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浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 尖子生测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（ ）①；②平分；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F.以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
5．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：≌；；；；其中正确的说法有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，O是正内一点，，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点O与的距离为6；②；③；④；⑤点P为内一点，则点P到三个顶点的距离和最小为.其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BNMC，四块阴影部分的面积分别S1、S2、S3、S4．则等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点.AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD＝DF；③AD＋DE= BE；④AB＋BC＝2AE.其中正确结论的序号是（ ）
A．只有①②③ B．只有②③ C．只有①②④ D．只有①④
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是 .
12．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC= ．
13．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AB=4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为 .
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 .
15．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 .
16．如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外）
上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
18．如图，在△ABC中，∠ABC>60°，∠BAC<60°，以AB为边作等边△ABD(点C、D在边AB的同侧)，连接CD，
(Ⅰ)若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC的度数；
(Ⅱ)当∠BAC=2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由；
(Ⅲ)当∠BCD等于多少度时，∠BAC=2∠BDC恒成立。
19．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．
（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝ ，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
21．如图，已知中，，点D、E在直线BC上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点D向下作，交AB的延长线于点F，若，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FD、EA交于点G，连接BG，若，求四边形ACBG的面积．
22．如图：
（1）在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：
①DC=BC；②AD+AB=AC.
请你证明结论②。
（2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
23．如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD 平分∠ABC.
（1）如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得 DA=CD，这个性质是 ；
（2）问题解决：如图，求证：AD=CD；
（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=100°，BD 平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.
24．定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”.如图1在中，，则是“类勾股三角形”.
（1）等边三角形一定是“类勾股三角形”，是 命题（填真或假）.
（2）若中，，且，若是“类勾股三角形”，求的度数.
（3）如图2，在等边三角形的边上各取一点，，且相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且.
①求证：.
②连结，若，那么线段能否构成一个“类勾股三角形”？若能，请证明；若不能，请说明理由.
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浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 尖子生测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，
故答案为：B.
2．如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②平分；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①④符合题意，
在与中，
过B作，，
∴，
在与中，，∴，
∴，
∵，，
∴平分，故②符合题意，
∵，
∴，
在与中， ，∴，
∵，，
，
在线段上截取，
∵由②的证明可知，∴是等边三角形，∴，
又∵，∴，
又∵，∴，∴
∴，
∴③符合题意，
故答案为：D，
3．如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F.以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∵P是的中点，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，∴，
∴，，故①正确，
∵，
∴是等腰直角三角形，故②正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确，
只有当为的中位线时，，故④错误；
综上所述：正确的结论有①②③
故答案为：A.
4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】BE与GD的延长线相交于M点，BM交CF于N点，如图，
设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为 x，
设CN＝t，则BE＝t，
在Rt△BCN中，∵CN＝t，BN＝t+x，BC＝ x，
∴x2+（t+x）2＝（ x）2，
解得t＝x，
∴BE＝CN＝x，
∵ED为小正方形的对角线，
∴∠FEN＝∠EFN＝45°，
∴∠GFD＝45°，
∵GD⊥DF，
∴△GDF为等腰直角三角形，
∴∠FGD＝45°，DG＝DF＝x，
∵∠GEM＝∠EGM＝45°，
∴△MGE为等腰直角三角形，
∴ME＝MG＝2x，
在Rt△BMG中，∵BM＝3x，GM＝2x，
∴BG＝ ＝ x，
∴ ＝ ＝ .
故答案为：C.
5．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】 ， ， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
，
是 的垂直平分线，
，
，
为 斜边上的中线，
，
为等腰三角形，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
在 和 中 ， ≌ ， ，
，
正确；
由 知： ，
，
，
正确；
由 知： ≌ ，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
正确，
综上，正确的结论有： ，
故答案为：D.
