中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年八上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．如图，，，与相交于点，过点并分别交，于点，，则图中的全等三角形共有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图， 中，点O是△ABC角平分线的交点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， ， . ， ，垂足分别是点 ， ，则 的长是（ ）
A．7 B．3 C．5 D．2
6．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（ ）
A．49° B．50° C．51° D．52°
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7．如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
8．如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于点 ， 是 边的中点，连接 与 相交于点 ，下列结论正确的有（ ）个 ① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形；⑤ .
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
（第10题） （第11题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图所示，已知P是 上的一点， ，请再添加一个条件： ，使得 ．
12．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： .
13．如图，若，且，，则 °.
14．如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，AD，BE分别是边BC，AC上的高，且AD=6.5，则BE的长为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，中，E为边上一点，，点D为的中点，连接，取的中点F，连接，若四边形的面积是6，则的面积是 ．
16．如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：ADEC ；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝80°，试求∠FAB的度数．
18．如图，已知∠a，∠β，线段a.用尺规求作（保留作图痕迹）：
⑴△ABC，使∠A＝∠a，∠B＝∠B，AB＝a.
⑵作△ABC中线段AB的垂直平分线.
19．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．如图，在中，点，分别在，上，点，在上，连接，，.，.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
21．如图，在中，，E，F为BC边上的两点，且F在E的右侧.已知.
（1）求证：；
（2）若点D在AF的延长线上，，，，求证：.
22．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数.
23．在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
（1）若在外（如图1），求证：；
（2）若与线段相交（如图2），且，，则 ．
24．在中，，D，E分别为，上的点，且，交于点F．
（1）如图1，若，分别为的角平分线，
①求的度数
②，，求的长；
（2）如图2，若且，求证．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年八上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】在A中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题；
在B中，，，不满足，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题；
在C中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题；
在D中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值能说明该命题为假命题；
故答案为：D.
2．如图，，，与相交于点，过点并分别交，于点，，则图中的全等三角形共有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
【答案】C
【解析】ADBC， ，
（第1对）
（第2对）
∵
∵
（第3对）
故答案为：C
3．如图， 中，点O是△ABC角平分线的交点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵∴∠ABC＋∠ACB=180°－∠A=140°
∵点O是△ABC角平分线的交点，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB
∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=180°－（ ∠ABC＋ ∠ACB）
=180°－ （∠ABC＋∠ACB）=180°－ ×140°
=110°
故答案为：A.
4．如图，在 中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：
∵
解得
故答案为：A．
5．如图， ， . ， ，垂足分别是点 ， ，则 的长是（ ）
A．7 B．3 C．5 D．2
【答案】B
【解析】 ， ，
，
．
，
．
在 和 中，
，
，
， ．
．
故答案为：B．
6．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（ ）
A．49° B．50° C．51° D．52°
【答案】A
【解析】由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，
∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝131°，
∴∠2＝180°﹣131°＝49°，
故答案为：A．
7．如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】A
【解析】如图所示，分别作，，的垂直平分线，则三条垂直平分线的交点P即为可供选择的地址，有1处．
故答案为：A．
8．如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
9．如图， 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于点 ， 是 边的中点，连接 与 相交于点 ，下列结论正确的有（ ）个 ① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形；⑤ .
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠A＋∠ABE＝90°，∠ABE＋∠DFB＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90° 45°＝45°＝∠DBC，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDA中
，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC，故①符合题意．
∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠A＝∠BCA＝67.5°，故③符合题意，
∴BA＝BC，
∵BE⊥AC，
∴AE＝EC＝ AC＝ BF，故②符合题意，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵∠BDF＝∠BHG＝90°，
∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，
∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，
∴DG＝DF，故④符合题意．
作GM⊥AB于M．
∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，
∴GH＝GM＜DG，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE＝S△BCE，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故⑤不符合题意，
∴①②③④符合题意，
故答案为：B．
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②符合题意；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①符合题意；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
所以两个三角形的面积相等，
∵AC＝BD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④符合题意；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③不符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图所示，已知P是 上的一点， ，请再添加一个条件： ，使得 ．
【答案】 或 或
【解析】若添加∠BAP=∠CAP，且∠ABP=∠ACP，AP=AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；
若添加∠APB=∠APC，且∠ABP=∠ACP，AP=AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；
若添加∠DPB=∠DPC，可得∠APB=∠APC，且∠ABP=∠ACP，AP=AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；
故答案为：∠BAP=∠CAP或∠APB=∠APC或∠DPB=∠DPC．
12．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： .
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【解析】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.
13．如图，若，且，，则 °.
【答案】50
【解析】∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：50.
14．如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，AD，BE分别是边BC，AC上的高，且AD=6.5，则BE的长为 ．
【答案】
【解析】∵AD，BE分别是边BC，AC上的高，AC=8，BC=6，AD=6.5，
∴S△ABC= BC AD= AC BE，
∴BE=(6×6.5)÷8=
故答案为：．
15．如图，中，E为边上一点，，点D为的中点，连接，取的中点F，连接，若四边形的面积是6，则的面积是 ．
【答案】12
【解析】设△ABC的面积是a
∵CE=2BE即
∴
又D是AC中点
∴
同理，
∴
∴a=12
故答案为12.
16．如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
【答案】①②
【解析】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC） a＝ab，③不符合题意．
故答案为：①②．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：ADEC ；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝80°，试求∠FAB的度数．
【答案】（1）解：证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
18．如图，已知∠a，∠β，线段a.用尺规求作（保留作图痕迹）：
⑴△ABC，使∠A＝∠a，∠B＝∠B，AB＝a.
⑵作△ABC中线段AB的垂直平分线.
【答案】解：⑴如图所示，△ABC即为所求.
⑵如图所示，直线m即为所求.
19．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
．
20．如图，在中，点，分别在，上，点，在上，连接，，.，.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ .
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵
∴ .
∵ ，
∴
21．如图，在中，，E，F为BC边上的两点，且F在E的右侧.已知.
（1）求证：；
（2）若点D在AF的延长线上，，，，求证：.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，又
∴，
∴.
22．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数.
【答案】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝25°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝17.5°；
（2）解：如图，
∵∠B＝30°，∠C＝65°，∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝42.5°，∴∠FAG＝180°﹣∠CAD＝137.5°，
∵EF⊥BC，
∴∠CGE＝25°，
∴∠AGF＝25°，
∴∠DFE＝180°﹣∠AGF﹣∠FAG＝17.5°.
23．在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
（1）若在外（如图1），求证：；
（2）若与线段相交（如图2），且，，则 ．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）1.5
【解析】（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1.5．
24．在中，，D，E分别为，上的点，且，交于点F．
（1）如图1，若，分别为的角平分线，
①求的度数
②，，求的长；
（2）如图2，若且，求证．
【答案】（1）解：①∵，分别为的角平分线，
∴，．
∵，
∴，
∴．
②在上截取，连接，如图1．
∵，分别为的角平分线，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，∴，∴．
在和中，
，
∴，∴，
∴．
（2）证明：在上截取，连接，如图2．
∵，
∴．
在和中，
，∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
