(共30张PPT)
2.2 等腰三角形
浙教版 八年级 上册
教材分析
本节课内容是在学生掌握了一般三角形和轴对称，以及如何证明三角形全等的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，起到了知识的链接与开拓的作用.这节课的内容既是前面知识的深化和应用，还是今后学习等腰三角形的性质和判定的基础，是证明角相等、线段相等的依据，因此这节课具有承上启下的作用.
教学目标
教学目标：1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的轴对称性；
2.理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的轴对称性．
教学重点:等腰三角形的轴对称性.
教学难点:等腰三角形的轴对称性的推理说明是本节教学的难点.
新知导入
情境引入
任务一
下面有几个三角形(按角的大小)请大家对这些三角形分类.想一想你分类的理由是什么？
钝角三角形
按角来分
三角形
直角三角形
锐角三角形
生活中的等腰三角形
新知讲解
等腰三角形中，
相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
我们知道两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图所示，AB＝AC，△ABC 就是等腰三角形.
定义：
任务二
如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角.
等腰三角形 腰 底边 顶角
△ABC
△ABD
AB和AC
BC
∠A
AD和BD
AB
∠ADB
你懂了吗？
提炼概念
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
∵△ABC中，AB＝AC，
∵△ABC是等腰三角形
A
B
C
底边
腰
腰
－－－－－－－判定
－－－－－－－性质
∴△ABC是等腰三角形.
∴AB＝AC.
？问：腰和底一定不相等吗？
答：腰和底可以相等，此时三边相等，叫做等边三角形（正三角形）。
典例精讲
例1 求证：等腰三角形两腰上的中线相等
已知:如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC上的中线.
求证:BE=CD.
A
B
C
D
证明 ：
∵CD，BE分别是AB，AC上的中线(已知)，
∴AB=2AD,AC=2AE(三角形中线的定义).
∵AB=AC(已知)，∴ AD=AE.
又 ∵∠A=∠A(公共角)，
∴△ABE≌△ACD (SAS).
∴BE=CD(全等三角形的对应边相等).
A
B
C
D
【合作学习】在透明纸上任意画一个等腰三角形 ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折.
你发现了什么？由此你得出什么结论？
A
B
C
D
A
C(B)
D
(1)AB与AC重合；
(2)点B与点C重合；
(3)∠B＝∠C;
你发现了什么？
A
C(B)
D
当我们沿着等腰三角形ABC的顶角平分线AD所在的直线把△ABC对折时，因为∠BAD=∠CAD,所以射线AB与AC重合.又因为AB=AC，所以点B与点C重合，即直线AD两侧的图形能够完全重合.
归纳概念
【思考】什么样的三角形是等边三角形？
如图，AB=BC=AC，△ABC是一个等边三角形。
等边三角形是一类特殊的等腰三角形。
想一想，等边三角形有几条对称轴
三条边都相等的三角形叫做等边三角形
A
B
C
想一想
2.等边三角形有哪些特征？
（1）等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形的内角都相等,且等于 60 °;
（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
例2：如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE.AP是△ABC的角平分线.点D，E关于AP对称吗？DE与BC有怎样的位置关系？请说明你的判断.
A
B
C
P
D
E
思考下面几个问题。
（1）将等腰三角形ABC沿顶角平分线折叠时，线段AD与AE能重合吗？为什么？边AB与AC呢？
（2）AD与AE重合，AB与AC重合，说明点D与点E，点B与点C分别有怎样的位置关系？
（3）轴对称图形有什么性质？由此可推出AP与DE，BC有怎样的位置关系？那么DE与BC呢？
解 点D和点E关于AP对称，且DE∥BC.
理由如下:
因为AP是∠BAC的平分线，AB=AC，AD=AE，所以等腰三角形ABC和等腰三角形ADE都是以直线AP为对称轴的轴对称图形，点B和点C，点D和点E都关于AP对称.
根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”，知AP⊥DE，AP⊥BC，所以DE∥BC.
