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浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知∠A=10°，在∠A两边上分别作点，并连接这些点，使 AB=BC=CD=DE……一直作下去，那么图中以这些线段为腰长的等腰三角形最多能找到（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【解析】如图，取∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8等，
∵AB=AC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠A=20°，
∵BC=CD，∴∠4=∠3=20°，∴∠5=∠4+∠1=30°，
同理∠7=∠6+∠1=30°+10°=40°，∠9=∠8+∠1=40°+10°=50°，
∠11=∠10+10°=60°，∠13=∠12+10°=70°，∠15=∠14+10°=80°，
∠17=∠16+10°=90°，
这时，再无相等线段可作为等腰三角形的腰长，
综上，共有8个.
故答案为：B.
2．如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B．1 C． D．不能确定
【答案】B
【解析】过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝ AC，
∵AC＝2，
∴DE＝1．
故答案为：B．
3．已知等腰三角形△ABC，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．90°或75°
C．90°或 75°或15° D．75°或15°或60°
【答案】C
【解析】分三种情况：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
由题意知，AD= BC= AB，
∵∠ADB=90°，
∴∠B=30°，∠C= =75°，
∴∠BAC=∠C=75°；
②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知，AD= BC= AC，
∵∠ADB=90°，
∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，
∵∠B=∠CAB，
∴∠BAC=15°；
③AC=AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的三线合一知点D为BC的中点，
由题意知，AD= BC=CD=BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，
故答案为：C.
4．如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法:①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC = 60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC:S△ABC = 1:3.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】 ①证明：如图，连接NP、MP，
在△ANP和△AMP中，
∵，
∴△ANP≌△AMP（SSS），
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的∠平分线，正确；
② 在△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAD=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=30°，
∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，正确；
③∵∠DAB=∠B=30°，
∴DA=DB，
∴D在AB的中垂线上，正确；
④ 在△ACD中，
∵∠CAD=30°，
∴AD=2CD=BD，
∴BC=3CD，
∵S△DAC=AC×CD， S△ABC=AC×BC=AC×3CD=3S△DAC，
∴S△DAC:S△ABC = 1:3，正确.
综上，正确的选项有4个.
故答案为：D.
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，点N在AC上，MN⊥AB，若AC＝8，BC＝4，则NC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】如图所示，连接BN，
∵M为AB的中点，MN⊥AB，
∴AN=BN，
设NC=x，则AN=BN=AC-NC=8-x，
∵∠C=90°，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴NC=3，
故答案为：C.
6．如图， ， ，过 作 的垂线，交 的延长线于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．15°
【答案】C
【解析】连接AD，延长AC、DE交于M，
∵∠ACB=90°，AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=45°，
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠CAB=∠CDM，
在△ACB和△DCM中∴△ACB≌△DCM（ASA），∴AB=DM，
∵AB=2DE，∴DM=2DE，∴DE=EM，
∵DE⊥AB，∴AD=AM，
故答案为：C．
7．如图，已知 △ABC和 △ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90° ，连结BD，CE交于点F，连结AF，下列结论：① BD=CE；② BF⊥CF；③ AF平分 ∠CAD；④ ∠AFE=45°
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】如图：过A作AM⊥BD于点M，AN⊥EC于点N，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE，故①正确；
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠FBC＋∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90，
∴BF⊥CF，故②正确；
∵△BAD≌△CAE，
∴S△ABD＝S△ACE，BD＝CE，
∵AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∵BF⊥CF，
∴∠EFB＝90°，
∴∠AFE＝45°，故④正确；
没有足够的条件证明∠EAF＝∠BAF，
∴AF不一定平分∠CAD，故③不正确.
故答案为：B.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（ ）
①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE.
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】在△BAE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC＝5，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GBC＝∠GCB，∴BG＝CG，∴点G是BC的中垂线上，
∵AB＝AC，∴点A在BC的中垂线上，∴AG垂直平分BC，∴BF＝CF，故①正确；
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF，故②正确；
若BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵∠ABE＝∠ACD，∠GBC＝∠GCB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴点G是角平分线的交点，
∴点G到三边的距离为GF的长，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，BF＝CF，
∴BF＝CF＝3，
∴AF＝＝4，
∵S△ABC＝×BC×AF＝×AB×GF+×AC×GF+×CB×GF，
∴FG＝，故③正确；
如图，连接EF，
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠BEC，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF＝EF＝BF，
∴∠DBF＝∠BDF，∠FEC＝∠FCE，
∴2∠DBF+∠DFB＝180°，2∠ECF+∠EFC＝180°，
又∵∠DFB+∠EFC+∠DFE＝180°，
∴2∠DBF+2∠ECF﹣∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB＝360°，
∴2∠BAC+180°+∠DFE＝360°，
∴2∠BAC+∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠DFE＝2∠ABE，故④正确.
