径，弦于，，，
，，在中，，
，，，，，即的半径是2，故答案为：2
【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
13．（2023·吉林长春·一模）将一个含30°角的三角尺按如图方式放置在量角器上，使点A恰好落在量角器的弧上，三角尺与量角器交于B，C两点，其中点，C的读数为22°，则点B的读数为 ．
【答案】/82度
【分析】连接，圆周角定理得到，再利用点B的读数为C的读数加上的度数，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，
连接，则：，∴点B的读数为，故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
14．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，内接于，为弧的中点，若，则 °．
【答案】
【分析】可得，由为弧的中点，可求，即可求解．
【详解】解：，，
为弧的中点，，，
；故答案：．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，弧与圆周角的关系，掌握性质是解题的关键．
15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，的三点都在上，是直径，，则为 ．
【答案】/40度
【分析】根据直径所对的圆周角等于，再根据同弧所对的圆周角相等及直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵是直径，∴，∴是直角三角形，
∵，∴，∴，故答案为．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
16．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，将沿弦折叠交直径于圆心O，则 度．
【答案】120
【分析】过O点作交于D，交于E，连接，．根据折叠可得，，根据三角形中位线定理可得，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解．
【详解】解：过O点作交于D，交于E，连接，．
由折叠可得：，，则为的中位线，
∵是直径，∴，，则，
又∵，∴是等边三角形，
∴，∴．故答案为：120．
【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，构造辅助线是是解决问题的关键．
17．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，是含有角的直角三角板，，，，以边为斜边在三角板外侧作，使，则长的最大值是 ，
【答案】/
【分析】如图，证明在以的中点为圆心，为直径的圆周上，可得当过圆心O时，最大，如图中的，再结合勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，∵，
∴在以的中点为圆心，为直径的圆周上，
∴当过圆心O时，最大，如图中的，∵，，，
∴，，∴，
∴，而，∴；
∴长的最大值是．故答案为：
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，确定当过圆心O时，最大是解本题的关键．
18．（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，四边形内接于，，，．则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，过点作于点，根据圆周角定理得出是直径，是等腰直角三角形，勾股定理求得的长，进而得出的长，设，则，在中，勾股定理求得的长，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
∵，∴是直径，∴ ∵，∴
∵，∴是等腰直角三角形，∴，，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
设，则，在中，，，
∴，解得：或（舍去） ∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上．(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．
【答案】(1)(2)的长为
【分析】（1）根据垂径定理的推论可得，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出，根据垂径定理的推论可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵是的一条弦，，∴，
又∵，∴．
（2）解：∵，∴，
在中，，
∵是的一条弦，，∴，
则．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
20．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，中两条互相垂直的弦交于点P，经过点O，E是的中点，连接，延长交于点F．
(1)若，，求的长；(2)求证：．
【答案】(1)的长为(2)见解析
【分析】（1）根据垂径定理可得垂直平分，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答；（2）根据垂直定义可得，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用对顶角相等，以及同弧所对的圆周角相等可得，最后利用等量代换可得，从而利用三角形内角和定理进行计算可得，即可解答．
【详解】（1）解：∵E是的中点，
∴垂直平分，∴，
∵，∴，在中，，
∴，∴，∴的长为；
（2）证明：∵，∴，∴，
∵E是的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
21．（2022 诸暨市月考）在⊙O中，弦与直径相交于点P．
(1)若，，则= ；= ；(2)若的度数为m度、的度数为n度，猜想：∠APD的度数与m、n之间的数量关系，并证明你的结论
【答案】(1)，(2)，证明见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠BCD=38°，再根据圆周角定理可得，然后由直径所对的圆周角为直角可得∠ABD=52°，即可求解；
（2）根据的度数为m度、的度数为n度，可得，再根据三角形外角的性质，即可求解．
【解析】(1)解：∵，，∴∠BCD=∠APC-∠ABC=38°，
∵∠BAD=∠BCD，∴，
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°-∠BAD=52°，
∵∠BPD=∠APC=100°，∴∠CDB=180°-∠ABD-∠BPD=28°；
(2)解：，理由如下：
证明：∵的度数为m度、的度数为n度，∴，
∵ ，∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质是解题的关键．
22．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)若，，求的长．
【答案】(1)为等腰直角三角形，详见解析(2)
【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答；（2）如图：连接，，，交于点．先说明垂直平分．进而求得BD、OD、OB的长，设，则．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，证明如下：
证明：∵平分，平分，∴，．
∵，，∴．∴．
∵为直径，∴．∴是等腰直角三角形．
（2）解：如图：连接，，，交于点．
∵，∴．∵，∴垂直平分．
∵是等腰直角三角形，，∴．
∵，∴．设，则．
在和中，．解得，．∴．∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
23．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）是的外接圆，P是上一点．
(1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线；
(2)结合图②，说明你这样画的理由．
【答案】(1)画图见解析(2)理由见解析
【分析】（1）如图①，连接，即为所求角平分线；如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线；（2）由得到，再利用等弧所对的圆周角相等可得结论．
【详解】（1）解：如图①，连接，即为所求角平分线；
∵，∴，∴平分；