下面有几个三角形(有三边不等的、只有两边相等的、三边全相等的各类三角形纸片若干个)请大家对这些三角形分类.想一想你分类的理由是什么？
等腰三角形
三条边都相等的等腰三角形
(也叫等边三角形)
三条边都不相等
按边来分
三角形
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
课堂练习
必做题
1.已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是（ ）
（A）14 （B）15 （C）16 （D）14或16
D
2.等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________
12、6或9、9
选做题
3.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长.
解：∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm，
设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，由题意得 或
解得 或 (不符舍去)
∴等腰三角形的底边长为1cm
x=10
y=1
x=4
y=13
分类思想
A
D
C
B
综合拓展题
4. 如图，正方形ABCD中,H、E、F、P分别是各边的中点，以这8个点为顶点，能构成多少个等腰三角形？
A
B
C
D
E
F
P
H
12个.
作业布置
必做题
1.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ,则腰长为（ ）
A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上都不对
B
选做题
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3.
（1）求∠BDC的度数.
（2）求AC的长度.
解：（1）因为AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为点E，
所以AD=BD.
所以∠ABD=∠A=30°.
所以∠BDC=∠ABD+∠A=60°.
（2）因为在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，所以∠CBD=30°.
所以BD=2CD=2×3=6.
所以AD=BD=6.
所以AC=AD+CD=9.
综合拓展题
3.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？
C
E
F
H
想一想
a
D
O
课堂总结
本节课学习了哪些内容？
1.等腰三角形两腰上的中线相等
2.等腰三角形是轴对称图形.
3.顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形是一类特殊的等腰三角形。
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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分课时教学设计
第2课时《2.2 等腰三角形 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课内容是在学生掌握了一般三角形和轴对称，以及如何证明三角形全等的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，起到了知识的链接与开拓的作用．这节课的内容既是前面知识的深化和应用，还是今后学习等腰三角形的性质和判定的基础，是证明角相等、线段相等的依据，因此这节课具有承上启下的作用．
学习者分析 本节课的主要内容是带领学生回顾等腰三角形和等边三角形的概念，让学生发现等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线是它的对称轴，证明等腰三角形两腰上的中线相等。八年级的学生已经初步具备了一定的抽象思维能力和空间观念，能够进行简单的推理论证，同时也掌握了一般三角形和轴对称以及如何证明三角形全等的知识，这有利于学生进行本堂课的学习．
教学目标 理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的轴对称性； 2.理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的轴对称性．
教学重点 等腰三角形的轴对称性.
教学难点 等腰三角形的轴对称性的推理说明是本节教学的难点.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 如图，埃及金字塔的四个面都呈等腰三角形的形状。 下面有几个三角形(按角的大小)请大家对这些三角形分类.想一想你分类的理由是什么？ 学生活动1： 学生欣赏图片． 学生通过观察、思考、合作交流，学生观察图片回答问题，若学生回答三角形，教师则补充提问：“具体是什么三角形呢？”引导学生，发现这是一个等腰三角形． 学生举手回答问题．活动意图说明： 通过展示图片，激发学生的学习欲望，提高他们的学习积极性．环节二：新课讲解 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 如图所示，AB＝AC，△ABC就是等腰三角形. 等腰三角形中， 相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角. 如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD.你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角. 两个等腰三角形，分别为△ABC和△ABD △ABC的腰是AB和AC，底边为BC，顶角为∠A △ABD的腰是AD和BD，底边为AB，顶角为∠ADB 【做一做】如图,点D在AC上，AB=AC，AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角. 等腰三角形腰底边顶角