故答案为：D.
9．如图，已知等边 和等边 ，点 在 的延长线上， 的延长线交 于点M，连 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵等边△ABC和等边△BPE，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，PB=PE，
在△APB和△CEB中，
，
∴△APB≌△CEB （SAS），
∴∠APB=∠CEB，
∵∠MCP=∠BCE，
∴∠PME=∠PBE=60゜，
作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠BPN=∠FEB，
在△BNP和△BFE中，
，
∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN=BF，
∴BM平分∠AME，
∴∠AMB= ∠AME= ×120°=60°，
∵∠ABM=40°，
∴∠BAP=80°，
∴∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=40°．
故答案为：A．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：① ∠FDC＝22.5°； ② 2BD＝AE；③ AC＋CE＝AB； ④ AB－BC＝2FC．其中正确的结论有（ ） 个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】如图，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE，
∴③符合题意；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD= ∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠ABD=90° 22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5° 45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，AN=BD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
在 中，∠AFD=90°，∠FCD=22.5°，
∴∠FDA=67.5°，
∵∠FDC=∠FDA-∠CDA=22.5°，故①符合题意；
∴∠ACN=45° 22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN= AE，
∵AN=BD，
∴BD= AE，
故②符合题意；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90° ∠DAB=67.5°，
∴∠MCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，在△DCM和△DBH中∠M=∠DHB=90°，∠FCD=∠DBA，DF=DH，
∴△DCF≌△DBH，
∴BH=CF，由勾股定理得：AF=AH，
∴ ，
∴AC+AB=2AF，AC+AB=2AC+2CF，AB AC=2CF，
∵AC=CB，
∴AB CB=2CF，
∴④符合题意；
故答案选：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，若，，则 ，线段的长度 ．
【答案】45；
【解析】如图，延长FD到M使得DM＝DF=2，分别连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于点N，
∵∠C＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°，
∵AE＝AD，BF＝BD，∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，
∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°，
∴2∠ADE+2∠BDF＝270°，
∴∠ADE+∠BDF＝135°，
∴∠EDF＝180°-（∠ADE+∠BDF）＝45°，
∵∠END＝90°，DE＝，
∴∠EDN＝∠DEN＝45°，
∴EN＝DN＝1，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
又∵∠ADM=∠BDF，DM＝DF=2，
△ADM≌△BDF（SAS），
∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，
∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°，
∴EM＝AM，
∵在Rt△EMN中，EN＝1，MN＝DM+DN＝3，
∴EM＝＝=，
∴AM＝，AB＝2AM＝．
故答案为：45，．
12．如图，D是等边三角形外一点，，，当长最大时，的面积为 .
【答案】
【解析】以CD为边作等边△DCE，连接AE .
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为8，
∴当A，D，E三点共线时， 的值最大，且为8，
如图，过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点B作BM⊥AC交AC于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
根据等边三角形的性质可得， ，
∴ 中 边上的高 ，
∴ 的面积为 ，
故答案为： .
13．如图，与都是等边三角形，和相交于点，连接下面结论中，；；不是的平分线；所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③④
【解析】∵ 与 都是等边三角形，
∴ ，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，故①符合题意，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故 符合题意；
如图，过点A作 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，故 符合题意；
如图，在线段 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④符合题意．
故答案为：①②③④．
14．如图，四边形中，，则的面积为 ．
【答案】1
【解析】法一：过点B作BE⊥DC于点E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，
∴∠DFB=∠BFC=90°，
∵∠BAD=∠ABD=∠BCD=45°，
∴∠ADB=90°，AD=BD，
设BD=x，则AB=，
在Rt△BEC中，BE=CE，
∴2BE2=BC2=
解之：BE=1
∵∠CDB+∠CBD=180°-45°=135°，∠CBF+∠DBC=180°-45°=135°，
∴∠CBF=∠CDB，
∴△BDE∽△CBF，
∴
∴
解之：，
∴△ABC的面积为.
