中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年九上数学第1章二次函数 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书.如图，将，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列哪一幅图的规律和其他图不一样？（ ）
A．B．C．D．
3．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．四个各不相等的整数，满足，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．10 D．无法确定
6．将1，2，3，4...，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式(|a-b|+a+b)中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（ ）
A．1365 B．1565 C．1735 D．1830
7．求的值，可令，则，因此，仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A． B． C． D．
8． 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，....，以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了（ ）
A．252 次 B．253次 C．254次 D．255次
10．有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．按一定规律排列的一列数依次为：，……按此规律排列下去，第7个数是 .
12．若∣a|＝7、b2＝4，且∣a－b∣＝∣a∣＋∣b|，则a＋b的值为
13．“转化”是一种解决问题的常用测量，有时画图可以帮助我们找到转化的方法。例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62=36.请你观察图②，利用转化的方法计算： .
14．已知 ， ， ， ， ……，按此规律，请用含 a 的代数式表示 .
15．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为4、、b的形式，则（b﹣a）3的值为 ．
16．我们知道： 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 也可以看成 ，表示5与 之差的绝对值，也可理解为数轴上表示5与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离事实上，数轴上表示有理数 的点 的距离均可以用 来计算.根据以上材料，则使 的所有整数x的和是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．有个补充运算符号的游戏：在“1□2□□9”中的每个□内，填入+、-、×、÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算： （直接写出结果）；
（2）若□，请推算□内的符号应是什么？
（3）请在□内填上×、÷中的一个，使计算更加简便，然后计算□
18．不进行通分，计算：
．
19．找规律并计算：
（1）计算：= ，= ；
= ，= ；
（2）猜想：观察上述式子可猜想出的结论是：= ；
（3）试用你所猜想的结论计算：
…….
20．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算： ，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
小明：原式＝ ；
小军：原式＝ ；
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
（3）用你认为最合适的方法计算： .
21．给出定义如下：
若有理数a，b满足等式a+b=ab-1，则我们称a，b为一对“伴生有理数”，记为（a，b）.例如：2+3=2 3-1，则称2，3是一对“伴生有理数”，记为（2，3）.
（1）判断（ ，-3）、（7， ）是否为“伴生有理数”，请说明理由；
（2）若（4，m）为“伴生有理数”，求m的值.
22．阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 （加乘）运算．”然后他写出了一些按照 （加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4） （+2）=+6；（﹣4） （﹣3）=+7；（﹣5） （+3）=﹣8；（+6） （﹣7）=﹣13；
（+8） 0=8；0 （﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 （加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算， ．
（2）计算：[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在 （加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
23．在数轴上有A、B、C三点，其中点A、C表示的数分别为、5，且，
（1）求B点表示的数；
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、C、B三点同时出发，沿数轴负方向运动，它们的速分别、、2（单位长度/秒），当丙追上甲时，甲乙相距多少个单位长度？
（3）若A、B、C在数轴上依次排列，是否存在一点P到A、B、C的距离和等于10？若存在，求点P对应的数；若不存在，请说明理由．
24．请先阅读下列一段内容，然后解答问题：
因为： ， ， ，…… ， ，
所以： =
=
计算： （1） ； （2） .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年八上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书.如图，将，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意这九个数的平均数为：，
∴正中间的数为-1，
∴每行、每列、每条对角线上三个数的和都是，
∴第二行左边的数为：，
∴，
故答案为：A
2．下列哪一幅图的规律和其他图不一样？（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A、9÷6×2=；
B、18÷3×2=12≠6；
C、；
D、，
∴B图的规律和其它图的规律不一样.
故答案为：B.
3．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3分裂成m个奇数，
所以，从23到m3的奇数的个数为：2＋3＋4＋…＋m＝，
∵2n＋1＝59，n＝29，
∴奇数59是从3开始的第29个奇数，
∵，，
∴第29个奇数是底数为8的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m＝8．
故答案为：C.
4．已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴4组数据的个位数为一循环周期，
∵2021÷4=505…1，∴22021的个位数字是2.
故答案为：A.
