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浙教版2023-2024学年九上数学第3章圆的基本性质 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【解析】连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，∴∠EAG＝45°，
故答案为：C
2．如图，将半径为8的沿折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】B
【解析】延长交于点，连接，
，
为的中点，
由题意可得，，，
，
，
在中，根据勾股定理可得：，
代入可求得，
.
故答案为：B.
3．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【答案】D
【解析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH= ，
在Rt△CKH中，CK= = ，
∴CQ的最大值为1+ ，
故答案为：D.
5．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是（ ）
A．∠OBA=∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O
C．AB=2BC D．∠OBA+∠BOC=90°
【答案】D
【解析】A.∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OBA+∠OAB+∠AOB=180°，
∴∠OBA=（180°-∠AOB），
∵∠AOB=2∠BOC，∴∠OBA=（180°-2∠BOC）=90°-∠BOC，
又∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∴∠OCA=（180°-∠AOC），
∵∠AOB=2∠BOC，∴∠AOC=3∠BOC，∴∠OCA=（180°-3∠BOC）=90°-∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，
故A错误，A不符合题意；B.∵点A、B、C在圆上，而点O在圆内，
∴四边形OABC不内接于⊙O，
故B错误，B不符合题意；
C.过点O作OD⊥AB交AB于D，交⊙O于E，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=∠AOB，
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴AE=BE=BC，
又∵AE+BE＞AB，
即2BC＞AB，
故C错误，C不符合题意；
D.由A知∠OBA=90°-∠BOC，
∴∠OBA+∠BOC=90°-∠BOC+∠BOC=90°，
故D正确，D符合题意.
故答案为：D.
6．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③ D．①③④
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵＝，＝，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠BDC，故①正确；
∵点D是弧AC上一动点，
∴与不一定相等，
∴DA与DC不一定相等，故②错误；
当DB最长时，DB为⊙O直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴DB＝2DC，故③正确；
在DB上取一点E，使DE＝AD，如图：
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
∴BD＝BE+DE＝CD+AD，故④正确；
∴正确的有①③④.
故答案为：D.
7．如图，六边形是边长为1的正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中的圆心依次按点循环，一电子宠物从点出发，沿着“渐开线”爬至点的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正六边形的一个外角的度数为：，
∴圆心角的度数为：，
设的弧长分别为：
由图可知：，
，
，
，
由此规律可知：，
∴一电子宠物从点出发，沿着“渐开线”爬至点的路径长为： ；
故答案为：D.
8．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
【答案】B
【解析】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；
∵AB=BD，
∴ ，
∴∠AED=∠AOB；
∵BC=AB=BD，
∴∠D=∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，
∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE=OA=1．
故答案为：B．
9．如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，已知于点，下列结论：
；若点为的中点，则.若，则；；其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
，
是的直径，
，
，
故正确，符合题意；
点为的中点，
，
为直径，
，
，
≌，
，
，，
，
，
故正确，符合题意；
连接，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故正确，符合题意；
，
，
当时，，
故错误，不符合题意；
故答案为：A.
10．如图1，是清代数学家李之铉在他的著作《几何易简集》中研究过的一个图形，小圆同学在研究该图形后设计了图2，延长正方形的边至点，作矩形，以为直径作半圆交于点，以为边做正方形，在上，记正方形，正方形，矩形的面积分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接BF、ME、BE，如图，
∵EFBM，
∴，
∴BF＝ME，
∵∠BGF＝∠MCE＝90°，GF＝CE，
∴（HL），
∴BG＝CM，
∵BM是⊙O的直径，
∴∠BEM＝90°，
∴∠CEM+∠CEB＝∠CEM+∠CME＝90°，
∴∠CEB＝∠CME，
∵∠BCE＝∠ECM＝90°，
∴，
∴，即CE2＝CB CM，
设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，BG＝CM＝c，
则，
∴（a﹣c）2＝ac，
整理得，a2+c2＝3ac，
即，
∴，或
∵a＞c，
∴舍去，
∴，
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在半圆中半径为，，，与交于点，
（1） ；
（2）当点恰好为的中点时， .
【答案】（1）60°
（2）
【解析】（1），， ，
，，
为圆的直径，，；
故答案为：；
（2）设，
点恰好为的中点，，
在中，，，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得舍去，
.
故答案为：.
12．如图，在⊙O中，是⊙O的直径，，点E是点D关于的对称点，M是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10.上述结论中正确的个数是 .
【答案】3
【解析】，点E是点D关于AB的对称点，
，
，故①正确；，故②正确；
的度数是60°，的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，故③错误；
作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于点N，连接DF交AB于点M，此时CM+DM的值最短，等于DF的长.