法二：过点D作CD的垂线交CB的延长线于点G，连接AG。
AD=BD;DG=CD,∠ADC=∠BDC
∴△ADC≌△BDC
∴AG=BC,∠AGD=∠BCD=45°
∴∠AGC=90°
∴△ABC的面积为=1
故答案为：1
15．如图，在 中， .点 在 上，点 在 的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则 的面积为 ．
【答案】
【解析】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，
∵MN是CD的垂直平分线，
∴MC=MD，
∴∠MDC=∠MCD，
∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，
∴∠AMC=2∠ADC，
∵∠BED=2∠ADC，
∴∠AMC=∠BED，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，
∴∠ACM=∠BDE，
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠ACM，
∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD，
∵AF=2，FD=7，
∴AC=FC-AF=7-2=5，
∴S△ABC= ×5×5= .
故答案为：
16．有一组平行线 过点A作AM⊥ 于点M,作∠MAN=60°,且AN=AM,过点N作CN⊥AN交直线 于点C,在直线 上取点B使BM=CN,若直线 与 间的距离为2, 与 间的距离为4,则BC= .
【答案】
【解析】∵AM⊥b，CN⊥AN，
∴∠AMB=∠ANC=90°，
在△ABM与△ACN中， ，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠BAM=∠CAN，AB=AC；
∴∠BAC=∠MAN=60°，
∴△ABC为等边三角形.
如图1，过点N作HG⊥a于H，交c于点G，
∴∠AHN=∠NGC=90°.
∵∠MAN=60°，∴∠HAN=30°，∴AN=2HN，∠ANH=60°，
∵AM=AN=2，∴HN=1.∴NG=5.
∵CN⊥AN，∴∠ANC=90°，∴∠ANH+∠CNG=90°，
∴∠CNG=30°，∴CN=2CG，
在Rt△CGN中，由勾股定理，得
4CG2-CG2=25，CG= ，∴CN=
在Rt△ANC中，由勾股定理，得AC2=（ ）2+22，
∴AC= ，∴BC=AC= .
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M 在 AC上，且AM＝6cm，过点 A(与 BC 在 AC 同侧)作射线 AN⊥AC，若动点 P 从点 A 出发，沿射线 AN 匀速运动，运动速度为 1cm/s，设点 P 运动时间为 t 秒．
（1）经过几秒时，Rt△AMP
是等腰直角三角形？
（2）经过几秒时，PM⊥MB？
（3）经过几秒时，PM⊥AB？
（4）当△BMP 是等腰三角形时，直接写出 t 的所有值．
【答案】（1）解：当 Rt△AMP 是等腰直角三角形时，AP＝AM＝6cm，
∴t＝6÷1＝6(s)，
故答案为：6；
（2）解：当PM⊥MB 时，∠BMP＝90°，
∴∠BMC+∠AMP＝90°，又∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM＝∠AMP，
在△CBM和△AMP 中， ，∴△CBM≌△AMP(ASA)，
∴AP＝CM＝2，
∴t＝2，即经过 2 秒时，PM⊥MB；
（3）当 PM⊥AB 时，如图1，∠PHA＝90°，
∴∠HPA+∠HAP＝90°，又∠HAP+∠CAB＝90°，
∴∠APM＝∠CAB，
在△APM 和△CAB 中，
，
∴△APM≌△CAB(ASA)，
∴AP＝CA＝8，
∴t＝8，
∴经过 8 秒时，PM⊥AB；
（4）解：根据勾股定理得，BM＝ ，BP 的最小值为 8，
∵ ＜8，
∴BM≠BP，
当 MB＝MP 时，
在 Rt△BCM 和 Rt△MAP 中，
，
∴Rt△BCM≌Rt△MAP(HL)，
∴AP＝CM＝2， 则 t＝2，
当 PB＝PM 时，如图2，作BF⊥AN于 F， 则四边形 BCAF 为矩形，
∴BF＝CA＝8，AF＝BC＝6，
∴PF＝6﹣t，
由勾股定理得，BP2＝PF2+BF2，MP2＝AM2+AP2，
∴PF2+BF2＝AM2+AP2，
即(6﹣t)2+82＝62+t2， 解得，t＝ ，
∴当△BMP 是等腰三角形时，t＝2 或 .
18．如图
，已知 中，AB=BC， ，点 为斜边 的中点，连接 ，AF是 的平分线，分别与 BD、 相交于点 E、F．
（1）求证： ；
（2）如图
，连接 ,在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形(不包含 ）．
【答案】（1）证明：∠ABC=90 ，BA=BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC,∠DBC=45°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=22.5°，
∴∠BFE=67.5°，
∴∠BEF=180° ∠EBF ∠EFB=67.5°，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF；
（2）解：∵∠ABC=90°，BA=BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD=AD=CD，
∴△ABD、△CBD是等腰三角形，
由已知得，△ABC是等腰三角形，
由(1)得，△BEF是等腰三角形，
∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴点E是△ABC的内心，
∴∠EAC=∠ECA=22.5°，
∴△AEC是等腰三角形.