如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线，
∵，点O为外接圆圆心，
∴，∴，∴，∴平分；
（2）∵，点O为外接圆圆心，
∴，∴，∴，∴平分；
【点睛】此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系，等弧所对的圆周角相等等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出是解题关键．
24．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图，由小正方形构成的66网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线，结果用实线）．
(1)在图1中画出圆心点O；(2)在图2中的圆上画一点E，使平分弧；
(3)在图3中的圆上画一点M，使平分．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）根据格点特点，连接，则，交于一点，该点即为O点；
（2）连接，则，交于一点，该点即为点P；
（3）连接并延长，交于一点，该点即为点M．
【详解】（1）解：如图，连接，交于一点O，则点O即为所求作的圆心；
（2）解：连接，交于一点P，则点P即为所求作的点；
（3）解：连接并延长，交于一点M，则点M即为所求，连接，
根据格点特点可知，，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴平分．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂径定理．
25．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径
(2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数．
(3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案）
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）过点O作于E，可得到AE的长，根据勾股定理计算即可；（2）连接BC，根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，在根据角度求解即可；（3）过C作于G，连接OC、BC，可求得半径的长度，根据计算得，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则，
∵翻折后点D与圆心O重合，∴，
在中，，即，解得；
（2）如图2，连接BC，
∵AB是直径，∴，∵，∴，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
∴，∴，∴；
（3）如图3，过C作于G，连接OC、BC，
∵，，∴，⊙O的半径为，
由（2）知：，∵，∴，
∴，∴，∴，，
中，，
中，，
则AC的长为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，涉及的知识有折叠的性质、垂径定理、勾股定理等，掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键．
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专题3.5 圆周角
模块1：学习目标
1、理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征；
2、掌握圆周角定理和它的推理；
3、会运用圆周角定理和它的推理解决简单的几何问题。
模块2：知识梳理
1.圆周角定义：像图中∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
注意：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交；
（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中；
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。（如上图）
3）圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4）圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
模块3：核心考点与典例
考点1. 圆周角定理及其运用
例1．（2023·福建南平·校考模拟预测）如图，为的直径，点C，D在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，弦，若，则的度数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
变式2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，是的两条直径，点是弧的中点，连接，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，是的内接三角形，，，则的半径长为 ．
考点2. 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用
例2．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图，等边内接于，D是上的一点，，则的度数是 ．
变式1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，弦相交于点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．
考点3. 直径所对的圆周角是90°的运用
例3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，是的直径，，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
变式1．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，内接于，是的直径，若，则等于（ ）
AI
A． B． C． D．
变式2．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，C、D是以线段为直径的上两点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
考点4. 翻折中的圆周角的运用
例4．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
变式2．（203·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，将弧AB沿弦AB翻折过圆心O点，交弦AC于D，AD＝1，CD＝2，则AB长为（ ）
A． B． C． D．
考点5. 圆周角与量角器的综合运用
例5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）将一个含角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，连接交于点，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·江西赣州·九年级统考期中）如图，的顶点C在量角器外圈的164°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和40°，则的度数是（ ）
A．16° B．20° C．25° D．40°
考点6. 圆周角中的证明
例6．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
变式1．（2023·上海·九年级专题练习）已知为的直径，A、B为上两点，点C为劣弧中点，连接，且．(1)求证：；(2)F、G分别为线段上两点，满足，连接，取中点H，连接，请猜测与之间的数量关系，并证明．
变式2．（2023春·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，的半径为1，点A，B，C是上的三个点，点P在劣弧上，，平分．求证：
(1)是等边三角形；(2)．
考点7. 圆周角中的多结论问题
例7．（2022·广东·一模）如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，有下列结论：①；②；③平分；④；⑤； ⑥．其中一定成立的是（ ）.
