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2023年浙教版八年级（上）等腰三角形复习讲义
一、等腰求角度
例1、等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ ）
A．20° B．50° C．20°或50° D．50°或80°
【分析】由已知底角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个顶角的值．
【解答】解：∵等腰三角形的底角为80°，
∴它的顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
变式1-1、如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．36° D．70°
【分析】根据等腰三角形两底角相等以及三角形的外角性质定理，即可进行解答．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝x，
∴∠BDC＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，解得：x＝36°，
∴∠A＝36°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
变式1-2、如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
【分析】由等腰三角形的性质得到∠BCE＝∠B＝70°，∠ACB＝55°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵EB＝EC，
∴∠BCE＝∠B＝70°，
∵AB＝BC，∠B＝70°，
∴∠ACB＝∠BAC＝×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠ACD＝∠ECB﹣∠ACB＝70°﹣55°＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两底角相等．
变式1-3、如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC＝BC，若∠A＝70°，则∠C＝（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【分析】由BE垂直平分AD，可得AB＝DB，进而得出∠ABE＝∠DBE，由∠A＝70°，即可得到∠ABD＝40°，依据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【解答】解：∵BE垂直平分AD，
∴AB＝DB，
∴∠ABE＝∠DBE，
又∵∠A＝70°，
∴∠ABE＝20°，
∴∠ABD＝40°，
又∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝40°，
又∵DC＝BC，
∴∠C＝180°﹣2×40°＝100°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
变式1-4、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（ ）
A．62° B．58° C．52° D．46°
【分析】先由等腰△ABC中∠ABC＝116°求得∠A＝∠C＝32°，进而结合垂直平分线的性质求得∠A＝∠ABE＝32°，∠C＝∠CBQ＝32°，最后得到∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°．
【解答】解：∵等腰△ABC中，∠ABC＝116°，
∴∠A＝∠C＝32°，
∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，
∴EA＝EB，QB＝QC，
∴∠ABE＝∠A＝32°，∠CBQ＝∠C＝32°，
∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质．
变式1-5、如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．18° C．12° D．10°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝64°，
∴∠C＝∠ABC＝64°，
∴∠A＝180°﹣64°×2＝52°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝52°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝12°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
变式1-6、如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，
∴∠CDE＝90°，
∵DE＝BC，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠AEF＝∠DEC＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF
＝180°﹣30°﹣45°
＝105°，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
例2、等腰三角形的一个角为50°，则顶角是（ ）度．
A．65°或50° B．80° C．50° D．50°或80°
【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°时；当等腰三角形的一个底角为50°时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°时，则它的底角＝＝65°；
当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角＝180°﹣2×50°＝80°；
综上所述：它的顶角是50°或80°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
变式2-1、若等腰三角形一个外角等于100°，则它的顶角度数为（ ）
A．20° B．80° C．20°或80° D．50°或80°
【分析】此题要分情况考虑：当该外角与顶角相邻，则其顶角是80°；若该外角与底角相邻，则其底角是80°，根据三角形的内角和定理，得其顶角是20°．
【解答】解：当该外角与顶角相邻，则其顶角是80°；
若该外角与底角相邻，则其底角是80°；
根据三角形的内角和定理，得其顶角是20°．
故选：C．
【点评】此类题一定要注意分两种情况进行讨论．熟练运用邻补角的定义以及三角形的内角和定理．
变式2-2、定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”．“倍角等腰三角形”的顶角度数是（ ）
A．90° B．45°或36° C．108°或90° D．90°或36°
【分析】设等腰三角形的顶角为x°，则底角为，分两种情况：当顶角为底角的2倍时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可．
【解答】解：设等腰三角形的顶角为x°，则底角为，
当顶角为底角的2倍时，，
解得：x＝90；
当底角为顶角的2倍时，，
解得：x＝36；
综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是90°或36°，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论．
变式2-3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝15°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
变式2-4、△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5°或45° B．22.5°或45°
C．36°或72° D．67.5°或22.5°
【分析】根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．
【解答】解：①如图所示，CD在△ABC内部，
∵AB＝AC，CD为AB上的高，
∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；
②如图所示，CD在△ABC外部，
∵AB＝AC，CD为AB上的高，
∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝×45°＝22.5°，
∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；