∴△ABD、△CBD 、△ECA、△ABC、△BEF是等腰三角形.
19．如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形
（1）求证：BE＝DC .
（2）设 BE、DC 交于 M，连 AM，求 的值.
【答案】（1）证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，
∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC
（2）解：在DM上截取DG=MB，连接AG，AM，
∵△ABD、△AEC等边三角形，
∴∠BAD=∠CAE=60°，AC=AE，AD=AB，
∴∠BAD+∠BAC=∠BAC+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
在△CAD和△EAB中，∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，
在△ADG和△ABM中， ，∴△ADG≌△ABM（SAS），
∴∠DAG=∠BAM，AG=AM，
∵∠DAG+∠BAG=60°，∴∠BAG+∠BAM=60°，即∠MAG=60°，
∴△MAG为等边三角形，∠MAG+∠CAM=∠CAM+∠CAE，即∠CAG=∠EAM，
∴MA=MG，
在△CAG和△EAM中， ，∴△CAG≌△EAM（SAS），
∴CG=ME，
∴MD+ME=DG+MG+MC+MG=MB+MC+2MA，
∴ =1
20．在等腰 中， ， ，点 是 上的任意一点，连接 ,过点 作 交 于点 .
（1）如图1，若 . ， ，求 的面积：
（2）如图2，过 作 ,且 ,连接 并延长 交 于 ,连接 ,求证：
【答案】（1）解 ：∵ ， ，
∴
∵
∴
在 中，
∴ ，
∵ ，
根据勾股定理可得：
∴
（2）证明 ：过点 作 交 的延长线于点
在 中， ， ，
∵
∴ ，即
又∵ ， ∴∴
在 中， ，
∴
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴
∵ ，∴
在 和 中∴∴
21．将一副三角尺按如图①方式拼接：含30°角的三角尺的长直角边与含45°角的三角尺的斜边恰好重合(在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°；在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠DAC=45°)已知AB=2 ，P是AC上的一个动点。
（1）当PD=BC时，求∠PDA的度数；
（2）如图②，若E是CD的中点，求△DEP周长的最小值；
（3）如图③，当DP平分∠ADC时，在△ABC内存在一点Q，使得∠DQC=∠DPC，且CQ= ，求PQ的长。
【答案】（1）解：过D点作DM⊥AC交于M
在Rt△ABC中，∠BAC=30°∴BC：AC：AB=1： ：2
且AB=2 ∴BC= ，AC=3
在Rt△ADC中AD：CD：AC=1：1：
∴AM=MC=DM=1.5
在Rt△PDM中
PD=BC=
PM= =
∴PM= PD
∴∠PDM=30° ∴∠PDA=45°-30°=15°
（2）解：如图，作△ADC关于AC直线对称
易得四边形AD'CD是正方形
D点的对称点D’
连结D'E，PD
此时PD+PE=D'E
∴△PDE的周长最小
易得CD=D'C= ，CE=DE=
D'E=
△PDE的周长最小=
（3）解：如图，将△PQC绕点P逆时针旋转90°得到△PND
∵PN=PQ
∴△PNQ是等腰直角三角形
∴∠PNQ=∠PQN=45°
∴∠PQC=45°+90°=135°=∠PND
∴∠PND+∠PNQ=135°+45°=180
∴D、N、Q三点共线
∴DN=CQ=
在Rt△DQC中
DQ= =2
∴QN=2-
在等腰直角三角形NPQ中
PQ：PN：NQ=1：1：
∴PQ= -
方法二：如图，P、Q、C、D四点共圆
易得∠PQC=135°
22．我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形例如:某三角形三边长分别是5，6和8，因为 ，所以这个三角形是常态三角形.
（1）若△ABC三边长分别是2， 和4，则此三角形 常态三角形(填“是”或“不是”);
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，CD= AB， 若△ACD是常态三角形，求△ABC的面积;，
（3）若Rt△ABC是常态△，斜边是 ，则此三角形的两直角边的和= .