5．四个各不相等的整数，满足，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．10 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵1×（-1）×3×（-3）=9，
∴a、b、c、d四个数分别为±1，±3，
∴a+b+c+d=1+（-1）+3+（-3）=0．
故答案为：A．
6．将1，2，3，4...，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式(|a-b|+a+b)中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（ ）
A．1365 B．1565 C．1735 D．1830
【答案】A
【解析】设这两个数的较大数为a，较小数为b，即a>b，
则(|a-b|+a+b)=(a-b+a+b)=a，
∴30组的和最大值等于30个较大数的和，
则这30个值的和的最大值=31+32+···+60= =1365.
故答案为：A.
7．求的值，可令，则，因此，仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令S= ，则5S= ，
∴，∴4S=52019-1，∴
故答案为：C.
8． 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，....，以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得
==1.
故答案为：B.
9．如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了（ ）
A．252 次 B．253次 C．254次 D．255次
【答案】B
【解析】根据题意可得：第一次相遇所需时间为：（秒）
从第2此相遇起，相遇路程变成了正方形的周长，也就是24×4=96（厘米）
因此，之后每次相遇所需时间为：（秒）
2022-4=2018（秒）
所以，在第一次相遇后还有252此相遇
因此，总共相遇了252+1=253（次）
故答案为：B.
10．有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由数轴可得，b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，
∴abc＞0，①正确；
a-b+c＞0， ，②不正确；
，③正确；
，④正确，
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．按一定规律排列的一列数依次为：，……按此规律排列下去，第7个数是 .
【答案】
【解析】观察可知：数列中所有数的分母为连续奇数，
∴第7个数的分母为13，
∵3=2+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，33=25+1，65=26+1，…，
∴第7个数的分子为27+1=129，
又∵数列中奇为正，偶为负，
∴第7个数是.
故答案为：.
12．若∣a|＝7、b2＝4，且∣a－b∣＝∣a∣＋∣b|，则a＋b的值为
【答案】±5
【解析】∵|a|＝7，b2＝4，
∴a＝±7，b＝±2，
当a＝7，b＝2时，
∴|a b|＝5，|a|＋|b|＝9，不符合题意，舍去．
当a＝7，b＝ 2时，
∴|a b|＝9，|a|＋|b|＝9，符合题意，
∴a＋b＝5．
当a＝ 7，b＝2时，
∴|a b|＝9，|a|＋|b|＝9，符合题意．
∴a＋b＝ 5，
当a＝ 7，b＝ 2时，
∴|a b|＝5，|a|＋|b|＝9，不符合题意，舍去．
故答案为：±5．
13．“转化”是一种解决问题的常用测量，有时画图可以帮助我们找到转化的方法。例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62=36.请你观察图②，利用转化的方法计算： .
【答案】
【解析】观察图形可知；
；
∴.
故答案为：
14．已知 ， ， ， ， ……，按此规律，请用含 a 的代数式表示 .
【答案】
【解析】∵ ，
∴ = =
∵
∴ = ，
∵
∴ =
∴ = =
∴3次一循环
∵
∴
故答案为： .
15．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为4、、b的形式，则（b﹣a）3的值为 ．
【答案】0或﹣8
【解析】∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4、 、b的形式，
∴这两个数组的数分别对应相等．
∴a+b与a中有一个是4， 与b中有一个是1，
若 ＝1，a＝b，则a+b＝4，
则a＝b＝2，
则（b﹣a）3＝（2﹣2）3＝0；
若b＝1，a＝4或a+b＝4，
则a＝4时，a+b＝4+1＝5， ＝4（不合题意舍去）；
a+b＝4时，a＝4﹣1＝3， ＝3（不合题意舍去）；
则（b﹣a）3＝（1﹣3）3＝﹣8．
故（b﹣a）3的值为0或﹣8．
故答案为：0或﹣8．
16．我们知道： 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 也可以看成 ，表示5与 之差的绝对值，也可理解为数轴上表示5与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离事实上，数轴上表示有理数 的点 的距离均可以用 来计算.根据以上材料，则使 的所有整数x的和是 .