连接CD，
，并且弧的度数都是60°，
∴DF是的直径，即DF=AB=10，
∴当点M与点O重合时，CM+DM的值最小，最小值是10，∴④正确.
故答案为：3.
13．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，☉0为△ACD的外接圆，直线BD交☉0于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为 。
【答案】1
【解析】如图，
∵ 弧AE＝弧CP，
∴∠CDP=∠ACB=45°，
∴∠BDC=135°，
∴当AD过O1时，AD有最小值，
∵∠BDC=135°，
∴∠BO1C=90°，
∵BC=4，
∴O1C=O1B=4=O1D，
∴∠O1CB=45°，
∴∠AO1C=45°+45°=90°，
∵AC=3，
∴AO1=5，
∴AD=AO1-O1D=5-4=1.
故答案为：1.
14．如图，⊙P与x轴交于点A(-5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为 .
【答案】+
【解析】如图所示，过P点作PH⊥AB于H点，PD⊥OC于D点，连接PA、PB、PC，
∵A（-5，0），B（1，0），
∴OA＝5，OB＝1，
∴AB=6，
∵PH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝3，
∴OH＝2，
∵∠ACB=60°，
∴∠APB＝2∠ACB＝2×60°＝120°，
∴∠APH＝60°，∠PAH=30°，
∵在Rt△PAH中，PH＝AH＝，
∴PA＝2PH＝，
∵∠PHO＝∠PDO＝∠HOD＝90°，
∴四边形PHOD为矩形，
∴OD＝PH＝，PD＝OH＝2，
∵在Rt△PCD中，PC＝PA＝，PD＝2，
∴CD＝=＝，
∴OC＝OD+CD＝+ ，
∵点C在y轴的正半轴，
∴点C的纵坐标为+.
故答案为：+.
15．如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，
①该圆的半径为2； ②的长为；
③平分； ④连接，，则与的面积比为．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】根据题干补全图形，连接，
根据内接正六边形的性质可知：，
∴是等边三角形，
，圆的半径为2，所以①符合题意；
根据内接正方形的性质可知：，
的长为：，所以②不符合题意；
∵，，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴平分， 所以③符合题意；
过点A作交延长线于点H，交延长线于点G，
∵，∴，
∵，∴，
，∴，
设交于点M，
∵，∴，，
∵，∴，∴，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，所以④符合题意；
因此正确的结论：①③④
故答案为：①③④
16．如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是 .
【答案】
【解析】如图，连接.
∵是半圆的三等分点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
作的外接圆，连接.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点在上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H.
∵
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴的最小值为.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D.点E是圆上一点，且，连接交于点F.
（1）求证：
（2）当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数.
（3）探究线段、、之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）证明：连接PE，
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，∴∠PEB＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠PEB，
∵ ，∴∠PBD＝∠PBE，
∵BP＝BP，∴△ABP≌△EBP（AAS），∴AB＝EB，∴EB＝BC；
（2）解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化，
∵ ，
∴∠DEP＝∠EBP，
∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，
∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB
＝∠PEB
＝60°，
∴∠BFD的度数为60°；
（3）解： ，理由如下：
延长 交于点J，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 和 中， ， ，
，
连接 ，
四边形 是圆的内接四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中， ， ，
，
，
即 .
18．如图，△ABC内接于☉O，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长线交☉O于点P。
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE=PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE=PE
②若BC=3，求点H运动轨迹的长度。
【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠BPC=∠BAC=60° ，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABCC三边的垂直平分线的交点，
∴∠BAC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE 在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴
（2）解：①如图所示，连接PC，
同理可得 ，
∵
∴
∴ =30°，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ HE=PE ；
②由①得 ，
∴
∵
∴H是在以 B C为弦，圆周角 的圆上运动，
如图所示，劣弧 即为H的运动轨迹，过点 作 于 ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴.
19．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）3
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= AB=4 ，
则△BDC的周长=2BE+BC=8 +8．
故答案为：8+8 ．
【解析】（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
20．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠EAC＝120°.
（1）求的度数；
（2）连DB，DC，求证：DB＝DC；
（3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）解：连接OB，OC，
∵∠EAC＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣∠EAC＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×60°＝120°，
∴ 的度数为120°；
（2）证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝ ∠EAC＝ ×120°＝60°，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，
由（1）知∠BDC＝60°，
∴∠BDC＝∠DBC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝CD；
（3）解：AC＝AD+AB，
证明：如图，延长AD至F，使DF＝AB，连接CF，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠ABC＝∠CDF，
由（2）知△BDC是等边三角形，
∴BC＝CD，∴△FDC≌△ABC（SAS），∴∠ACB＝∠DCF，AC＝CF，
∴∠ACF＝∠BCD＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF＝AD+DF＝AD+AB，
即AC＝AD+AB.
