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浙教版2023-2024学年八上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下面各图中所给数据的三角形，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
2．如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带到玻璃店（ ）
A．① B．② C．③ D．①、②、③其中任一块
（第2题） （第4题） （第5题） （第7题） （第8题）
3．下列命题①同位角相等；②相等的角是对顶角；③同角或等角的补角相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角.其中是真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=47°，则∠E的度数为（ ）
A．100° B．53° C．47° D．33°
5．如图，点是内一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的度数是（ ）
A．360° B．180° C．120° D．90°
8．如图，在中，、的平分线，相交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，AD平分∠BAC，于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②；③DE平分∠ADB；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：（1）EF＝BE＋CF；（2）∠BOC＝90°＋∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD＝m，AE＋AF＝n，则；其中正确结论的个数 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第10题） （第11题） （第13题） （第14题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE＝ °.
12．把命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为 .
13．如图，在中，为中点，为边上的动点，连接，交的延长线于点，若，则的值是 .
14．如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明 的依据是 ．
15．如图，的三条中线AD，BE，CF交于点O，若的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 .
（第15题） （第16题）
16．如图，△ABC中，AC－AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，若△BCD的面积最大值为20，此时BC= .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AC∥EF，∠1+∠3＝180°．
（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝72°，求∠BCD的度数．
18．如图，已知和线段c．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）求作，使，；
（2）作线段的垂直平分线．
19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B=35°，∠E=25°，求∠CAE的度数；
（2）求证：∠BAC=∠B+2∠E．
20．如图，在中，延长至点D，使，过点D作，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF.
（1）求证：
（2）若∠CAE=20°，求∠ACF的度数.
22．如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点F，延长交于点E，交的平分线于点N，点M为与的交点，，.
（1）求的度数；
（2）证明：.
23．如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若，．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若点M为线段BC上任意一点，当△BMF为直角三角形时，请直接写出∠CFM的度数．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
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浙教版2023-2024学年八上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下面各图中所给数据的三角形，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
【答案】B
【解析】乙三角形和△ABC有对应的两边及其夹角相等，根据SAS可以证明它们两个三角形全等；
丙三角形和△ABC有对应的两个角及其夹边相等，根据ASA可以证明它们两个三角形全等；
∴有乙和丙三角形和△ABC全等.
故答案为：B.
2．如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带到玻璃店（ ）
A．① B．② C．③ D．①、②、③其中任一块
【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定：两角及其夹边的两个三角形全等，即可确定这块三角形与购买的三角形全等.
故答案为：C.
3．下列命题①同位角相等；②相等的角是对顶角；③同角或等角的补角相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角.其中是真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】同位角相等的前提是两直线平行，故①不符合题意，为假命题；
相等的角不一定就是对顶角，故②不符合题意，为假命题；
同角或等角的补角相等，故③符合题意，为真命题；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故④不符合题意，为假命题.
故答案为：B
4．如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=47°，则∠E的度数为（ ）
A．100° B．53° C．47° D．33°
【答案】D
【解析】∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=100°，
∴∠E=180°-∠D-∠F=180°-100°-47°=33°.
故答案为：D
5．如图，点是内一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，且∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-80°-15°-40°=45°，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°-45°=135°.
故答案为：D.
6．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵PA＋PB＝BC，而PC＋PB＝BC，
∴PA＝PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
故点P为AC的垂直平分线与BC的交点，
根据作图痕迹，A选项中满足AB=BP，B选项作的是AC的垂直平分线，C选项作的是AB的垂直平分线，D选项满足AC=PC，
∴A、C、D都不符合题意，只有B选项符合题意.
故答案为：B.
7．如图，的度数是（ ）
A．360° B．180° C．120° D．90°
【答案】B
【解析】连接，
∵
∴
故答案为：B．
8．如图，在中，、的平分线，相交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵、的平分线、相交于点F，
∴，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
9．如图，在中，，AD平分∠BAC，于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②；③DE平分∠ADB；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵DE⊥BA，∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=DC，
在Rt△ADC与Rt△ADE中，∵AD=AD，DE=DC，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AE=AC，∠ADE=ADC，即AD平分∠CDE，故①正确；
∵AD平分∠CDE，
如果DE平分∠ADB ，则∠ADC=∠ADE=∠BDE，
∵∠ADC+∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADC=∠ADE=∠BDE=60°，
而题中条件不能证出∠BDE=60°，∴DE平分∠ADB是错误的，故③错误；
∵AB=BE+AE，AE=AC，
∴AB=BE+AC，故④正确；
∵DE⊥BA，
∴∠DEB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∴∠BDE=∠BAC，故②正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：（1）EF＝BE＋CF；（2）∠BOC＝90°＋∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD＝m，AE＋AF＝n，则；其中正确结论的个数 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵在中，和的平分线相交于点O，
∴，，，
∴，
∴；故②符合题意；
∵在中，和的平分线相交于点O，
∴，．
∵EF∥BC，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，故①符合题意；
如图：过点O作于M，作于N，连接OA，
∵在中，和的平分线相交于点O，
∴，
∴；故④符合题意；
∵在中，和的平分线相交于点O，
∴点O到各边的距离相等，故③符合题意．
故答案为：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE＝ °.