【答案】4
【解析】 ，表示在数轴上x与-3和x与4距离之和为7，
∵-3与4之间的距离是7，
∴x的取值范围为-3≤x≤4，
∴符合条件的整数为-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
-3+(-2)+（-1）+0+1+2+3+4=4
故答案为：4.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．有个补充运算符号的游戏：在“1□2□□9”中的每个□内，填入+、-、×、÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算： （直接写出结果）；
（2）若□，请推算□内的符号应是什么？
（3）请在□内填上×、÷中的一个，使计算更加简便，然后计算□
【答案】（1）0
（2）解：∵ ，且 □ ， ，
∴□内的符号应是＋
（3）解：填上÷， =
===
【解析】【详解】（1）解：
故答案为：0
18．不进行通分，计算：
．
【答案】解：设 ， ，
可得 ，
则原式 ．
19．找规律并计算：
（1）计算：= ，= ；
= ，= ；
（2）猜想：观察上述式子可猜想出的结论是：= ；
（3）试用你所猜想的结论计算：
…….
【答案】（1）3；3；21；21
（2）（x+y）（x-y）
（3）解：
.
【解析】（1）22-12=2×2-1×1=3，（2+1）（2-1）=3×1=3；
52-22=5×5-2×2=21；（5+2）（5-2）=7×3=21.
故答案为：3，3；21，21；
（2）∵22-12=2×2-1×1=3，（2+1）（2-1）=3×1=3，
∴22-12=（2+1）（2-1），
∴x2-y2=（x+y）（x-y）.
故答案为：（x+y）（x-y）.
20．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算： ，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
小明：原式＝ ；
小军：原式＝ ；
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
（3）用你认为最合适的方法计算： .
【答案】（1）解：小军的解法相对来说更简便一些，所以小军的解法较好；
（2）解：还有更好的解法，
；
（3）解：
21．给出定义如下：
若有理数a，b满足等式a+b=ab-1，则我们称a，b为一对“伴生有理数”，记为（a，b）.例如：2+3=2 3-1，则称2，3是一对“伴生有理数”，记为（2，3）.
（1）判断（ ，-3）、（7， ）是否为“伴生有理数”，请说明理由；
（2）若（4，m）为“伴生有理数”，求m的值.
【答案】（1）解：因为 ， ，
所以 ，
所以 是“伴生有理数”；
因为 ， ，
所以 ，
所以 不是“伴生有理数”；
（2）解：由题意得： ，
解得 .
22．阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 （加乘）运算．”然后他写出了一些按照 （加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4） （+2）=+6；（﹣4） （﹣3）=+7；
（﹣5） （+3）=﹣8；（+6） （﹣7）=﹣13；
（+8） 0=8；0 （﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 （加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算， ．
（2）计算：[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在 （加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
【答案】（1）同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值
（2）解：原式=（﹣5） 12=﹣17
（3）解：加法的交换律仍然适用，
例如：（﹣3） （﹣5）=8，（﹣5） （﹣3）=8，
所以（﹣3） （﹣5）=（﹣5） （﹣3），
故加法的交换律仍然适用
【解析】（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，都得这个数的绝对值，
故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．
23．在数轴上有A、B、C三点，其中点A、C表示的数分别为、5，且，
（1）求B点表示的数；
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、C、B三点同时出发，沿数轴负方向运动，它们的速分别、、2（单位长度/秒），当丙追上甲时，甲乙相距多少个单位长度？
（3）若A、B、C在数轴上依次排列，是否存在一点P到A、B、C的距离和等于10？若存在，求点P对应的数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设点B表示的数为x，
∵点A、C表示的数分别为、5，
∴，，
∵，
∴，
解得：或
（2）解：∵甲、乙、丙三个动点分别从A、C、B三点同时出发，沿数轴负方向运动，丙追上甲，
∴点B在点A的右侧，
∴丙追上甲所用的时间为秒，
此时甲乙相距，
即当丙追上甲时，甲乙相距个单位长度
（3）解：存在，
设点P表示的数为y，根据题意得：
，
当时，，
解得：（舍去）；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：（舍去）；
当时，，
解得：；
综上所述，点P对应的数或2．
24．请先阅读下列一段内容，然后解答问题：
因为： ， ， ，…… ， ，
所以：
计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式=
=
=
=
= .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