【答案】（1）是
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，
∴CD=AD=BD= AB，
设CD=AD=BD= AB=x，则AB=2x，
由勾股定理得：AC2+62=（2x）2，
∴AC2=4x2-36，
①∵△ACD是常态三角形，
∴CD2+AD2=4AC2，
∴x2+x2=4（4x2-36），
∴x2= ，
∴AC2=
∴AC= ，
∴△ABC的面积为： ×AC×BC= ；
②∵△ACD是常态三角形，
∴CD2+AC2=4AD2，
∴x2+AC2=4x2，
∴AC2=3x2，
可得 ；
解得：x=6，
∴AC= ，
∴△ABC的面积为： ×AC×BC= ，
综上所述，△ABC的面积为 或 ；
（3）2 +4.
【解析】(1)∵ ，
∴此三角形是常态三角形；
（ 3 ）∵Rt△ABC是常态三角形，
设其两直角边分别为：a，b，斜边为c，
则由勾股定理和常态三角形的定义得：a2+b2=c2，a2+c2=4b2，
∴2a2=3b2，
∴a：b= ，
设a= x，b= x，
则c= x，
∵斜边是2 ，即 ，
解得：x= ，
∴a+b= .
23．在△ABC中，∠B=90° ∠A
（1）如图1，求证：AB=AC；
（2）如图2，若∠BAC=90°，点D为AB上一点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，连接AE，
求∠AEC的度数；
（3）如图3，在(2)的条件下，过点A作AE的垂线交CE于点F，连接BF，若∠ABF-∠EAB=15°，G为DF上一点，连接AG，若∠AGD=∠EBF，AG=6,求CF的长.
【答案】（1）解：
= =90° ∠A
∴
∴AB=AC
（2）解：如图：
在CE上截取CF=BE，连接AF
由（1）得AB=AC ∴
又 ∠BAC=90°， （对顶角）
∴
在 和 中∴
∴AE=AF,
又 ∠BAC=∠DAF+∠FAC=90°
∴∠DAF+∠EAB=90°
∴ EAF是等腰直角三角形
∴∠AEC=45°
（3）解：如图：作AH EC
由（2）得
（对顶角相等）
又 ∠ABF-∠EAB=15°
∴∠AGD=∠EBF=60°
∴在Rt AHG中，HG=
∴EF=
在Rt BEF中 ，设BE=x,则BF=2x
∴
解得：
∴BE=6
∴CF=BE=6
24．已知：在△ABC中，BA=BC，BD是△ABC的中线，△ABC的角平分线AE交BD于点F，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点G
（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：AF= EG;
（2）如图2，若∠ABC=90°，求证：AF= EG;
（3）在（2）的条件下如图3，过点A作∠CAH= ∠FAC，过点B作BM∥AC交AG于点M，点N在AH上，连接MN、BN，若∠BMN+∠EAH=90°， ，求BN的长.
【答案】（1）解：∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
设DF=a，
∵BD为△ABC的中线，AE为△ABC的角平分线，
∴AF=2a，EF=a，
∵CG∥AB，
∴∠G=∠CAE=∠CAE=30°，
∴GE=AE=AF+EF=2a+a=3a，
∴AF= EG；
（2）解：取EG的中点P，连接CF、CP，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴AF=CF，
∵AF是△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠FAC=22.5°，∴∠CFP=45°，
∵CG∥AB，∴∠ECG=∠ABC=90°，∴CP=GP= EG，
∵CG∥AB，∴∠G=∠BAE=22.5°，
∴∠CPF=45°，
∴CF=CP，
∴AF= EG；
（3）解：过点B作BK⊥AM于K，过点M作ML⊥AH于H，
∵∠CAH= ∠FAC，∴∠EAH=22.5°+ ×22.5°=30°，∴∠AML=90°-30°=60°，
∵∠BMN与∠EAH互余，∴∠BMN=90°-30°=60°，∴∠BMK=∠NML，
∵AE是△ABC的平分线，CG∥AB，∴∠BAE=∠BME= ×45°=22.5°，
∴AB=BM，∴MK= AM，
∵∠MAH=30°，ML⊥AH，∴MH= AM，
∴MK=ML，在△BMK和△NML中， ，∴△BMK≌△NML（ASA），
∴MN=BM，
∴MN=AB，
∵△ABC的面积为18，∴ AB2=18，
∴AB=6，
∵∠BMN=60°，BM=MN，
∴△BMN是等边三角形，
∴BN=MN=6．
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浙教版2023-2024学年八上数学第2章特殊三角形 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知∠A=10°，在∠A两边上分别作点，并连接这些点，使 AB=BC=CD=DE……一直作下去，那么图中以这些线段为腰长的等腰三角形最多能找到（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
（第1题） （第2题） （第4题） （第5题）
2．如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B．1 C． D．不能确定
3．已知等腰三角形△ABC，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．90°或75°
C．90°或 75°或15° D．75°或15°或60°
4．如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法:①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC = 60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC:S△ABC = 1:3.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，点N在AC上，MN⊥AB，若AC＝8，BC＝4，则NC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图， ， ，过 作 的垂线，交 的延长线于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．15°
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，已知 △ABC和 △ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90° ，连结BD，CE交于点F，连结AF，下列结论：① BD=CE；② BF⊥CF；③ AF平分 ∠CAD；④ ∠AFE=45°
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（ ）
①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE.