6．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：≌；；；；其中正确的说法有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD=∠ACE，
又∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴①说法正确，符合题意；
∵△ABD≌△CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BFE＝∠BAE+∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°，
∵∠AEC＝∠EBF+∠BFE，
∴∠AEC＝∠FBE+60°，
∵∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，
∴∠GEC＝∠AEC＝∠FBE+30°，∠GBE＝∠CBD＝∠FBE=∠GEC-30°，
又∵∠GEC＝∠GBE+∠BGE，
∴∠BGE＝30°，
∴②说法正确，符合题意；
如图，过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，
∵GB平分∠DBC，GE平分∠AEC，
∴GT＝GJ=GK，
∴FG平分∠EFD，
∵∠BFE=60°，
∴∠EFD=120°，
∴∠GFJ=∠C＝60°，
∵∠GJF＝∠GKC＝90°，
∴△GJF≌△GKC（AAS），
∴∠TGF=∠CGK=90°-∠C=30°，
设∠GBE=x，则∠ABG=60°-x，∠BGK=90°-x，
∵BG=BG，GT=GK，
∴Rt△GTB≌Rt△GKB（HL），
∴∠BGT=∠BGK=90°-x，
∴∠BGF=∠BGT-∠TGF=90°-x-30°=60°-x，
∴∠ABG＝∠BGF，
∴③说法正确，符合题意；
∵△GJF≌△GKC，
∴GF＝GC，
∵∠BAH+∠EAC＝∠EAC+∠AGF＝60°，
∴∠BAH＝∠AGF，
∵∠AHG＝∠ABG+∠BAH，∠AGH＝∠BGF+∠AGF，
∴∠AHG＝∠AGH，
∴AH＝AG，
∴AH+GF＝AG+GC＝AC＝AB，
∴AB＝AH+FG，
∴④说法正确，符合题意.
故答案为：A．
7．如图，O是正内一点，，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点O与的距离为6；②；③；④；⑤点P为内一点，则点P到三个顶点的距离和最小为.其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤
【答案】D
【解析】连接OO'，
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，
∴△OBO'是正三角形，OO'=OB，故①正确；
由①易得，，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴故②正确；
，故③错误；
由③知，故 ④错误；
根据三角形的性质可知：当点P是三角形三边的中垂线的交点时，到三角形三个顶点的距离和最小，距离和的最小值是，故⑤正确.
故答案为：D.
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BNMC，四块阴影部分的面积分别S1、S2、S3、S4．则等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】过F作AM的垂线交AM于D，连接PF，易得Q、P、F三点在同一直线上，设EF与AM相交于点K，BP与AF相交于点T，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=AF，∠FAD+∠CAB=90°，
又∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠FAD，
∴Rt△ADF≌Rt△ABC（AAS），
∴DF=AC，∠FKD=∠CAB，
∴∠TAC=∠DFK，
∴Rt△DFK≌Rt△CAT（ASA），
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又∵Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1＋S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
利用AAS证明Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1 S2＋S3＋S4
＝（S1＋S3） S2＋S4
＝SRt△ABC SRt△ABC＋SRt△ABC
＝SRt△ABC=.
故答案为：B.
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴S△ABE＝S△BCE，所以①正确；
∵∠BAC＝90°，
∴∠AFC+∠ACF＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DGC+∠GCD＝90°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠GCD，
∴∠AFC＝∠DGC，
∵∠AGF＝∠DGC，
∴∠AFC＝∠AGF，所以②正确；
连接DE，如图，
∵DE为Rt△ADC的斜边AC的中线，
∴DE＝EC＝AE，
∴∠EDC＝∠ACD＝2∠HCD，
∵∠EDC＝∠EBD+∠DEB，
∴只有当DB＝DE时，∠EBD＝∠DEB，此时∠HCD＝∠EBD，
∵条件中不能确定AC＝2BD，
∴不能确定DB＝DE，
∴不能确定∠HCD＝EBD，
∴HB＝HC不成立，所以③错误；
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，所以④正确.
故答案为：B.
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点.AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD＝DF；③AD＋DE= BE；④AB＋BC＝2AE.其中正确结论的序号是（ ）
A．只有①②③ B．只有②③ C．只有①②④ D．只有①④
【答案】A
【解析】①延长BA、CF，交于点H，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，故①正确；
②由①知，F为CH中点，又 为直角三角形
故
∴
∵
∴
∵
∴
又BF为 的平分线
∴
∴
∴
在 中，
∴，故② 正确；
③过E作 交AF于点M，由②知，CA为∠DAF的平分线
∴
△EMF为等腰直角三角形
∴
∴，故③ 正确；
④过E作 于点N，可知
在 中，
∴
即 ，而
∴
故
∴ ，故④错误.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是 .