所以∠BCD等于22.5°或67.5°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
二、等腰求边长
例3、等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（ ）
A．22 B．29 C．37 D．29或37
【分析】分两种情况讨论：当7是腰时或当15是腰时．根据三角形的三边关系，知7，7，15不能组成三角形，应舍去．
【解答】解：当7是腰时，则7+7＜15，不能组成三角形，应舍去；
当15是腰时，则三角形的周长是7+15×2＝37．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
变式3-1、若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
变式3-2、一个等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，则它的周长是（ ）
A．8cm B．8cm或10cm C．10cm D．6cm或8cm
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为2cm或是腰长为4cm两种情况．
【解答】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，
当腰长是2cm时，则三角形的三边是2cm，2cm，4cm，2+2＝4（cm），不满足三角形的三边关系；
当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，2cm，三角形的周长是10cm．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
变式3-3、定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰△ABC是“3倍长三角形”，底边BC的长为3，则等腰△ABC的周长为 21 ．
【分析】由等腰△ABC是“3倍长三角形”，可知AB＝3BC或BC＝3AB，若AB＝3BC＝9，可得AB的长为9；若BC＝3AB＝3，因为1+1＜3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；再根据周长的多余即可得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC是“3倍长三角形”，
∴AB＝3BC或BC＝3AB，
若AB＝3BC＝9，则△ABC三边分别是9、9、3，符合题意，
等腰三角形ABC的周长为9+9+3＝21；
若BC＝3AB＝3，则AB＝1，△ABC三边分别是1、1、3，
∵1+1＜3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形ABC的周长为21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“3倍长三角形”是解本题的关键．
三、等腰三角形三线合一
例4、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，连接AD，点E在BC的延长线上，连接AE，∠E＝2∠CAD，下列结论：①∠E＝∠BAC；②AD⊥BC；③CE＝2CD；④AE＝BE．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①根据等腰三角形三线合一的性质即可求解；
②根据等腰三角形三线合一的性质即可求解；
③无法证明CE＝2CD；
④根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAC＝2∠CAD，
∵∠E＝2∠CAD，
∴∠E＝∠BAC；
②∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC；
③无法证明CE＝2CD；
④∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，∠E＝∠BAC，
∴∠B＝∠EAB，
∴AE＝BE．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
变式4-1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．
（1）求证：△AEH≌△BEC．
（2）若AH＝4，求BD的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△AEH≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEH与△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA）；
（2）解：∵△AEH≌△BEC，
∴AH＝BC＝4，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH＝2BD＝4，
∴BD＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
四、等腰三角形的判定
例5、如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AF＝4，求CE的长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，再根据等角对等边可得结论；
（2）利用“SAS”证明△ABF≌△CAE，根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE，
∵AF＝4，
∴CE＝4．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
变式5-1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）求证：CD＝BE．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠1＝∠2＝∠3＝∠4，推出∠5＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，∠4＝∠2，根据全等三角形的判断选择即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠5+∠4＝90°，
∴∠5＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）由（1）知，∠4＝∠2，
∴AE＝DE，
∵AD＝AD，∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴△ACD≌△DEA（ASA），
∴CD＝AE，
∴CD＝AE＝DE＝BE．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
变式5-2、在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为 AD＝BD ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
故答案为：AD＝BD；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE＝6，
∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
OA＝OC，
∴OB＝OC，
∵△OBC的周长为16，BC＝6，
∴OB+OC＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
变式5-3、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝60°时，求∠EDF的度数．
【分析】（1）根据AB＝AC可得∠B＝∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠B＝60°，根据全等三角形的性质得到∠CEF＝∠BDE，于是得到∠DEF＝∠B，再根据等边三角形的判定与性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴∠DEF＝∠B＝60°，
∵DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
五、找等腰的方法——两圆一线
例6、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8、AC＝6，若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即①AB＝AP，②BA＝BP，③AP＝BP，据此通过画图即可得出点P的位置．
