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浙教版2023-2024学年八上数学第1章三角形的初步知识 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么与互为邻补角
B．相等的角是对顶角
C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】C
2．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=4cm，AB=5cm，则△EBC的周长为（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【答案】B
【解析】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线
∴AE=EC
∵BC=4cm，AB=5cm
△EBC的周长 =BE+EC+BC=BE+AE+BC
=AB+BC
=5+4
=9cm
故选B.
3．如图，点是内一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，且∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-80°-15°-40°=45°，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°-45°=135°.
故答案为：D.
4．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【答案】A
【解析】图1作的是∠BAC的角平分线，图2作的是BC边的垂直平分线，图3作的是∠BAC的角平分线，
∴不能判断射线AD平分∠BAC的是图2.
故答案为：A.
5．如图， 是 的角平分线， ，垂足为F，交 于E，连结 ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
∵BD平分∠ABC，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
6．用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
7．五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
【答案】A
【解析】根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，
∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2；
若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3 a2≥1，
∴a3≥3；
若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5 a4≥a3，即a4≤a5 a3＝6；
若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4 a2＝4；
此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除；
∴a3＝3．
故答案为：A.
8．平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【解析】如图，设这个凸五边形为 ，连接 ，并设 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
所以 ， ，
在 中， ，
所以 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故答案为：C．
9．如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F.若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，
∴
∴.
即.
∵
即
即，
故答案为：C.
10．长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】当两全等三角形三边各自都相等时，x最小为；
∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等，
∴x+y+z=
∵y+z＞x
∴可得，
所以，
故选Ａ．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个三角形的两边长分别是3和7，则它的第三边的长为x，则x的范围为 ．
【答案】4＜x＜10
【解析】由题意得7-3＜x＜7+3，解得4＜x＜10.
故答案为：4＜x＜10.
12．已知、是的高，直线、相交所成的锐角为40°，则的度数是 .
【答案】140°或40°
【解析】①当∠BAC为钝角时，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴，
∵，
∴；
②当∠BAC为锐角时，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴，
∵，
∴；
故答案为：140°或40°.
13．请举反例说明命题“若，则”是假命题，你举的反例是 ．
【答案】当a=-6时，满足|a|＞5，而不满足a＞5
【解析】当时，满足，而不满足，
所以可作为命题“若，则”的反例．
故答案为：当a=-6时，满足|a|＞5，而不满足a＞5.
14．如图，已知，，E，F分别是线段和射线上的动点，且，点G在射线上，连接，若与全等，则线段的长为 ．
【答案】2或6
【解析】①如图：
当△GAE≌△EBF时：AG=BE，AE=BF
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当△GAE≌△FBE时，AE=BE，AG=BF
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：2或6．
15．如图，△ABC中，点D在线段BC边上，且不与端点重合，点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1＋S2＝3，则△ABC的面积为 ．
【答案】9
【解析】∵点E，F是线段AD的三等分点，
∴S△ABD=3S△BDF=3S1，S△ADC=3S△AEC=3S2；
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=3（S1+S2）=3×3=9.
故答案为：9
16．如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为9，则的长为 .
【答案】3
【解析】过作于，
是边上的高，平分，交于点，
，
，
，
，
故答案为：3.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
【答案】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
三角形的周长，
18．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF.
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数.
【答案】（1）证明：∵在△AED和△CEF中
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°.
19．如图，在中，是边上的高.
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小.
【答案】（1）解： ， ，
，
是 边上的中线，
；
（2）解： ， ，
，
是 的平分线，
，
是 的一个外角，
，
在直角三角形 中 .
20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数.
【答案】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝25°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝17.5°；
（2）解：如图，
∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∴∠FAG＝180°﹣∠CAD＝137.5°，
∵EF⊥BC，
∴∠CGE＝25°，
∴∠AGF＝25°，
∴∠DFE＝180°﹣∠AGF﹣∠FAG＝17.5°.
21．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
【答案】（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
22．有三个面积都等于1的三角形，它们的底及对应的高分别记为： ， ， 及 ， ， ．
（1） ， ， ．
如果 ，则用 ， ， 填空： ＜ ＜ ；
（2）如果 ， ， （ ），试比较 ， 的大小；
（3）如果 ， ， （ ）．求 的值（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）2；2；2；；；
（2）解：∵ ，
， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
（3）解：∵ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【解析】（1）由题意可知，
，
，
若 ，则 ，
即 ，
故答案为： ， ， ， ．
23．
（1）如图，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹.