21．如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径；
（3）于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：平分，
，
，
（2）解：如图1，过点作于点，
为的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：理由如下：
如图2，过点作，交的延长线于点，
四边形内接于圆，
，
，，平分，
，，四边形是正方形，
≌，
，，
，
，
.
即.
22．已知在圆O中，弦AB垂直弦CD于点E
（1）如图1：若CE=BE，求证：AB=CD；
（2）如图2：若AB=8，CD=6，OE=
①求圆的半径，
②求弓形CBD的面积。
【答案】（1）证明：连接AD，BC，
∵CE=BE，
∴∠B=∠C，
∵，
∴∠B=∠D，∠A=∠C，
∴∠A=∠D，
∴AE=BE，
∴AB=CD
（2）解：①连接OA，OD，OC，过点O作OF⊥AB于点F，OG⊥CD于点G，
∵AB⊥CD，
∴AF=AB=4，BG=CD=3，∠AOF=∠OFG=∠EGO=∠FEG=90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∴FE=OG；
设圆的半径为r，
OF2=EG2=r2-16，EF2=OE2-OF2=11--OF2，EF2=OG2=r2-9
∴r2-9=11-（r2-16）
解之：r=
②在Rt△OGD中
∴OG=BG，
∵OC=OB，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠COD=90°，
∴弓形CBD的面积=
23．如图， 四边形内接于，平分， 过点D作， 交于点E， 连结交于点F. 已知，
（1）①假设， 则 .
②证明： ；
（2）若， 求的长；
（3）若，求的长.
【答案】（1）解：①
②证明：∵，即，
∴，
在中，，
∴，
∴.
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∵内接四边形，
∴，即，
∴，
∴，且，
∴，
∴，则，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
且，
∵，且，
∴.
（3）解：由（2）可知，，，
∴，
∴.
【解析】（1）①∵平分， ，
∴，
∵，且，
∴，即，
故答案为：；
24．已知：的两条弦，相交于点M，且.
（1）如图1，连接.求证：.
（2）如图2，若，点E为弧上一点，，交于点F，连接、.
①求的度数(用含的代数式表示).
②若，，求的面积.
【答案】（1）证明：如图1，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①.
理由如下：
连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴.
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浙教版2023-2024学年九上数学第3章圆的基本性质 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
2．如图，将半径为8的沿折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（ ）
A． B． C．8 D．10
3．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
5．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是（ ）
A．∠OBA=∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O
C．AB=2BC D．∠OBA+∠BOC=90°
6．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③ D．①③④
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7．如图，六边形是边长为1的正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中的圆心依次按点循环，一电子宠物从点出发，沿着“渐开线”爬至点的路径长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
9．如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，已知于点，下列结论：
；若点为的中点，则.若，则；；其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，是清代数学家李之铉在他的著作《几何易简集》中研究过的一个图形，小圆同学在研究该图形后设计了图2，延长正方形的边至点，作矩形，以为直径作半圆交于点，以为边做正方形，在上，记正方形，正方形，矩形的面积分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
（第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在半圆中半径为，，，与交于点，
（1） ；
（2）当点恰好为的中点时， .
12．如图，在⊙O中，是⊙O的直径，，点E是点D关于的对称点，M是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10.上述结论中正确的个数是 .
13．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，☉0为△ACD的外接圆，直线BD交☉0于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为 。
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，⊙P与x轴交于点A(-5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为 .
15．如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，
①该圆的半径为2； ②的长为；
③平分； ④连接，，则与的面积比为．
所有正确结论的序号是 ．
16．如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D.点E是圆上一点，且，连接交于点F.
（1）求证：
（2）当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数.
（3）探究线段、、之间的数量关系，并证明.
18．如图，△ABC内接于☉O，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长线交☉O于点P。
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE=PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE=PE
②若BC=3，求点H运动轨迹的长度。
19．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
20．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠EAC＝120°.
（1）求的度数；
（2）连DB，DC，求证：DB＝DC；
（3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论.
21．如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径；
（3）于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由.
22．已知在圆O中，弦AB垂直弦CD于点E
（1）如图1：若CE=BE，求证：AB=CD；
（2）如图2：若AB=8，CD=6，OE=
①求圆的半径，
②求弓形CBD的面积。
23．如图， 四边形内接于，平分， 过点D作， 交于点E， 连结交于点F. 已知，
（1）①假设， 则 .
②证明： ；
（2）若， 求的长；
（3）若，求的长.
24．已知：的两条弦，相交于点M，且.
（1）如图1，连接.求证：.
（2）如图2，若，点E为弧上一点，，交于点F，连接、.
①求的度数(用含的代数式表示).
②若，，求的面积.
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