【解答】解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，与直线l的交点P1，P2，P3即为所求；作AB的垂直平分线，与直线l的交点P4即为所求．
∴符合条件的点P有4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
变式6-1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分三种情况分别画出图形，如图，以AB为腰，B为顶角的顶点的等腰三角形；以AB为腰，A为顶角的顶点的等腰三角形；以AB为底边，P为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案．
【解答】解：如图，以AB为腰，B为顶角的顶点的等腰三角形有△BAP1，△BAP2，△BAP3，
以AB为腰，A为顶角的顶点的等腰三角形有△ABP3，△ABP4，△ABP5，
以AB为底边，P为顶角的顶点的等腰三角形有△P6AB，
其中△ABP3是等边三角形，
∴符合条件的点的个数有6个，
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定，做到不重复不遗漏的得到点P是解本题的关键．
变式6-2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【解答】解：如图，
①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA＝PB），交直线BC于点P2（PA＝PB）；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB＝AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）．
故符合条件的点有6个．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
变式6-3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点M、点N是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】分两种情况：当MN是等腰△MNP的底边时，符合条件的点有4个；当MN是等腰△MNP的腰时，符合条件的点有4个，于是即可得到答案．
【解答】解：当MN是等腰△MNP的底边时，符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个；
当MN是等腰△MNP的腰时，符合条件的点有P5、P6、P7、P8，共4个，
∴点P的个数是8个．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，关键是要分两种情况讨论．
变式6-4、如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【分析】分三种情况：当BA＝BC时，当AB＝AC时，当CA＝CB时，然后进行分析即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当BA＝BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C1，C2，C3即为所求；
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C4，C5，C6，C7，C8即为所求；
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点C的个数是8，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
变式6-5、如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】分三种情况，AP＝AC，CA＝CP，PA＝PC．
【解答】解：分三种情况：如图：
当AP＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1，P2，
当CA＝CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，
当PA＝PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，
∵直线l是边AB的垂直平分线，
∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，
∴满足条件的点P的个数共有5个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
六、利用面积法求边长
例7、如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A． B． C．或 D．5
【分析】过A点作AF⊥BC于F，连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．
【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BF＝4，
∴△ABF中，AF＝＝3，
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACCP，
∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，
∴12＝×5×（PD+PE）
PD+PE＝4.8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
变式7-1、如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【分析】连接AO，根据三角形的面积公式即可得到AB OE+AC OF＝4，根据等腰三角形的性质进而求得OE+OF的值
【解答】解：连接AO，如图，
∵AB＝AC＝4，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC＝AB OE+AC OF＝4，
∵AB＝AC，
∴AB（OE+OF）＝4，
∴OE+OF＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
七、等腰三角形中的规律问题
例8、如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画 9 条线段．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB，∠A2A1C，∠A3A2B，∠A4A3C的度数．然后分析，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°．
∴n＜10．
∵n为整数，
∴n＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解决本题的关键是找出规律．
变式8-1、如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，若∠A＝70°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠An﹣1AnBn﹣1的度数．
【解答】解：在△ABA1中，
∵∠A＝70°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝70°，
∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，
∴∠B1A2A1＝＝35°；
同理可得，
∠B2A3A2＝17.5°，∠B3A4A3＝×17.5°＝，
∴∠An﹣1AnBn﹣1＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B1C2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
变式8-2、如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2＝160°，∠A2C2A3＝80°，∠A3C3A4＝40°，∠A4C4A5＝20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1An n＝ （90﹣） °．（用含n的代数式表示）
【分析】利用三角形的内角和计算，同时注意利用等腰三角形的性质．
【解答】解：由张角度数变化可知顶角∠An+1 nAn＝（）°，
则∠An+1An n＝（180﹣）°÷2＝（90﹣）°．
故答案为：（90﹣）．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等．
八、手拉手模型