（2）如图a，在△ABC中, ∠ACB= 90°，∠A= 60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.请探究线段BC、BF、CE之间的关系，直接写出结论，不要求证明.
（3）如图b，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的关系，请证明你的结论.
【答案】（1）解：以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P.
（2）解：线段BC、BF、CE之间的关系为：BC=BF+CE .
在BC上截取BD=BF.
在△BFO和△BDO中
∴△BFO≌△BDO
∴∠BOF=∠BOD
∵∠A= 60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.
∴∠BOC=180°－ ∠ABC－ ∠ACB=180° －60° =120°
∴∠BOD=∠BOF=∠COE=180°－120°=60° .
∠COD=∠BOC－∠BOD=120°－60° =60°
在△COE和△COD中
∴△COE≌△COD
∴CE=CD
∴BC=BF+CE .
（3）解：线段BC、BF、CE之间的关系为：BC=BF+CE .
在BC上截取BF'=BF.
在△BFO和△BF'O中
∴△BFO≌△BF'O
∴∠BOF=∠BOF'
∵∠A=60° ，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.
∴∠BOC=180°－ ∠ABC－ ∠ACB=180°－60° =120°
∴∠BOF'=∠BOF=∠COE=180°-120°=60° .
∠COF'=∠BOC－∠BOF'=120° -60°=60°
在△COE和△COF'中
∴△COE≌△COF'
∴CE=CF'
∴BC=BF+CE .
24．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC＝90°∠A．若将直线MN绕点P旋转，
（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；
（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．
【答案】（1）解：如图①
∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180，且∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵∠1 ∠ABC，∠2 ∠ACB，
∴∠1+∠2 （∠ABC+∠ACB） 100°＝50°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣50°＝130°．
（2）解：（ⅰ）如图③，
由（1）知：∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）；
∵∠1+∠2 （180°﹣∠A）＝90° ∠A，
∴∠BPC＝180°﹣（90° ∠A）＝90° ∠A；
∴∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90° ∠A）＝90° ∠A．
（ⅱ）不成立，∠MPB﹣∠NPC＝90° ∠A．
如图④，
由（ⅰ）知：∠BPC＝90° ∠A，
∴∠MPB﹣∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90° ∠A）＝90° ∠A．
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浙教版2023-2024学年八上数学第1章三角形的初步知识 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么与互为邻补角
B．相等的角是对顶角
C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
2．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=4cm，AB=5cm，则△EBC的周长为（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
（第2题） （第3题） （第5题） （第9题）
3．如图，点是内一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
5．如图， 是 的角平分线， ，垂足为F，交 于E，连结 ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
8．平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）
A．1 B．2 C．7 D．8
9．如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F.若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（ ）
A． B． C． D．
10．长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个三角形的两边长分别是3和7，则它的第三边的长为x，则x的范围为 ．
12．已知、是的高，直线、相交所成的锐角为40°，则的度数是 .
13．请举反例说明命题“若，则”是假命题，你举的反例是 ．
14．如图，已知，，E，F分别是线段和射线上的动点，且，点G在射线上，连接，若与全等，则线段的长为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，△ABC中，点D在线段BC边上，且不与端点重合，点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1＋S2＝3，则△ABC的面积为 ．
16．如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为9，则的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
18．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF.
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数.
19．如图，在中，是边上的高.
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小.
20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数.
21．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
22．有三个面积都等于1的三角形，它们的底及对应的高分别记为： ， ， 及 ， ， ．
（1） ， ， ．
如果 ，则用 ， ， 填空： ＜ ＜ ；
（2）如果 ， ， （ ），试比较 ， 的大小；
（3）如果 ， ， （ ）．求 的值（用含n的代数式表示）．
23．
（1）如图，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹.
（2）如图a，在△ABC中, ∠ACB= 90°，∠A= 60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.请探究线段BC、BF、CE之间的关系，直接写出结论，不要求证明.
（3）如图b，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的关系，请证明你的结论.
24．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC＝90°∠A．若将直线MN绕点P旋转，
（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；
（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．
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