第1章二次函数专题 1.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】（解析版）

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二次函数与一元二次方程【六大题型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc11956" 【题型1 抛物线与x轴的交点情况】 1
HYPERLINK \l "_Toc27150" 【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】 2
HYPERLINK \l "_Toc6382" 【题型3 由二次函数解一元二次方程】 3
HYPERLINK \l "_Toc10610" 【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 3
HYPERLINK \l "_Toc8367" 【题型5 由二次函数的图象解不等式】 4
HYPERLINK \l "_Toc13" 【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】 5
【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）
【题型1 抛物线与x轴的交点情况】
【例1】（2022春 西湖区校级期末）抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n与x轴只有一个交点（x1，0）．下列式子中正确的是（　　）
A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n
【变式1-1】（2022春 澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-2】（2022 广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（　　）
A．﹣9 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣27
【变式1-3】（2022春 汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（　　）
A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）
【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例2】（2022 武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（　　）
A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n
【变式2-1】（2022 定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 C．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5
【变式2-2】（2022 张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（　　）
A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q
【变式2-3】（2022 河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　）
A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β
【题型3 由二次函数解一元二次方程】
【例3】（2022 娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
【变式3-1】（2022 潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 　 　．
【变式3-2】（2022 咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 　 　．
【变式3-3】（2022 永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（　　）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2022 平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（　　）
x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 …
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
【变式4-1】（2022 灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　 　．
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
【变式4-2】（2022 渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是　 　．（精确到0.1）
【变式4-3】（2022秋 萍乡期末）代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表：
x ﹣1 0 1 2 3
ax2+bx+c ﹣2 1 2 1 ﹣2
请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的（　　）
A．x1＜0，x2＜2 B．﹣1＜x1，2＜x2
C．x1＜0，2＜x2 D．﹣1＜x1，x2＜2
【题型5 由二次函数的图象解不等式】
【例5】（2022秋 垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1
【变式5-1】（2022 定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
请求出当y＜0时x的取值范围 　 　．
【变式5-2】（2022 工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 　 　．
【变式5-3】（2022 驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（　　）
A．x≤1或x≥4 B．1≤x≤4 C．x≤1或x≥5 D．1≤x≤5
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】
【例6】（2022 虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
【变式6-1】（2022 余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
【变式6-2】（2022 河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．
（1）这个函数的表达式为 　 　；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：　 　；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝　　；
②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：　 　．
【变式6-3】（2022 海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线yx+t与函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为　 　．
二次函数与一元二次方程【六大题型】
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HYPERLINK \l "_Toc11956" 【题型1 抛物线与x轴的交点情况】 1
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HYPERLINK \l "_Toc6382" 【题型3 由二次函数解一元二次方程】 6
HYPERLINK \l "_Toc10610" 【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 9
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【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）
【题型1 抛物线与x轴的交点情况】
【例1】（2022春 西湖区校级期末）抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n与x轴只有一个交点（x1，0）．下列式子中正确的是（　　）
A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与m的关系．
【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，
∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，
∴x2﹣2x1x（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，
∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，
故选：B．
【变式1-1】（2022春 澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点，
∵c＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3），
∴抛物线与坐标轴有3个交点，
故选：D．
【变式1-2】（2022 广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（　　）
A．﹣9 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣27
【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，直接将A（m﹣2，n）代入，通过解方程来求n的值．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c过点A（m﹣2，n）、B（m+4，n），
∴对称轴是直线x＝m+1，
又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为（m+1，0），
∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，
把A（m﹣2，n）代入，得：
n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，
即n＝﹣27．
故选：D．
【变式1-3】（2022春 汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（　　）
A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）
【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．
【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，3，
∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴顶点P的坐标为（3，﹣9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），
故选：A．
【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例2】（2022 武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（　　）
A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n
【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t的大小关系．
【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，
由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上，
则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），
∴m＜s＜t＜n．
故选：C．
【变式2-1】（2022 定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 C．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5
【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，据此可判断选项．
【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），
则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（5，0），
函数图象如图所示，
由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，
∴x1＜﹣1＜5＜x2，
故选：A．
【变式2-2】（2022 张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（　　）
A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q
【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论．
【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图：
作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B，
分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，
∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根；
作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D，
分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，
∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根．
由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q．
故选：B．
【变式2-3】（2022 河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　）
A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β
【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．
【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），
方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．
由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．
由图象可知，M＜α＜β＜N，
故选：B．
【题型3 由二次函数解一元二次方程】
【例3】（2022 娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
如图，
∵0＜n＜m，
∴﹣m＞﹣m，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，
∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，
故选：A．
【变式3-1】（2022 潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 　x1＝﹣1，x2＝3　．
【分析】利用二次函数y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，
∴抛物线的对称轴为直线x1．
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【变式3-2】（2022 咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 　x1＝﹣4，x2＝1　．
【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣4，0）求解．
【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x，
∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x，
∴抛物线经过（1，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．
【变式3-3】（2022 永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（　　）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴，
解得：，
将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，
可得：﹣x2+4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，Δ＞0，符合题意，
∴d＝7．
故选：B．
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（3）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（4）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2022 平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（　　）
x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 …
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．
【解答】解：如图：
x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．
故选：B．
【变式4-1】（2022 灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　6.18＜x＜6.19　．
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【变式4-2】（2022 渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是　x1＝0.8，x2＝3.2合理即可　．（精确到0.1）
【分析】直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小．
【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是：x1＝0.8，x2＝3.2合理即可．
故答案为：x1＝0.8，x2＝3.2合理即可．
【变式4-3】（2022秋 萍乡期末）代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表：
x ﹣1 0 1 2 3
ax2+bx+c ﹣2 1 2 1 ﹣2
请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的（　　）
A．x1＜0，x2＜2 B．﹣1＜x1，2＜x2
C．x1＜0，2＜x2 D．﹣1＜x1，x2＜2
【分析】观察表格可知，在x＜1时，随x值的增大，代数式ax2+bx+c的值逐渐增大，x的值在～0之间，代数式ax2+bx+c的值由负到正，故可判断ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在～0之间，在x＞1时，随x的值增大，代数式ax2+bx+c逐渐减小，x的值在2～之间，代数式ax2+bx+c的值由正到负，故可判断ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在2～之间，
【解答】解：根据表格可知，代数式ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在～0和2～之间，
即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是x1＜0，2＜x2
故选：C．
【题型5 由二次函数的图象解不等式】
【例5】（2022秋 垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．
【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，
∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．
故选：C．
【变式5-1】（2022 定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
请求出当y＜0时x的取值范围 　x＜﹣2或x＞3　．
【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（﹣1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y＜0时x的取值范围．
【解答】解：由表得，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c＝6，
∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，
所以令﹣x2+x+6＜0，
解得：x＜﹣2或x＞3．
故答案为：x＜﹣2或x＞3．
【变式5-2】（2022 工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 　x＜﹣1或x＞1　．
【分析】根据图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，则a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时x+2＜1或x+2＞3，进而求解．
【解答】解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，
∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，
解得x＜﹣1或x＞1，
故答案为：x＜﹣1或x＞1．
【变式5-3】（2022 驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（　　）
A．x≤1或x≥4 B．1≤x≤4 C．x≤1或x≥5 D．1≤x≤5
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B横坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点B和点C关于直线x＝2对称，
∴点B横坐标为4，
∵点A横坐标为1，
∴1≤x≤4时，kx+b≥x2﹣4x+m，
故选：B．
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】
【例6】（2022 虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；
（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
∴，，
解得，，
∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．
②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．
（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），
∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），
当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，
当抛物线顶点在线段AB下方时，
当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a，
当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a，
∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为a或a＝3．
【变式6-1】（2022 余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．
（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解答】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
解得n＝﹣2，
∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），
将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4，
由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，
∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．
【变式6-2】（2022 河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．
（1）这个函数的表达式为 　y＝|x2﹣4x|﹣3　；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：　函数关于直线x＝2对称　；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝　1　；
②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：　x＝0或3≤x≤5　．
【分析】（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式为y＝|x2﹣4x|﹣3；
（2）描点法画出函数图象，函数关于x＝2对称；
（3）①从图象可知：当x＝2时，y＝1，k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点；
②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为3≤x≤5．
【解答】解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），
得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，
∴y＝|x2﹣4x|﹣3，
故答案为：y＝|x2﹣4x|﹣3；
（2）如图：
函数关于直线x＝2对称，
故答案为：函数关于直线x＝2对称；
（3）①当x＝2时，y＝1，
∴k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点，
故答案为1；
②y＝x﹣3与y＝|x2﹣4x|﹣3的交点为x＝0或x＝3，
结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为x＝0或3≤x≤5，
故答案为：x＝0或3≤x≤5．
【变式6-3】（2022 海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线yx+t与函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为　1或　．
【分析】只需画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，然后结合图象并运用分类讨论的思想，就可解决问题．
【解答】解：在直角坐标系中画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，如图所示．
当直线yx+t经过（﹣2，0）或与抛物线y＝﹣x2+4相切时，
直线yx+t与函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点．
①若直线yx+t经过（﹣2，0），
则有0（﹣2）+t，
解得t＝1；
②若直线yx+t与抛物线y＝﹣x2+4相切，
则关于x的方程x+t＝﹣x2+4即x2x+t﹣4＝0有两个相等的实数根，
则△＝（）2﹣4×1×（t﹣4）＝0，
解得t．
综上所述：t＝1或．
故答案为1或．
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