例9、如图，△ABC，△ECD是等腰三角形，∠ACB＝∠ECD＝60°，且B，C，D三点共线．连接BE，AD，分别交AC，EC于点M，N，连接MN，则∠NMC＝ 60 °．
【分析】根据已知证明△ABC，△ECD都是等边三角形，得到AC＝BC，CD＝CE，即可证明△ACD≌△BCE（SAS ），推出∠CAN＝∠CBM，进一步证明△ACN≌△BCM （ASA），可得CM＝CN，求出∠MCN，证明△MCN是等边三角形，可得结果．
【解答】解：∵△ABC，△ECD都是等腰三角形，
且∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴△ABC，△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS ），
∴∠CAN＝∠CBM，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
LMCN＝60°．
在△ACN与△BCM中，
∴△ACN≌△BCM（ASA ），
∴CM＝CN．
∵MCN＝60°，CM＝CN，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠NMC＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解此题的关键是推出△ACD≌△BCE和△ACN≌△BCM 注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
变式9-1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC ＝25 度；
（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝ α﹣90° ．（用含α的式子表示）
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝90°﹣，求得∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，
故答案为：25；
（2）∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝90°﹣，
∴∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．
故答案为：α﹣90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
变式9-2、如图（1），等边△ABC 中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
【分析】（1）首先证明∠BCD＝∠ACE，然后利用SAS证明△DBC≌△EAC即可；
（2）根据全等的性质可得∠EAC＝∠B＝60°，进而可得∠EAC＝∠ACB，从而可得AE∥BC；
（3）利用等边三角形的性质可得BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，然后再证明△DBC≌△EAC，再推出∠EAC＝∠ACB，进而可得AE∥BC．
【解答】解：（1）△DBC 和△EAC 会全等，
理由：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△DBC 和△EAC 中，
∴△DBC≌△EAC（SAS）；
（2）∵△DBC≌△EAC，
∴∠EAC＝∠B＝60°，又∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC；
（3）结论：AE∥BC 理由：
∵△ABC、△EDC 为等边三角形
∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△DBC 和△EAC 中，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
变式9-3、（1）问题发现
如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
（2）拓展探究
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；
求：①∠AEB的度数；
②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先判断出CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACD＝∠BCE，进而用SAS判断出△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法，即可得出结论；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）得出AD＝BE，再判断出DM＝CM，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△CD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°；
（2）①同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM＝45°，
∴∠DCM＝∠CDM＝45°，
∴DM＝CM，
∴DM＝ME＝CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE时解本题的关键．
变式9-4、如图，AB⊥BC，AB＝6，△ABE是等边三角形，点P在射线BC上运动，以AP为边向右上方作等边△APQ，射线QE交射线BC于点F
（1）如图1，当点P运动到与A、E成一直线时，则PQ＝ 12 ，∠QFC＝ 60° ；
（2）在图2中，①求证：∠AEQ＝90°；
②随着点P的运动，∠QFC的度数是否发生改变？若不变，请求出∠QFC的度数；若改变，请说明理由．
【分析】（1）如图1，当点P运动到与A、E成一直线时，根据等边三角形的性质得到PQ＝AP，∠BAP＝∠ABE＝60°，根据三角形的内角和得到∠APB＝∠EBP＝30°，根据直角三角形的性质得到AP＝2AB＝12，BE＝PE，证得QF⊥AP，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质可以得出AB＝AE，AP＝AQ，由等式的性质就可以得出∠BAP＝∠EAQ，就可以得出结论；
②根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP＝∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ＝∠ABP＝90°，则∠BEF＝180°﹣∠AEQ﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∠QFC＝∠EBF+∠BEF．
【解答】解：（1）如图1，当点P运动到与A、E成一直线时，
∵△ABE与△APQ是等边三角形，
∴PQ＝AP，∠BAP＝∠ABE＝60°，
∵∠ABP＝90°，
∴∠APB＝∠EBP＝30°，
∴AP＝2AB＝12，BE＝PE，
∴PQ＝AP＝12；PE＝AE，
∴QF⊥AP，
∴∠QFC＝60°，
故答案为：12，60°；
（2）①∵△ABE和△APQ是等边三角形，
∴AB＝AE，AP＝AQ，∠BAE＝∠PAQ＝∠ABE＝∠AEB＝60°，
∴∠BAE﹣∠PAE＝∠PAQ﹣∠PAE，
∴∠BAP＝∠EAQ，
在△ABP和△AEQ中，
，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），
∴∠AEQ＝∠ABC＝90°．
②∠QFC的度数不变
∠QFC＝60°，
由（2）①得
∴△ABP≌△AEQ （SAS）
∴∠AEQ＝∠ABP＝90°
∴∠BEF＝180°﹣∠AEQ﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠QFC＝∠EBF+∠BEF＝30°+30°＝60°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
变式9-5、如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOC＝100°，∠AOB＝α．以OB为边作等边三角形BOD，连接CD．
（1）求证：△ABO≌△CBD．
（2）若△COD是等腰三角形，求α的度数．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出BA＝BC，BO＝BD，∠ABC＝∠OBD＝60°，根据SAS证明△ABO≌△CBD即可；
（2）分：①当CO＝CD时，∠COD＝∠CDO，②当OC＝OD时，∠OCD＝∠CDO，③当OD＝CD时，∠OCD＝∠COD，三种情况分别求解即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△OBD都是等边三角形，