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
9．如图，已知等边 和等边 ，点 在 的延长线上， 的延长线交 于点M，连 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：① ∠FDC＝22.5°； ② 2BD＝AE；③ AC＋CE＝AB； ④ AB－BC＝2FC．其中正确的结论有（ ） 个
A．1 B．2 C．3 D．4
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，若，，则 ，线段的长度 ．
12．如图，D是等边三角形外一点，，，当长最大时，的面积为 .
13．如图，与都是等边三角形，和相交于点，连接下面结论中，；；不是的平分线；所有正确结论的序号是 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，四边形中，，则的面积为 ．
15．如图，在 中， .点 在 上，点 在 的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则 的面积为 ．
16．有一组平行线 过点A作AM⊥ 于点M,作∠MAN=60°,且AN=AM,过点N作CN⊥AN交直线 于点C,在直线 上取点B使BM=CN,若直线 与 间的距离为2, 与 间的距离为4,则BC= .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M 在 AC上，且AM＝6cm，过点 A(与 BC 在 AC 同侧)作射线 AN⊥AC，若动点 P 从点 A 出发，沿射线 AN 匀速运动，运动速度为 1cm/s，设点 P 运动时间为 t 秒．
（1）经过几秒时，Rt△AMP
是等腰直角三角形？
（2）经过几秒时，PM⊥MB？
（3）经过几秒时，PM⊥AB？
（4）当△BMP 是等腰三角形时，直接写出 t 的所有值．
18．如图
，已知 中，AB=BC， ，点 为斜边 的中点，连接 ，AF是 的平分线，分别与 BD、 相交于点 E、F．
（1）求证： ；
（2）如图
，连接 ,在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形(不包含 ）．
19．如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形
（1）求证：BE＝DC .
（2）设 BE、DC 交于 M，连 AM，求 的值.
20．在等腰 中， ， ，点 是 上的任意一点，连接 ,过点 作 交 于点 .
（1）如图1，若 . ， ，求 的面积：
（2）如图2，过 作 ,且 ,连接 并延长 交 于 ,连接 ,求证：
21．将一副三角尺按如图①方式拼接：含30°角的三角尺的长直角边与含45°角的三角尺的斜边恰好重合(在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°；在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠DAC=45°)已知AB=2 ，P是AC上的一个动点。
（1）当PD=BC时，求∠PDA的度数；
（2）如图②，若E是CD的中点，求△DEP周长的最小值；
（3）如图③，当DP平分∠ADC时，在△ABC内存在一点Q，使得∠DQC=∠DPC，且CQ= ，求PQ的长。
22．我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形例如:某三角形三边长分别是5，6和8，因为 ，所以这个三角形是常态三角形.
（1）若△ABC三边长分别是2， 和4，则此三角形 常态三角形(填“是”或“不是”);
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，CD= AB， 若△ACD是常态三角形，求△ABC的面积;，
（3）若Rt△ABC是常态△，斜边是 ，则此三角形的两直角边的和= .
23．在△ABC中，∠B=90° ∠A
（1）如图1，求证：AB=AC；
（2）如图2，若∠BAC=90°，点D为AB上一点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，连接AE，
求∠AEC的度数；
（3）如图3，在(2)的条件下，过点A作AE的垂线交CE于点F，连接BF，若∠ABF-∠EAB=15°，G为DF上一点，连接AG，若∠AGD=∠EBF，AG=6,求CF的长.
24．已知：在△ABC中，BA=BC，BD是△ABC的中线，△ABC的角平分线AE交BD于点F，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点G
（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：AF= EG;
（2）如图2，若∠ABC=90°，求证：AF= EG;
（3）在（2）的条件下如图3，过点A作∠CAH= ∠FAC，过点B作BM∥AC交AG于点M，点N在AH上，连接MN、BN，若∠BMN+∠EAH=90°， ，求BN的长.
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