学生活动2： 通过自学完成，等腰三角形中的分类讨论，可以以顶角为标准，分为三类，然后根据顶角确定腰． 活动意图说明： 通过教师讲授学生回顾巩固旧知，做到面向全体学生，通过自主证明，提高学生逻辑推理能力，提高学生自主解题能力． 环节三：例题讲解 例1求证:等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CD, BE分别是腰AB,AC上的中线. 求证:BE=CD. 证明： ∵CD,BE分别是AB,AC上的中线(已知) ∴AD=AB,AE=AC(三角形中线的定义). ∵AB=AC(已知), ∴AD=AE. 又∵∠A=∠A(公共角), ∴△ABE≌OACD (SAS). ∴BE=CD(全等三角形的对应边相等). 在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？由此你得出什么结论？ 直线AD两侧的图形能够完全重合 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是一类特殊的等腰三角形。 如图，AB=BC=AC，△ABC是一个等边三角形 等边三角形有几条对称轴？ 有3条对称轴 例2:如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB，AC上的点，且AD=AE，AP是△ABC的角平分线。点D，E关于AP对称吗？DE与BC有怎样的位置关系 请说明你的判断. 解: 点D和点E关于直线AP对称, DE∥BC.理由如下 ∵ AB=AC ,AP为∠BAC的角平分线 ∴ △ABC是以直线AP为对称轴的轴对称图形 ∴ 点B和点C关于直线AP对称 同理,点D和点E关于直线AP对称 ∴BC⊥AP，DE⊥AP （轴对称图形的性质） ∴DE∥BC 学生活动3： 学生合作交流，按照要求动手操作并进行观察和思考，探究等腰三角形的轴对称性 学生举手回答问题，教师进行评价和讲解． 利用等腰三角形的轴对称性解决问题，关键是找出对称轴——顶角平分线．活动意图说明： 让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是（ ） （A）14 （B）15 （C）16 （D）14或16 B 2.等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________ 12、6或9、9 选做题： 3.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。 【综合拓展类作业】 4. 如图，正方形ABCD中,H、E、F、P分别是各边的中点，以这8个点为顶点，能构成多少个等腰三角形？
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ,则腰长为（ ） A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上都不对 B 选做题： 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3. （1）求∠BDC的度数. （2）求AC的长度. 解：（1）因为AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为点E， 所以AD=BD. 所以∠ABD=∠A=30°. 所以∠BDC=∠ABD+∠A=60°. （2）因为在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，所以∠CBD=30°. 所以BD=2CD=2×3=6. 所以AD=BD=6. 所以AC=AD+CD=9. 【综合拓展类作业】 3.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入带领学生回顾旧知，用生活中的实例来激发学生学习的兴趣，带领学生感悟数学文化之美．安排学生探索新知，在勤于动脑、合作交流中学习，获得数学活动经验，直观感知知识，例题习题安排恰当．如果能有更多的几何动画与课程融合，让学生更好地探索发现，培养学生的动手和创新能力会让该设计更出彩．
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 八年级上册第二章
课标要求 等腰三角形部分:(1)了解等腰三角形的有关概念 (2)探索并掌握等腰三角形的性质 (3)探索一个三角形是等腰三角形的条件 (4)了解等腰三角形的性质和一个三角形是等边三角形的条件 直角三角形部分:(1)了解直角三角形的有关概念 (2)探索并掌握直角三角形的性质 (3)体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题 (4)探索一个三角形是直角三角形的条件 (5)会说明直角三角形全等的判定方法
内容分析 本章是第1章“三角形的初步知识”的延续和深化.在上一章中已经完成了从实验几何到论证几何的过渡，因此推理应成为本章学习和探究的主要方式和方法.本章学习中不仅要掌握两类特殊三角形的性质和判定，还要通过本章的学习进一步提高学生的逻辑推理能力和推理的表达能力. 轴对称图形与图形的轴对称与等腰三角形有着密切的联系:学生认识了等腰三角形是以顶角平分线所在直线为对称轴的轴对称图形，就很容易发现并掌握等腰三角形的性质.学习轴对称图形和图形的轴对称知识需要通过观察、操作等实验手段，教学中重点应放在会认、会画，在论证方面不要提出过高的要求.