【答案】6
【解析】作A关于的对称点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，
为，
的最小值为到的距离，
故答案为：6.
12．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC= ．
【答案】17
【解析】作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，
则AC+BC=A′C+BC=A′B，A′B就是AC+BC的最小值；
延长BN使ND=A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND=AM=3，A′D=MN=15，
∴BD=BN+ND=5+3=8，
∴A′B= =17，
∴AC+BC=17，
故答案为17．
13．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AB=4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为 .
【答案】6
【解析】如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，
∴AE＝AB＝4，BE=8，EP＝BP，
设BC＝x，
∵△BPC周长的最小值为16，
∴此时CP+BP＝CP+PB=16-x＝CE，
∵∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴在Rt△CBE中，EB2+BC2＝CE2，
∴82+x2＝（16-x）2，
解得x＝6，
∴BC＝6.
故答案为：6．
14．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 .
【答案】
【解析】过E作EH⊥AG于H，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AE平分∠BAG交BC于点E，
∴BE＝EH，
在Rt△ABE与Rt△AHE中， ，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴AH＝AB＝8，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴EH＝CE，
在Rt△EHG与Rt△ECG中， ，∴Rt△EHG≌Rt△ECG（HL），
∴GH＝CG＝ ，
∴AG＝AH+GH＝8+ ＝ ，
故答案为： .
15．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 .
【答案】或
【解析】∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF=
AC=
×1=
；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD=
，
∴AF=AD=
，
故答案为：
或
.
16．如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为 ．
【答案】69°
【解析】在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
∴AD=AB=AC，
∠DAC=∠BAC-∠BAD=18°，
∴∠ACD=∠ADC=81°，
∵AB=AC，∠BAC=78°，
∴∠ABC=∠ACB=51°，
∴∠CDB=141°=∠BPC，
又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∵∠PCD=60°，
∴△DPC是等边三角形，
∴△APD≌△APC，
∴∠DAP=∠CAP=9°，
∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=9°+60°=69°．
故答案为：69°
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外）
上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
18．如图，在△ABC中，∠ABC>60°，∠BAC<60°，以AB为边作等边△ABD(点C、D在边AB的同侧)，连接CD，
(Ⅰ)若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC的度数；
(Ⅱ)当∠BAC=2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由；
(Ⅲ)当∠BCD等于多少度时，∠BAC=2∠BDC恒成立。
【答案】解：(Ⅰ)∵△ABD是等边三角形
∴∠BAD=∠ABD=60°，AB=AD
又∵∠BAC=30°
∴AC平分∠BAD
∴AC垂直平分BD
∴CD=CB
∴∠DBC=∠DBC=∠ABC∠ABD=90°-60°=30°
(Ⅱ)△ABC是等腰三角形
理由：设∠BDC=x，BAC=2x
有∠CAD=60°-2X∠ADC=60°+x
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°+X
∴∠ACD=∠ADC
∴AC=AD
∵AB=AD
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
(Ⅲ)当∠BCD=150°时，∠BAC=2∠BDC恒成立
如图，作等边△BCE，连接BE
∴BC=EC，∠BCE=60°
∴∠BCD=150°
∵∠ECD=360°-∠BCD-∠BCE=150°
∴∠DCE=∠DCB
又 ∵CD=CD
∴△BCD≌△ECD
∴∠BDC=∠EDC
∴∠BDE=2∠BDC
又∵∠BAC=∠BDE=60°
∵∠BAC=2∠BDC
19．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．
（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．
【答案】解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠A＝60°，∠ACP＝24°， ∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°， ∴3∠ABP＝120°﹣24°， ∴∠ABP＝32°； （Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC， ∴BM⊥AC， ∴∠BMC＝90°， ∵PD⊥BC，点D是BC边的中点， ∴PD垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∵△PCM的周长为m+2， ∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2， ∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BM CM＝m2+2 BM CM＝（m+2）2， ∴BM CM＝2m+2， ∴△BCM的面积＝ BM CM＝m+1．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝ ，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝ ∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝ ∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE， ∴△DCE是等腰三角形