【答案】28
【解析】证明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE＝28°.
故答案是：28.
12．把命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为 .
【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
【解析】把命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：
如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行.
故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行.
13．如图，在中，为中点，为边上的动点，连接，交的延长线于点，若，则的值是 .
【答案】5
【解析】∵，
∴，
∵E为AB中点，
∴BE=AE，
∵，
∴△BEF≌△AED，
∴BF=AD，
∵AC=AD+CD=5，
∴BF+CD=AD+CD=5.
故答案为：5.
14．如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明 的依据是 ．
【答案】SSS
【解析】作一个角等于已知角的过程中， ， ， ，
则 ，判定依据为 ，故有 ，
故答案为： ．
15．如图，的三条中线AD，BE，CF交于点O，若的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 .
【答案】10
【解析】，，是的中线，
，，，
阴影部分面积之和.
故答案为：10.
16．如图，△ABC中，AC－AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，若△BCD的面积最大值为20，此时BC= .
【答案】20
【解析】如图：延长AB，CD交点于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC=AE，DE=CD；
∵AC-AB=4，
∴AE-AB=4，即BE=4；
∵DE=DC，
∴S△BDC= S△BEC，
∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，
即S△BDC最大面积= × ×BC×BE=20，
∴BC=20.
故答案为：20.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AC∥EF，∠1+∠3＝180°．
（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝72°，求∠BCD的度数．
【答案】（1）证明：∠FAB=∠4，理由如下：
∵AC∥EF，∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1+∠3=180°，∴∠2=∠3，∴EF∥CD，
∴∠FAB=∠4；
（2）解：∵∠FAB=∠4，∠4=72°，
∴∠FAB=72°，
∵AC平分∠FAB，
∴∠2=∠CAD=36°，
∴∠2=∠3=36°，
∵EF⊥BE，EF∥AC，
∴∠FEC=90°，∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB-∠3=90°-36°=54°.
18．如图，已知和线段c．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）求作，使，；
（2）作线段的垂直平分线．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B=35°，∠E=25°，求∠CAE的度数；
（2）求证：∠BAC=∠B+2∠E．
【答案】（1）解：∵∠DCE是△BCE的外角，∠B=35°， ∠E=25°，
∴∠DCE=∠B+∠E=35°+ 25°= 60°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE = 60° ，
∴∠CAE= 180°-∠ACE-∠E= 180°-60°-25°=95°．
（2）证明：由(1)知，∠DCE=∠B+∠E，∠ACE=∠DCE ．
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠DCE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E，
即∠BAC=∠B +2∠E．
20．如图，在中，延长至点D，使，过点D作，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF.
（1）求证：
（2）若∠CAE=20°，求∠ACF的度数.
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°
在△ABE和△CBF中
∴△ABE≌△CBF(SAS)
（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－20°＝25°，
由(1)知：△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝25°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+25°＝70°．
22．如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点F，延长交于点E，交的平分线于点N，点M为与的交点，，.
（1）求的度数；
（2）证明：.
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若，．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若点M为线段BC上任意一点，当△BMF为直角三角形时，请直接写出∠CFM的度数．
【答案】（1）解：∵BF为△ABC的角平分线．
∴，
∵AD为△ABC的高
∴
∴
在△ABF中
∵AE为△ABC的角平分线
∴
∴
（2）解：①如图，当∠BFM=90°时
∵∠AFB=70°，
∴∠C=∠AFB-∠CBF=40°
∵∠BFM=90°，
∴∠FMC=∠CBF+∠BFM=120°
∴∠CFM=180°-∠C-∠FMC =20°；
②如图，当∠BMF=90°时
∵
∴∠BFM=90°-∠CBF=60°，∠AFB=70°
∵∠BFM+∠AFB+∠CFM=180°
∴∠CFM=180°-∠AFB-∠BFM=50°．
综上，∠CFM的度数为20°或50°．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
【答案】（1）72
（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC.
（3）证明：如图2中，延长BD到T.使得CD＝CT，
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，
∵BD＝CD，
∴BD＝CT，
在△ABD和△ECT中，
，
∴△ABD≌△ECT（AAS），
∴AB＝EC.
【解析】（1）如图1中，设∠C＝x.
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝2x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
故答案为：72；
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