A．②④⑤⑥ B．①③④⑤ C．②③④⑥ D．①③⑤⑥
变式1．（2022秋·福建厦门·九年级统考期末）在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > AB；④AB < DE < AB．
变式2．（2023·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在⊙O中，是⊙O的直径，，点是点关于的对称点，是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10．上述结论中正确的个数是 ．
考点8. 利用圆周角求最值或范围
例8．（2022秋·河南开封·九年级金明中小学校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4 B．4＋a C．2＋a D．3＋a
变式1．（2023·山西太原·校考三模）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为 ．
变式2．（2023·广东江门·统考一模）如图，是的直径，，点C在上，，D为的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ．
变式3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图，中，，，，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）已知命题“同圆中，相等角所对的弦相等”，在如图所示的图形中找出一个反例，可以判断该命题错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北保定·校考一模）如图，E，F，G 为圆上的三点，，P 点可能是圆心的为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·吉林白城·九年级校考阶段练习）如图，在中，弦、相交于点，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林长春·校联考三模）如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（ ）度
A．64 B．26 C．52 D．32
8．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为( )
A． B． C．5 D．
9．（2022秋·山东临沂·九年级校考期中）如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2023秋·湖北·九年级专题练习）如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，是的直径，点，在上．若，则 ．
12．（2023秋·广东九年级课时练习）如图，是的直径，弦于点，则的半径是 ．
13．（2023·吉林长春·一模）将一个含30°角的三角尺按如图方式放置在量角器上，使点A恰好落在量角器的弧上，三角尺与量角器交于B，C两点，其中点，C的读数为22°，则点B的读数为 ．
14．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，内接于，为弧的中点，若，则 °．
15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，的三点都在上，是直径，，则为 ．
16．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，将沿弦折叠交直径于圆心O，则 度．
17．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，是含有角的直角三角板，，，，以边为斜边在三角板外侧作，使，则长的最大值是 ，
18．（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，四边形内接于，，，．则的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上．(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．
20．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，中两条互相垂直的弦交于点P，经过点O，E是的中点，连接，延长交于点F．
(1)若，，求的长；(2)求证：．
21．（2022 诸暨市月考）在⊙O中，弦与直径相交于点P．
(1)若，，则= ；= ；(2)若的度数为m度、的度数为n度，猜想：∠APD的度数与m、n之间的数量关系，并证明你的结论
22．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)若，，求的长．
23．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）是的外接圆，P是上一点．
(1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线；
(2)结合图②，说明你这样画的理由．
24．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图，由小正方形构成的66网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线，结果用实线）．
(1)在图1中画出圆心点O；(2)在图2中的圆上画一点E，使平分弧；
(3)在图3中的圆上画一点M，使平分．
25．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径
(2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数．
(3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案）
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