（2）解： ∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝ ， ∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC 中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE＝ +1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝ +1
∴1+2GH＝ +1
∴GH＝
（3）解：CE＝2GH 理由如下：∵AB＝CA，点G 是BC的中点， ∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝ BC﹣ BE+CE＝ CE，
∴CE＝2GH
21．如图，已知中，，点D、E在直线BC上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点D向下作，交AB的延长线于点F，若，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FD、EA交于点G，连接BG，若，求四边形ACBG的面积．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD与△ACE中，
∵AB=AC，∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠D=∠E；
（2）证明：如图2，过点A作AH⊥DE于点H，
∵∠DAE+∠E+∠ADE=180°，∠DAE=4∠E，∠E=∠ADE，
∴∠E=30°，
∵AH⊥DE，
∴∠AHD=∠AHE=90°，
∴AE=2AH，
∵DF⊥DE，
∴∠FDB=∠AHD=90°，
在△AHB与△FDB中，
∵∠FDB=∠AHD=90°，∠ABH=∠FBD，AB=FB，
∴△AHB≌△FDB（AAS），
∴AH=DF，
∴AE=2DF；
（3）解：如图3，作AH⊥DC于点H，BN⊥GE于点N，
∵∠E=∠ADE=30°，∠GDE=90°，
∴∠DGA=∠GDA=60°，
∴AG=AD=AE，
∵S△ABG=AG×BN，S△ABE=AE×BN，
∴S△ABG=S△ABE，
∵△FDB≌△AHB，
∴BD=BH，
∵AB=AC，AD=AE，AH⊥DE，
∵BH=HC，HD=HE，
∴BD=BH=HC=CE，
∴S△ABD=S△ABH=S△ACE=S△ACH=，
∴S△ABG=S△ABE=，
∴S四边形ACBG=S△BGE-S△ACE=.
22．如图：
（1）在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：
①DC=BC；②AD+AB=AC.
请你证明结论②。
（2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN
∴ ∠DAC=∠BAC=60°
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DCA=∠BCA=30°
在Rt△ACD中，∠DCA=30°，在Rt△ACB中，∠BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴2AD=2AB
∴AD=AB
∴AD+AB=AC
（2）解：（1）中的结论①DC=BC；②AD+AB=AC都成立，
理由：如图2，在AN上截取AE=AC，连结CE
∵∠BAC=60°，
∴△CAE为等边三角形
∴AC=CE，∠AEC =60°
∵∠DAC =60°，
∴∠DAC =∠AEC
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°
∴∠ADC =∠EBC，
∴
∴DC=BC，DA=BE
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AD+AB=AC.
23．如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD 平分∠ABC.
（1）如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得 DA=CD，这个性质是 ；
（2）问题解决：如图，求证：AD=CD；
（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=100°，BD 平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.
【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）解：如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F.
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE=DF.
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，∴∠EAD=∠C.
在△DEA和△DFC中，∵ ，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA=DC
（3）解：如图，在BC时截取BK=BD，连接DK.
∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°.
∵BD平分∠ABC，∴∠DBK ∠ABC=20°.
∵BD=BK，∴∠BKD=∠BDK=80°，即∠A+∠BKD=180°，由（2）的结论得AD=DK.
∵∠BKD=∠C+∠KDC，∴∠KDC=∠C=40°，∴DK=CK，∴AD=DK=CK，∴BD+AD=BK+CK=BC.
【解析】（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD=90°，∠BCD=90°，∴DA=DC（角平分线上的点到角的两边距离相等）.
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
24．定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”.如图1在中，，则是“类勾股三角形”.
（1）等边三角形一定是“类勾股三角形”，是 命题（填真或假）.
（2）若中，，且，若是“类勾股三角形”，求的度数.
（3）如图2，在等边三角形的边上各取一点，，且相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且.
①求证：.
②连结，若，那么线段能否构成一个“类勾股三角形”？若能，请证明；若不能，请说明理由.
【答案】（1）真
（2）解：∵，
∴，
当时，则（舍去），
当时，则，
，
∴，
∴，
∴，
∴
当时，则，
，
∴，
∴，
∴（舍去），
综上所述：是“类勾股三角形”时，
（3）解：①∵是等边三角形，
∴，，
∵是的高，是“类勾股三角形”，
∴由（2）可得，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
②∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴线段能构成一个“类勾股三角形”.
【解析】（1）当△ABC为等边三角形时，
，
∴，
∴等边三角形一定是“类勾股三角形”；
故答案为：真；
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