学情分析 本章是第1章“三角形的初步知识”的延续和深化，这两类特殊三角形的性质和判定是学习后续几何知识的主要基础，并在生产和生活中有着广泛的应用. 本章在逆命题和逆定理的内容学习中让学生对有关命题和证明的知识进一步完善和深化. 在学生的探索证明过程中不仅巩固了上一单元的知识，还能发展学生的逻辑推理能力。对于学生来说，在之前的学习中已经了解了证明的基本步骤，具有了一定的推理经验，借助几何画板以及让学生实践操作、推理证明会让学生更好的发展思维的灵活性.
单元目标 （一）教学目标 1.掌握轴对称图形、关于直线对称的概念.理解轴对称图形的性质； 会识别关于直线对称，并能找出对称轴；会画简单图形关于给定的对称轴的对称图形；体会它们在现实生活中的应用，提高学生的学习能力和审美能力； 2.掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定； 3.会用等腰三角形与直角三角形的性质和判定进行有关计算和证明； 3.能运用勾股定理及其逆定理进行有关计算和证明； 4.掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理； 5.了解逆命题、逆定理的概念，掌握一些基本的逆定理. （二）教学重点、难点 教学重点：会用等腰三角形和直角三角形的性质和判定等知识点进行有关计算和证明. 教学难点：等腰三角形的判定，直角三角形的勾股定理等一些图形的性质和方法的推导过程比较复杂，在解决某些问题中论证的要求与前几章相比有所提高，理解这些论证过程，并学会表述是本章教学的主要难点.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 教学建议： 1.对等腰三角形、直角三角形的性质和判定方法，课本采取了实验和推理相结合的方法，表明本章仍属于由实验几何向论证几何过渡的阶段，因此在教学中仍需重视观察、实验、操作、归纳等方法，尤其要重视图形的性质和判定方法的发现过程，同时，要让学生理解推理的必要性，学会推理及其表述，对比较复杂的推理过程，要做好思路的启发和分析. 2.本章所涉及的性质和判定方法实际都是定理，并且多数是《标准》中目标列项的定理，如等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一；有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边上的一半；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；角的内部，到两边距离相等的点在角的平分线上等，教学中应要求学生掌握，并能把它们作为推理的依据；有些定理，如直角三角形斜边上的中线等于斜边的半，勾股定理的逆定理，需在以后给出证明，教学中应把重点放在这些定理的发现过程，分清定理中的条件和结纶，学会这些定理的应用，但不要补充推导或证明. 3.本章已经要求学生完整地书写推理过程，教学中要较细致地做好推理及其表述的指导.要求学生写推理过程的题，要严格控制难度，一般不要超过《标准》所列的12个定理的证明难度. （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1图形的轴对称12.2 等腰三角形1 2.3 等腰三角形的性质定理（1）1 2.3 等腰三角形的性质定理（2）12.4 等腰三角形的判定定理12.5 逆命题和逆定理12.6直角三角形（1）1 2.6直角三角形（2）12.7探索勾股定理（1）12.7探索勾股定理（2）12.8直角三角形全等的判定1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 2.1图形的轴对称 理解轴对称及轴对称图形的概念，能判定一个图形是不是轴对称图形； 2.掌握轴对称及轴对称图形的性质及画法． 1.能够识别简单的轴对称图形及其对称轴． 2.知道轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系． 3.能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形．活动一：完成观察与思考，让学生发现轴对称图形的共同特点． 活动二：通过几何画板动画，加强学生的理解，探索图形的轴对称． 活动三：动手操作，画出关于给定对称轴的对称图形．2.2 等腰三角形理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的轴对称性； 2.理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的轴对称性． 1.能初步运用等腰三角形两边相等、等边三角形三条边都相等解决有关问题． 