∴BA＝BC，BO＝BD，∠ABC＝∠OBD＝60°，
∴∠ABO＝∠CBD．
在△ABO和△CBD中，
，
∴△ABO≌△CBD（SAS）．
（2）解：①当CO＝CD时，∠COD＝∠CDO．
∵△ABO≌△CBD，
∴∠CDB＝∠AOB＝α．
又∠ODB＝∠BOD＝60°，
∴360°﹣60°﹣100°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝130°．
②当OC＝OD时，∠OCD＝∠CDO，
∴2（α﹣60°）＝180°﹣（360°﹣60°﹣100°﹣α），
∴α＝100°．
③当OD＝CD时，∠OCD＝∠COD，
∴2（360°﹣60°﹣1000°﹣α）＝180°﹣（α﹣60°），
∴α＝160°．
综上所述，若△COD是等腰三角形，则α为100°或130°或160°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，注意分类讨论是解（2）的关键．
九、等腰的综合运用
例10、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝12，BD＝CE，进而得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC＝12，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝12，BD＝CE，
∵BD＝4，
∴CE＝BD＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
变式10-1、如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．
【解答】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
例11、如图，△ABC的两个内角的平分线BO，CO相交于点O，过点O作MN∥BC分别交AB，AC于点M，N，若△AMN的周长为15，BC＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．15 B．19 C．23 D．31
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可知MO＝MB，NO＝NC，根据△AMN的周长可知AB+AC的长，进一步可得△ABC的周长．
【解答】解：∵△ABC的两个内角的平分线BO，CO相交于点O，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO，
∴∠MOB＝∠MBO，∠NCO＝∠NOC，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∴MN＝MB+NC，
∵△AMN的周长为15，
∴AB+AC＝15，
∵BC＝8，
∴△ABC的周长为15+8＝23，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线，熟练掌握这些知识是解题的关键．
变式11-1、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于边AB与AC的和；④BF＝CF；⑤∠BFC＝90°+∠A．其中一定正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①②③④ C．①②④ D．①②③⑤
【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得DE∥BC，从而得到△BDF和△CEF都是等腰三角形；②同①有DF＝DB，FE＝EC，所以DE＝DF+EF＝BD+CE；③由②得：△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；④因为∠ABC不一定等于∠ACB，所以∠FBC不一定等于∠FCB，所以BF与CF不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠FBC＝∠DBF，∠FCE＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴DF＝DB，FE＝EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①正确；
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC，故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，故④错误；
由题意知，，
∴＝，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．
例12、已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
（1）若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
（3）设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可；
（2），（3）同（1）．
【解答】解：（1）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAD+∠DAE+∠CAD），
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝90°，
∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DAE＝45°；
（2）由（1）知，∠DAE＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°；
（3）由（1）知，β＝（180°﹣α），
∴α+2β＝180°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
变式12-1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AM＝AC，BN＝BC
（1）当∠A＝30°时，求∠MCN的度数；
（2）当∠A的度数变化时，∠MCN的度数是否变化？如不变，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠AMC＝75°，∠CNB＝60°，再根据三角形内角和定理得到∠MCN的度数；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠AMC＝（180°﹣∠A），∠BNC＝（180°﹣∠B），再根据三角形内角和定理得到∠MCN的度数．
【解答】解：（1）∵∠A＝30°，AC＝AM，
∴∠AMC＝×（180°﹣30°）＝75°，
∵∠B＝60°，BC＝BN，
∴∠CNB＝×（180°﹣60°）＝60°，
∴∠MCN＝180°﹣60°﹣75°＝45°．
（2）当∠A的度数变化时，∠MCN的度数不变化．
∵∠AMC＝（180°﹣∠A），∠BNC＝（180°﹣∠B），
∴∠MCN＝180°﹣∠AMC﹣∠BNC＝（∠A+∠B）＝45°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求得∠AMC，∠BNC的度数．
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2023年浙教版八年级（上）等腰三角形复习讲义
一、等腰求角度
例1、等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ ）
A．20° B．50° C．20°或50° D．50°或80°
变式1-1、如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．36° D．70°
变式1-2、如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
变式1-3、如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC＝BC，若∠A＝70°，则∠C＝（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
变式1-4、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（ ）
A．62° B．58° C．52° D．46°
变式1-5、如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．18° C．12° D．10°
变式1-6、如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
例2、等腰三角形的一个角为50°，则顶角是（ ）度．
A．65°或50° B．80° C．50° D．50°或80°