2.能用等腰三角形的轴对称性解决有关问题．活动一：复习导入，回顾等腰三角形的概念． 活动二：合作学习，通过动手操作发现等腰三角形的轴对称性． 活动三：知识回顾，回顾等边三角形的概念，学生画出等边三角形的对称轴． 2.3 等腰三角形的性质定理（1） 掌握“等边对等角”的性质，并能运用计算或证明； 2．掌握“等边三角形的各个内角都等于60°”的性质，并能运用计算或证明．1.能初步运用等腰三角形的性质1解决有关问题． 2.能运用推论等边三角形各个内角都等于60°解决有关问题．活动一：合作交流，动手操作，让学生通过折叠、测量等方式发现等腰三角形的性质． 活动二：推理证明，让学生用数学的语言证明等腰三角形的性质定理1． 活动三：例题精讲，让学生通过例一发现等边三角形各个内角都等于60°． 2.3 等腰三角形的性质定理（2） 1.掌握等腰三角形“三线合一”． 2.会利用等腰三角形的性质定理2进行简单的推理、判断、计算和作图. 能初步运用等腰三角形的性质1解决有关问题．活动一：情景导入，通过几何画板的动画进行导入，直观的展示三线合一 活动二：推理证明，让学生用数学的语言证明等腰三角形的性质定理1 活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题． 2.4 等腰三角形的判定定理 理解并掌握等腰三角形的判定定理； 2.理解并掌握等边三角形的判定定理． 能运用等腰三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形.活动一：合作学习，动手操作，让学生在探索的过程中发现规律． 活动二：推理证明，让学生用数学的语言证明等腰三角形的判定定理：等角对等边． 活动三：共同探索等边三角形的判定定理． 活动四：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题．2.5 逆命题和逆定理理解互逆命题、互逆定理的概念，并能把一个命题改写为逆命题； 2.掌握线段垂直平分线的判定．． 1．能说出命题的逆命题，并能够判断逆命题的真假． 2.能运用线段垂直平分线性质定理的逆定理解决有关问题．活动一：观察思考，寻找各命题之间的联系． 活动二：新课讲授，并以练习题检验学生掌握情况． 活动三：例题精讲，共同谈谈线段垂直平分线定理的逆定理． 2.6直角三角形（1） 理解直角三角形的概念； 2.掌握直角三角形的性质，并能运用． 会运用直角三角形的性质定理进行相关计算．活动一：回顾旧知，联系生活，了解直角三角形的概念． 活动二：教师讲授直角三角形的性质定理1，并让学生进行推理． 活动三：学生独立思考完成习题，发现直角三角形的性质定理2． 活动四：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题． 2.6直角三角形（2）1.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 2.会运用直角三角形的判定理判定直角三角形.会运用直角三角形的判定定理进行相关计算．活动一：问题导入，让学生自主探索直角三角形的判定定理． 活动二：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题．2.7探索勾股定理（1）了解拼图验证勾股定理的方法； 掌握勾股定理，会利用两边边长求直角三角形的另一边长； 3.会利用勾股定理解决实际问题． 1.能运用勾股定理求第三边的长． 2.掌握分类思想，注意最长边的确定．活动一：情景引入，通过赵爽弦图激发学习兴趣． 活动二：合作探索，动手操作，通过观察和思考发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题．2.7探索勾股定理（2）理解勾股定理的逆定理； 2.会运用勾股定理及其逆定理解决实际问题． 能运用勾股定理的逆定理去证明一个三角形是直角三角形．活动一：问题导入，巩固旧知，让学生回答勾股定理的逆命题． 活动二：讲授勾股定理的逆定理，让学生用数学的语言证明它． 活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题．2.8直角三角形全等的判定掌握直角三角形全等的判定定理HL定理； 2.理解并掌握角平分线的性质定理的逆定理． 1.能运用直角三角形全等的判定定理判断两个三角形全等． 2．能综合运用角平分线的逆定理．活动一：复习导入，回顾判定两个三角形全等的方法． 活动二：动手操作，探究直角三角形全等的判定定理，教师带领学生分析并证明． 活动三：例题精讲，通过例题得到角平分线性质定理的逆定理．
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