变式2-1、若等腰三角形一个外角等于100°，则它的顶角度数为（ ）
A．20° B．80° C．20°或80° D．50°或80°
变式2-2、定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”．“倍角等腰三角形”的顶角度数是（ ）
A．90° B．45°或36° C．108°或90° D．90°或36°
变式2-3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
变式2-4、△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5°或45° B．22.5°或45°
C．36°或72° D．67.5°或22.5°
二、等腰求边长
例3、等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（ ）
A．22 B．29 C．37 D．29或37
变式3-1、若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
变式3-2、一个等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，则它的周长是（ ）
A．8cm B．8cm或10cm C．10cm D．6cm或8cm
变式3-3、定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰△ABC是“3倍长三角形”，底边BC的长为3，则等腰△ABC的周长为 ．
三、等腰三角形三线合一
例4、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，连接AD，点E在BC的延长线上，连接AE，∠E＝2∠CAD，下列结论：①∠E＝∠BAC；②AD⊥BC；③CE＝2CD；④AE＝BE．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式4-1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．
（1）求证：△AEH≌△BEC．
（2）若AH＝4，求BD的长．
四、等腰三角形的判定
例5、如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AF＝4，求CE的长．
变式5-1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）求证：CD＝BE．
变式5-2、在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为 ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
变式5-3、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝60°时，求∠EDF的度数．
五、找等腰的方法——两圆一线
例6、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8、AC＝6，若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式6-1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式6-2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
变式6-3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点M、点N是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
变式6-4、如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
变式6-5、如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
六、利用面积法求边长
例7、如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A． B． C．或 D．5
变式7-1、如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
七、等腰三角形中的规律问题
例8、如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画 条线段．
变式8-1、如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，若∠A＝70°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式8-2、如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2＝160°，∠A2C2A3＝80°，∠A3C3A4＝40°，∠A4C4A5＝20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1An n＝ °．（用含n的代数式表示）
八、手拉手模型
例9、如图，△ABC，△ECD是等腰三角形，∠ACB＝∠ECD＝60°，且B，C，D三点共线．连接BE，AD，分别交AC，EC于点M，N，连接MN，则∠NMC＝ °．
变式9-1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC＝ 度；
（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝ ．（用含α的式子表示）
变式9-2、如图（1），等边△ABC 中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
变式9-3、（1）问题发现
如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
（2）拓展探究
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；
求：①∠AEB的度数；
②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
变式9-4、如图，AB⊥BC，AB＝6，△ABE是等边三角形，点P在射线BC上运动，以AP为边向右上方作等边△APQ，射线QE交射线BC于点F
（1）如图1，当点P运动到与A、E成一直线时，则PQ＝ 12 ，∠QFC＝ 60° ；
（2）在图2中，①求证：∠AEQ＝90°；
②随着点P的运动，∠QFC的度数是否发生改变？若不变，请求出∠QFC的度数；若改变，请说明理由．
变式9-5、如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOC＝100°，∠AOB＝α．以OB为边作等边三角形BOD，连接CD．
（1）求证：△ABO≌△CBD．
（2）若△COD是等腰三角形，求α的度数．
九、等腰的综合运用
例10、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
变式10-1、如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例11、如图，△ABC的两个内角的平分线BO，CO相交于点O，过点O作MN∥BC分别交AB，AC于点M，N，若△AMN的周长为15，BC＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．15 B．19 C．23 D．31
变式11-1、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于边AB与AC的和；④BF＝CF；⑤∠BFC＝90°+∠A．其中一定正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①②③④ C．①②④ D．①②③⑤
例12、已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
（1）若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
（3）设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
变式12-1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AM＝AC，BN＝BC
（1）当∠A＝30°时，求∠MCN的度数；
（2）当∠A的度数变化时，∠MCN的度数是否变化？如不变，求∠MCN的度数．
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